概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件

f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2

1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
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1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
第四章
正态分布
§4.3 二维正态分布
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§4.3 二维正态分布
[定义] 设二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
f ( x , y)
1 2 π x y 1 r
2
e
2 1 ( x x ) 2 2 r ( x x )( y y ) ( y y ) 2 2 2 (1 r 2 ) x y x y
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
,
则称二维随机变量( X , Y )服从二维正态分布， 记作
2 2 ~ N ( , , , ( X ,Y ) x y x y , r ),
其中 x , y , x 0 , y 0 , r ( r 1)是分布参数.
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f X ( x)
1 2 π x y 1 r
2

u ( x , y )
e
dy ,
其中
u( x ,
( x x ) 2 2r ( x x )( y y ) ( y y ) 2 1 y ) 2(1 r 2 ) 2 2 x x y y
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r

x x y y u ( x , y ) e dxdy,
y
化为二次积分，得
R( X , Y ) 1 2 π x y 1 r
2


x x
x
e
2 ( x x ) 2 ( 2 x )
I ( x)dx,
其中
I ( x)

y y
x x
x
2 π(1 r 2 ) ,
x 2 r x 2 ( x x ) ( ) e 2 π x x
2 ( 2 x )
R( X , Y )
dx,
设
x
t,
得
R( X , Y )
2 t 2 2 r t e dt r. 2 π
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§4.3 二维正态分布
二维正态分布
x
0
y
0
x
10
y
10
0.5
0.015 0.010
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z
0.005 0.000 -10 -5 5 0 10
y
x
0 5 10 -10
2 x 2 x
-5
f (x,y) 2
x
1
y
exp 1
2
1 2 1
2
x
2
x
x
x
y
y
y
y
2 y
2 y
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y
e
y y r ( x x ) 2 1 [ ] x 2 (1 r ) 2 y
dy,
y y r( x x ) 1 设 t 1 r 2 [ ], y x
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则得
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§4.3 二维正态分布
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§4.3 二维正态分布
[定理1] 设二维随机变量 ( X , Y )服从二维正态分布 2 2 N ( x , y , x , y , r ) , 则 X与Y 的边缘分布都是正态 分布， 且无论参数 r ( r 1) 为何值， 都有 2 2 X ~ N ( x , x ), Y ~ N ( y , y ) . 证： X 的边缘概率密度
1 ( x x )2 ( 2 x2 ) t 2 2 e e dt f X ( x) 2 π x 2 1 ( x x ) 2 ( 2 x ) e . 2 π x
2 2 X ~ N ( , ) , 同理， Y ~ N ( y , y ) . 由此可得， x x 由定理1可知： x E ( X ) , y E (Y ) , x D( X ) , y D(Y ) .
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§4.3 二维正态分布
2 2 [定理2] 设( X , Y ) ~ N ( x , y , x , y , r ),则
R ( X , Y ) r.
证： R( X , Y )
2 π x y 1 r 2 x 1
I ( x) y 1 r
2
2

[t
1 r
2
r( x x )
y (1 r ) t e

t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt

r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
[例1] 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从标准正态分
布 N (0 ,1) , 求随机变量函数 Z X 2 Y 2的概率密度 .