最优控制动态规划1
最优控制-第七章-动态规划法
当∆t很小时，有
t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU
uU
tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t
t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU
(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
最优控制 公式
最优控制公式
最优控制是指在给定系统模型和性能指标的情况下，通过优化算法寻找系统输入的最优策略。
最优控制的数学描述可以使用最优控制公式来表示。
在最优控制中，通常使用动态系统的状态变量来描述系统的演化，并通过控制输入来影响系统的行为。
最优控制公式可以分为两类：动态规划和最优控制问题。
1.动态规划公式：动态规划是一种通过将问题划分为连续的子问题来求解最优控制策略的方法。
基于动态规划的最优控制公式为贝尔曼方程，它描述了最优值函数的递归关系。
贝尔曼方程通常写作：
$$V(x)=\min_u[g(x,u)+\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt+V'(x )f(x,u)]$$
其中，$V(x)$是最优值函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入，$g(x,u)$是即时收益函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$f(x,u)$是系统动态的微分方程。
动态规划方法基于最优子结构的原理，通过递归地求解子问题来求得全局最优解。
2.最优控制问题的公式：最优控制问题可以用最小化一个性能指标的函数来描述，通常称为性能指标函数或者代价函数。
$$J(u)=\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt$$
其中，$J(u)$是性能指标函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入。
最优控制问题的目标是找到合适的控制输入$u$，使得性能指标函数$J(u)$最小化。
求解最优控制问题的方法包括动态规划、最优化方法、解析解等。
综上所述，最优控制公式是通过数学描述来求解最优控制策略的公式。
根据具体问题的不同，可以使用动态规划公式或者最优控制问题的公式来描述最优控制问题。
动态规划在最优控制中的应用
动态规划在最优控制中的应用在控制工程领域，如何实现系统的最优控制一直是一个关键且具有挑战性的问题。
动态规划作为一种有效的数学工具，为解决这类问题提供了强大的支持。
要理解动态规划在最优控制中的应用，首先得明白什么是最优控制。
简单来说，最优控制就是在满足一定约束条件的情况下，找到一种控制策略，使得某个性能指标达到最优值。
比如说，在一个生产过程中，我们希望在保证质量的前提下，以最小的成本、最短的时间生产出最多的产品，这就需要找到最优的控制策略来调整生产线上的各种参数。
那么动态规划又是如何发挥作用的呢？动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来得到原问题的最优解。
举个简单的例子，假设我们要从 A 地前往 B 地，途中经过多个中间地点。
我们有多种交通方式可以选择，比如步行、骑车、坐公交或者打车。
每种交通方式都有不同的花费和所需时间。
我们的目标是在给定的预算和时间限制内，找到最快到达 B 地的路径。
这就可以看作一个最优控制问题。
使用动态规划来解决这个问题时，我们会从最后的目的地 B 开始倒推。
对于每个中间地点，我们会计算从该地点到 B 地的最优路径和成本。
然后逐步向前推进，直到起点 A。
通过这种方式，我们可以在每一步都做出最优的决策，最终得到从 A 地到 B 地的最优路径。
在实际的工程应用中，动态规划常用于解决诸如资源分配、生产调度、库存管理等问题。
以资源分配为例，假设有一定数量的资源需要分配给多个项目，每个项目对资源的需求不同，产生的效益也不同。
通过动态规划，我们可以确定如何分配资源，以使总效益达到最大。
在动态规划的求解过程中，一个重要的概念是贝尔曼最优性原理。
它指出，一个最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于第一个决策所产生的新状态，后续的决策必须构成针对新状态的最优策略。
这就像我们前面提到的旅行例子，无论我们在哪个中间地点，后续的决策都应该是基于当前位置到达目的地的最优选择。
动态规划原理与最优控制
J *[x(2)] min {x2 (2) u2 (2) J *[x(3)]} u(2) min {x2 (2) u2 (2) [x(2) u(2)]2} u(2)
上述最优化问题的解为
u *(2) 1 x(2) 2
最优目标函数为
J *[x(2)] x2 (2) [ 1 x(2)]2 [x(2) 1 x(2)]2 3 x2 (2)
min L[x(k),u(k),k] J *[x(k 1),k 1] u(k)
J *[x(N), N] min {L[x(N),u(N), N]} u(k) 23
例1
设离散系统的状态方程为
x(k 1) x(k) u(k) k 0,1,, N 1
已知 x(0) x0
5
2
5
5
27
K=0时
J *[x(0)] min {x2 (0) u2 (0) J *[x(1)]} u(0)
min
{x2 (0) u2 (0) 8 [x(0) u(0)]2}
u(0)
5
求解可得
u *(0) 8 x(0) 13
最优目标函数为
J *[x(0)] x2 (0) [ 8 x(0)]2 8 [x(0) 8 x(0)]2 21 x2 (0)
使目标泛函
N 1
J L[x(k), u(k), k] k 0
取极小值
17
动态规划的目的
使 J 最小
即 min J
将以 x( j)为初态的 N-j(=k) 级最优决策
N
J *[x(k), k)] min{ L[x( j), u( j), j]} jk
最优控制动态规划1
例6-1 设一阶离散系统的状态方程为
初始条件为x(0)，控制变量u不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使J达最小，为简便起见，设N＝2 解 设在u(0)、u(1)作用下，系统状态为x(0)、x(1)、x(2) 先考虑从x(1)到x(2)的情况，控制为u(1)
再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)
在多数实际问题中， 级决策的性能指标 取如下形式
是由某级状态和决策决定的性能函数，要求
寻找决策
使J取极小值 。
最优性原理可表示为
根据上式就可证明最优性原理的正确性。若以 为
初态时，余下的决策
不是最优的
，那么就存在另一决策序列
所决定
的指标值
，于是
这与
是极小值发生矛盾，所以余下的决策必须
是最优的。
能用计算机求数值解。对于线性二次问题，可以得到解
析解，而且求解结果与用极小值原理或变分法所得结果
相同。这时，哈密顿——雅可比——贝尔曼方程可归结 为黎卡提方程。在实际计算线性二次问题时，一般用直
接求解黎卡提方程来求最优控制。
例6-3 设系统状态方程为
初始状态
不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。 解
由于 因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故
解 由于
因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故 解得
引用以前使用过的哈密顿函数 则（6-25）可写成
（6-26） （6-27）
（6-28）
思考题
• HJB方程与极小值原理的区别和联系？
动态规划与极小值原理
哈密顿函数在最优控制上取极值的条件，故等同于
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
动态规划在最优控制问题中的应用
动态规划在最优控制问题中的应用在现代科学与工程领域中，最优控制问题是一个至关重要的研究方向，它旨在寻找在一定条件下能够使系统性能达到最优的控制策略。
而动态规划作为一种强大的数学工具，在解决最优控制问题方面发挥着关键作用。
动态规划的基本思想可以用一个简单的例子来理解。
假设你要从 A 点走到 B 点，途中有多个阶段，每个阶段都有不同的选择，比如向左走、向右走或者向前走。
动态规划的方法就是从终点 B 开始倒推，计算在每个阶段采取不同选择所得到的最优结果，最终找到从 A 点到 B点的最优路径。
在最优控制问题中，我们通常需要考虑系统的状态、控制输入以及性能指标。
系统的状态描述了系统在不同时刻的特征，控制输入则是我们可以施加的影响，而性能指标则用于衡量控制策略的优劣。
动态规划通过将整个控制过程分解为一系列子问题，并逐步求解这些子问题，从而找到最优的控制策略。
例如，在工业生产中，我们希望通过控制生产线上的机器速度、温度等参数，以最小化生产成本或最大化生产效率。
这就是一个典型的最优控制问题。
利用动态规划，我们可以将生产过程划分为多个阶段，每个阶段考虑当前的状态和可能的控制输入，计算出在该阶段采取不同控制策略所带来的成本或效率变化，然后逐步向前推进，最终找到整个生产过程的最优控制策略。
动态规划在最优控制问题中的应用具有诸多优势。
首先，它能够处理复杂的多阶段决策问题，将一个大规模的问题分解为一系列较小的子问题，从而降低了求解的难度。
其次，动态规划能够保证得到的解是全局最优解，而不是局部最优解。
这在很多实际问题中是非常重要的，因为局部最优解往往不能满足我们的实际需求。
然而，动态规划在应用中也面临一些挑战。
一个主要的问题是“维数灾难”。
当系统的状态空间和控制输入空间较大时，动态规划需要计算和存储大量的数据，这可能导致计算量和存储空间的急剧增加，甚至使得问题无法求解。
为了克服这个问题，研究人员提出了许多改进的方法，如近似动态规划、并行计算等。
14讲 最优控制-动态规划-三法比较
26
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
27
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
28
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
29
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
30
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
由于在推导上述欧拉公式时，以最优 解存在为前提， •即哈密顿-雅可比方程成立 所以，导出的欧拉方程代表的是 •必要条件
?起点和终端的其他情况自行论证起点和终端的其他情况自行论证能源与动力学院系统控制与仿真研究室25最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室26最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室27能源与动力学院系统控制与仿真研究室28能源与动力学院系统控制与仿真研究室29能源与动力学院系统控制与仿真研究室30最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系由于在推导上述欧拉公式时以最优解存在为前提解存在为前提?即哈密顿雅可比方程成立所以导出的欧拉方程代表的是?必要条件?必要条件能源与动力学院系统控制与仿真研究室31最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系极小值原理与变分法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室32能源与动力学院系统控制与仿真研究室33最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系动态规划与极小值原理的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室34最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室35能源与动力学院系统控制与仿真研究室36最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室37能源与动力学院系统控制与仿真研究室38最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室39能源与动力学院系统控制与仿真研究室40能源与动力学院系统控制与仿真研究室41最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室42能源与动力学院系统控制与仿真研究室43最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系值得指出的是上述推证过程仅仅具有形式上的意义因为实际上除了线性二形式上的意义因为实际上除了线性二次型问题外哈密顿雅可比方程难以求解或者根本不存在二次连续可微的函解或者根本不存在二次连续可微的函但是上述推证揭示了变分法极小值动态规划之间的内在联系有利于深动态规划之间的内在联系有利于深入了解三种方法的应用条件和相互关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室44最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系重点掌握重点掌握连续控制系统动态规划最优解的求解步骤动态规划与极小值原理2
最优控制.动态规划(1)
B1
9 5 4
C1
1 5
D1
4 2
E1
3 5 4 1
B3
8
3 5 7
C2
B2
S 4 ( B1 ) C1 S 4 ( B2 ) C1 S 4 ( B3 ) C 2 S 5 ( A) B2
4 6 4 4 2
D2
6 9 7
E2
1
2
5
F
C3
D3
所以，最短路线为 A B2 C1 D1 E2 F
W1 ( E2 ) 2
d ( D1 , E1 ) W ( E1 ) 4 1 W2 ( D1 ) min min 4, S 2 ( D1 ) E2 d ( D , E ) W ( E ) 2 2 1 2 2 d ( D2 , E1 ) W ( E1 ) 6 1 W2 ( D2 ) min min 7, S 2 ( D2 ) E1 9 2 d ( D2 , E2 ) W ( E2 ) d ( D3 , E1 ) W ( E1 ) 9 1 W2 ( D3 ) min min 7, S 2 ( D3 ) E2 d ( D , E ) W ( E ) 5 2 3 2 2
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线 为 AB1C2 D2 E 。在图中用粗线表示。这里，为 决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的18次 少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更多。
(5)
( 6)
C1
1
D1
5
E
4
由B1到E的 最短时间
( 6)
2
1
B1
现代控制理论-第七章 最优控制_动态规划
V (x(t),t) min (L(x(t t),u(t t),t t)t) u (t )U V (x(t), t) ( V )T dx t V t o(t)2 x dt t
第七章 最优控制
V min (L(x(t t),u(t t),t t) (V )T dx o(t)2 )
x02
第七章 最优控制
7.4.3 连续系统的动态规划
x f (x,u,t), x(t0 ) x0
u(t) U
性能指标
T
J (x(T )) L(x,u,t)dt
t
目标集
S {s | (x(T )) 0}
引进记号 V (x,t) J (x*(t),u*(t)) min J (x(t),u(t)) u(t )U
u0
第七章 最优控制
7.4.2 离散系统动态规划
n 阶离散系统
xk1 f (xk ,uk ), k 0, , N 1
性能指标
N 1
J L(xk ,uk ) k 0
求决策向量
u0 , , uN 1
使 J 有最小值（或最大值），其终点可自由，
也可固定或受约束。
第七章 最优控制
x12
(
1 2
x1 )2
(x1
1 2
x1 ) 2
3 2
x12
J (x0 ) x02 u02 J *(x1)
x02
u02
3 2
x12
x02
u02
3 2
( x0
u0 )2
J (x0 ) u0
最优控制动态规划法
uk
xk
k+1 xk+1
uN-1
xN-1
N
xN
图1 多段决策过程示意图 当然，如果对每一段的决策都是按照使某种性 能指标为最优的原则作出的，那么这就是一个多段 最优决策过程。
容易理解，在多段决策过程中，每一段(如第 k+1段)的输出状态(xk+1)都仅仅与该段的决策(uk)及 该段的初始状态(xk)有关。而与其前面各段的决策 及状态的转移规律无关。这种性质称为无后效性。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
2
3
5
2
4 2B
Q1
Q2
Q3
第三段：P3、Q3的前站是P2、Q2。在这一段也
不论其先后的情况如何，只需对从P2或Q2到B进行最 优决策。从P2到B有两条路线：P2P3B，历时为6； P2Q3B，历时为4，取最短历时4，标注在P2旁。从Q2 到B也有两条路线：Q2P3B，历时为7；Q2Q3B，历时 为5，取最短历时5，标注在Q2旁。比较P2与Q2的最 优值，可知这一段的最优路线是P2Q3B。
段作出相应的“决策”(或控制)uk后，才能确定该段 输
入状态与输出状态间的关系，即从xk变化到xk+1的状 态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk 以后，那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到 xN也就被完全确定。全部“决策”的总体，称为 “策
略”。
u0
u1
x0
1 x1
2 x2
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
最优控制(动态求解)
06
最优控制在现实生活中的应 用
经济问题
投资组合优化
通过最优控制理论，投资者可以 确定最佳的投资组合策略，以最 大化收益或最小化风险。
生产调度
在生产过程中，企业可以使用最 优控制理论来优化生产调度，以 提高生产效率并降低成本。
商业决策
商业决策者可以使用最优控制理 论来制定最佳的商业策略，例如 定价、库存管理和营销策略。
内点法
内点法是一种基于梯度下降的求解方法，通过迭代逼近最优解，适用 于大规模的优化问题。
最优控制的线性规划问题
最优控制问题可以转化为线性规划问 题，通过建立状态方程、目标函数和 约束条件，利用线性规划求解方法找 到最优控制策略。
在实际应用中，最优控制的线性规划 问题广泛应用于生产调度、物流优化、 金融投资等领域。
03
其中，V(x)表示状态x的价值函数，R(x,a)表示在状态x采取 行动a的即时奖励，p(x′∣x,a)表示从状态x采取行动a转移到 状态x′的概率。
递归求解方法
01
02
03
递归求解方法是动态规划的常用求解 方法，通过递归地求解子问题来得到 原问题的最优解。
递归求解方法的基本步骤是：将原问 题分解为若干个子问题，分别求解每 个子问题的最优解，然后利用子问题 的最优解来求解原问题的最优解。
03
状态方程的解可以给出系统在 任意时刻的状态，是进行最优 控制的基础。
性能指标函数
01
性能指标函数用于衡量控制策略的效果，通常表示为系统状态 和控制输入的函数。
02
性能指标函数的目标是最小化或最大化，例如控制能量、时间、
误差等。
性能指标函数的选取应根据具体问题的需求来确定，不同的性
03
最优控制问题的后向动态规划
最优控制问题的后向动态规划后向动态规划是一种常用于解决最优控制问题的方法。
最优控制是一类涉及在给定约束条件下找到使某一指标最优化的控制策略的问题。
这一类问题广泛应用于工程、经济学、生物学等众多领域。
后向动态规划是通过将问题分解为一系列子问题，并从终点开始逐步向起点推导，最终得到最优策略的方法。
一、问题描述最优控制问题的一般形式可以表述为，在给定一组状态变量和控制变量的约束条件下，如何选择合适的控制策略，使得某一目标函数达到最优值。
最优控制问题可以是连续时间的也可以是离散时间的，其中涉及到的约束条件和目标函数形式各异。
二、动态规划原理动态规划是一种通过将问题划分为一系列子问题并使用递推关系求解的方法。
动态规划问题的求解过程分为两个阶段：前向计算和后向计算。
前向计算是从初始状态开始，逐步推导出所有可能的状态，得到一个状态转移方程，最终得到最优策略。
后向计算是从最终状态开始，逆向推导出每个状态的最优值，并将其存储起来，供前向计算时使用。
三、后向动态规划步骤1. 确定最终状态：在最优控制问题中，最终状态通常为控制过程的终点状态。
2. 确定目标函数：根据具体问题的要求，确定目标函数的形式，将问题转化为最小化或最大化目标函数的问题。
3. 确定状态转移方程：根据问题的约束条件和目标函数，建立状态转移方程，该方程描述了每个状态的最优值与其相邻状态最优值之间的关系。
4. 后向计算最优值：从最终状态开始，逆向计算每个状态的最优值，并将其存储起来。
5. 前向计算最优策略：从初始状态开始，按照状态转移方程逐步计算每个状态的最优值，最终得到最优策略。
四、案例分析为了更好地理解后向动态规划的应用，以下以一个机器人路径规划问题为例进行分析。
假设机器人位于一个网格中，每个格子上都有一个奖励值，机器人需要从起点出发，经过一系列格子，最终到达终点。
其中，机器人只能向上、下、左、右四个方向移动，并且不能访问已经访问过的格子。
1. 确定最终状态：假设终点位置为(x,y)。
动态规划原理与最优控制
动态规划原理与最优控制动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，广泛应用于各种优化问题的求解。
动态规划主要用于处理具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则是研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划的基本原理是将大问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，然后根据子问题的解推导出大问题的最优解。
动态规划可以通过建立一个递归的状态转移方程来描述问题的最优解。
通过记忆化或者自底向上的方式，可以高效地求解出最优解。
最优控制是研究如何选择和调整控制变量以在给定的约束条件下实现最优控制目标。
最优控制的目标可以是最小化或最大化一些性能指标，例如最小时间、最小成本、最大收益等。
最优控制问题可以描述成一个变分问题，通过求解变分问题的极值来得到最优控制策略。
动态规划和最优控制之间有许多相似之处。
首先，它们都涉及到对系统状态的建模和描述，以及对控制变量的选择和调整。
其次，它们都是通过求解优化问题来寻找最优解。
最后，它们都可以通过离散化状态和控制变量来转化成动态规划问题。
因此，动态规划和最优控制可以相互参考和借鉴。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在运输、资源分配、排产等问题中，可以使用动态规划来求解最优方案。
在机器人导航、飞行器控制、自动驾驶等问题中，可以使用最优控制来实现最佳控制策略。
此外，动态规划和最优控制也在经济学、管理科学、生物学等领域有重要的应用。
总之，动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，它们可以帮助我们解决各种优化问题。
动态规划主要用于求解具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们优化系统设计和控制策略，提高效率和性能。
动态规划最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
2021年4月30日
第7章第11页
对于本例，求解时采用的递推方程的一般形式为
J
N
(
x)
min
SN ( x)
d x, SN ( x) JN1 SN ( x)
以及
J1( x) d ( x, F )
在动态规划中，上述两式称为函数方程。当选择第一个决策 SN ( x) 时，其结果不但影
响第一级的距离 d x, SN (x) ，而且影响后面 N 1级的初始状态，因而也影响后面 N 1
级的最短距离。因此，最优策略（各阶段的决策组成的最佳集合）的选择应在递推过程结 束后进行，不能在各级分散决定。
2021年4月30日
第7章第12页
从本例的分析过程可知，一个 N 级最优过程（如从 A 至 F 的 J5 ( A) ），不论第一级决 策如何（如 S5 ( A) B1, B2 , B3 ），其余 N 1级决策过程（如从 B 至 F ），至少必须依据第 一级决策所形成的状态（如 B1 ，B2 ，B3 ）组成一个 N 1最优过程（如 J4 (B1) 、J4 (B2 ) 、 J4 (B3) ）。在此基础上选择第一级决策（如选择 S5 ( A) B2 ），必可使总的 N 级过程最优 （如求出 J5 ( A) 14 ）。在多级决策问题中，这种递推思想的核心，是贝尔曼提出的最优
动态规划
2021年4月30日
第7章第1页
动态规划又称为多级决策理论，是贝尔曼提出的一种非线性规划方法。动态规划的核心是 贝尔曼的最优性原理，它将一个多级决策问题化为一系列单级决策问题，从最后一级状态 开始到初始状态为止，逆向递推求解最优决策。
动态规划是求解最优化问题的重要方法，在应用动态规划时，有一个前提条件是系统的状
动态规划在最优控制中的应用探讨
动态规划在最优控制中的应用探讨在当今科技飞速发展的时代，最优控制问题在各个领域中都具有至关重要的地位。
从工业生产中的流程优化，到交通运输中的路径规划，再到金融领域的投资策略制定，都离不开对最优控制的深入研究。
而动态规划作为一种强大的数学工具，为解决最优控制问题提供了行之有效的方法。
动态规划的核心思想在于将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来获得原问题的最优解。
这种分而治之的策略，使得原本看似难以处理的大规模问题变得可操作。
在最优控制中，动态规划的应用具有显著的优势。
首先，它能够有效地处理具有时变特性的问题。
例如，在自动驾驶领域，车辆需要根据实时变化的路况和交通信息，动态地调整行驶速度和方向，以实现最快到达目的地且能耗最低的目标。
通过将整个行驶过程划分为多个时间阶段，并在每个阶段基于当前的状态和约束条件做出最优决策，动态规划可以为车辆提供最佳的控制策略。
其次，动态规划在处理具有不确定性的最优控制问题时表现出色。
在实际应用中，许多系统往往受到各种随机因素的影响，如环境的变化、测量误差等。
动态规划可以通过对不确定性的建模和分析，为决策者提供在不同概率场景下的最优行动方案，从而提高系统的鲁棒性和适应性。
让我们通过一个具体的例子来深入理解动态规划在最优控制中的应用。
假设我们有一个工厂的生产流程优化问题。
工厂需要在一定的时间内生产一定数量的产品，每个生产阶段都有不同的生产方式可供选择，每种生产方式具有不同的成本和产出效率。
同时，工厂还面临着原材料供应的限制和市场需求的变化等因素的影响。
我们可以将整个生产过程划分为若干个阶段，每个阶段根据当前的库存水平、市场需求和原材料供应情况，选择最优的生产方式。
通过建立动态规划模型，我们可以计算出在每个阶段的最优决策，从而实现整个生产过程的总成本最小化和产出最大化。
在应用动态规划解决最优控制问题时，需要明确问题的阶段、状态、决策和目标函数。
动态规划与最优控制模型
第四章 最优控制模型（管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型）§1 最优控制的问题提法： §1.1 最优控制问题举例 §1.2 最优控制数学模型一、例，详见最优控制课听课笔记第一节； 二、问题的数学描述――最优控制模型.寻找U )t (*u ∈（开，闭）[]f f 0t ,t ,t 可以固定或自由，使得： [][])t ( u J min )t (*u J Uu∈= (){()()0t ),t ( x g 0 t ),t ( x g ,R )t (x )t (x M x )t (x x )t ( x t ),t ( u ),t (x f dt (t) x d :t .s f f 2f f1f f f f 00≤=∈=∈==其中： n R )t (x ∈ ，且1C )t (x ∈ （一个连续可微）， R U )t (u m ≤∈，[] t ,u (t), x f：向量值函数，且)( f ⋅ 对t ),t ( u ),t ( x 连续，对t ),t ( x 连续可微. []()()()[]。
都可微 t (t), x 对 t (t), u (t), x L ,t ),t ( x,dt t ),t ( u ),t ( x L t ),t ( x )t ( u J f f tt f f fϕ+ϕ=⎰最优控制问题的求解方法：1． 古典变分法：U 开集；2． 极大值原理：U 闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 3． 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 发展了变分法，结果要充分条件.§2 最优控制模型的动态规划解法 §2.1 动态规划方法概述§2.2 生产——库存——销售管理系统的解法§2.1 动态规划方法概述某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程：()⎩⎨⎧∈==+M )(k x x )0( x k ),k ( u ),k ( x f )1k ( x f 0 使 ()∑-==1N 0i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小. 此为一个N 阶决策问题：动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点：（ⅰ）将一个N 阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中；（ⅱ）大大简化了计算量；（ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理：可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题.下面以最短路问题举例说明这种方法： 一、最短路问题（最小时间问题）1．问题：若有一辆汽车以S 城出发经过若干城市到达F 城，如图：3 ,2 ,1i ,Q ,P i i =，是一些可以通过的城镇.·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3 4 4 1 2 4S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 ·Q 3图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）.于是：汽车从S 到F 可经多种途径选择到达F . 问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使S 到F 所走路线最短.或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从S 到F 所用时间最短.2．方法：Ⅰ决策树法（穷举法）：决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）.即： {}3 ,2 ,1i F Q SP min F *Q *SP i i i i == 因此有：1 P 3 4 F 15P 26 1 Q 3 3 F 14P 1 62 P34 F 164 Q 22 Q3 3 F 15S1 P 3 4 F 145 P 24 1 Q 3 3 F 13Q 1 7 2 P 3 4 F 18Q 22 Q3 3 F 17因此，最终得出：{}3 ,2 ,1i F Q SP min F P P SQ i i 321== 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算.第1次：22211Q Q /P Q /P S →→→；第2次：3322Q /P Q /P →； 第3次：F Q P 33→或因此，共需24次运算：2438＝⨯次，若阶段更多，则计算量更大. 2．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？）法：第一步：从S 到1P 或1Q ：显然 5SQ 4SP 11=<=，因此取决策1SP ；第二步：从1P 到2P 或2Q ：显然 2121Q P 6P P ==，因此取2121Q Q ,P P 均可，但从2P 到3P 或3Q 距离为1，而2Q 到32P P 距离为2，因此，第2步决策为2P ，因此取21P P ；第三步：2P 到3P 或2P 到3Q ，均有1Q P P P 3232==，但3Q 到F 的距离为3，因此第3步取路线32Q P .因此使用这种方法得到的决策为：143164F Q P SP 321=+++= 显然不是“最优决策”，同时还有：14F P P SQ 321=问题出现在“局部优不能代替整体优”的问题. 3．动态规划：即可把每一步决策都看成一个状态的转移，而每一种状态的转移又影响到下一阶段的状态，因此又是动态的，故称为动态规划法.将上述问题分为四个阶段的多阶决策问题，故可将问题分为四阶段问题来考虑：第一阶段问题：11Q /P S →； 第二阶段问题：2211Q /P Q /P →； 第三阶段问题：3322Q /P Q /P →； 第四阶段问题：F Q /P 33→ 解题方法从最后一个阶段开始：1° 分别计算33Q ,P 到F 的最小代价，此处花费代价为时间，记为J ，用[][]33Q J ,P J 分别表示3P 或3Q 到F 的代价，则显然有：[][]3Q *J 4P *J 33==2° 由后往前，考虑倒数第二阶段（即第三阶段），再把第三阶段和第四阶段联合作为一个子问题来考虑，若从2P 出发到F ，则有两种可能：[][]431Q *J 2J F Q P 541P *J 1J F P P 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q P 32最短，且[]4P *J 2=，故将线路F Q P 32记成P 2④Q 3.类似以2Q 出发到F ，则有两种可能：[][]532Q J 2J F Q Q 642P J 2J F P Q 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q Q 32最短，则[]5Q *J J 2==，故将线路F Q Q 32记成2Q ⑤3Q .3° 再由2、3、4这三个阶段构成的子问题：若从1P 出发到F 有两种可能：[][]1156Q *J 6J F Q P 61046P *J 6J F P P 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P P 21最短，且[]10P *J 1=，故将F P P 21记成：1P ⑩2P若从1Q 出发到F 有两种可能：[][]1257Q *J 7J F Q Q 844P *J 4J F P Q 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P Q 21最短，则[]8Q *J 1=，故将F P Q 21记成：1Q ⑧2P4° 把由1、2、3、4阶段作为子问题来考虑：从S 出发到F 有两种可能：[][]1385Q *J 5J F SQ 14104P *J 4J F SP 1111=+=+==+=+=且且故： F SQ 1最短，且[]13S *J = 5° 因此有最优策略：F SQ 1即： []13S *J F Q P SQ F SQ 3211==，除“二决一”比较之外，且运算只用了10次，而穷举法则算了24次，上次这种动态规划的办法：是将把一个四阶段决策问题化为四个互相嵌入子问题，逐一进行简化的计算方法，即数学上嵌入定理. 3．最优性原理“最优策略的一部分也是最优策略”例如：上例中知：F Q P SQ 321是最优决策，则F Q P Q 321也一定是从Q 1出发到F 的最优决策：证明［反证法］：设SQ 1P 2Q 3F 是最优决策，则Q 1P 2Q 3F 不是最优决策，则必存在另一个最优决策，不妨设为Q 1Q 2Q 3F 为最优决策.因而，SQ 1Q 2Q 3F 是整体最优决策，因而与SQ 1P 2.)1N (*u , ),1(*- 是N 阶决策问题的最优策略序列，那么：)1N (*u , ),1(*u - 也是一个最优策略序列，其初始状态为：())0(*u ),0(x f )1(x =证明：同最短路4． 多阶决策问题的一般想法：设某系统的状态方程为：()⎩⎨⎧==+0x )0(x )i (u ),i (x f )1i (x目标函数为：()∑-==1N 0i N i ),i (u ),i (x L J ，NJ表示控制N 步时的目标函数值.最优控制问题，即：求最优决策序列{}{})1N (u , ),0(*u )i (*u -= ，使N J 取最小(大)值.为简化假定为定常状态，即L 不明显还有时间变量i因而有：()⎩⎨⎧==+0x )0( x )i (u ),i (x f )1i ( x()∑-==1N 0i N )i (u ),i ( x L J对目标函数(3)逐次应用(1)式有：()()()()()()()()()()())1N (u ),2N (u ,u(1) ,)0(u ),0(x f f f L ,u(1) ,)0(u ),0(x f L )0(u ),0(x L ,)1N ( u ),1N ( x L )1(u ),1(x L )0(u ),0(x L J N --+++=--+++=因此，可以由上式看出：N J 只依赖于)1N (u , ),1(u ),0(x - 因而可写成：())1N (u , ),1(u ),0(x J J N N -=又若用某种方法求出了最优决策)1N (*u , ),0(*u - ，则N J 的最小值只依赖于初始值)0(x ，记为() )0( x *J N ，它可用下式来定义：()())1N (u , ),1(u ),0( x J min)0(x *J N )1N (u ,),1(u ),0(u N -=-初始值是可变化的，因此：() )0( x *J N 表示初始状态为)0(x 时，控制N 步的目标函数最小值.5．动态规划的基本方程：动态规划的基本方程，给出N 阶决策问题的目标函数最优值与它的子问题)1N (阶决策问题-目标函数最优值之间的递推关系式，它是用动态规划解一切多阶决策问题的基础.设)0(*u 已求出，则求序列{})1N (*u , ),2(*u ),1(*u - 的问题，构成一个以() )0(u ),0( x f )1( x =为初始条件的1N -阶决策问题，若记这一子问题的目标函数最小值为：() )1(x *J 1N -；又若记() )0( x *J N 为N 阶决策问题最小值，则我们可以导出() )0( x *J N 与() )1(x *J 1N -之间的关系：()()() (k)u (k), x L ) )1(u ),0(x ( L min u(k) x(k),L min )0(x *J 1-N 1k 1)-u(N -u(0)1-N 0k )1N (u ,),1(u ),0(u N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==- 由于则第一项：()())0(u ),0(x L min )0(u ),0(x L min)0(u )1N (u , ),0(u =-第二项： ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑-=-1N 1k )1N (u , u(1) ),0(u )k ( u ),k ( x L min 并不明显依赖)0(u ，()())2N (u ),2N (x f )1N (x )0(u ),0(x f )1(x --=-=但由状态方程：可知：实际上第二项仍依赖于)1N (u , ),1(u ),0(u - ，因此，第二项可写成：()()(){})1( x J min (k)u (k), x L min min (k)u (k),x L min *1N )0(u 1-N 1k )1N (u ,),1(u )0(u 1-N 0k )1N (u ,),0(u ---=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∑此给出了())1(x J *1N -与())0(x J*N 之间的递推关系.它是动态规划的基本方程.类似有动态规划更一般的基本方程：(**) 因此依据基本递推方程的递推关系：可以把一个多阶决策问题化为若干个子问题，而在决策的每一个阶段中只须对一个变量进行最优化决策即可.例如：()(){})1N (u ),1N (x L min )1N (x J )1N (u *1--=-- 是对一个单变量)1N (u -的优化问题，当())1N (x J *1-求出后，由基本递推方程(**)式可得：()()(){})1N (x J )2N (u ),2N (x L min )2N (xJ *1)2N (u *2-+--=--这又是对)2N (u -的最优化决策问题，因而把原来N 阶决策问题化成一系列对单变量的最优化决策问题，从而使问题简化.§2.2 生产库存——库存管理决策问题的解设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元. 第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s 因此有：下季度库存是 ：)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量本季生产量本季度库存量是+=+且要求年初、年终都没有存货即销售已空.x （0）＝x （5）＝0最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小.即：求 {})i (*u 使[][][]∑=+=≤41i 240)i (x )i (u005.0)i (u J )i (*u J （1）⎪⎩⎪⎨⎧===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3is(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s解：使用动态规划的办法：1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+=由（2） 0 x(5))4)4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得 ２００u(4)－(4)－1x(4)0+=得 )4(x 1200)4(*u -=代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 22*4+-=+-= 2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：()()[]{}(){}{})4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 22)3(u *12)3(u *1)3(u *2+-++=++=+=其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：()()(){}22)3(u *2500)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=∂∙∂即：{}0)3(x 01.016)3(u 02.0)3(u =+-=∂∙∂即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2()()())3(x 0025.0)3(x 77550500)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 22*2+-=-++-+-++=3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：()()(){}{})3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 22)2(u *2)2(u *3+-++=+=其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *3()()(){}22)2(u *3700)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=∂∂ 得(){}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)2(u )2(u )2(x J *3=-+-=∂∙∂=∂∂得 )2(x 31700)2(*u -= 再代 ())2(x J *3 得 ())2(x 3005.0)2(x 6000,10)2(x J 2*3+-= 4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22)1(u *3)1(u *4 又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=并代入上式 ())1(x J *4得：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++=22*4600)1(u 3005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J 令 ()0)1(u )1(x J *4=∂∂ 得()0600)1(u 301.06)1(u 01.0=-+- 得 600)1(*u =得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+=可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 31700)2(*u -= 于是由600)1(*u0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+ 及 )4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 31700)2(*u -=-=-=可得900)4(*u ,800)3(*u ,700)2(*u ,600)1(*u 0)5(x ,300)4(x ,0)3(x ,0)2(x ,0)1(x =========即有以上最优决策序列：{})i (*u 若不按以上最优决策，按每季销售量生产1200)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========则显然总有存为总量0，但总费用： ()∑=+=4124700,12)i (x )i (u005.0J 要多用900元.。
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在多数实际问题中， 级决策的性能指标 取如下形式
是由某级状态和决策决定的性能函数，要求
寻找决策
使J取极小值 。
最优性原理可表示为
根据上式就可证明最优性原理的正确性。若以 为
初态时，余下的决策
不是最优的
，那么就存在另一决策序列
所决定
的指标值
，于是
这与
是极小值发生矛盾，所以余下的决策必须
是最优的。
。两种路线
最优决策为
。
由 到 只有一种路线
，
其时间为 由 到E也只有一种路线 C3D2E ， 其时间为
n=3（倒数第三段）
从B2到E有两种路线：
和
最短时间为： 最优决策
n=4（倒数第四段 ）
从A到E的路线有两种：
和
。
最优决策为
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线
为
。在图中用粗线表示。这里，为
令
表示从点 到点
例如，从 到 的时间为
的时间。
有了这些术语后，就可用动态规划来解这
个例子。从最后一段出发进行计算，并将
计算出的最短时间
用括号表示在相
应的点 处（见图6-1）。
n=1 （倒数第一段）
考虑从 和 到 最短时间分别为
的路线，由定义可知，
n=2（倒数第二段）考虑从
到 的路线。
由 到 有两种路线： ， 中的最短时间由下式确定：
令 表示由某点 到终点的段数（如 到 为2
段，
。
令 表示当前所处点的位置（如 为状态变量。
），称
令 为决策（控制）变量，它表示当处在 位置而还有 段要走时，所要选取的下一点。 例如，从 出发，下一点为 时，则表示为
。
令 表示在位置 ，向终点还有 段要走时 ，由 到终点 的最短时间。 例如，从C2到E的最短时间为4，可表示为 T2(C2)=4。
显然当段数很多时，计算量是很大的。这种方 法的特点是从起点站往前进行，而且把这四级决 策一起考虑。应注意从到 下一站 所花的时 间为1，而到 所花时间为3，但最优路线却不 经过 。
这说明只看下一步的“眼前利益”来作决策是 没有意义的。
对比一下最开始的例子
为将问题表达得清楚，引进下面的术语（写法并不 完全一样）。
从哪下手？
3 5 4
从最后一级开始计算：
9
1
4
5
5
2
4
8
6
1
3
4
5
6
9
2
4
7
1
4
5
7
2
WN(x)：表示从状态x到终点F的N级过程的最短距离； SN (x)：决策变量，表示当处于状态x，还有N级时，所选取的下一个点 ；
同理
9
1
4
3
5
5
2
4
8
5
3
4
6
1
4
5
6
9
2
1
44
7
2
7 5
所以，最短路线为
最短距离为14
最优控制序列为 最优性能指标为
连续系统的动态规划
设系统的状态方程和性能指标为
（6-19）
（6-20）
受约束，可写成
为某一闭集。要寻找
满足此约束且使 最小的最优控制 。
设时间 在区间
内，则根据最优性原理，从
到 这一段过程应当是最优过程。把这段最优
指标写成
,则
（6-21）
显然 满足终端条件
通常假定 。
6-2 离散最优控制问题
设控制系统的状态方程为
式中x(k)是k时刻的几维状态向量，u(k)是k时刻的p维容许控制向量，设系 统在每一步转移中的性能指标为F[x(k),u(k)]
如在u(0)的作用下
在u(1)的作用下
对N级决策过程
性能指标
要求选择控制序列 根据最优性原理
使性能指标达到极小
解上述递推方程，即可获得最优控制序列。
最优控制动态规划1
最短路线问题
问题: 要求从A地到F地，选择一条最短的线路。
9
1
4Leabharlann 3552
1
4
8
6
5
3
4
5
6
9
2
4
4
1
4
7
2
7 5
为了便于分析，引入几个符号：
N：从某点到终点之间的级数； x：表示在任一级所处的位置，称为状态变量； SN (x)：决策变量，表示当处于状态x，还有N级时，所选取的下一个点； WN(x)：表示从状态x到终点F的N级过程的最短距离； d(x, SN)：表示从状态x到点SN的距离。
图6-2 最优性原理示意图
动态规划的特点：
一是它从最后一级反向计算； 二是其将一个N级决策问题化为N个单级决策问题 。 好处：将一个复杂问题化为多个简单问题加以求解 。
最优性原理
贝尔曼的最优性原理可叙述如下： “一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质：当 把其中任何一级及其状态作为初始级和初始状态时， 则不管初始状态是什么，达到这个初始状态的决策是 什么，余下的决策对此初始状态必定构成最优策略。 ”
一个N级最优过程，不管第一级决策如何，其余N-1级，决策过程至少必须依据 第一级决策所形成的状态组成一个N-1级最优过程，在此基础上，在选择第一级 决策，使总的N级过程为最优。
这种递推关系可以用下列递推方程式来表达：
是不是穷举法？
再看一个例子
最短时间问题
问题：设有人要从 A 点开车到 E 站，中间要经过任意三个中 间站，站名在图中圆圈内表示。站与站之间称为段，每段路 程所需时间（小时）标在段上。现要问，这人应如何选择路 线才能最快到达目的地？
决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的18次
少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更多。
以上面的最短时间问题为例，如把 当作初
始状态，则余下的决策
对 来讲是最优策略
；如把 当初始状态，则余下的决策
对
来讲也构成最优策略。一般来说，如果一个最优过
程用状态
来表示，最优决策为
，则对状态 来讲，
必定是最优的，这可用图6-2来表示。
例6-1 设一阶离散系统的状态方程为
初始条件为x(0)，控制变量u不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使J达最小，为简便起见，设N＝2 解 设在u(0)、u(1)作用下，系统状态为x(0)、x(1)、x(2) 先考虑从x(1)到x(2)的情况，控制为u(1)
再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)
对 及 的二阶偏导数存在且有界
现在，考虑系统从 出发，到 分两步走：先从 到 ，再 从到 ， 是小量，则
根据最优性原理，从 。
（6-23） 也应是最优过程
因
故
这样，式（6-23）可写成
什么是穷举法?
从 走到 一共有六条路线，每条路 线由四段组成。这六条路线和对应的行车时间 如下
路线
显然最优路线是
行车时间（小时） 13 11 14 13 12 9
，它所花时间为9小时。
这里每条路线由四段组成，也可以说是四级决 策。
为了计算每条路线所花时间，要做三次加法运 算，为了计算六条路线所花的时间要作3×6=18次 运算。这种方法称为“穷举法”。