根与系数关系专题复习

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初中数学专题复习一元二次方程的根与系数的关系(B)

一元二次方程的根与系数的关系(B)一、诊断练习（一）填空：1．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____.2.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac成立的条件是：a________,Δ________.3.根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______；（3）221212222121222221)(4___)(___11x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨=a ∆. 4.设方程3x 2-9x-1=0的两个根是x 1和x 2,则下列各式的值是:(1)x 1+x 2 =_____；(2)x 1x 2 =____； (3)x 1x 22+x 12x 2=_____；(4)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（5）x 12+x 22=____；（6）(x 1－x 2)2=____；(7)2111x x +=____; (8) + =_____；(9)丨x 1－x 2丨=_____。

5. 已知方程2x 2-mx+n=0的两个根是－3和4, 那么由韦达定理得：－3+4=____,－3×4=____, 所以m=____,n=____.6.已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0,那么由韦达定理得，所以m=___.7. 方程5x 2+kx －10=0的一根x 1=－5, 另一根是x 2, 那么,所以另一个根是____,k=____.8. 若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，设两根为2k 和3k ，则，所以n=____.9．若方程x 2-ax －2a=0的两个根之和是4a －3,则由韦达定理得4a －3=____，a=____,两个根之积是____.10.已知方程x 2－6x+m-3=0的两个根互为倒数，则x 1x 2=______=1, 所以m=_______,此时Δ=_____. 11. 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是__________________. 12.若x 1+x 2=7,x 1x 2=5,则以x 1和2为根的一元二次方程是________________________________. 13．以3+2和3-2为根的一元二次方程是___________________。

初中数学专题复习一元二次方程根与系数的关系(1)(含答案)

第12课一元二次方程根与系数的关系（一）目的：复习a x2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△的意义与应用，•了解一元二次方程根与系数的关系．中考基础知识1．因为a x2+bx+c=0（a≠0）的根为=b2-4ac的值控制；当△>0时⇔方程_______；当△=0时⇔方程________；当△<0时⇔方程_______；当△≥0时⇔方程________．2．判别式△的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）已知方程根的情况，求方程中某一待定系数的取值范围．（3）求证方程根的情况．3．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的二根，则x1+x2=________，x1x2=________．备考例题指导例1．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2-2x-5=0；（2）x2+x=-14；（3）3（x2+1）-5x=0；（4）2m x2+2（m+n）x+n=0（m、n为不为0的实数）．解：（1）∵△=（-2）2-4×1×（-5）=4+20=24>0，∴方程有两个不相等的实数根．注意必须说明是实数根．（2）∵△=12-4×1×14=1-1=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）3x2+3-5x=0，3x2-5x+3=0，∵△=（-5）2-4×3×3=25-36=-11<0，∴方程无实数根．不能说成无解．（4）△=4（m+n）2-4×2m×n=4（m2+2mn+n2）-8mn=4（m2+n2），∵m、n≠0，∴△>0．∴方程有两个不相等的实数根．例2．k取何值时，一元二次方程（k-1）x2-（2k+1）x+k+1=0（1）有两个相异实数；（2）无实根．解：△=[-（2k+1）]2-4（k-1）（k+1）=4k2+4k+1-4k2+4=4k+5．（1）取△>0得4k+5>0，k>-54．且k≠1 （最易遗漏，一定小心．）∴k>-54且k≠1．（2）取△<0，得4k+5<0，∴k<-54．例3．（2005，宁波）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．解：（1）△=4（m+1）2-4m2=8m+4，当△≥0时，方程有两个实数根即8m+4≥0，m≥-12．（2）选取m=0，则原方程为：x2-2x=0．解得：x=0 或x=2．备考巩固练习1．（1）（2004，海南）已知关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0有两个不相等的实数，•那么m的最大整数值是（）（A）-1 （B）-1 （C）0 （D）1（2）（2005，杭州）若t是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2-4ac 和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）（A）△=M （B）△>M （C）△<M （D）大小关系不能确定（3）（2005，兰州）已知关于x的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）（A）外离（B）相交（C）外切（D）内切2．（2002，江苏盐城）已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，求k•的取值范围．3．抛物线y=9x2-（b+6）x+b+1顶点在x轴上，求b的值．4．（2002，苏州）已知关于x的方程：x2-（m-2）x-24m=0．（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为x1，x2满足│x2│=│x1│+2，求m的值及相应的x1，x2的值．5．（2000，山东）如果m是实数，且不等式（m+1）x>m+1的解集是x<1，那么关于x的一元二次方程mx2-（m+1）x+14m=0的根的情况如何？6．（2003，北京）已知，关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1，x2，且（x1-x2）2=16，如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x和x2之间，求m的值．17．（2005，绵阳）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．答案:1．（1）C （2）A （3）A2．由△≥0得，4-4k≥0，∴k≤1，且k≠03．由△=0，[-（b+6）]2-4×9（b+1）=0，b2-24b=0 ∴b=0 或b=244．（1）△=[-（m-2）]2+m2=（m-2）2+m2∴无论m取何实数总有△>0．∴方程总有两个相异实根（2）分类讨论：由x1x2=24m≤0，∴两根异号①x1≥0，x2≤0，则由│x2│=│x1│+2得-x2=x1+2⇒x1+x2=-2，∴m-2=-2，∴m=0 x1=0，x2=-2②若x1≤0，x2≥0，则由│x2│=│x1│+2得x2=-x1+2⇒x1+x2=2，m-2=2，∴m=4这时x1x25．由题知m+1<0，∴m<-1⇒2m<-2，2m+1<-1而△=m2+2m+1-m2=2m+1 ∴△<0∴已知方程无实根6．解：∵x1，x2是方程x2-2mx+3m=0①的两个实数根∴x1+x2=2m，x1x2=3m ∵（x1-x2）2=16解之得m1=-1 m2=4（1）当m=-1时，方程①为x2+2x-3=0∴x1=-3 x2=1方程x2-2mx+6m-9=0 ②为x2+2x-15=0∴x′1=-5 x′2=3∵-5，3不在-3和1之间∴m=-1不合题意，舍去．（2）当m=4时，方程①为x2-8x+12=0，∴x1=2，x2=6，方程②为x2-8x+15=0，∴x′1=3 x′2=5∵2<3<5<6，即x1<x′1<x′2<x2，∴方程②的两根都在方程①的两根之间，∴m=4，•综合（1）（2）得m=47．（1）k>1 且k≠0 （2）不存在。

初中数学九年级专题复习专题04 根与系数关系

专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题 04 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的方程组得1(4038A =-例 4.0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==-例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0c =，得0b ca a =，即)12120x x x x +=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x 21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =+=++=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

八年级下册数学一元二次方程根与系数的关系复习专题(附答案)

八年级下册数学一元二次方程根与系数的关系复习专题（附答案）一、单选题1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0的根为（）. A. -2,-3 B. -6,1 C. 2,-3 D. -1,62.一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是（）A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根且正根绝对值大D. 有一正根一负根且负根绝对值大3.已知一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)=0(a≠0，x 1≠x 2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x 1 ，若一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则( )A. a(x 1-x 2)=dB. a(x 2-x 1)=dC. a(x 1-x 2)²=dD. a(x 2-x 1)=d4.已知方程x 2-2x-5=0，有下列判断：①x 1+x 2=-2；②x 1•x 2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②④ 5.若x 1 ， x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根，则x 1x 2的值是（）A. -2B. -3C. 2D. 36.已知A ，B 是两个锐角，且满足 sin 2A +cos 2B =54t ， cos 2A +sin 2B =34t 2 ，则实数t 所有可能值的和为（） A. - 83 B. - 53 C. 1 D. 113 7.下列各式计算正确的是（）A. a 3⋅a 2=a 6B. a 5+a 5=a 10C. (−2a 3)3=−8a 9D. (a −1)2=a 2−1 8.若多项式2x 2+3y+3的值为8，则多项式6x 2+9y+8的值为（）A. 1B. 11C. 15D. 239.已知实数a ，b 分别满足a 2−6a +4=0,b 2−6b +4=0 ，且a≠b ，则b a +a b 的值是( )A. 7B. －7C. 11D. －1110.已知实数 m 、n 满足 x 2−7x +2=0 ，则 n m +m n 的值是（）A. 452B. 152C. 152 或2D. 452 或2 二、填空题11.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是________12.设m 、n 是方程x 2+x-1001=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为________。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

中考数学复习一元二次方程根与系数的关系练习题

能，请说明理
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积.
（1） x 2 3x 5 0（2） 2x 2 5x 5 0
19. 已知 x1、x2 是一元二次方程 2x 2 2x 1 3m 0
的两个实数根，且 x1 、 x2 满足不等式
x1 x2 2(x1 x2 ) 0 ，求实数 m的取值范围 .
20. 已知关于 x 的方程 x2
(k
1) x
1 k2 4
1
0
的两根是一个矩形两邻边的长 .
（1）k 为何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为 5 时，求 k
21. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2 4x m 1 0
有两个非零实数根 . （1）求 m的取值范围；（ 2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的 m的取值范围，若不
12. 设方程 3x 2 5x m 0 的两根分别为
x 1, x 2 ，且 6x1 x 2 0 ，那么 m的值等于（）
2
2
2
A. 3 B. —2 C. 9 D. — 9
6
13. 点 P （a,b ）是直线 y=—x+5 与双曲 y x 的
一个交点，则以 a,b 两数为根的一元二次方程
x 1 1 2 , x 2 1 2 ，则 p=______，q=____.
4. 若 x1、x2 是方程 x 2 5x 7 0 的两根，那么
x
2 1
x
2 2
_______________ ，
(x 1 x 2 ) 2 ________.
5. 已知方程 x 2 x k 0 的两根之比为 2，则 k
的值为 _______.

初中数学专题复习一元二次方程的根与系数的关系(A)

一元二次方程的根与系数的关系(A)一、诊断练习（一）填空：1.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）: 如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____.2.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac成立的条件是：a________,Δ________.3.根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______；（3）221212222121222221)(4___)(___11x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨=a ∆. 4.设方程3x 2-9x-1=0的两个根是x 1和x 2,则下列各式的值是:(1)x 1+x 2 =_____；(2)x 1x 2 =____； (3)x 1x 22+x 12x 2=_____；(4)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（5）x 12+x 22=____；（6）(x 1－x 2)2=____；(7)2111x x +=____; (8) + =_____；(9)丨x 1－x 2丨=_____。

5. 已知方程2x 2-mx+n=0的两个根是－3和4, 那么由韦达定理得：－3+4=____,－3×4=____, 所以m=____,n=____.6.已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0,那么由韦达定理得，解这个方程组，得x 1=____,x 2=____,所以m=___. 7.已知方程x 2+6x+m=0的两实数根的差为2, 那么m=____. 8. 方程5x 2+kx －10=0的一根x 1=－5, 另一根是x 2, 那么 ,所以另一个根是____,k=____.9. 若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，设两根为2k 和3k ，则，所以n=____.10.若方程x 2-ax －2a=0的两个根之和是4a －3,则由韦达定理得4a －3=____，a=____,两个根之积是__.11.已知方程x 2－6x+m-3=0的两个根互为倒数，则x 1x 2=______=1, 所以m=_______,此时Δ=_____. （二）、判断正误：（1）方程2x 2+3x+8=0没有实数根。

初中数学专题复习一元二次方程根与系数的关系(2)(含答案)

第13课一元二次方程根与系数的关系（二）目的：复习x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a，并应用．中考基础知识1．对于ax 2+bx+c=0（a ≠0）若其二根为x 1x 2，且△≥0，则x 1+x 2=________，x 1x 2=______．2．对1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩来讲，其中5个可变量x 1、x 2、a 、b 、c ，有两个方程，知其中的三个可求另外的两个，但一定要注意使用条件△≥0．换句话说，在使用△时必须考虑a ≠0，在使用x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a时，必考虑△≥0条件．3．已知方程的二根为m ，n ，还原方程的公式为：x 2-（m+n ）x+_____=0，即要写出一个一元二次方程必须求出两根之和x 1+x 2与两根之积x 1x 2．备考例题指导例1．已知方程x 2+（k-2）x+4=0的两实根为a 、b ，且a=4b ，求实数k 的值．分析：由题意得2,4,4.a b k ab a b +=-⎧⎪=⎨⎪=⎩三个方程三个未知数即可求k ，但要注意检验是否△≥0．例2．已知方程2x 2-kx-2k+1=0的两实根的平方和是294，求实数k 的值．分析：∵x 1+x 2=2k ， x 1x 2=122k -， ① 而x 12+x 22=294． ② 把②配方将①代入可得关于k 的一元二次方程，从而求出k ，但要注意检验是否△≥0．例3．（2005，江西）设关于x 的一元二次方程x 2-4x-2（k-1）=0有两个实数根x 1，x 2，•问是否存在x 1+x 2<x 1·x 2的情况？解析：不存在．由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=4，x 1·x 2=-2（k-1）．假设存在x 1+x 2<x 1·x 2，即有4<-2（k-1）， k<-1．因为方程有实根，由根的判别式△=（-4）2-4[-2（k-1）]≥0，得k ≥-1． ∴k 值不存在，即不存在x 1+x 2<x 1·x 2的情况．例4．已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程．分析：要求新方程需求y 1+y 2，y 1y 2的值，根据题意得y 1=11x ，y=21x ． ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x ， y 1y 2=121x x ，而x 1+x 2=-32，x 1x 2=-52，可求．备考巩固练习1．填空题（1）已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，•11x +21x =•_______，•x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________．（2）已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．（3）已知一元二次方程的两根为_______．2．（2002，成都）已知x 1，x 2是一元二次方程4k x 2-4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使（2x 1-x 2）（x 1-2x 2）=-32成立？若存在，求出k 值；若不存在，•请说明理由．（2）求使12x x +21x x -2的值为整数的实数k 的整数值．3．（2005，南通）已知关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1，x2，且（2x1+x2）-8（2x1+x2）+15=0（1）求证：n<0；（2）试用k的代数式表示x1；（3）当n=-3时，求k的值．4．（2002，北京）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长分别为a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．5．（2005，徐州）已知α、β是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-x+1=0的两个实数根，• 且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m 的值．6．（2003，黑龙江）关于x 的方程kx 2+（k+1）x+4k =0，有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．答案:1．（1）x 1+x 2=23，x 1x 2=-13，11x +21x =1212x x x x +=-2 x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=49+23=109∵（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=49+43=169∴x 1-x 2=±43 （2）2233133k x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴x 2=-19，k=263 （3）∵，（（=1∴这个方程为：x 2-4x+1=02．（1）12121212221121221143(2)(2)232422x x k x x k x x x x x x x x x x +=⎧⎪+⎪=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎪⇒--+=-⎪⎩ ①②代入③得2（x 1+x 2）2-9x 1x 2=-32，2-9(1)4k k +=-32 ∵k ≠0， ∴72=9(1)4k k +，k=95 而当k=95时，△<0，∴不存在（2）12x x +21x x -2=221212x x x x +-=2121212()2x x x x x x +--2=11214k k k k +-+-2=4221k k k --+-221k k ++=41k -+ ∵值为整数，k 为整数 ∴k+1=±1，±2，±4∴k=0，-2，1，-3，3，-5∴由△≥0即16k 2-16k （k+1）≥0得k<0∴k+1<1 ∴k+1=-1，-2，-4 ∴k=-2，-3，-53．（1）证明：∵关于x 的方程x 2-kx+k 2+n=0有两个不相等的实数根，∴△=k 2-4（k 2+n ）=-3k 2-4n>0∴n<-34k 2 又-k 2≤0 ∴n<0 （2）x 1=3-k 或x 1=5-k（3）当x 1=3-k 时，k=1，当x 1=5-k 时，k 不存在，所求的k 的值为1． 4．22a b m ab m +=⎧⇒⎨=-⎩ a 2+2ab+b 2=m 2∵c 2=a 2+b 2=25∴25+2（2m-2）=m 2，m 2-4m-21=0（m-7）（m+3）=0 ∴m 1=7，m 2=-3∵a>0，b>0 ∴a+b>0 m=7∴712a b ab +=⎧⎨=⎩ ∴34a b =⎧⎨=⎩ 或43a b =⎧⎨=⎩∴较小角的正弦值为355．∵一元二次方程（m-1）x-x+1=0有两个实数根αβ， ∴210(1)4(1)0m m -≠⎧⎨∆=---≥⎩ 解之得m ≤54且m ≠1，而α+β=11m -，αβ=11m -, 又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1∴11m -+11m -=m 解之得m 1=-1，m 2=2，经检验，m 1=-1，m 2=2都是原方程的根． ∵m ≤54， ∴m 2=2不合题意，舍去，∴m 的值为-1注：如果没有求出m 的取值范围，但在求出m 值后代入原方程检验，舍去m=2也正确．6．解：（1）由题意知，k ≠0，且△=（k+1）2-4k ·4k >0 ∴k>-12且k ≠0 （2）不存在，设方程的两根是x 1，x 2， ∵x 1x 2=14≠0 ∴ 11x +21x =1212x x x x +=0 ∴x 1+x 2=0∵x 1+x 2=-1k k+ ∴k+1=0 k=-1 由（1）知k<-12，所以满足条件的实数k 不存在．。

届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案

届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－D.3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )A ．－3B ．3C ．－6D ．66.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．277.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2＋3x ＋2＝0C ．x 2－3x －2＝0D ．x 2－3x ＋2＝08.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )A ．－10B ．4C ．－4D ．109.菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )A ．－3B ．5C ．5或－3D ．－5或310.如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．11.一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．12.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.13.已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．14.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．15.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．16.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．18.关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋2x ＋1＝0;(2)3x 2－2x －1＝0；(3)2x 2＋3＝7x 2＋x;(4)5x －5＝6x 2－4.20.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．答案： 1---9DDDAADCCA 10.－a/bc/a 11.－4 12.2016 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x 2－10x ＋9＝017.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝.∵m ＝＜2，∴m 的值为18.解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵＋＝0，∴＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19.解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝－ (3)x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－ (4)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝20.解：(1)由Δ≥0得k≤ (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321.解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－＋4＝，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－＋4＝的解．∴a＝24(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－＋＋1＝为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。

中考数学专题复习训练16根与系数的关系试题

卜人入州八九几市潮王学校第16章根与系数的关系一．填空题：1．方程0922=+-mx x有两个相等的实数根，那么________=m ； 2．设41≥m ，且2≠m ，方程0)12()2(2=+---m x m x m 的根的情况是 3．假设方程122-=+m x x没有实数根，那么关于x 的方程0122=-++m mx x 的根的情况是； 4．假设方程032=-+k x x 没有实数根，那么k 的最大整数值是；5．假设1x 、2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝；6．1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x xa 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，那么21x x ⋅＝；7．一元二次方程0132=--x x的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ， 8．一元二次方程032=--a ax x 的两根之和为12-a ，那么两根之积为_________；9．假设1x ，2x 是方程0652=+-x x的两个根，那么21x x ⋅＝； 10．假设n m ,是方程0120042=-+x x的两个实数根，那么mn mn n m -+22的值是；二．选择题： 11．以下方程中有两个相等实数根的是〔〕A 035422=++x xB x x 212=+C 1)1(2-=-xD 1452=+x x12．当24b c>时，方程02=+-c bx x 的根的情况时〔〕 A 有两个不等实根B 有两个相等实根C 没有实根D 不能确定有无实根13．假设关于x 的一元二次方程0)21()2(2=+-+-a x a xa 有实根，那么〔〕 A 41-≤a B 41-≥a C 41-≥a 且2≠a D 2>a14．假设a x x ++3142为完全平方式，那么a 的值是〔〕 A 61B 121C 361D 1441 15．假设关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围〔〕 A k ＜1B k ≠0C k ＜1且k ≠0D k ＞116．对于一元二次方程01532=-+y y ，以下说法正确的选项是〔〕A 方程无实数根B 方程有两个相等的实数根C 方程有两个不相等的实数根D 方程的根无法确定17．方程x x 220-+=根的情况是〔〕A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根18．以下一元二次方程中，没有实数根的是〔〕A 0122=-+x xB 02222=++x xC 0122=++x xD 022=++-x x19．假设1x ，2x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，那么2111x x +的值是〔〕 A2B1C ―1D320．假设方程022=++m x x 有两个同号的实数根，那么m 的取值范围是〔〕A m ＜1B0＜m ≤1C0≤m ＜1D m ＞021．一元二次方程0122=-+x x 的根的情况是〔〕A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 不能确定22．一元二次方程0252=+-x x的两个根为1x ，2x ，那么+1x 2x 等于〔〕A.–2B.2C.–5D.5 23．设21,x x 是方程05822=+-x x 的两个根，那么)1)(1(1221x x x x ++的值是〔〕 A 1049 B 529 C 311-D 以上都不对 24．假设一元二次方程02=++c bx ax 的两根互为倒数，那么〔〕A.b a =B.bc a =C.a c =D.b c = 25．方程04322=--x x的两根是21,x x ，那么21x x +的值是〔〕 A 23B 23-C3D 3- 26．假设βα,是方程6522=-x x的两个实数根，那么〔〕 A 6,5-=⋅=+βαβαB 6,5-=⋅-=+βαβαC 3,25-=⋅-=+βαβαD 3,25-=⋅=+βαβα 27．21,x x 是方程01322=-+x x 的两个根，那么2111x x +等于〔〕A 3B 3-C 31D 31- 28一元二次方程的两个根的和为32-，两个根的积是2，那么这一元二次方程是〔〕 A 04432=--y yB 04432=-+y yC 06232=++y yD 02632=--y y29．假设方程0122=+-+m mx x的一根3-=α，那么另一根β或者m 的可能值分别是〔〕 A 2,1==m βB 5,8-==m βC 2,1==m β或者5,8-==m βD 以上答案都不对30．关于x 的一元二次方程01)4(22=++-+k x k x的两个根互为相反数，那么k 值是〔〕 A 1-B 2±C 2D 2-三．解答题：31．当m 为何值时,方程0415)32(22=-+-+m x m x①有两个相等的实数根②有两个不相等的实数根③假设方程有两个不相等的实数根,且m 为正整数时,求此时方程的解. 32．阅读下题及解题过程，然后完成题后的要求；关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x ，是否存在正整数m ，使方程的两个实数根的平方和等于224？假设存在，恳求出满足条件的m 的值，假设不存在，请说明理由。

一元二次方程的根的判别式和根与系数关系复习

一元二次方程的根的判别式和根与系数关系一、知识要点：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-；2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数关系：（1）设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,则有1212,b c x x x x a a+=-=；（2）以12,x x 为两根的一元二次方程是：21212()0x x x x x x -++=。

3、公式变形：2221212122212121212121212121212(1)()2(2)()()4(3)(1)(1)()111(4)(5)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+--=+- ++=++++ += -==121212121210000010x x x x x x x x x x x ⇔∆>⇔∆⇔∆<⇔∆≥∆≥⎧⎪⇔+=⎨⎪≤⎩∆≥⎧⇔⎨⎩∆≥⎧⎪⇔+>⎨⎪>⎩∆≥⇔+4、（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根＝0；（3）方程没有实根0；（4）方程有两个实根0（5）方程有两个互为相反数的实根（6）方程有两个互为倒数的实根＝0 （7）方程有两个正根0 （8）方程有两个负根2121212121200000x x x x x x x x x x x ⎧⎪<⎨⎪>⎩∆>⎧⎪⇔+>⎨⎪<⎩∆>⎧⎪⇔+<⎨⎪<⎩0 （9）方程有两个异号根，且正根的绝对值比较大0 （10）方程有两个异号根，且负根的绝对值比较大二、例题与练习例1、解关于x 的方程：2(1)20m x mx m --+=例2、已知关于x 的一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不等实根，且这两根又不互为相反数，求m 的取值范围。

根与系数的关系

根与系数的关系（专题复习）1.已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。

（1）求m 的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m 的取值范围，若不能，请说明理由。

2．已知关于x 的一元二次方程()011222=++-x k x k 有两个不相等的实数根 (1) 求k 的取值范围(2)若抛物线 ()11222++-=x k x k y 与x 轴交于A 、B 两点，且满足511=+OBOA ，求k 的值．3、已知关于x 的一元二次方程()0322=---m x m x（1）证明：方程总有两个不相等的实数根（2）设这个方程的两个实数根为12,x x ，且221-=x x ，求m 的值及方程的根4、已知关于x 的函数()2212++--=k kx x k y 的图像与x 轴有交点 (1) 求k 的取值范围(2)若12,x x 是函数图像与x 轴两个交点的横坐标，且满足()212214221x x k kx x k =+++-○1求k 的值 ○2当2+≤≤k x k 时，请结合函数图像确定y 的最大值和最小值5、已知关于x 的一元二次方程012=-+-p x x 有两个实数根12,x x （1）求p 的取值范围（2） ()[]()[]912122211=-+-+x x x x ，求p 的值6、已知关于x 的方程()01222=+--k x k x 有两个实数根12,x x(1) 求k 的取值范围（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值7、已知关于x 的方程()021222=+++-a x a x 有两个实数根12,x x （1）求a 的取值范围（2）若()()81121=++x x ，求a 的值8、已知关于x 的方程()0343222=--+--k k x k x （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围（2）若这个方程有一个根为-1，求k 的值（3）若以()0343222=--+--k k x k x 的两个实数根为横坐标、纵坐标的点恰好在反比例函数xmy =的图像上，求满足条件的m 的最小值9、已知关于x 的一元二次方程()01222=+--m x m x（1）当m 取什么值时，原方程有两个实数根（2）若上述方程的两个实数根12,x x 满足421=+x x ，求m 的值10.已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长。

中学数学复习：第1-5讲根与系数的关系问题

专题05 根与系数的关系问题考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：()200.ax bx c a ++=≠2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根；4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x 则1212,.bcx x x x a a +=-=应用举例:招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】（2017湖南省怀化）若12x x ，是一元二次方程2230x x -=- 的两个根，则12·x x 的值是() A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－3【例2】设一元二次方程2310x x --=的两根分别是1x ，2x ，则21222(3)x x x x +-= ．招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】（2017四川省绵阳市）关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（）A ．﹣8B ．8C ．16D ．﹣16【例4】关于x 的一元二次方程22210x x m +-+=的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是．【例5】关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．2或0招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】（2017四川省泸州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=的两实数根，则(2)(2)m n ++的最小值是（）A ．7B ．11C ．12D ．16方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x 则1212,.b c x x x x a a +=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1、（2017四川省眉山市）已知一元二次方程2320x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则12(1)(1)x x --的值是．2. （2017山东省淄博市）已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为． 3. 设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为． 4. 设m 、n 是一元二次方程2270x x +-=的两个根，则23m m n ++= ．5. 若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是（）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．166.（2017四川省南充市）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．7.（2017湖北省鄂州市）关于x 的方程032)12(22=+-+--k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x ，存不存在这样的实数k ，使得5||||21=-x x ？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由．8. （2017湖北省荆州市）已知关于x 的一元二次方程2(5)10x k x k +-+-= ，其中k 为常数．（1）求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限，求k 的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．9.（2017黑龙江省绥化市）已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．10. （2017湖北省荆州市）规定：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++=是倍根方程，则a =±3；③若关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程，则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m ，n ）在反比例函数4y x =的图象上，则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程．上述结论中正确的有（）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④。