例谈等边三角形问题的证明

例谈等边三角形问题的证明

等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为60︒，为我们提供了丰富的自然条件．在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法．

一、旋转法 当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从旋

转图形中得到解题的途径．

例1 如图1，已知ABC △是等边三角形，E 是AC 延长

线上一点，选择一点D ，使得CDE △是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点．

求证：CMN △是等边三角形． 分析：把CAD △绕点C 逆时针旋转60︒，便转到了CBE

△的位置，相应的中线CM 转到了CN 的位置，所以CM CN =，由于旋转了60︒，所以CM 与CN 的夹角为60︒，由此可知CMN △是等边三角形． 简证：易证ACD BCE ∠=∠，从而CAD CBE △≌△，于是可得

CAD CBE AD BE ∠=∠=，，再由M N ，分别是AD BE ，的中点，可得AM BN =，所以CAM CBN △≌△，所以CM CN ACM BCN =∠=∠，，同时减去BCM ∠，便得到60MCN ACB ∠=∠=︒，所以CMN △是等边三角形．

说明：用旋转法分析的问题，一般在证明时用SAS 证明．

二、直角三角形法

由于60︒的余角是30︒，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题．

例 2 如图2，ABC △中，AB BC CA

AE CD ===，， AD BE ，相交于P ，BQ AD ⊥于Q ．

求证：2BP PQ =．

分析：由图形可知，欲证2BP PQ =，只须证明30PBQ ∠=︒，也就是60BPQ ∠=︒，而BPQ ABP BAP ∠=∠+∠，只要证明

ABP CAD ∠=∠即可．可以利用SAS 判断ABE CAD △≌△．问题得证． 证明（略）

三、拼接法

在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等边

三角形的特点进行证明．

例3 如图3，

ABC △是边长为1的等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D

为顶点做一个角A

图1 图2

E

B

C D

M

N A 图3

60︒，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN 形成一个三角形．

求证：AMN △的周长等于2．

分析：证明AMN △的周长等于2，注意到ABC △的边长为1，实际上所求证的问题是MN BM CN =+．为此，延长AC 至E ，使CE BM =，只须证明MN EN =即可．为此我们要证MDN EDN △≌△，现在只有公共边DN ，我们还应该再找到其他条件．我们从题目条件中很容易发现30DBC DCB ∠=∠=︒，再结合等边三角形的每个内角都是60︒，便可得到90ABD ACD ∠=∠=︒，而DB DC CE BM ==，，所以DMB DEC △≌△，所以DM DE BDM CDE =∠=∠，，由于60MDN ∠=︒，所以60BDM CDN ∠+∠=︒于是60CDE CDN ∠+∠=︒，即60EDN ∠=︒．所以MDN EDN DM DE ∠=∠=，，因此MDN EDN △≌△，从而MN EN =．

证明（略）