高考数学复习考点48 基本不等式(讲解)(解析版)
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因此 ＋ ＝(b＋c)( ＋ )＝ ＋ ＋5.
因为b，c>0，所以 ＋ ≥2 ＝4.
当且仅当 ＝ 时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝ ，
c＝ 时， ＋ 取得最小值9.
4．若直线 过△ 的重心 ，且 ， ，其中 ， ，则 的最小值是。
【答案】
【解析】如图：连接 并延长交 于 点，所以 点是 中点
【答案】3
【解析】 ，则 ， ，当 时取“=”．
4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 ，则2a＋b＋c的最小值为。
【答案】2 －2
【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 ，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－2 .
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤ (当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
【解析】∵ 、 为正实数， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ ，要使 恒成立，
∵ 为正实数，∴ .
2．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是。
【答案】
【解析】由 得： ，即
， ，
（当且仅当 ，即 时取等号）
（当且仅当 时取等号） 本题正确选项：
考法六：综合运用
1．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等比数列，则角 的取值范围为。
3． 的最大值为。
【答案】
【解析】因为 ，所以
由均值不等式可得：
当且仅当 ，即 时，等号成立，
考法二：换1型
1．已知实数 ，则 的最小值为。
【答案】
【解析】
2．已知 ,则 的最小值是。
【答案】4
【解析】 （当且仅当 ，即 时取等号） 的最小值为
3．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ，要使 恒成立，所以 ，解得 .故答案为： ．
考法三：配凑型
1．已知 ，则 的最小值为。
【答案】5
【解析】由题意，因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为5．
2．已知 ，且 ，则 的最小值为。
【答案】14
【解析】
，当且仅当 时等号成立，取得最小值14
3．函数 的最小值为。
考点48基本不等式(讲解)
【思维导图】
【常见考法】
考法一：直接型
1．若 ，则 取最大值时 的值是。
【答案】
【解析】
， ， 由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
取最大值时 的值是 ．
2．已知正数a、b满足 ，则ab的最大值为。
【答案】
【解析】因为正数a、b满足 ，
故可得 ，
当且仅当 时，即 时取得最大值.
,又 ，
,又 ，
,因为 三点wk.baidu.com线
，
当且仅当 即 时，等号成立.
∴2a＋b＋c≥2 ＝2( －1)＝2 －2.
考法四：消元型
1．若正数 满足 ，则 的最小值是。
【答案】4
【解析】因为正数 满足 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
2．若正数 满足 ，则 的最小值为。
【答案】4
【解析】方法一：由 ，可得 ，
所以 .
由 为正数且 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
【答案】
【解析】 在 中， 、 、 依次成等比数列，
，
利用正弦定理化简得 ，
由余弦定理得 （当且仅当 时取等号），因为 ,则 的范围为 ， ，
2．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 、 使得 ，则 的最小值为。
【答案】
【解析】设正项等比数列 的公比为 ， 满足： ， ，解得 ．
存在两项 、 使得 ， ， ．
， 的取值分别为 ， ， ， ， ．则 的最小值为 ．
3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则 ＋ 的最小值是。
【答案】9
【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
方法二：由 ，可得 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
3．若实数 满足 ，则 的最大值为、
【答案】
【解析】由实数 满足 ，，设 ，解得 ，
则 ，当且仅当 ，及 时等号成立，所以 的最大值为
考法五：求参数
1．设 、 、 都是正实数，且 、 满足 ，则使 恒成立的 的范围是。
【答案】(0，16]
因为b，c>0，所以 ＋ ≥2 ＝4.
当且仅当 ＝ 时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝ ，
c＝ 时， ＋ 取得最小值9.
4．若直线 过△ 的重心 ，且 ， ，其中 ， ，则 的最小值是。
【答案】
【解析】如图：连接 并延长交 于 点，所以 点是 中点
【答案】3
【解析】 ，则 ， ，当 时取“=”．
4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 ，则2a＋b＋c的最小值为。
【答案】2 －2
【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 ，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－2 .
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤ (当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
【解析】∵ 、 为正实数， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ ，要使 恒成立，
∵ 为正实数，∴ .
2．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是。
【答案】
【解析】由 得： ，即
， ，
（当且仅当 ，即 时取等号）
（当且仅当 时取等号） 本题正确选项：
考法六：综合运用
1．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等比数列，则角 的取值范围为。
3． 的最大值为。
【答案】
【解析】因为 ，所以
由均值不等式可得：
当且仅当 ，即 时，等号成立，
考法二：换1型
1．已知实数 ，则 的最小值为。
【答案】
【解析】
2．已知 ,则 的最小值是。
【答案】4
【解析】 （当且仅当 ，即 时取等号） 的最小值为
3．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ，要使 恒成立，所以 ，解得 .故答案为： ．
考法三：配凑型
1．已知 ，则 的最小值为。
【答案】5
【解析】由题意，因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为5．
2．已知 ，且 ，则 的最小值为。
【答案】14
【解析】
，当且仅当 时等号成立，取得最小值14
3．函数 的最小值为。
考点48基本不等式(讲解)
【思维导图】
【常见考法】
考法一：直接型
1．若 ，则 取最大值时 的值是。
【答案】
【解析】
， ， 由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
取最大值时 的值是 ．
2．已知正数a、b满足 ，则ab的最大值为。
【答案】
【解析】因为正数a、b满足 ，
故可得 ，
当且仅当 时，即 时取得最大值.
,又 ，
,又 ，
,因为 三点wk.baidu.com线
，
当且仅当 即 时，等号成立.
∴2a＋b＋c≥2 ＝2( －1)＝2 －2.
考法四：消元型
1．若正数 满足 ，则 的最小值是。
【答案】4
【解析】因为正数 满足 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
2．若正数 满足 ，则 的最小值为。
【答案】4
【解析】方法一：由 ，可得 ，
所以 .
由 为正数且 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
【答案】
【解析】 在 中， 、 、 依次成等比数列，
，
利用正弦定理化简得 ，
由余弦定理得 （当且仅当 时取等号），因为 ,则 的范围为 ， ，
2．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 、 使得 ，则 的最小值为。
【答案】
【解析】设正项等比数列 的公比为 ， 满足： ， ，解得 ．
存在两项 、 使得 ， ， ．
， 的取值分别为 ， ， ， ， ．则 的最小值为 ．
3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则 ＋ 的最小值是。
【答案】9
【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
方法二：由 ，可得 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
3．若实数 满足 ，则 的最大值为、
【答案】
【解析】由实数 满足 ，，设 ，解得 ，
则 ，当且仅当 ，及 时等号成立，所以 的最大值为
考法五：求参数
1．设 、 、 都是正实数，且 、 满足 ，则使 恒成立的 的范围是。
【答案】(0，16]