高等代数(第三版)10.3双线性函数

第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定理６ 设f ( , )为n维线性空间Ｖ上 的反对称双线性函数，则存在V 的一组基1，－１ ， ， r , -r ,1 , , s 使 i 1, , r f ( i , i ) 1 i j 0 f ( i , j ) 0 f ( , ) 0 V , k 1, , s k
双线性函数的表达式
定理 设V是P上一个n维线性空间， 则V上双线性函数可表示为
f ( X ,Y ) X AY aij xi y j
i 1 j 1 n n
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义4 设f ( , )为数域P上n维线性空间 Ｖ上的一个双线性函数，1， 2， ， n 是 V 的一组基，则矩阵 f (1 , n ) f (1 , 1 ) f (1 , 2 ) f ( , ) f ( , ) f ( , ) 2 1 2 2 2 n A f ( n , n ) f ( n , 1 ) f ( n , 2 ) 叫做f ( , )在1， 2， ， n下的度量矩阵
小 结
双线性函数的定义及性质 对称双线性函数的定义及性质
作业：P421：6，7，10，11
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
定理5 设f ( , )为数域P上n维线性空间 Ｖ上的一个对称双线性函数，则存在V 的一组基1， 2， ， n使f ( , )在这组 基下的度量矩阵为对角阵.
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论１ 设V为复数域上n维线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论 双线性函数f ( , )是非退化 的充分必要条件为其度量矩阵Ａ为 非退化矩阵
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
二、对称双线性函数
定义６ 设f ( , )为线性空间Ｖ上的 一个双线性函数，如果对Ｖ中任意 两个向量， 都有f ( , )＝f ( ， ) 则称f ( , )为对称双线性函数． 如果对Ｖ中任意两个向量， 都有 f ( , )＝－f ( ， ) 则称f ( , )为反对称双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论1: 在给定基下,V上全体双线性函数 与P上的全体n级矩阵之间有一个双射. 结论2：同一个双线性函数在不同基下 的度量矩阵是合同的
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义５ 设f ( , )为线性空间Ｖ上的 一个双线性函数，如果f ( , )＝０， 对任意的 Ｖ，可推出＝０， f 就叫做非退化的
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1
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xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
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是V上一个双线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例3、设 P 是数域P上n维列向量构成的
n nn X , Y P , A P 线性空间，
n
令 f ( X , Y ) X AY
则 f ( X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函 数
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论1 Ｖ上的对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， ，ｎ,使
f ( i , i ) 0 i 1, , n f ( , ) 0 i j i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义8 设V为数域Ｐ上线性空间,在Ｖ 上定义了一个非退化双线性函数，则 Ｖ称为一个双线性度量空间． 当f 是非退化对称双线性函数时，Ｖ称 为Ｐ上的正交空间；当Ｖ是ｎ维实线性 空间时，f 是非退化对称双线性函数时， Ｖ称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称 双线性函数时，Ｖ称为辛空间．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
一、双线性函数的定义及性质 二、对称双线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
一、双线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个二元函数，如果f满足
(1) f (，k11 k2 2 ) k1 f ( , 1 ) k2 f ( , 2 ) (2) f (k11 k2 2 , ) k1 f (1, ) k2 f ( 2 , )