数学高考复习名师精品教案：第85课时：第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2)

第85课时：第十章 排列、组合和概率——二项式定理（2）

课题：二项式定理（2）

一．复习目标：

1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．

3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式． 二．课前预习：

1．1003

)32(+的展开式中无理项的个数是 （ A ）

()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87

2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1

x f

-等于 （ C ）

()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -

3．如果21872221221=++++n n n n n

C C C ，则=++++n n n n n C C C C 210128． 4.n

n

n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =1

1+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ， 则=++++99531a a a a 2

1

5100-.

四．例题分析：

例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其

中+∈>N n n ,2），且n n n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1

lim

n

n

n S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．

解：由题意11-⋅=n n q a a ，n n

S 21

=，)

0()1()1(122

1

11221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n

n n

n

n

n

n

n

n n n n

∴n

n n n n q a q a S S )21(2

)1(111+=+=．如果1lim n n n S S ∞→存在，则1|21|<+q 或121=+q ， ∴212<+<-q 或1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．

例2．(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和．

(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x 展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少？

解：（1）设431024367()(323)(35)(751)f x x x x x x x =---⋅-⋅--

2012()n

n a a x a x a x n N =+++

+∈，

其各项系数和为n a a a a ++++ 210． 又∵102467102012(1)(3123)(35)(751)163n f a a a a =+++

+=---⋅-⋅--=⋅，

∴各项系数和为102316⋅．

（2）设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x x x f +++=+--⋅-= ，

∴0)1(3001210=++++=a a a a f ，2)1(3001210=--+-=-a a a a f ，故

1300131-=+++a a a ，1300020=+++a a a ，

∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1，x 奇次幂各项系数和为-1．

例3．证明：（1）∑==n

k n k

n

k C 032)(N n ∈； （2）1

222122322212022

3222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈； （3）)(3)11(2N n n

n ∈<+<；（4）2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n n n n n

n n n C C C

由(i)知

小结：

五．课后作业：

1．若n x

x )1

(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ C ）

()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 10

2．用88除78788+，所得余数是 （ ）

()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 80

3．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ． 4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，

则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）． 5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则

（1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），

则a 的取值范围为]3

2

,21(

7．求满足500323210<+++++n n n n n n

nC C C C C 的最大整数n ．

原不等式化为n ·2n-1

＜499

∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500． 当n=7时，7·26=7×64=448＜449． 故所求的最大整数为n=7．

8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++

证明 由(1+x)n ·(1+x)n =(1+x)2n ，两边展开得：

比较等式两边x n

的系数，它们应当相等，所以有：

9．已知(1＋3x)n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．

∴ n ＝15或 n ＝-16(舍)

设第 r ＋1项与第 r 项的系数分别为t r+1，t r