第四章 地球椭球数学投影(10-11节)

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4 兰勃脱投影坐标的正反算公式 1.兰勃脱投影坐标的正算 兰勃脱投影坐标的正算(B, l) l=L-L0,求x, y 兰勃脱投影坐标的正算 求 兰勃脱切圆锥投影： 兰勃脱切圆锥投影：
γ = βl
β ( q0 − q ) ρ = ρ 0e x = ρ 0 − ρ cos γ y = ρ sin γ
1 4 4 1 2 2 2 1 4 2 m = 0.99961+ cos B(1+η )l + cos B(2 − t ) − cos Bl +L 6 8 2
l3 2 2 γ = l sin B + sin B cos B(1 + 3η ) + L 3
3 Fundation of Geodesy
UTM投影变形的特点： UTM投影变形的特点： 投影变形的特点
UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使 得Ｂ＝０°，ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选 择的数值。两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午 线大约±１８０ｋｍ(约±１°４０’)处)上没有长度 变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以 内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。
1 dm 1 dN cos B 1 d ρ + = m dq N cos B dq ρ dq
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因为 d ( N cos B) = dr dB = − M sin B N cos B dq dB dq M
dρ = − βρ dq
将上述两式代入微分方程得: 则有:
m =1 +
V02 tan B0
3 2N 0
xy 2 + L
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兰勃脱投影变形的特点: 兰勃脱投影变形的特点: 在标准纬线Ｂ０处，长度比为1，没有变形。 当离开标准纬线（Ｂ０）无论是向南还是向 北，｜ΔＢ｜增加，｜ｘ｜数值增大，因而长度 比迅速增大，长度变形(m-1)也迅速增大。因此， (m-1) 为限制长度变形，必须限制南北域的投影宽度， 为此必须按纬度分带投影。
UTM投影带的划分： UTM投影带的划分： 投影带的划分
UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号 1，2，3，…，60连续编号，每带经差为６°，从经度 180°Ｗ和17４°Ｗ之间为起始带(1带)，连续向东编号。
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直角坐标系的实用公式：
y实 = y + 50000(轴之东），x实 = 10000000 − x(南半球） y实 = 50000 − y (轴之西），x实 = x(北半球）
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兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形 (m-1)与经度无关，但随纬差ΔＢ，即纵坐标x的 增大而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度 的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东 西延伸的国家和地区。这些国家根据本国实际情 况，采用相应的分带方法和统一的坐标系统。但 与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有时 过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯 投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投 影。
§4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.10.1通用横轴墨卡托投影概念 通用横轴墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection) 投影属于横轴等角割椭圆柱投影 ,它的投影条件是 取第3个条件“中央经线投影长度比不等于1而是 等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的 平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标 有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它 为m0＝0.9996的高斯投影。
N cos Bl = ρ l
⇒
−βq2 N2 cosB2 = βKe

N1 cosB1 = βKe
−βq1
N 1 cos B1 1 β= ln q 2 − q1 N 2 cos B2
解方程得
K =
N 1 cos B1 N cos B = 2 − βq2 2 β e − β q1 βe
ρ ∆ q = q − q0 = − ln β ρ0
1
∆B = B − B0 = t1 ' ∆q + t2 ' ∆q 2 + t3 ' ∆q 3 + t4 ' ∆q 4 + t5 ' ∆q 5 ,
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方向改化及距离改化的简化公式：
δ 1.2 " = ρ"
6R
4.10.2高斯投影簇的概念 高斯投影簇的概念
高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影。 它应满足的投影条件是： 1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的 对称轴； 2.投影具有等角性质； 3.中央经线上的长度比 m 0 = f ( B ) 。
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2 0
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3 常数β及K的确定 常数β 的确定
m 0 = 1, dm dm d = dq = 0 ρ 0
条件:
dρ ρβ m=− = MdB N cos B
ln m + ln( N cos B ) = ln β + ln ρ
x = a 0 + a 2l 2 + a 4l 4 + L 1 3 5 y = a 1l + a 3 l + a 5 l + L
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高斯投影簇变形的特点：
m0 = 1 − q cos 2 KB
1.设q=0，则m０＝１，该投影即为高斯.克吕格投 影。 2.设q=0.0004，K=0，则m０＝0.9996，该投影即为 通用横轴墨卡托投影。 3.设q=0.000609，K=1，则，该投影即为双标准经 线等角横椭圆柱投影。 4.设q=0.000609，K=1.5，则，该投影在分界子午 线与赤道交点处变形最大，达0.077%
β = sin B 0
ρ0 = N0 cot B0 = Ke− sin B ⋅q
0
0
K = N 0 cot B 0 e sin

B0 ⋅q 0
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兰勃脱割圆锥投影： 兰勃脱割圆锥投影：
N1 cos B1 1 ln β= N cos B q2 − q1 2 2
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4.11.2兰勃脱投影坐标正、反算公式 兰勃脱投影坐标正、 兰勃脱投影坐标正 1 兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立
x = ρ0 − ρ cos γ y = ρ sin γ
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采用级数的回代公式可得:
∆B = B − B0 = t1' ∆q + t2 ' ∆q2 + t3 ' ∆q3 + t4 ' ∆q4 + t5 ' ∆q5 + L
t1 ' = cos B0 (1 + η ) 1 2 4 t2 ' = cos2 B0 tan B0 (−1 − 4η0 − 3η0 ) 2 1 3 2 2 2 2 4 4 2 t3 ' = cos B0 (−1 + tan B0 − 5η0 + 13η0 tan B0 − 7η0 + 27η0 tan B0 ) 6 1 4 2 2 2 2 t4 ' = cos B0 tan B0 (5 − tan B0 + 56η0 − 40η0 tan B0 ) 24 1 t5 ' = cos5 B0 (5 − 18 tan 2 B0 + tan 4 B0 ) 120
1
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基本公式如下：
l2N l4 3 2 2 4 x = 0.9996 S + sin Bcos B + N sin Bcos B(5 − t + 9η + 4η ) +L 2 24 l3 N 3 l5 N 5 2 2 2 4 y = 0.9996 lN cos B + cos B(1− t +η ) + cos B(5 −18t + t ) +L 6 120
MdB N cos B
1 1 + sin B e 1 + e sin B ln − ln 2 1 − sin B 2 1 − e sin B
已知 B1、B2 即可求 q1、 q 2 .
q = q0 + ∆q = f (B0 + ∆B )
dq 1 d 2q 1 d 3q ∆q = ∆B + 2 ∆B2 + 3 ∆B3 + L dB 0 2 dB 0 6 dB 0
β = sin B 0
ρ0 = N0 cotB0 = Ke
ρ = Ke−β q
⇒
−sinB0 ⋅q0
K = N0 cotB0e
（ ρ = ρ 0e β q
0