概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
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概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
统计学正态分布及分布PPT资料(正式版)
如这果个原 公总式体表的示转平x变换均量数区为为间μμ内，发=标生准0的差,概为σ率σ，2那么=样1本的平均正数抽态样分总体布：。我们称μ=0, σ2 =1的正态分 函数曲线位置布不为变，标若σ准变大正时，态曲分线形布状变(s的t越a来n越“d胖a”r和d“n矮”o；rmal distribution)
μ= -1
y σ=0.5
y
y
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,
2 只有一个峰，峰值在t = 0处；
我们从上图看到，正态总体在
以外取值的概率只有4.
δ2—.
若得变小 到时，标曲线准位置正向左态移，分故称布μ为密位置度参数函。 数：
05 分位点 u = 1.
• 数学上的正态分布。 df越大，t分布越趋近标准正态分布
我们从上图看到，正态总体在
以外取值的概率只有4.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.
• 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率
• 然后组距０时，直方条的宽度０，直 方条垂直线，各个直方条顶点间的连线 构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线， 而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区 间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方 条面积) 。
我们称μ=0, σ2 =1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
对于二维正态分布的随机变量(X, Y)，X和Y的边缘分布都是一维正 态分布。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
大学概率论二维正态分布
2
1
π x
y
e dx (ax2 2bxc)
于是
e dx (ax2 2bxc)
π
(
e
acb2 a
)
,
a
f Z (z)
1
e . [
z ( x
2(
2 x
y
2 y
)]2 )
2π
2 x
2 y
由此可见，Z 服从正态分布
N (x
y
,
2 x
2 y
).
定理2表明：
独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
解： 已知 x y 0 , x 16 4 , y
cov(X ,Y ) 12 , 于是 X与Y 的相关系数为 r R( X ,Y ) 12 3, 16 25 5
25 5 ,
概率论与数理统计教程（第四版）
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结束
第四章
正态分布
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
z
0.015
0.010
0.005 0.000
-10
f (x,y) 2
-5
0
x
5
1 xy 1
exp
2
1 21 2
10
5
0 y
-5
10 -10
x
2 x
2
x
xy
y
2
x
x
y
y
2 y
2 y
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结束
§4.3 二维正态分布
[定理1] 设二维随机变量 ( X ,Y )服从二维正态分布
正态分布ppt课件
收集数据
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
正态分布专题教育课件
图一：
图二： 图三：
图四：
✓ 当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）旳曲线与横轴围成旳面积时，不必利 用积分学知识求从x1移到x2所相应区域旳面积大小来得 到这一区间所相应旳面积。此时，我们能够经过变量 变换，把X转变成u，即把一般旳正态分布变换为原则 正态分布，经过求原则正态分布区间(u1,u2)所相应旳面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所相应旳面 积。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
✓ 在σ不变旳情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
✓ 在μ不变旳情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变旳越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变旳越来越“瘦”和“高”。
✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体原则差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从原则正态分布。习惯 把服从原则正态分布旳变量用字母U或Z表达，此时，
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф(u２) 、Ф(u１)的 大 小。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α参考值范围： P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α参考值范围：>P100 或<P1001
例题参见教科书。
图二： 图三：
图四：
✓ 当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）旳曲线与横轴围成旳面积时，不必利 用积分学知识求从x1移到x2所相应区域旳面积大小来得 到这一区间所相应旳面积。此时，我们能够经过变量 变换，把X转变成u，即把一般旳正态分布变换为原则 正态分布，经过求原则正态分布区间(u1,u2)所相应旳面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所相应旳面 积。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
✓ 在σ不变旳情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
✓ 在μ不变旳情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变旳越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变旳越来越“瘦”和“高”。
✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体原则差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从原则正态分布。习惯 把服从原则正态分布旳变量用字母U或Z表达，此时，
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф(u２) 、Ф(u１)的 大 小。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α参考值范围： P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α参考值范围：>P100 或<P1001
例题参见教科书。
(课件)概率论与数理统计：正态分布
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
概率论与数理统计正态分布
(1) (1) 2(1) 1
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
概率论正太分布及其定理
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
例3 若 X ~ N , 2 ，求X 落在区间 k , k 内的概率，
其中 k 1, 2, 3, 。
解 P k X k P X k
k
k
k
k
2 k 1
查表得 P X 21 1 0.6826
概率论与数理统计
§4.2 二维正态分布
正态分布与极限定理
①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
②若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y的边缘分布都是正态分布，
X与Y相互独立 X与Y不相关.
16
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
定理2 (1) 若随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，则
证明
服从二维正态分布.
(2) 若 (X,Y) 服从二维正态分布，如果 X 与 Y 不相关
则 X 与 Y 独立.
(2)
设随机变量(X,Y)~
N
( 1 , 12
;
2
,
2 2
;
)
f (x, y)
1
e
1
2 (1
2
)
(
1
PX
80
1
80 d 0.5
0.99
80 d 0.5
0.01
(2.33) 0.9901 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.33) 0.01
80 d 2.33 0.5
d 81.165 故设定温度d至少为81.165度.
10
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计 第四节 二维正态分布
其中为常数且exdx定义315若二维随机变量xy具有概率密度其中均为常数二维正态分布的密度函数图形如右图关于二维正态分布需掌握如下结论
第四节 一维正态分布
二维正态分布
( x )2 2 2
1 e 若 X f ( x) 2
( x )
其中 , 为常数，且 0 ，则称 X 服从参数
f X ( x ) fY ( y )
所以，X与Y相互独立。
例(p173) 设二维随机向量( X , Y ) N (1, 0, 3 , 4 , 0.5)，
2 2
X Y 令 Z = + , EZ，DZ以及 XZ ． 求 3 2
解 EX 1, DX 32 , EY 0, DY 42 , XY 0.5 X Y 1 1 1 EZ E ( ) EX EY 3 2 3 2 3
Cov( X ,Y ) XY DXDY 0.5 3 4 6
X Y X Y X Y DZ D( ) D( ) D( ) 2Cov( ， ) 3 2 3 2 3 2 1 1 1 DX DY Cov( X，Y ) 3 9 4 3
X Y X Y Cov( X , Z ) Cov( X , ) Cov( X , ) Cov( X , ) 3 2 3 2 1 1 DX Cov( X , Y ) 0 3 2
( x 1 )2 1 exp 2 2 1 2 1
2 即 X N ( 1 , 1 )．
泊松积分
e
x2
dx
同理可求得关于Y的边缘密度函数为
fY ( y )
f ( x, y )dx
第四节 一维正态分布
二维正态分布
( x )2 2 2
1 e 若 X f ( x) 2
( x )
其中 , 为常数，且 0 ，则称 X 服从参数
f X ( x ) fY ( y )
所以，X与Y相互独立。
例(p173) 设二维随机向量( X , Y ) N (1, 0, 3 , 4 , 0.5)，
2 2
X Y 令 Z = + , EZ，DZ以及 XZ ． 求 3 2
解 EX 1, DX 32 , EY 0, DY 42 , XY 0.5 X Y 1 1 1 EZ E ( ) EX EY 3 2 3 2 3
Cov( X ,Y ) XY DXDY 0.5 3 4 6
X Y X Y X Y DZ D( ) D( ) D( ) 2Cov( ， ) 3 2 3 2 3 2 1 1 1 DX DY Cov( X，Y ) 3 9 4 3
X Y X Y Cov( X , Z ) Cov( X , ) Cov( X , ) Cov( X , ) 3 2 3 2 1 1 DX Cov( X , Y ) 0 3 2
( x 1 )2 1 exp 2 2 1 2 1
2 即 X N ( 1 , 1 )．
泊松积分
e
x2
dx
同理可求得关于Y的边缘密度函数为
fY ( y )
f ( x, y )dx
概率论与数理统计之正态分布PPT课件
17
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~N(1,4) ，求 P(1.6X2.4)
解： P ( 1 .6X 2 .4 ) 2 .4 2 1 1 .2 6 1
0 . 7 1 . 3 0 . 7 1 1 . 3
查 表 0 .7 5 8 0 ( 1 0 .9 0 3 2 ) 0 .6 6 1 2
2
则称 X 服从正态分布，记作 X ~N(,2)，其中 及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0,1时，得到正态分布 N ( 0 ,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~N(,2)
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
证明：
16
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X2.35); 2. P(X3.03); 3. P(X1.54);
解：1 .P ( X 2 .3 5 ) ( 2 .3 5 ) 0 .9 9 0 6 2 .P ( X 3 . 0 3 ) ( 3 . 0 3 ) 1 ( 3 . 0 3 ) 1 0 . 9 9 9 5 0 . 0 0 0 5 3 .P ( X 1 . 5 4 ) 2 ( 1 . 5 4 ) 1 2 0 . 9 3 8 2 1 0 . 8 7 6 4
18
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X~N(1.5,4)，求： 1. P(X3.5); 2. P(1.5X3.5); 3. P( X 3);
解：1 . P (X 3 .5 ) 3 .5 2 1 .5 (1 ) 0 .8 4 1 3
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~N(1,4) ，求 P(1.6X2.4)
解： P ( 1 .6X 2 .4 ) 2 .4 2 1 1 .2 6 1
0 . 7 1 . 3 0 . 7 1 1 . 3
查 表 0 .7 5 8 0 ( 1 0 .9 0 3 2 ) 0 .6 6 1 2
2
则称 X 服从正态分布，记作 X ~N(,2)，其中 及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0,1时，得到正态分布 N ( 0 ,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~N(,2)
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
证明：
16
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X2.35); 2. P(X3.03); 3. P(X1.54);
解：1 .P ( X 2 .3 5 ) ( 2 .3 5 ) 0 .9 9 0 6 2 .P ( X 3 . 0 3 ) ( 3 . 0 3 ) 1 ( 3 . 0 3 ) 1 0 . 9 9 9 5 0 . 0 0 0 5 3 .P ( X 1 . 5 4 ) 2 ( 1 . 5 4 ) 1 2 0 . 9 3 8 2 1 0 . 8 7 6 4
18
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X~N(1.5,4)，求： 1. P(X3.5); 2. P(1.5X3.5); 3. P( X 3);
解：1 . P (X 3 .5 ) 3 .5 2 1 .5 (1 ) 0 .8 4 1 3
概率论教学课件第四章4.6二维正态分布
为正态分布, 而且其边缘分布不依赖于参数 . 因 此可以断定参数 描述了X与Y之间的某种关系!
3
三、二维正态分布的相关系数
定理4.5
若
(X,Y
)
~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,
则X与Y 的相关系数是 .
若 = 0，则有
f (x, y)
1
1[ ( x1 )2 ( y2 )2 ]
e2
2 1
则称(
X,Y)服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布. 记作
(X
,Y
)
~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
.
2
二、二维正态分布的边缘分布
定理4.4若 ( X , Y
)
~
N (1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
),
则
X
~
N
(
1
,
2 1
)
,
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
.
这就是说, 二维正态分布的两个边缘分布仍然
Z X Y 1 N(0,3).
作业：P128-4.44(做在书上)；4.46；4.49.
5
四、相互独立的一维正态变量的线性组合
*例4.20设 X, Y 相互独立且服从同一分布N(0,1) , 求 Z
=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式,有
3
三、二维正态分布的相关系数
定理4.5
若
(X,Y
)
~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,
则X与Y 的相关系数是 .
若 = 0，则有
f (x, y)
1
1[ ( x1 )2 ( y2 )2 ]
e2
2 1
则称(
X,Y)服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布. 记作
(X
,Y
)
~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
.
2
二、二维正态分布的边缘分布
定理4.4若 ( X , Y
)
~
N (1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
),
则
X
~
N
(
1
,
2 1
)
,
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
.
这就是说, 二维正态分布的两个边缘分布仍然
Z X Y 1 N(0,3).
作业：P128-4.44(做在书上)；4.46；4.49.
5
四、相互独立的一维正态变量的线性组合
*例4.20设 X, Y 相互独立且服从同一分布N(0,1) , 求 Z
=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式,有
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
x
2 π(1 r 2 ) ,
x 2 r x 2 ( x x ) ( ) e 2 π x x
2 ( 2 x )
R( X , Y )
dx,
设
x
t,
得
R( X , Y )
2 t 2 2 r t e dt r. 2 π
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§4.3 二维正态分布
[例1] 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从标准正态分
布 N (0 ,1) , 求随机变量函数 Z X 2 Y 2的概率密度 .
1 ( x x )2 ( 2 x2 ) t 2 2 e e dt f X ( x) 2 π x 2 1 ( x x ) 2 ( 2 x ) e . 2 π x
2 2 X ~ N ( , ) , 同理， Y ~ N ( y , y ) . 由此可得， x x 由定理1可知： x E ( X ) , y E (Y ) , x D( X ) , y D(Y ) .
第四章
正态分布
§4.3 二维正态分布
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§4.3 二维正态分布
[定义] 设二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
f ( x , y)
1 2 π x y 1 r
2
e
2 1 ( x x ) 2 2 r ( x x )( y y ) ( y y ) 2 2 2 (1 r 2 ) x y x y
结束
§4.3 二维正态分布
二维正态分布
x
0
y
0
x
10
y
10
0.5
0.015 0.010
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z
0.005 0.000 -10 -5 5 0 10
y
x
0 5 10 -10
2 x 2 x
-5
f (x,y) 2
x
1
y
exp 1
2
1 2 1
2
x
2
x
x
x
y
y
y
y
2 y
2 y
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y
e
y y r ( x x ) 2 1 [ ] x 2 (1 r ) 2 y
dy,
y y r( x x ) 1 设 t 1 r 2 [ ], y x
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则得
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§4.3 二维正态分布
x x y y u ( x , y ) e dxdy,
y
化为二次积分，得
R( X , Y ) 1 2 π x y 1 r
2
x x
x
e
2 ( x x ) 2 ( 2 x )
I ( x)dx,
其中
I ( x)
y y
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§4.3 二维正态分布
[定理1] 设二维随机变量 ( X , Y )服从二维正态分布 2 2 N ( x , y , x , y , r ) , 则 X与Y 的边缘分布都是正态 分布， 且无论参数 r ( r 1) 为何值， 都有 2 2 X ~ N ( x , x ), Y ~ N ( y , y ) . 证： X 的边缘概率密度
f X ( x)
1 2 π x y 1 r
2
u ( x , y )
e
dy ,
其中
u( x ,
( x x ) 2 2r ( x x )( y y ) ( y y ) 2 1 y ) 2(1 r 2 ) 2 2 x x y y
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§4.3 二维正态分布
2 2 [定理2] 设( X , Y ) ~ N ( x , y , x , y , r ),则
R ( X , Y ) r.
证： R( X , Y )
2 π x y 1 r 2 x 1
,
则称二维随机变量( X , Y )服从二维正态分布， 记作
2 2 ~ N ( , , , ( X ,Y ) x y x y , r ),
其中 x , y , x 0 , y 0 , r ( r 1)是分布参数.
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