二项式定理及其简单应用
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第四类，全部取b, C33种，
即共C30 C31 C32 C33 8种
6
问题5: 请写出（a b）3展开后的多项式 .
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
a3 3a2b 3ab2 b3
练习：谁能快速写出将 （a b）4展开后的多项式 ?
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
四、理论迁移（二）
例2
化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋
(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]: 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…
＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
总结：逆用二项式定理可以化简多项式，
体现的是整体思想．注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢．
14
活学活用（二）
化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解]: 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－C55＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
思考：问题2与问题1的处理过程之间有何异同点？
同：展开的过程就是取球的过程； 异：取球ab，ba属两种方法，展开式中的ab，ba
可合并同类项。
问题3：将（a b）2展开并整理后，各项的系数与取球 问题中有何联系？
整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数， 即取球问题中分类计数原理的各类结果数。
即（a b）2 a2 2ab b2 C20a2 C21ab C22b52
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
x
（3）求 x 1 7的展开式中x的二项式系数.
x
注：一个二项展开式的某一项的二项式系数与
这一项的系数是两个不同的概念。
12
活学活用（一）
求
x－2
1
4
x
的展开式，并求该展开式的第
3
项.
解： Tr1 C4r
列举法：aa，ab，ba，bb
共4种.
分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此：
第一类，两次都不取b（即两次都取a），有
C20 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有
C21 2种取法； 第三类，两次都取b（即两次都不取a），有
C21 1种取法。
共4种. 4
问题2：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理
（2）令a=1，b=1：
(11)n Cn0 Cn1 Cnr Cnn
（二项式系数和公式） （3）用-b代替b ：
a b n Cn0anb0 Cn1an1b Cn2an2b2 1 r Cnr anrbr Cnna0bn 11
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
问题4：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小 球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多 少种不同的取法？
请用分类计数原理进行分析
第一类，三次都不取 b, C30种； 第二类，任一次取b, 其他两次取a, C31 C22 C31种，
第三类，任两次取b, 其他一次取a,C32 C11 C32种，
x 4r 1 r 2
1
r
x
1 r 2r C4r x2r
x
1
4
2 x
x2 21 C41 x 22 C42 23 C43 x1 24 C44 x2
x2 2x 3 1 x1 1 x2 2 2 16
T3 T21
1
2
22
C42
x22
3 2
13
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律：பைடு நூலகம்
（1）各项的次数和均为n；
（2）二项式的第一项a的次数由n逐次降到0，
第一项b的次数由0逐次升到n.
注意：公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。 10
（1）令a=1，b=x：
1 x n Cn0x0 Cn1x Cn2x2 Cnr xr Cnnxn
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
7
问题6: 将（a b）n展开并整理后的多项式 ？
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
二项式定理
(n N )
8
三、二项式定理
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N )
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
9
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
2
二、讲授新课 问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个 小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共 有多少种不同的取法？
请分别用列举法、分类计数原理进行分析。
3
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？
15
五、课堂小结
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1项
二项式定理(1)
----二项式定理及其简单应用
1
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等代
数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*）
由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，
二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。
即共C30 C31 C32 C33 8种
6
问题5: 请写出（a b）3展开后的多项式 .
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
a3 3a2b 3ab2 b3
练习：谁能快速写出将 （a b）4展开后的多项式 ?
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
四、理论迁移（二）
例2
化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋
(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]: 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…
＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
总结：逆用二项式定理可以化简多项式，
体现的是整体思想．注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢．
14
活学活用（二）
化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解]: 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－C55＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
思考：问题2与问题1的处理过程之间有何异同点？
同：展开的过程就是取球的过程； 异：取球ab，ba属两种方法，展开式中的ab，ba
可合并同类项。
问题3：将（a b）2展开并整理后，各项的系数与取球 问题中有何联系？
整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数， 即取球问题中分类计数原理的各类结果数。
即（a b）2 a2 2ab b2 C20a2 C21ab C22b52
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
x
（3）求 x 1 7的展开式中x的二项式系数.
x
注：一个二项展开式的某一项的二项式系数与
这一项的系数是两个不同的概念。
12
活学活用（一）
求
x－2
1
4
x
的展开式，并求该展开式的第
3
项.
解： Tr1 C4r
列举法：aa，ab，ba，bb
共4种.
分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此：
第一类，两次都不取b（即两次都取a），有
C20 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有
C21 2种取法； 第三类，两次都取b（即两次都不取a），有
C21 1种取法。
共4种. 4
问题2：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理
（2）令a=1，b=1：
(11)n Cn0 Cn1 Cnr Cnn
（二项式系数和公式） （3）用-b代替b ：
a b n Cn0anb0 Cn1an1b Cn2an2b2 1 r Cnr anrbr Cnna0bn 11
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
问题4：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小 球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多 少种不同的取法？
请用分类计数原理进行分析
第一类，三次都不取 b, C30种； 第二类，任一次取b, 其他两次取a, C31 C22 C31种，
第三类，任两次取b, 其他一次取a,C32 C11 C32种，
x 4r 1 r 2
1
r
x
1 r 2r C4r x2r
x
1
4
2 x
x2 21 C41 x 22 C42 23 C43 x1 24 C44 x2
x2 2x 3 1 x1 1 x2 2 2 16
T3 T21
1
2
22
C42
x22
3 2
13
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律：பைடு நூலகம்
（1）各项的次数和均为n；
（2）二项式的第一项a的次数由n逐次降到0，
第一项b的次数由0逐次升到n.
注意：公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。 10
（1）令a=1，b=x：
1 x n Cn0x0 Cn1x Cn2x2 Cnr xr Cnnxn
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
7
问题6: 将（a b）n展开并整理后的多项式 ？
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
二项式定理
(n N )
8
三、二项式定理
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N )
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
9
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
2
二、讲授新课 问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个 小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共 有多少种不同的取法？
请分别用列举法、分类计数原理进行分析。
3
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？
15
五、课堂小结
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1项
二项式定理(1)
----二项式定理及其简单应用
1
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等代
数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*）
由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，
二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。