例谈等边三角形问题的证明

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法等边三角形是一种常见的三角形，它的三边长度相等，三个角度也是相等的，每个角度都是60度。

证明等边三角形的方法有很多种，下面我们就来依次介绍。

一、用正弦定理证明等边三角形正弦定理是描述三角形边与角之间关系的重要定理，它可以用来证明等边三角形。

具体的过程如下：假设三角形ABC是等边三角形，那么它的三边长分别为a、b、c。

根据正弦定理，我们有：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}由于三角形ABC是等边三角形，那么它的三个角度都为60度，即A=B=C=60度。

代入上式中，我们得到：\frac{a}{\sin 60}=\frac{b}{\sin 60}=\frac{c}{\sin 60}化简得：a=b=c也就是说，等边三角形的三边长相等。

二、用勾股定理证明等边三角形勾股定理是描述直角三角形斜边与两条直角边之间关系的重要定理。

虽然等边三角形不一定是直角三角形，但它可以通过勾股定理变换成一个直角三角形，从而证明其三角形边长相等。

具体的过程如下：假设三角形ABC是等边三角形，那么它的三边长分别为a、b、c。

画出等边三角形ABC，如下图：[![等边三角形.jpg](我们可以看到，三角形ABC是由三个相等角度的等腰三角形ABD、BCE和CAF 组成的。

连接三角形ABC的重心G和顶点A，三角形ABG是直角三角形，AG为斜边，因此有勾股定理：AG^{2}=BG^{2}+AB^{2}三角形ABC的三边长分别为a、b、c，可以得到：AG^{2}=(\frac{2}{3}c)^{2}=\frac{4}{9}c^{2}BG=\frac{1}{2}aAB=\frac{1}{2}b代入勾股定理中，得到：\frac{4}{9}c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}由于三角形ABC是等边三角形，即a=b=c，代入上式中得到：\frac{4}{9}c^{2}=\frac{1}{2}(a^{2})化简得：c^{2}=\frac{9}{4}(a^{2})也就是说，三角形ABC是由一个斜边为c，两条直角边分别为a和\frac{3}{2}a 的直角三角形变换而成的。

等边三角形的解题方法

CADCAB等边三角形的解题方法1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DF A ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQCQP BA EC BQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】由于∠P AB ＝∠P AC ,因而P A 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BP A ＝150°是特殊角，考虑∠BP A 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠P AB ＝22°∴∠BP A ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数． 02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBACBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90°为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．练习01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝ 21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )DCBA BD C ABC AA ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC E B A EBCB PAE B C 第3题图第4题图第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．F E DCA(2)DBCA(1)。

等边三角形的解题方法

CADCAB等边三角形的解题方法1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DF A ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQCQP BA EC BQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】由于∠P AB ＝∠P AC ,因而P A 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BP A ＝150°是特殊角，考虑∠BP A 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠P AB ＝22°∴∠BP A ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数． 02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBACBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90°为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．练习01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝ 21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )DCBA BD C ABC AA ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC E B A EBCB PAE B C 第3题图第4题图第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．F E DCA(2)DBCA(1)。

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:(1)三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE.求证：△ABC是等边三角形.分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED，∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，图1∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠DCB=60°，∴△ABC为等边三角形.例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE 求证：△ADE是等边三角形.分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗你还能找到其他的等边三角形吗请证明你的结论.分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF解：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，图3∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，∵AB根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA 都是等边三角形.。

等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)

等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

等边三角形应用举例

一
、
求角度的大小
例１如图１ＡＤ是等边ＡＡＣ的中。Ｂ线，Ａ在Ｃ上取Ａ＝Ａ．ＬＥＣ的度数．ＥＤ求Ｄ
／
图１
解析：因为ＡＡＣ是等边三角形且ＡＢＤ是等边ＡＡＣ的中线，Ｂ所以ＡＤ是Ｃ的平分线和ＢＣ边上的高，且ＬＣＤ＝ＢＤ：ＡＡ
线对称；又＝ＢＥ在ＡＤ，Ｂ上移动，Ｆ在Ｂ别交ＡＤＢ与，ＡＣ于 Ⅳ 连接ＭＮ。交，形成一个三上移动，满足ＡＥ＝Ｂ所以Ｂ且Ｆ，Ｅ＝Ｄ而角形．Ｆ，求证：ＭＡＡＮ的周长等于２．
ＣＢ＝ＣＤ＝ＬＣＥ＝６。所以ＡＥＢＤ．Ｂ０，Ｃ
则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说
明．
解析：１通过观察发现，（）由于户所在的
ＡＡＰ与ＣＢＱ所在的ＡＣＱ的形状相同、Ｂ大小
接近。么ＡＡＰ与ＡＣＱ有可能全等．那ＢＢ所以可以猜想Ａ＝Ｃ．ＰＱ
下面证明这一猜想是否成立．
‘
．．
ＡＦＡＥ￣ＡＢＤ￣△ＣＥＡＳ．ＦＤ（Ａ）
所以ＡＥ＝Ｂ＝ＣＡ＝ＢＦＤ．ＦＤ＝Ｃ．Ｅ
等边三角形．时即－Ｐ＝４．这－Ｂａ
在 △船Ｑ中，因为＝４，ＱＡ＝３，ａＣ＝Ｐａ
ＰＣ＝５ａ，
点评：解答时，应根据条件探索相应的结论符合条件的结论往往有多个，需充分利用
・

关于两个等边三角形的问题

有这么一个关于两个等边三角形的问题，俗称拉手模型. 该问题可以衍生出很多有趣的结论，在学习该模型的过程中综合运用了多次三角形全等、相似、等边三角形判定、截长补短、四点共圆的性质与判定等较难初等几何问题，是一个复习的好载体.下面将本问题进行简单阐述并说明证明思路，详细证明过程请读者自己摸索（亦可通过邮件讨论）.已知：ΔABC和ΔCDE均为等边三角形，并且B、C、D三点共线，如图I.求证以下几个结论：（1）三组三角形全等：Δ BCE ≌Δ ACD；Δ BCF ≌Δ ACG；Δ ECF ≌Δ DCG；如图II.证明思路：第一组全等利用两个等边三角形边相等及每个角都是60°的性质，根据SAS证明全等；由第一组全等可以得到∠GAC=∠FBC和∠FEC=∠GDC，根据ASA证明后两组全等.（2）两组角相等：∠GAC=∠FBC；∠FEC=∠GDC.两组边相等：BE=AD；CF=CG.证明思路：由（1）的三组全等引申出来的结论.（3）ΔFCG是等边三角形, 如图III. 从而FG//BD.证明思路：由（2）有CF=CG，又易得∠FCG=60°，得证.由∠FGC=∠GCD，得FG//BD. （4）∠AHF=∠EHG=60°. 如图IV.证明思路：由（2）已有∠HAF=∠CBF，对顶角相等有∠AFH=∠BFC，由三角形内角和定理易得∠AHF = ∠BCF= 60°，同理可证∠EHG=60°.（5）两组相似三角形：ΔAFH ∽ΔBFC；ΔHGE ∽ΔCGD证明思路：由（4）易得上述两组相似.（6）A、H、C、B四点共圆，E、D、C、H四点共圆.证明思路：由（4）或者（5）易得上述结论.（7）连结CH，则CH平分∠BHD. 如图V.证明思路：此结论有较多证明方法，下面介绍较容易三种证法：（证法V-1：角平分线的判定）过点C作CX⊥BE于X，CY⊥AD于Y. 由（1）有ΔBCE≌ΔACD，利用面积法易得CX=CY，从而平分线得证.（证法V-2：相似三角形）由（5）ΔAFH ∽ΔBFC，则AF:BF=HF:CF，又由对顶角相等，可以得到ΔAFB ∽ΔHFC，从而对应角∠CHF=∠BFA=60°，同理可证∠CHG=∠DGE=60°. 得证. （证法V-3：四点共圆）由（6） A、H、C、B四点共圆，故∠CHF=∠BFA=60°；同理可证∠CHG=∠DGE=60°. 得证.（8）证明HD=HC+HE；HB=HC+HA. 如图VI.证明思路：（截长法）在线段HD上取一点Z，使得HZ=HC.第一步：由（7）易证ΔHCZ为等边三角形，故CZ=CH. 如图VI(1)；第二步：证明ΔCHE≌ΔCZD，故HE=ZD. 如图VI(2)；第三步：HD= HZ+ZD=HC+HE.第二个结论证明过程与第一个结论的相仿.文章写得匆忙，如果有错误请指正，有新的结论也欢迎留言或者邮箱联系，谢谢.。

等边三角形手拉手模型结论及证明过程

等边三角形手拉手模型结论及证明过程一个等边三角形手拉手模型的结论是：当两个等边三角形通过一组手拉手相连时，连接线段的交点会形成一个正三角形。

这一结论可以通过以下的证明过程来得出：首先，我们需要确定一下手拉手模型中的表示方式。

在这个模型中，三角形的三个顶点被用手指代替，手指之间的连接用一个线段表示。

这个线段的长度代表两个手指之间的距离，也就是三角形的边长。

我们将两个等边三角形连起来，连接线段的交点记为O。

首先，我们可以通过画图的方式，发现连接点O和三角形的三个顶点A、B、C均在同一个圆上。

接下来，我们尝试证明连接点O与三角形任意一个顶点之间的距离相等，即OO' = OA = OB = OC。

我们可以通过以下的方式进行证明：首先，我们可以将等边三角形ABCDEFG看做是以O为中心点做了一个旋转90度的图形。

对于图形ABCO，我们可以发现OA与OC是相等的，OB与OC也是相等的，因为O是等边三角形ABC的重心。

因此，我们可以得出OO' = OC - AC/2 = OA。

接下来，我们可以通过证明三角形OAB为等边三角形来进一步证明OO' = OA。

我们可以根据三角形ABC旋转而来的性质得出，∠AOB = ∠CAB = 60度。

由于三角形ABC是等边三角形，因此∠ACB = 60度，由此我们可以得出三角形OAB为等边三角形，从而证明OO' = OA。

最后，我们需要证明连接点O、A、B、C组成的图形是一个正三角形。

我们可以利用前面得出的结论，即OO' = OA，来证明该图形为等边三角形。

由于OA、OB、OC均为等边三角形ABC的边长，因此该图形是一个正三角形。

综上所述，当两个等边三角形通过一组手拉手相连时，连接线段的交点会形成一个正三角形。

这一结论可以帮助我们在进行三角形构建的过程中，更加灵活地进行手动模拟，从而得到更加准确的结果。

证明等边三角形的性质

证明等边三角形的性质作文正文如下：证明等边三角形的性质等边三角形是指三条边长度相等的三角形，它具有一些独特的性质。

下面将通过几个方面来证明这些性质。

一、等边三角形的内角在等边三角形中，我们知道三条边的长度都相等，设为a。

假设等边三角形的三个内角分别是A、B、C，我们需要证明A、B、C都是60度。

首先，连接等边三角形的三个顶点，可以得到三条边相等的边长为a的边长三角形。

根据边长三角形的性质，在边长为a的边长三角形中，三个内角分别是60度。

因此，A、B、C都是60度，证明了等边三角形的内角都是60度。

二、等边三角形的外角我们知道，在任意三角形中，三个外角的度数相加等于360度。

由于等边三角形的三个内角都是60度，所以可以推断等边三角形的三个外角度数相加为360度。

三、等边三角形的高和重心等边三角形的高是从一个顶点到对边的垂直线段。

因为等边三角形具有三个等长的边，所以三条高的长度也相等。

此外，等边三角形的高必须经过重心，即三条高的交点。

四、等边三角形的面积我们知道，任意三角形的面积可以通过底边和高来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

在等边三角形中，底边的长度和高的长度都相等，所以可以得到等边三角形的面积公式为：面积 = 边长 ×边长 ×√3 ÷ 4。

五、等边三角形的外接圆和内切圆等边三角形的外接圆指的是可以完全与等边三角形相切的圆。

我们可以证明，等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。

同样地，等边三角形的内切圆指的是完全与等边三角形的三条边相切的圆，其半径可以通过等边三角形的边长来计算，公式为：半径 = 边长× √3 ÷ 6。

综上所述，等边三角形的性质主要包括内角为60度、外角之和为360度、高和重心的特点、面积公式以及外接圆和内切圆的性质。

这些性质是等边三角形独特的特点，通过以上的证明可以加深对等边三角形的理解和认识。

几何原本等边三角形原理_解释说明以及概述

几何原本等边三角形原理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边长度相等。

它在几何学中具有重要的地位和特殊的性质。

本文旨在介绍等边三角形的基本原理、概念、性质以及解释其原理和证明方法。

1.2 文章结构本文包含以下几个主要部分：引言、等边三角形基本原理、几何原本概述、解释等边三角形原理与证明方法以及结论与总结。

每个部分将详细探讨相关内容，并提供相关的例子和图表进行说明。

1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解等边三角形的性质和特点，深入研究其背后蕴含的几何原理，并介绍不同的证明方法。

通过阅读本文，读者可以更好地掌握几何学知识，加深对等边三角形及其应用的理解。

此外，文章还将探讨几何学在研究和教育领域中的重要性，并提出可能存在的进一步研究方向。

以上是“1. 引言”部分内容，希望能对你撰写长文提供一些帮助。

2. 等边三角形基本原理：2.1 等边三角形定义：等边三角形是指三条边都相等的三角形。

在一个等边三角形中，每个内角都是60度。

2.2 等边三角形性质：（1）等边三角形的每一条边长度都相等。

（2）等边三角形的内角都是60度，所以它也是一个等腰三角形和正三角形。

（3）等边三角形的高与底边重合，且高线上任意点到底边两侧的距离都相等。

（4）等边三角形的外接圆半径为其边长的一半。

2.3 等边三角形特点：（1）对称性：等边三角形具有对称性，任意一点到其他两个顶点的距离相同。

（2）稳定性：在平面上一个确定大小的封闭图形中，只有等边三角形拥有最大的面积。

以上是关于等边三角形基本原理部分内容的介绍。

下面将进一步阐述几何原本概述和解释等边三角形原理与证明方法。

3. 几何原本概述3.1 几何学简介几何学是研究空间和图形形态及其性质的数学分支领域。

它利用逻辑推理和推导，通过定义、性质和定理等方法进行研究。

几何学可以追溯到古希腊时期，被认为是数学的基本组成部分之一。

在几何学中，最基本的元素是点、线和平面，并通过这些元素来构建各种图形。

等边三角形的判定和性质

证明:因为∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,所以 ∠ABE= ∠ADC.因为CE∥AB,所以∠BEC=∠ABE.所以∠BEC=∠ADC.因为 BC=AC,∠EBC= ∠DAC,所以△BCE≌△ACD.所以CE=CD,∠BCE=∠ACD,即 ∠ECD=∠ACB=60°.所以△CDE是等边三角形.
【变式】直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有两条直线,这与
“过两点有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二等边三角形的有关性质【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.

专题7 等边三角形的判定与性质（含答案）

专题7 等边三角形的判定与性质知识解读等边三角形的判定方法有三种：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在这三种判定方法中，证明角度等于60°和证明两个角度相等比证明线段相等容易些，因此在证明一个三角形是等边三角形的时候，尽可能寻找60°的角.如果能找到两个60°的角，则就完成了三角形全等的证明.如果找到一个60°的角，则可继续证明这个三角形是等腰三角形．当一个图形中出现等边三角形时，由于等边三角形的三边相等，三个角都等于60°，这就为全等三角形提供了可能.而当一个图形中出现两个等边三角形的时候，由于图中出现了太多相等的线段和相等的角，此时一般会出现全等三角形．培优学案典例示范一、等边三角形判定方法的选择例1 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE=BD．求证：△DAE为等边三角形．【提示】由于CE=BD，AB=AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，因此可证AD=AE，要说明△DAE为等边三角形，我们只需证明DE和AD，AE相等或者证明△ADE中一个角等于60°即可．【解答】EABCD【技巧点评】要证明一个三角形是等边三角形时，当已知这个三角形是等腰三角形，可设法证明第三条边和这两条边相等，或者证明这个三角形中有一个角等于60°．跟踪训练1．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于点E 和点F ，求证：△OEF 是等边三角形．FEOCBA二、等边三角形为全等三角形提供可能例2 如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：BE=DC ；（2）求∠BOC 的度数．【提示】（1）BE 和DC 可置于△ACD ，△AEB 中，通过证明△ACD ≌△AEB ，来证得BE=DC ，要证明△ACD ≌△AEB 需要的条件可从等边三角形中获得；（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO +∠DBO ，可将求∠BOC 转化为求∠BDO +∠DBO ．【解答】OEDCBA【技巧点评】等边三角形的三条边相等、三个角相等，相等的线段、相等的角是三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形．跟踪训练2．在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ．（1）如图1，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC=BD ；②∠APB =60°；（2）如图2，若∠AOB =∠COD=a ，则AC 与BD 间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）图 1 图 2PPOCAODCBA三、旋转线段，构造等腰直角三角形和等边三角形例3 已知：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，将线段CB 绕点C 旋转60°得到CB'，∠ACB 的平分线CD 交直线AB'于点D ，连接DB ，在射线DB'上截取DM=DC ．（1）在图1中证明：MB'=DB ；（2）若6，分别在图1、图2中，求出AB'的长（直接写出结果）．【提示】（1）本题隐含两个等边三角形，△BCB'和△CDM 都是等边三角形，连接CM 后，可得到一对全等三角形；（2）在图1中，可证明△ACB'是一个等腰三角形，其底角为15°6，要求的是底边长；图2中，图1的两个三角形仍然全等，△ACB'还是等腰三角形，其顶角是30°6，要求的是底边长，充分利用30°角构造直角三角形可解决这个问题．【解答】图 1 图 260°60°M B'DCBAB'MDC BA【技巧点评】线段绕其一个端点旋转60°，连接另一个端点的对应点，可得一个等边三角形，线段绕其一个端点旋转90°，连接另一个端点的对应点，可得一个等腰直角三角形．跟踪训练3．（北京中考题）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=a （0°<a <60°），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若∠DEC=45°，求a 的值．图 1 图 2EDCBA DCBA四、借助60°构造等边三角形解决问题例4 如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连接CE 、DE ．求证：EC=ED ．【提示】要证明EC=ED ，可考虑将这两条线段置于一对全等三角形中，图中没有全等三角形，可设法构造全等三角形，由于∠B =60°，可考虑延长BD 到点F ，构造一个等边三角形．【解答】F EDC B A跟踪训练4．已知：△ABC 为等边三角形．（1）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°.试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC >BD ．图 1 图 2PDCBAPCBA拓展延伸五、与等边三角形有关的动态问题例5 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断△BPQ 的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，△BPQ 的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．QP C BA【提示】（1）当出发后两秒时，AP =2×1=2，所以BP =4，BQ =2×2=4，又△ABC 是等边三角形，∠B =60°，所以△BPQ 是等边三角形，∠BPQ =∠A =60°，所以PQ //AC ．（2）过Q 作QH ⊥AB ，因为∠B =60°，所以∠BQH =30°，又BQ =2t ，所以BH=t ，由勾股定理，得3t ，所以得面积S ()36t -．跟踪训练5.如图2-7-10，在等边△ABC 中，AB =9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动.P ，Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟。

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE.求证：△ABC是等边三角形.分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED，∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠DCB=60°，∴△ABC为等边三角形.例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形.例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论.分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形.解：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°，同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°，∴∠E=∠F=∠D=60°，∴△DEF是等边三角形.根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.。

怎样证明等边三角形

怎样证明等边三角形1．如图所示，已知在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边上的点，且AF=BD=CE ．求证：DEF ∆是等边三角形．2．如图所示，ABC ∆是等边三角形，AF=BD=CE ，AD 、BE 、CF 依次交于G 、H 、K ．求证：GHK ∆是等边三角形．3．如图所示，已知ABC ∆中，C B ∠=∠2，AD 是中线，BC=2AB ．求证：ABD ∆是等边三角形．AFEBA F BDE HKG ABC4．如图所示，已知等边三角形ABC 中，点P 、Q 、R 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AB RP CA QR BC PQ ⊥⊥⊥,, 求证：PQR ∆为等边三角形．5．如图所示，已知E 为等边ABC ∆的边AC 上一点，21∠=∠，求证：ADE ∆为等边三角形．6．如图所示，已知：BE 和CF 是ABC ∆的高，H 是BE 和CF 的交点，HB=HC ，︒=∠60A ．求证：ABC ∆是等边三角形．A BCRPAHEFB CADECB 127．如图所示，已知点B 在线段AC 上，等边ABE ∆和等边BCD ∆在线段AC 的同侧，AD 与BE 交于点M ，CE 与BD 交于点N ，求证：BMN ∆是等边三角形．8．如图所示，已知ABC ∆是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，CE 平分BD CE ACD =∠,．求证：ADE ∆是等边三角形．9．如图所示，已知等腰ABC ∆，AB=AC ，AB 边上的高︒=∠=30,3BCD CD ．求证：ABC ∆是等边三角形．AMNCE DABCDEAB CD10．如图所示，已知ABC ∆是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得CDE ∆是等边三角形．如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：CMN ∆是等边三角形．11．如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠90BAC ，BD 平分BC AE ABC BDC ABC ⊥∠=∠∠,2,于E ，交BD 于F ．求证：FDA ∆是等边三角形．12．如图所示，已知ABC ∆是等边三角形，D 是AC 边上一点，CDE ∆是等边三角形，BC 延长线与AE 延长线交于F ，BD 延长线与CE 延长线交于G ，求证：CFG ∆为等边三角形．‘ACEMBNDABE FCA DEGFB13．在ABC ∆中，若三边长分别为c b a ,,，且ca bc ab c b a ++=++222，求证：ABC ∆为等边三角形．。

1.1你能证明它们吗等边三角形的判定

B A
300
′
C
驶向胜利的彼岸
试一试P14 2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗?
B E C F B E A G A (1) D A (2) D C F
驶向胜利的彼岸
独立作业
2
习题1.3
4 1
E 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,
A
3
F
D 答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知), ∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 ). 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 驶向胜利同理,∠D=600,∠F＝600. 的彼岸 ∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).
试一试P14 2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么 ∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? B C 0. 答:∠ADG等于15 证明:∵DF=DC/2(中点意义), A1 E F A1D=AD=CD(正方形各边都相等), 300 ∴DF=A1D/2(等量代换). G ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直 A D 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). (2) 又∵AD∥EF(中点意义), ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).

等边三角形的性质及相关问题

等边三角形的性质及相关问题等边三角形是初中数学中常见的一个几何形状，它具有独特的性质和一些有趣的相关问题。

在本文中，我将详细介绍等边三角形的性质，并举例说明相关问题的解决方法，以帮助中学生更好地理解和应用这些知识。

一、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

它的定义很简单，但是它的性质却非常有意思。

首先，等边三角形的三个角度也是相等的，每个角度都是60度。

这是因为在等边三角形中，三条边的长度相等，所以三个角度也必然相等。

其次，等边三角形的高、中线和角平分线都具有特殊的性质。

等边三角形的高是指从三角形顶点到底边的垂直距离，等边三角形的高与底边相等，并且每条边都是高。

等边三角形的中线是指连接三角形的一个顶点和底边中点的线段，等边三角形的中线与底边相等，并且每条边都是中线。

等边三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点到对边的角的平分线，等边三角形的角平分线与底边相等，并且每条边都是角平分线。

二、等边三角形的相关问题1. 等边三角形的面积如何计算？等边三角形的面积计算公式是：面积 = 边长的平方乘以根号3除以4。

例如，如果等边三角形的边长为a，那么它的面积就是(a^2 * √3) / 4。

2. 如何判断一个三角形是否是等边三角形？判断一个三角形是否是等边三角形的方法是：比较三条边的长度是否相等。

如果三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。

3. 如何构造一个等边三角形？构造一个等边三角形的方法是：首先，在纸上画一个任意形状的三角形ABC，然后找到三角形的一个顶点D，使得AD = BC，并且∠ADC = 60度，然后连接BD和AC，就得到了一个等边三角形。

4. 等边三角形的外接圆和内切圆的性质是什么？等边三角形的外接圆和内切圆都具有特殊的性质。

等边三角形的外接圆的半径等于等边三角形的边长，而内切圆的半径等于等边三角形的边长除以2。

5. 如何证明等边三角形的性质？要证明等边三角形的性质，可以使用几何推理和数学推导的方法。