关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的理论分析和数学证明

关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的

理论分析和数学证明

2004年第2期

总第282期

企业经济

ENTERPRISEEC0N0MY

SerlalNO.282

关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的

理论分析和数学证明

唐玉兰-,唐群,杨圣宏

(1.深圳广播电视大学,广东深圳518000;2.江西科技师范学院,江西南昌330013;3.深圳职业技术学院,广东深卸l5180oo)

[摘要】《微观经济学》中通常用"数学坐标曲线"来研究长期成本与短期成本曲线的关系.本文根据市场

经济的发展需求,在经济分析确定产量和长期总成本时,对企业短期生产要素进行调整;为了达

到总成本取得最小值的目的,我们将在建立短期成本曲线与长期成本曲线数学模型的基础上,采

用多元复合函数求导取极值的方法,对短期成本曲线与长期成本曲线的关系作了深入探讨,并进

行了严格的数学证明.

[关键词】短期成本曲线;长期成本曲线;证明

[中图分类号】F406.72[文献标识码】A[文章编号】1006—5024(2004)02—0029—03

在《微观经济学》的理论研究中,阐述了长期成本与短期

成本关系的如下命题:

命题I:长期总成本曲线是短期总成本曲线簇的包络曲线;

命题Ⅱ:长期平均成本曲线是短期平均成本曲线簇的包

络曲线;

命题Ⅲ:长期平均成本曲线与某特定的短期平均成本曲

线的切点和长期边际成本曲线与对应的短期边际成本曲线的交点,有相同的横坐标(即产量相同).

由于在众多的经济学论着中,未对上述命题作出全面,

严格的数学证明,因此.对长期成本与短期成本关系的理论分析常出现不同的解释.为此,本文对此问题进行深入探讨, 并对上述命题进行数学证明.

一

,关于长期成本与短期成本关系的理论分析

在经济学中,成本(COST)是指生产者为使用生产要素而

支付的一切费用.一般的意义上讲,成本可分类如下表

短期成本长期成本

短期固定成本

短期总成本STC长期总成本LTC

短期可变成本

短期平均固定成本

短期平均成本SAT长期平均成本LAC

短期平均可变成本

短期边际成本SMC长期边际成本LMC

经济学中在研究成本时,短期是指厂商不能根据所要达

到的产量来调整其全部生产要素的时期.也就是说,企业在生产投入中一部分生产要素,如:工人的工作,原料,燃料和

辅助材料等可变成本,会随着生产数量的多少而改变,而投入的机器,厂房,设备和管理人员的工资等生产要素为固定成本,在一定的时期不随产量的变化而改变.短期总成本是固定成本与可变成本之和.而长期是指厂商根据所要达到的产量来调整全部生产要素的时期.因此,长期中一切生产要

素都是可以凋整的.

进行经济理论分析时,短期内,因不可调整的生产要素

为固定成本,所研究的问题是怎样确定产量,而使短期平均

成本最低.在长期,因为所有生产要素都可进行调整,研究的

问题是,怎样根据市场需求确定的产量来凋整在短期内不可

凋整的生产要素,而使总成本最低?从这个意义上讲,厂商在

各种产量水平上的最低总成本即为长期总成本.并在此基础

上研究长期平均成本与长期边际成本的变化规律,特别是他

们和短期平均成本与短期边际成本的关系.

经济理论中,常将成本的变动规律用横坐标表示产量,

纵坐标表示成本的成本曲线,这样,长期成本与短期成本的

关系就可表示为长期成本曲线与短期成本曲线关系的命题

I,Ⅱ.Ⅲ.如图:(1)(2)(3),图中曲线LTC,LAC,LMC分别表

示长期总成本曲线,长期平均成本曲线,长期边际成本曲线;

曲线STC,SAC,sMC分别表示短期总成本曲线,短期平均成

[收稿日期】2003—11—18

f作者简介】唐玉兰(1956一),女,江苏建湖人,深圳广播电视大学副教授,主要从事经济学研究;唐群(1960一),女,江西丰城人.江西科技师范

学院副教授,研究方向为经济学和微观经济学;杨圣宏(1941一),男.江西南昌人,深圳职业技术学院教授,主要从事数学研究.

一

29—

企业经济2004年第2期总第282期

本曲线,短期边际成本曲线.

TC

图(2)长期平均成本LAC

图(3)长期边际成本曲线LMC

二,关于长期成本曲线与短期成本曲线关系数学证明

(一)命题I的证明

短期总成本c是由短期内不能凋整的生产要素(如厂

房,设备,管理人员等)的成本F,和随产量Q变化的生产要素(如原材料,人工等)成本组成,所以,短期总成本可记为

C=C(Q,Fo)1)

式中F.是F在短期内取的固定值.当Q变化时,(1)式表

示短期总成本c随产量Q变化的短期总成本曲线.

在长期中,一切生产要素都是可以调整的,总成本中除

了短期内随产量Q变化的生产要素的成本外,在短期内不能调整的生产要素成本F也可调整为不同的值,此时,总成本可记为C=C(Q,F)2)

式中F是可调整的变数,(2)式中F每凋整为一个固定

值F.时,即得到(1)式确定的一条短期总成本曲,随着F的调整值变化,(2)式表示一簇短期总成本曲线.

问题是在长期中,生产厂商怎样随着由市场需求确定的

产量Q,来调整短期内不能凋整的生产要素的成本F值,而使总成本C最低?

设生产厂商根据市场变化决定产量Q取定值Qo,此时总

成本C随F的调整而变化,得到C=C(Q.,F)3)

为使总成本C取最小值,将(3)式对F求导数,并令其为

零,得到

dF=dQo?dF+=0一'aF一

Qo为定值.:0

:04)

一

3O一

设满足(4)的解为:F=F(Qo)5)

即产量为Q.时,生产厂商将F的值调整为F(Qo)时,总

成本最小,最小值为C=C(Qo,F(Qo))