高等代数(第三版)10.3双线性函数

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白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数

i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn

B

y2

,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
第十章双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数二、度量矩阵三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数
定义设V 是数域 P上的n 维线性空间，映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论： V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数； (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

高等代数第11章双线性函数与辛空间

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§1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

高等代数(第三版)10.1线性函数

第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数对偶空间二、双线性函数辛空间
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节线性函数
线性函数的定义线性函数的性质结论
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、如果是1，2，，S

高等代数(北大版第三版)习题答案II

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

高等代数【北大版】10-4

f (α , β ) = f ( β ,α )
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数命题上上双线性函数是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意的任意一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质定理6 维线性空间V上反对称定理设 f (α , β ) 为 n 维线性空间上反对称双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基则存在的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题双线性函数与辛空间)

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。

高等代数(第三版)10.2对偶空间

, gn
的过渡矩阵为 ( AT )1
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明：设A (aij )nn，设由f1 , f 2 , , f n到 g1 , g 2 , , g n的过渡矩阵为B (bij ) nn , 则 (1 ,2 , ,n ) (1 , 2 , , n ) A ( g1 , g 2 , , g n ) ( f1 , f 2 , , f n ) B
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
小结
线性函数运算的定义对偶空间的定义及性质
作业：P420：3，4
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
, f n线性表示，
, f 是V *的一组基, divV * n.
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定义2
设n维线性空间V的基为1 , 2 , 由上面定理所确定V 的基f1 , f 2 , 称为1 , 2 , , n的对偶基.
*
, n， , fn
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
n
kj
f k (i )
b
k 1 n
n
kj
f k ( ali l )
l 1
n
b ( a
k 1
li
f k ( l ))
b
k 1
kj
aki , n)
1 又g j (i ) 0 从而, b1 j a1i b2 j a2 i
j i ji
（i, j 1, 2,
*
第十章双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理2
n维线性空间V的对偶空间V 的维数也是n维的.

第十章双线性函数

第十章双线性函数§10.1 线性函数1．设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足:(1)()()();(2)()(),f f f f k kf αβαβαα+=+=式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数.2．简单性质:设f 是V 上的线性函数（1） (0)0,()().f f f αα=−=−（2）11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L例1 对数域F 上的任意方阵()ijn nA a ×=, 我们已定义1122()nn tr A a a a =+++L为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :,()n n tr A tr A ×→→F F满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.n n n ntr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+∀∈=∀∈∈ F F F因此tr 是n n×F的线性函数.例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(),()[],a L f x f a f x F x =∈即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数.如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间，取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α:1122n n x x x αεεε=+++L都有1122()()()()n n f x f x f x f αεεε=+++L因此, ()f α由12(),(),,()n f f f εεεL 的值唯一确定. 反之, 任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 用下式定义V 上一个函数f :11()n ni ii ii i f x a x ε===∑∑这是一个线性函数, 而且(),1,2,,i i f a i n ε==L我们有:3. 设V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL , 对于任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 存在唯一的V 上线性函数f 使(),1,2,,i i f a i n ε==L .§10.2 对偶空间1．对偶空间定义设V 是数域F 上的n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为*V .*V 上定义加法与数乘：()()()(),f g f g V αααα+=+∈.()()(()),.kf k f V ααα=∈则,f g kf +都是线性函数, 故*V 成为F 上的线性空间. *V 称为V 的对偶空间3．对偶基取定V 的一组基12,,,n εεεL ，定义V 上的n 个线性函数(1,2,,)i f i n =L 如下: ()i j ij f εδ= 则12,,,n f f f L 是*V 中线性无关的向量组, 构成*V 的一组基. 我们称之为12,,,n εεεL 的对偶基.4．对偶空间的维数*dim dim V V n ==.5．对偶基之间的关系设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基, 它们的对偶基分别是12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L . 再设由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A , 那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()T A −.6．V 到**V 的同构（1）取定V 中一个向量x , 定义*V 的一个函数**x 如下: ***()(),x f f x f V =∈.（2）函数**x 具有下列性质 z****x V ∈z 若**()0x f =对一切x V ∈成立, 则0f =;z 若**()0x f =对一切*f V ∈成立的充分必要条件是0x =. （3）同构V 是一个线性空间, **V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 **x x → 是一个同构映射.如果把V 与**V 在这个同构下等同起来, 则V 可以看成*V 的对偶空间. 这样V 与**V 具有同等的地位, 它们互为对偶.§10．3 双线性函数一、双线性函数的定义与矩阵1．定义设V 是数域F 上一个线性空间, (,)f αβ是V 上一个二元函数, 即将V 中任意两个向量,αβ对应于F 中一个数(,)f αβ, 并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)f k k k f k f f k k k f k f αββαβαβααβαβαβ+=++=+这里121212,,,,,;,V k k αααβββ∈∈F . 我们称(,)f αβ是V 上一个双线性函数.注：将V 中一个变元固定时的映射 :,(,)f V f αβαβ→a F 和:,(,)V αϕβϕβα→a F都是V 上的线性函数, 就是说,f ααϕ都是V 的对偶空间*V 中的向量.2．定理（双线性函数的形式）设在数域F 上的线性空间V 上定义了双线性函数f ,12,,,n εεεL 是V 的任意一组基.则任意,V αβ∈在f 下的值(,)f αβ可以由,αβ在该基下的坐标,X Y 按下列公式计算: (,)Tf X AY αβ=，其中()ij n n A a ×=由(,)ij i j a f εε=组成, 称为双线性函数f 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵.3．简单性质设,f g 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵分别是,A B , 则（1）f g +在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是A B +；（2）kf 在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是kA 。

§10.3 双线性函数

§10.3 双线性函数
§10.3 双线性函数
一,双线性函数二,度量矩阵三,非退化双线性函数
第十章双线性函数
一,双线性函数定义1 设V是数域F上的一个线性空间,f (α , β ) 是V上一个二元函数,即对 α , β ∈ V , f 确定F中唯一的数 f (α , β ) 与之对应. 若对 α , α 1 , α 2 , β , β 1 , β 2 ∈ V , k1 , k2 ∈ F , f (α , β ) 满足以下两点: (1) f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ); (2) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β ) . 则称 f (α , β ) 为V上的一个双线性函数. 由定义知:双线性函数是这样一个二元函数 f (α , β ) :对每个变元,它都是线性函数.
f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = f1 (α ) f 2 ( k1 β 1 + k2 β 2 )
= f1 (α )[k1 f 2 ( β 1 ) + k2 f 2 ( β )] = k1 f1 (α ) f 2 ( β 1 ) + k2 f1 (α ) f 2 ( β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = f1 ( k1α 1 + k2α 2 ) f 2 ( β ) = [ k1 f1 (α 1 ) + k2 f1 (α 2 )] f 2 ( β )= k1 f1 (α 1 ) f 2 ( β ) + k2 f1 (α 2 ) f 2 ( β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β )

双线性函数和二次型

双线性函数和二次型双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.1 双线性函数1.1 双线性函数的定义定义1.1.1[]()4061P V 是数域P 上一个线性空间，()βα,f 是上一个二元函数，即对V中任意两个向量α,β ,根据f 都唯一地对应于P 中一个数()βα,f .如果()βα,f 有下列性质：（1）()()()22112211,,,βαβαββαf k f k k k f +=+ （2）()()()βαβαβαα,,,22112211f k f k k k f +=+其中α,1α，2α，β，1β，2β是V 中任意向量，1k ，2k 是P 中任意数，则称()βα,f 为V 上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数()βα,f ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.1.2 度量矩阵取V 上的一组基n εεε,,,21Λ,设'X =(n x x x ,,,21Λ),Y '=(n y y y ,,21Λ),再设α= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21 = (n εεε,,,21Λ) X ,β= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21 = (n εεε,,,21Λ) Y,则 ()βα,f =f (∑=n i ii x 1ε,∑=nj jjy 1ε)=()j in i nj jiyx f ∑∑==11,εε (1)令ij a =()j i f εε,, i,j=1,2, …,n,A=111n n1nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M O M L , 则（1）就成为()Y X ,f ＝∑∑==n i nj j i ijy x a11（2）也可以表示为()Y X ,f =AY X ' （3）则（2）或（3）式实际上就是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数()βα,f 的一般形式.即()Y X ,f 是nP 上的一个双线性函数.定义1.2.1[]()4081P 设()βα,f 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做()βα,f 在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.经过上面的讨论，取定V 的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。

高等代数第十章双线性代数

一组基，f 是 V 上的一个线性函数，已知
f ( 1 3 ) 1, f ( 2 2 3 ) 1, f ( 1 2 ) 3
求 f ( x1 1 x2 2 x3 3 ). 解： f ( ) f ( ) 1 f ( ) 4 1 3 1 f ( 2 ) 2 f ( 3 ) 1 f ( 2 ) 7 f ( 3 ) 3 f ( 1 ) f ( 2 ) 3
n g( i ) f i ( ) i 1
g g ( i ) f i g ( 1 ) f1 g( 2 ) f 2 g( n ) f n
i 1 n
综合②与③即得
定理2 取定线性空间V的一组基 1 , 2 ,, n ,
b1 j a1i b2 j a2 i bnj ani 1, i j . 0, i j
所以， B ' A E .
1 1 1 B ' A B ( A )' ( A ') . 即或

因此有下述定理
定理3 设 1 , 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为线性
i 1,2,, n
则
pi (a j ) 1, 0,

ji ji
i 1,2,, n
且 p1 ( x ), p2 ( x ),, pn ( x ) 为 P[ x ]n 的一组基.
这是因为:
① p1 ( x ) p2 ( x ) pn ( x ) 线性无关. 事实上，若有
c1 p1 ( x ) c2 p2 ( x ) cn pn ( x ) 0.
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f ( k ) kf ( )

(完整版)第十章双线性函数

第十章双线性函数一内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

双线性函数2

欧氏空间与双线性函数基本概念1. 欧几里得空间设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1）（βα，）=（αβ，）；（2）（βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2. 酉空间设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数；（2）（βα,k ）= k(βα，);（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。

3. 向量的长度非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。

4. 向量的夹角非零向量βα，的夹角βα，规定为βα，=arccosβαβα），（, 0≤ βα，≤π5. 向量正交如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。

6. 基的度量矩阵，，21εε.n ε，⋅⋅⋅是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，⋅⋅⋅=2,1,,称()nn ij A α=为基n εεε，，，⋅⋅⋅21的度量矩阵。

7. 正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

8. 正交基、标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9. 正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T=。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果EA A T=。

10. 欧氏空间同构实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k =（3 ）；，（））（），（（βαβσασ=这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。

双线性函数

其中，∈V，则T2(V)是F上的向量空间．又设S2(V)是V的所有对称双线性函数的集合，2(V)是V的所有反对称双线性函数的集合，则S2(V)，2(V)都是T2(V)的子空间，且S2(V)∩2(V)=0．注意到f∈T2(V)，都有
f(,)= ，，∈V，
而且易见 ∈2(V).因此得到
命题10.2.1设V是数域F上的向量空间，T2(V)、S2(V)、2(V)如上所述，则
因此，给了f∈S2(V)，就唯一确定了一个二次函数q．反之，我们来证明
命题10.2.3设q是数域F上向量空间V的一个二次函数，则存在唯一的f∈S2(V)满足(10)．
证若q是F上向量空间V的一个二次函数，则由定义5，存在V上的一个对称双线性函数f，使得q() =f(,)，∈V．由此得出，对一切,β∈V，有
．(5)
(5)右端的表达式
(6)
称为x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型．(5)表明，任一双线性函数能够用坐标x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型表示．
请注意，双线性型指的是表达式(6)，而双线性函数指的是V×V到F的映射．
下面讨论V上的同一个双线性函数f在V的不同基下的度量矩阵之间的关系．
T2(V)=S2(V)2(V)．(9)
考虑有限维向量空间中对称(或反对称)双线性函数的度量矩阵，设f是F上n维向量空间V的一个双线性函数．在V中取一个基α1，…，αn，设f在这个基下的度量矩阵为A．
若f是对称的，则
f(αi,αj)=f(αj,αi)，i，j=1，…，n．
因此A是对称矩阵．反之，若A是对称矩阵，则对于V中任意两个向量α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，有
§2双线性函数
教学目的通过教学，使学生理解双线性函数的定义，基本掌握有限维向量空间中双线性函数的度量矩阵以及非退化双线性函数，对称、反对称双线性函数的概念．

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