数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)

合集下载

高中数学第2章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法课件新人教A

论归结为判定一个明显成 P2⇐P3 → … → 法或执
立的条件(已知条件、定___理_、得到一个明显
果索因
成立的条件
法.
_定__义__、_公__理__等)为止，这
种证明方法叫做分析法.
核心要点探究
知识点一综合法【问题1】用综合法证明命题的基本思路是什么？答案综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从已知条件、公理、定理出发，经过严格的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题．
【问题2】综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答案综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
知识点二分析法【问题1】用分析法证明命题的基本思路是什么？答案分析法的基本思路是“执果索因”．由求证走向已知，即从数学题的待征结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件．
典题示例
【典例】 (12 分)若 a，b，c 为不全相等的正数，求证： lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c.
[审题指导]
典题试解
已知函数 f(x)＝lg1x－1，x∈0，12，若 x1，x2∈0，12 且 x1≠x2.
求证：12[f(x1)＋f(x2)]＞fx1＋2 x2.
【问题3】什么是分析综合法？
答案 “分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合法的方法结构如图所示：

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2

知识点二分析法
思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a，b>0，求证：a＋2 b≥ ab. 证明：要证a＋2 b≥ ab，只需证 a＋b≥2 ab，只需证 a＋b－2 ab≥0，只需证( a－ b)2≥0，
因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.
答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.
梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、_定__理_ 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
跟踪训练2 已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|a|＋＋|bb||≤ 2. 证明 a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|a|＋＋|bb||≤ 2，只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证.
A.( 2－ 3)2<( 6－ 7)2
B.( 2－ 6)2<( 3－ 7)2
√C.( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2
D.( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
解析根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，只需证 2＋ 7< 6＋ 3，即证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》811PPT课件

c·13≤c＋2 13，
三式相加得
a＋ 3
b＋ 3
3c≤(a＋b＋c)＋12＝1，
∴ a＋ b＋ c≤ 3.
工具
第三章推理与证明
栏目导引
设 a、b、c 为不全相等的正数，且 abc＝1，求证：1a＋1b＋1c＞ a＋ b＋ c. 证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝1， ∴1a＋1b＋1c＝abc1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab. 又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c，同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a，
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如下图所示：
工具
第三章推理与证明
栏目导引
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、 B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可．
运算法则通过演绎推理一步步地接近要证明的结论，
直到完成命题的证明，这种思维方法称为
综合法．
2．综合法的推证过程 A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
工具
第三章推理与证明
栏目导引
1．若实数 a，b 满足 0＜a＜b，且 a＋b＝1，则下列四
个数中最大的是( )
由余弦定理及b2＝ac，可得：b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2 －ac，
工具
第三章推理与证明
栏目导引
∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此 a＝c，从而有 A＝C. ∴A＝B＝C＝3π，所以△ABC 为正三角形．
工具
第三章推理与证明

2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件

2
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般地，分析法的基本含义是什么？从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与，与，与均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2，＋ 2 ，＋ 2 ，由重要不等式得：＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修1208303

S9=
=9a5<0.
所以S5最小.
第二十五页，共30页。
6. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE. (2)证明：PD⊥平面 ABE.
第二十六页，共30页。
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以(suǒyǐ)CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以(suǒyǐ)CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以(suǒyǐ)AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以(suǒyǐ)AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，所以(suǒyǐ)AE⊥PD，
想到a·b
a
b
cos C和SABC
1 2
a
b sin C.利用
sin C 1 cos2 C经适当转化就可以获得结论.
第十二页，共30页。
证明因为SABC (zhèngm
1 2
a
b sin C，cosC
ab， ab
íng)：所以S 2ABC
1 4
a
2
b 2 sin2 C
1
2
a
b 2（1 cos2 C）
2.2 直接证明与间接(jiàn jiē)证明 2.2.1 综合法和分析法第1课时综合法
第一页，共30页。
有趣的数学(shùxué)证明引人入胜
第二页，共30页。
推理
合情推理（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）

推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法课件新人教A版选修22

导出所要证明的结论成立，这 _____ 定义、公理、定理等，果法种证明方法叫作综合法 Q 表示所要证明的结论 )
[双基自测]
1．以下命题中正确的是( )
A．综合法是执果索因的逆推法 B．综合法是由因导果的顺推法 C．综合法是因果互推的两头凑法 D．综合法就是举反例
解析：由综合法的概念知，综合法是一种由因导果的推理方法．
代入 f(x)＝(x＋1)2－1 得 y′＝(2－x′＋1)2－1，即 y＝(x－3)2－1.
答案：y＝(x－3)2－1
探究一 [典例 1]
用综合法证明不等式
已知 a，b，c 是正数，且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 求证：a－1b－1c －1≥8.
[证明]
1．已知 x>0，y>0 且 x＋y＝1， 1 1 求证：(1＋ )(1＋ )≥9. x y
证明：因为 x>0，y>0,1＝x＋y≥2 xy， 1 所以 xy≤ . 4 1 1 1 1 1 所以(1＋x)(1＋ y )＝1＋x＋ y ＋xy x＋y 1 2 ＝1＋＋＝1＋ ≥1＋8＝9. xy xy xy
bc ac ab a × b × c ＝8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．∴原不等式成立．
用综合法证明不等式的几个依据： (1)a2≥0(a∈R)．
2 a ＋ b a ＋ b (2)a2＋b2≥2ab，( )2≥ab，a2＋b2≥ . 2 2
a＋b b a (3)a，b∈(0，＋∞)，则 ≥ ab，特别地，a＋b≥2. 2 (4)a－b≥0⇔a≥b；a－b≤0⇔a≤b. (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
[证明]
(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，

2.2直接证明与间接证明PPT优秀课件

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

高中数学2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修2_2

题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式问题
【例 2】已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 分析:解答本题的关键是从基本不等式入手,利用同向不等式相加而得证. 证明:(1)∵a
1 , �� 3
2
求证:(1)a2+b2+c2≥3 ; (2) �� + �� + �� ≤ 3.
*
3 3 2��-1 ∴当 n∈N ,且 n≥2 时,bn= 2 ��(��n − 1) = 2 ·�� +3. ��-1 1 1 1 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴ �� − �� = 3. �� -1 1 1 ∴数列 �� 是首项为1,公差为 3 的等差数列. ��
【做一做】命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了的证明方法. 解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论,应用了综合法的证明方法. 答案:综合法
第1课时综合法
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
综合法
定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论) 特点顺推证法或由因导果法

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》精品课件_14

证法2:要证 ab ≤ a b 2
只要证 2 ab ≤ a b 只要证 0 ≤ a 2 ab b
只要证 0 ≤ ( a b )2
因为最后一个不等式成立，故结论成立。
分析法
表达简洁!
目的性强,易于探索!
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下：综合法
已知条件结论
分析法
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
三、综合法 (顺推证法、由因导果法)
1、综合法的概念
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立
例：求证不等式： 8 7 5 10.
证明：要证 8 7 5 10 , 只需证 ( 8 7 )2 ( 5 10 )2. 即证 8 7 2 56 5 10 2 50.
.
只需证 2 56 2 50 ,即56 50. 故不等式成立.
注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。
练习：求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2
展开,只需证 21 5
只需证 21<25
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
上联：由因导果，顺藤摸瓜下联：执果索因，逆推破案横批：得心应手

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》精品课件_31

成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
2、求证 3 7 2 5
说一说：
请对综合法与分析法进行比较，说说它们各自特点，回顾以往数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果，
分析法的特点：执果索因.
研一研：
1.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
要证
ab 1
1 a1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
2.2.1 直接证明
——综合法与分析法
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
法一：∵ b2 c2 ≥ 2bc , a 0 ,
你怎样求证？
∴ a(b2 c2 )≥ 2abc .又∵ c2 a2 ≥ 2ac , b 0 ,
思考小结: 1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 其格式为: 由因导果 (已知) A B1 Bn B (结论) 2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论) B B1 Bn A (已知)
注:分析法被认为是解数学题的“绝招 ”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明.
象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》763PPT课件

的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，
求证 AF⊥SC．
S
证明：要证AF⊥SC，只需证 SC⊥平面AEF，
F E
只需证证 AE⊥BC ，只需证 BC⊥平面SAB ，只需证 BC⊥SA ，只需证 SA⊥平面ABC ，
A
C
B 因为 SA⊥平面ABC成立，
∴sinA＋sinB＋sinC > cosA＋cosB＋cosC.
练习：设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x 轴（如图），证明直线AC经过原点O.
y
4
A
2
OF
5
x
CB
－2
－4
－6
分析法
复习
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
所以 AF⊥SC成立．
练习
已知α，β ≠ kπ + π (k ∈Z)，且 2
sinθ + cosθ = 2sinα，sinθcosθ = sin2 β，
求证：1-tan2α = 1-tan2 β . 1+ tan2α 2(1+ tan2 β)
Q P1
P1 P2
P2 P3 …
得到一个明显成立的结论．
例3．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ ABC为等边三角形．
证明：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B． ∵A＋B＋C＝180°， ∴B＝60°， ∴b²＝a²＋c²－2accos60°＝a²＋c²－ac． ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， ∴ab＝a²＋c²－ac，即 (a－c)²＝0， ∴a＝c，则A＝C， ∴ A＝C＝B ＝ 60°， ∴ △ ABC为等边三角形．

2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)(PPT课件)

2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
8
小结
综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
特点：执果索因.
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
11
例4:求证 3 72 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以为了证明 3 72 5 只需证明 ( 3 7)2(2 5)2
1
4
22
a b (1 cos ห้องสมุดไป่ตู้C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2]
4
于是 SΔABC
1 2
22
a b (a• b)2
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC