重力势能和机械能守恒定律汇总

“重力势能和机械能守恒定律”的典型例题

【例1】如图所示，桌面距地面0.8m，一物

体质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上．

（1）以地面为零势能位置，计算物体具有

的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程

中，势能减少多少？

（2）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少？

【分析】根据物体相对零势能位置的高度，直接应用公式计算即得．

【解】（1）以地面为零势能位置，物体的

高度h1=1.2m，因而物体的重力势能：

Ep1=mgh1=2×9．8×1．2J=23．52J

物体落至桌面时重力势能：

Ep2=mgh2=2×9．8×0．8J=15．68J

物体

重力势能的减少量：

△Ep=Ep1-Ep2=23．52J-15．68J=7．84J

而物体的重力势能：

物体落至桌面时，重力势能的减少量

【说明】通过上面的计算，可以看出，物体的重力势能的大小是相对的，其数值与零势能位置的选择有．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无关，其变化值是与重力对物体做功的多少有关．当物体从支架落到桌面时重力做功：

【例2】质量为2kg的物体自高为100m处以5m／s的速度竖直落下，不计空气阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零位置，此时物体的机械能为多少？（g取10m／s2）

【分析】物体下落时，只受重力作用，其加速度a=g，由运动学公式算出2s末的速度和2s内下落高度，即可由定义式算出动能和势能．

【解】物体下落至2s末时的速度为：

2s内物体增加的动能：

2s内下落的高度为：

重力势能的减少量：

此时物体离地面的高度为：

h′=H－h=（100－30）m=70m

以地面为零势能位置时，物体的机械能为：

【说明】抛出后，由于物体只受重力作用，整个运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒．刚抛出时，物体的机械能为：

在下落过程中，重力势能的减少量恰等于动能的增加量，即

△Ek=△Ep

【例3】质量为1.0kg的物体，自空中落下，以8.0m／s2的加速度经A点到达B 点，A、B相距0.75m．若物体在B点时的动能为8.0J，那么通过AB的过程中物体动能的增加量为多少？物体克服阻力做多少功？（取g=10m／s2）

【分析】由于下落的加速度a＜g，在下落时一定受到阻力，根据牛顿第二定律，可算出阻力，于是即可得克服阻力的功．已知物体在B点的动能，可算出在B 点的速度，结合运动学公式算出A点的速度后，即可算出动能的增量．

【解】设下落中物体受到的阻力为f，由

mg－f=ma

得f=mg-ma=1.0(10-8)N=2N

物体克服阻力做功：

物体从A落到B的过程中，动能的增加量为：

△Ep=EkB－EkA=8.0J－2.0J=6.0J

【说明】物体从A落到B的过程中，势能减少：

△Ep=mgs=1×10×0.75J=7.5J

它大于物体动能的增加，可见其机械能不守恒．这是由于存在阻力的缘故．势能的减少与动能增加量之差恰等于物体克服阻力做的功，即

△Ep－△Ek=Wf

这也就是从A到B的过程中所减少的机械能．

【例4】如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r《R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，（1）若要小球能从C端出来，初速v0多大？（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？

【分析】小球在管内运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，要求小球能从C 端射出，小球运动到C点的速度vc＞0．根据机械能守恒定律即可算出初速v0．小球从C端射出时可能有三种典型情况：①刚好对管壁无压力；②对下管壁有压力；③对上管壁有压力．同理由机械能守恒可确定需满足的条件．

【解】（1）小球从A端射入后，如果刚好能到达管顶，则vc=0，由机械能守恒

因此，要求小球能从C端出来，必须使vc＞0，所以入射速度应满足条件

（2）小球从C端出来的瞬间，可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时需满足条件

联立得入射速度

②对下管壁有压力，此时相应的入射速度为

③对上管壁有压力，相应的入射速度为

【例5】如图所示，劲度系数k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2栓接，下端压在桌面（不栓接），整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了______，物块1的重力势能增加了________．

【分析】设原来两弹簧压缩量分别为x1和x2，由物体的力平衡知

当施力将物块1缓慢上提至下面弹簧刚脱离桌面时，表示下面的弹簧已恢复原长，物块2升高的高度h2=x2，所以在此过程中，物块2的重力势能增加

此时，上面的弹簧受到拉伸，设其伸长量为x'1，由物块2的力平衡条件知，

则物块1在这过程中升高的高度为

所以，物块1的重力势能增加

【例6】关于机械能是否守恒的叙述，正确的是[ ]

A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒

B．作匀变速运动的物体机械能可能守恒

C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒

【分析】机械能守恒的条件是除重力对物体做功外，没有其它外力对物体做功，或其它外力对物体做功的代数和等于零．

当物体作匀速直线运动时，除重力对物体做功外，可能还有其他外力做功．如降落伞在空中匀速下降时，既有重力做功，又有阻力做功，机械能不守恒．

物体作匀变速运动时，可能只有重力对物体做功，如自由落体运动，此时物体的机械能守恒．

因物体所受的外力，指的是包括重力在内的所有外力，当外力对物体做功为零时，可能是处于有介质阻力的状态，如匀速下降的降落伞，所以机械能不一定守恒．【答】B，D．

【例7】某人以v0=4m／s的初速度，抛出一个质量为m的小球，测得小球落地时的速度大小为8m／s，则小球刚抛出时离开地面的高度为多少？取g=10m／

s2．空气阻力不计．

【分析】小球从抛出到落地过程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的机械能守恒即可算出离地高度．

【解答】设小球抛出时的高度为h，落地速度为vt，取抛出和落地为始、末两状态，以地面为零势能位置，由机械能守恒定律得：