兰州市中考数学试题分析
兰州市重点中学2024届中考联考数学试卷含解析
兰州市重点中学2024届中考联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（）A．B．C．D．2．把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105B．6.8×106C．6.8×107D．6.8×1083．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()A．55°B．60°C．65°D．70°4．定义运算“※”为：a※b=()()22ab bab b⎧>⎪⎨-≤⎪⎩，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣1．则函数y=2※x的图象大致是（）A．B．C．D．5．19-的值为（）A．19B．-19C．9 D．-96．计算（－18）÷9的值是( )A．-9 B．-27 C．-2 D．27．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（）A．3.82×107B．3.82×108C．3.82×109D．0.382×10108．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了9．若△÷2111aa a-=-，则“△”可能是（）A．1aa+B．1aa-C．+1aaD．1aa-10．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF为边长的正方形面积（）A．11 B．10 C．9 D．16二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．13．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x+32）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为_____．14．图中是两个全等的正五边形，则∠α=______．15．小华到商场购买贺卡，他身上带的钱恰好能买5张3D立体贺卡或20张普通贺卡.若小华先买了3张3D立体贺卡，则剩下的钱恰好还能买______张普通贺卡．16．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．17．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=1cm，C为AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为_____cm1．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？19．（5分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）20．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；△A2B2C2的面积是平方单位．21．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．求证：AP=BQ；在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作∠ABD=∠ADE，交AC 于点E．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)若⊙O的半径为256，AD=203，求CE的长．23．（12分）如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（3，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．24．（14分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B两种型号的挖掘机,已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A型, B型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】试题分析：从上面看是一行3个正方形．故选A考点:三视图2、B【解题分析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：把6800000用科学记数法表示为6.8×1．故选B．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、C【解题分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【题目详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选C．【题目点拨】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．4、C【解题分析】根据定义运算“※” 为: a※b=()()22ab bab b⎧>⎪⎨-≤⎪⎩，可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象.【题目详解】解:y=2※x=()()222020x xx x⎧>⎪⎨-≤⎪⎩，当x>0时,图象是y=22x 对称轴右侧的部分;当x ＜0时,图象是y=22x -对称轴左侧的部分，所以C 选项是正确的.【题目点拨】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为: a ※b=()()2200ab b ab b ⎧>⎪⎨-≤⎪⎩得出分段函数是解题关键.5、A【解题分析】【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得. 【题目详解】19-表示的是19-的绝对值， 数轴上表示19-的点到原点的距离是19，即19-的绝对值是19， 所以19-的值为 19， 故选A.【题目点拨】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.6、C【解题分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【题目详解】解：（-18）÷9=-1． 故选：C ．【题目点拨】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．7、B【解题分析】根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决．【题目详解】解：3.82亿=3.82×108，故选B ．【题目点拨】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．8、A【解题分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【题目详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国.故答案选A.【题目点拨】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字. 9、A【解题分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【题目详解】211,1a a a -÷=- 21111a a A a a a-+∴=⨯=-。
兰州市重点中学2024届中考数学考前最后一卷含解析
兰州市重点中学2024届中考数学考前最后一卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆锥B ．四棱锥C ．圆柱D ．四棱柱3．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．434．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AEDB EC= B ．AB ACAD AE= C ．AC ECAB DB= D ．AD DEDB BC= 5．如图，已知D 是ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE6．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ） A ．49B ．112C ．13D ．167．若2a 2a 30--=，代数式a 2a 23-⨯的值是( ) A ．0B ．2a 3-C ．2D ．12-8．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -= B ．a 与b 方向相同 C ．//a bD ．||5||a b =9．已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则a ﹣2b 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C ．3D ．﹣310．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=2，则△CEF 的面积是（ ）A．22B．2C．32D．42二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．12．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以BC为直径的⊙O与AC相交于点O，则阴影部分的面积为_____．14．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，点B′和B分别对应）．若AB＝2，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过A′，B，则k的值为_____．15．若反比例函数2ky x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是__. 16．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算：（3﹣2）0+11()3-+4cos30°﹣|﹣12|． 18．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC=，在AC 边上截取AD=BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC•CD 的大小关系； （2）求∠ABD 的度数．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值．20．（8分）解不等式组:3(2)421152x x x x ≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来.21．（8分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？22．（10分）如图，分别延长▱ABCD 的边CD AB ，到E F ，，使DE BF =，连接EF ，分别交AD BC ，于G H ，，连结CG AH.，求证：CG //AH ．23．（12分）如图，抛物线与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由24．襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()76(120)2030mx m x x n x x -≤<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，为整数，为整数 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．m= ，n= ；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图．详解：该几何体的左视图是：故选A．点睛：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2、B【解题分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【题目详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱．故选B.【题目点拨】本题考查了由三视图找到几何体图形,属于简单题,熟悉三视图概念是解题关键.3、A【解题分析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴2222=108=6AB AC--，∴sinA=63105 BCAB==.故选：A．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 4、D 【解题分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论. 【题目详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB ACAD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ． 【题目点拨】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质． 5、C 【解题分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【题目详解】 ∵∠BAD=∠C ， ∠B=∠B ，∴△BAC ∽△BDA ．故A 正确． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE ，∴△BFA ∽△BEC ．故B 正确． ∴∠BFA=∠BEC ， ∴∠BFD=∠BEA ，∴△BDF ∽△BAE ．故D 正确．而不能证明△BDF ∽△BEC ，故C 错误． 故选C ． 【题目点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 6、C 【解题分析】 画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：2163=. 故选C.【题目点拨】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 7、D 【解题分析】由2a 2a 30--=可得2a 2a 3-=，整体代入到原式()2a 2a6--=即可得出答案．【题目详解】 解：2a 2a 30--=，2a 2a 3∴-=，则原式()2a 2a31662---===-．故选：D ． 【题目点拨】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键． 8、A 【解题分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【题目详解】A 、50a b -=，故该选项说法错误B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，故选：A．【题目点拨】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．9、B【解题分析】把11xy=⎧⎨=-⎩代入方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩得：231a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：4313 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以a−2b=43−2×(13-)=2.故选B.10、A【解题分析】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，∴，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=142⨯⨯=∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【题目点拨】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1+【解题分析】试题分析：连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为1+．点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．12、33,3． 【解题分析】试题分析：当点B 的移动距离为33时，∠C 1BB 1=60°，则∠ABC 1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC 1D 1为矩形；当点B 的移动距离为3时，D 、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC 1D 1为菱形．试题解析：如图：当四边形ABC 1D 是矩形时，∠B 1BC 1=90°﹣30°=60°，∵B 1C 1=1，∴BB 1=113tan 6033B C ==︒， 当点B 3ABC 1D 1为矩形； 当四边形ABC 1D 是菱形时，∠ABD 1=∠C 1BD 1=30°，∵B 1C 1=1，∴BB 1=113tan 303B C ==︒，当点B 的移动距离为3时，四边形ABC 1D 1为菱形．考点：1．菱形的判定；2．矩形的判定；3．平移的性质．13、6﹣π【解题分析】连接OD 、BD ，根据阴影部分的面积()=ADB BOD BOD SS S --扇形计算.【题目详解】连接OD 、BD ，90B ∠=︒，45A ∠=︒，∴45C ∠=︒，BA BC =，BC 为O 的直径，∴90BDC ∠=︒，BA BC =，∴DB DC =，∴45DBC ∠=︒，∴90BOD ∠=︒，∴阴影部分的面积()=ADB BOD BOD S S S --扇形 211902144226223602ππ⨯=⨯⨯⨯-+⨯⨯=-. 故答案为6π-.【题目点拨】本题考查的是扇形面积计算，掌握直角三角形的性质、扇形面积公式2360n R S π=是解题的关键. 14、33【解题分析】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B（m，1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=12m，A′E=32m，∴A′（12m，32m），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴12m•32m=m，∴m=433，∴k=433故答案为43 315、k>1【解题分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定1-k的符号，即可解答．【题目详解】∵反比例函数y＝2kx-的图象在第二、四象限，∴1-k＜0，∴k＞1．故答案为：k＞1．【题目点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．16、5π【解题分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为12圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．【题目详解】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为14圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转14圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：112544π⨯⨯+×2π×5＝5π，故答案为5π．【题目点拨】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．三、解答题（共8题，共72分）17、1【解题分析】分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.详解：原式3 13423, =++-132323,=++=1．点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.18、（1）AD2=AC•CD．（2）36°．【解题分析】试题分析：（1）通过计算得到=，再计算AC·CD，比较即可得到结论；（2）由，得到，即，从而得到△ABC∽△BDC，故有，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论．试题解析：（1）∵AD=BC=，∴==．∵AC=1，∴CD==，∴；（2）∵，∴，即，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．考点：相似三角形的判定与性质．19、（1）3k≤；（2）k＝1【解题分析】（1）根据一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，可得出△≥0，解不等式即可得出结论；（2）分别把k的正整数值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，根据解方程的结果进行分析解答．【题目详解】（1）由题意得：△=16﹣8（k﹣1）≥0，∴k≤1．（2）∵k为正整数，∴k=1，2，1．当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x =0，解得：x=0或x=－2，有一个根为零；当k=2时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +1=0，解得：x=222-±，无整数根；当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +2=0，解得：x1=x2=－1，有两个非零的整数根．综上所述：k=1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（1）△＜0⇔方程没有实数根．20、不等式组的解集为﹣7＜x≤1，将解集表示在数轴上表示见解析.【解题分析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：.考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.21、（1）详见解析；（2）4分.【解题分析】（1）根据题意用列表法求出答案；（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.【题目详解】（1）列表如下：由列表可得：P（数字之和为5）＝14，（2）因为P（甲胜）＝14，P（乙胜）＝34，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分.【题目点拨】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.22、证明见解析【解题分析】分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD 和△FHB 全等，从而得出DG=BH ，从而说明AG 和CH 平行且相等，得出四边形AHCG 为平行四边形，从而得出答案．详解：证明：在▱ABCD 中，AB//CD AD//CB AD CB ，，=，E F EDG DCH FBH ，∠∠∠∠∠∴===，又 DE BF =，EGD ∴≌()FHB AAS ，DG BH ∴=，AG HC ∴=，又AD//CB ，∴四边形AGCH 为平行四边形， AH //CG ∴．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG 为平行四边形．23、（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+ （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN 为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN 是菱形，t=2时，平行四边形BCMN 不是菱形，理由见解析.【解题分析】（1）由A 、B 在抛物线上，可求出A 、B 点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB 的函数关系式．（2）用t 表示P 、M 、N 的坐标，由等式MN NP MP =-得到函数关系式．（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t ．再讨论邻边是否相等．【题目详解】解：（1）x=0时，y=1，∴点A 的坐标为：（0，1），∵BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0），∴点B 的横坐标为3，当x=3时，y=52， ∴点B 的坐标为（3，52）， 设直线AB 的函数关系式为y=kx+b ，1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的函数关系式112y x =+（2）当x=t 时，y=12t+1， ∴点M 的坐标为（t ，12t+1）， 当x=t 时，2517144y t t =-++ ∴点N 的坐标为2517(,1)44t t t -++ 2251715151(1)44244s t t t t t =-++-+=-+ （0≤t≤3）； （3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ， ∴25155=442t t -+， 解得t 1=1，t 2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形，①当t=1时，MP=32，PC=2， ∴MC=52=MN ，此时四边形BCMN 为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1，∴，此时四边形BCMN 不是菱形．【题目点拨】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．24、（1）m=﹣12，n=25；（2）18，W 最大=968；（3）12天. 【解题分析】【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．【题目详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx ﹣76m 得32=12m ﹣76m ，解得m=12-， 当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n ，则n=25，故答案为m=12-，n=25；（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16，当1≤x＜20时，W=（4x+16）（12x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968，∴当x=18时，W最大=968，当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112，∵28＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952，∵968＞952，∴当x=18时，W最大=968；（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x＜20，∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥271 14，∴27114≤x≤30∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元，∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.。
2022年甘肃省兰州市中考数学试题(解析版)
兰州市2022 年中考试题数学〔A〕本卷须知：1.本试卷总分值150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填〔涂〕在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填〔涂〕写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每题4 分，共60 分，在每题给出的四个选项中仅有一项为哪一项符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，那么该几何体的主视图是〔〕。
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在〔〕。
〔A〕第一、二象限〔B〕第一、三象限〔C〕第二、三象限〔D〕第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，此题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.△ABC ∽△DEF，假设△ABC与△DEF的相似比为3／4，那么△ABC与△DEF对应中线的比为〔〕。
〔A〕3／4〔B〕4／3〔C〕9／16〔D〕16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，此题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，那么AB＝〔〕。
〔A〕4 〔B〕6 〔C〕8 〔D〕10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况〔〕。
〔A〕有一个实数根〔B〕有两个相等的实数根〔C〕有两个不相等的实数根〔D〕没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( ) A. 15− B.15C. 5D. -5【答案】C 【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40°B.50°C. 55°D. 60°【答案】B 【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC ∠=∠，即可求解． 【详解】解：读取量角器可知：50AOC ∠=°， ∴50BOD AOC ∠=∠=°， 故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a aa −=−（ ）A. 5a −B. 5a +C. 5D. a【答案】D 【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a aa −− ()55a a a −=−a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°∠=°， 故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键． 5. 方程213x =+的解是（ ） A. 1x =B. =1x −C. 5x =D. 5x =−【答案】A 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x 的值，经检验即可得解． 【详解】解：去分母得：23x =+， 解得=1x −，经检验=1x −是分式方程的解． 故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧»AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=°，则»=AB （ ）A. 20cm πB. 10cm πC. 5cm πD. 2cm π【答案】B 【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=°，∴»902010180AB ππ×==， 故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键． 7. 已知二次函数()2323y x =−−−，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =−B. 顶点坐标为()2,3C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－3【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．的【详解】二次函数()2323y x =−−−的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3−∵30−<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y − ∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确 故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c −+=（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4【答案】A 【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c −=，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根 ∴240b c ∆=−=∴()2221242022b c b c −+=−−=−=−， 故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021−×年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=°，则AOC ∠=（ ）A 35° B. 30° C. 25° D. 20°【答案】A 【解析】【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=°，可得23570AOB ∠=×°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=°．【详解】解：∵35MNO ∠=°，MO NO =， ∴35NMO MNO ∠=∠=°， ∴23570AOB ∠=×°=°， ∵OA OB =，C 为AB 的中点， ∴35AOC BOC ∠=∠=°， 故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =−的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ） A. 2 B. 1C. －1D. －2【答案】D 【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =−，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =−函数值y 随x 的增大而减小 ∴0k <.的∴当2x =时，211yk =−<− 故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C 【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形ABCD 中， ∴90ABC BAC ∠=∠=°， ∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BGBF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y −=______． 【答案】()()55x y x y +− 【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y −=+−．故答案为：()()55x y x y +−．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=°，则BAE ∠=______°．【答案】50 【解析】【分析】证明70DBC C ∠=∠=°，18027040BDC∠=°−×°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ∠=∠=°，结合AE BD ⊥，可得904050BAE ∠=°−°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C ∠=°，∴70DBC C ∠=∠=°，18027040BDC ∠=°−×°=°， ∵ABCD Y ， ∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ∠=∠=°， ∵AE BD ⊥，∴904050BAE ∠=°−°=°； 故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a −=______．【答案】3 【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC的面积为7，正方形ODEF的面积为9OD=∴OA=3b=即a=，3b a−=∴3故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 掷次数盖面朝28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 上次数盖面朝0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝−．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 18. 计算：()()()2234x y x y y y +−−−． 【答案】23x y − 【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解：()()()2234x y x y y y +−−−222=434x y y y −−+23x y =−．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x −>++ >− ．【答案】34x << 【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x −>++>−①②， 由①得：32>21x x −+， 解得：>3x ，由②得：2>36x x +−， 解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0kyx x=<与一次函数2y x m =−+的图象交于点()1,4A −，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =−+的表达式； （2）当1OD =时，求线段BC 的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=−；一次函数的表达式为22y x =−+； （2）142BC =． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解． 【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A −， ∴144k =−×=−，∴反比例函数的表达式为4y x=−； ∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −， ∴()421m =−×−+， ∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+； 【小问2详解】解：∵1OD =，∴()01D ，， ∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x=−， 解得4x =−，则()41B −，， ∵1y =时，122x =−+， 解得12x =，则112C ，， ∴()114422BC =−−=． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法． 21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE V 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE V V ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN V V ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线； （3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可． 【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =， ∴()SSS OCE ODE V V ≌， ∴AOE BOE ∠=∠， ∴OE 是AOB ∠的角平分线； 故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =， ∴()SSS OCM OCN V V ≌， ∴AOC BOC ∠=∠， ∴OC 是AOB ∠的角平分线； （3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=°、53BAD ∠=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°≈，cos380.79°≈，tan 380.78°≈，sin 530.80°≈，cos530.60°≈，tan 53 1.33°≈）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ． 【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可. 【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC ∠=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°≈×=， 在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°≈×=， ∴()23.9414.049.9m CD BD BC =−=−=, 答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长． 【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =−++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +． 【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解； （2）令0y =，解方程即可求解． 【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，， 设抛物线的表达式为2y ax bx c ++，∴1210937ba c abc −= = ++=，解得1210a b c =− = = ， ∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =−++； 【小问2详解】解：令0y =，则22100x x −++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由； （2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）EG = 【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF 的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．【小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下， ∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OCOD AC BD ===， ∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线， ∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ∠=∠=∠=°，1302OCF DCF OCD ∠=∠=∠=°，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ∠=∠=∠=°， ∴EOD △等边三角形， ∴CO CD EO ED ===， ∴四边形OCDE 是菱形； 【小问2详解】解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ∠=°， ∴122DF CD ==，CF =，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF V 中，9030GDF ODC ∠=°−∠=°，∴tan 302GF DF =°==，∴EG EF GF =−． 【点睛】本题考查了菱形判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：是的分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤< 7.68.4y ≤< 8.49.2y ≤< 9.2y ≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人 【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m −−−−−； 【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y ≤<这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀； 学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540×=（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，»»BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O e 的切线； （2）判断DGB V 的形状，并说明理由； （3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB V 是等腰三角形，理由见解析 （3）4FG = 【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=°，即可得证；（2）根据题意得出»»AD AC =，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=°−，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===． 【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵»»BCBD =， ∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠， ∵2BOD F ∠=∠， ∴F BAC ∠=∠， ∵DEAC ⊥，∴90AEG ∠=°， ∵AGE FGB ∠=∠ ∴90FBG AEG ∠=∠=°，即AB BF ⊥，又AB 是O e 的直径， ∴BF 是O e 的切线； 【小问2详解】∵»»BCBD =，AB 是O e 的直径， ∴»»AD AC =，BC AC ⊥， ∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥， ∴AGE ABC ∠=∠， 又AGE FGB ∠=∠， ∴FGB ABD ∠=∠， ∴DGB V 是等腰三角形， 【小问3详解】∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=°−， ∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G −，T 两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC V 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =−+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围． 【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b −≤≤ 【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO ∠=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC V 是等边三角形，且BC y ⊥轴，设BC 交于点D ，则AD BC ⊥，得出1,2C a a，根据=OC（3）当四边形ABCD 是正方形时，()1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，直线AC 的解析式为1y x =−，得出()0,1M −，可得P ，则当点P 与点A 重合时，当点P 与C 点重合时，求得两个临界点时的b 的值，即可求解． 【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时， ∴2PQ =，∵()1,0G −，T ，∴1OG TO==，，∵tan TGO ∠ ∴30TGO ∠=°，∴24GP PQ ==， ∴()3,0P；【小问2详解】解：当P 到x 轴的距离最小时， ∴点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC V 是等边三角形，且BC y ⊥轴，设BC 交于点D ，则AD BC ⊥， ∴BD DC =12a =， ∴1,2C a a，∵=OC∴22152a a +=， 解得：2a =或2−（舍去） ∴等边三角形ABC 的边长为2【小问3详解】解：如图所示，当四边形ABCD 是正方形时，()1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，∵()1,0A ，()2,0B ，()2,1C∴1AB =，AC=∵()1,0A ，()2,1C设直线AC 的解析式为y mx n =+，则 021m n m n +=+=解得11m n ==−∴直线AC 的解析式为1y x =−， ∴直线,AC EF 垂直， 当0x =时，1y =− ∴()0,1M −，∵AM AC =，即得P 到直线EF ， 则当点P 与点A 重合时，P 是直线EF ：y x b =−+的“伴随点”． 此时()0,1M −在y x b =−+上，则01b +=−，解得：1b =-，当点P 与C 点重合时，则EF 过点A ，此时01b =−+，解得：1b =， ∴11b −≤≤．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28. 综合与实践 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析； 【解析】【分析】（1）证明ADG CDF V V ≌，可得AD CD =，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC ∠=°=∠，同理可得：ADG CDF ∠=∠，证明ADG CDF V V ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC ∠=∠=°，ACAB=，45BAC ∠=°，AHE CBE V V ∽，可得AE HECE BE=，再证明HEB AEC V V ∽，可得HBE MCA ∠=∠，证明AHB AMC V V ∽，可得HB AB MC AC == 【详解】解：（1）∵GD DF ⊥，DF CE ⊥，AG DG ⊥， ∴90G DFC ∠=∠=°，90ADG ADF ∠+∠=°， ∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF ∠=°=∠+∠， ∴ADG CDF ∠=∠， ∵AG CF =， ∴ADG CDF V V ≌， ∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ⊥，AH CE ⊥，GD DF ⊥， ∴90DFH H GDF ∠=∠=∠=°， ∴四边形DGHF 是矩形， ∴90G DFC ∠=°=∠， 同理可得：ADG CDF ∠=∠， ∵正方形ABCD ， ∴AD CD =， ∴ADG CDF V V ≌， ∴DG DF =，AG CF =， ∴四边形DGHF 是正方形， ∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+． （3）如图，连接AC ， ∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC ∠=∠=°，ACAB=，45BAC ∠=°， ∵AEH CEB ∠=∠， ∴AHE CBE V V ∽， ∴AE HECE BE=，∵BEH AEC ∠=∠， ∴HEB AEC V V ∽， ∴HBE MCA ∠=∠，∵,AH CE AH HM ⊥=， ∴45HAM BAC ∠=°=∠， ∴HAE MAC ∠=∠， ∴AHB AMC V V ∽，∴HB AB MC AC ==∴MC =．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．。
兰州市中考数学试题及答案解析
2017年兰州市中考数学答案解析一.选择題：本大題共15小題，毎小題4分，共60分.在毎小題给岀的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知2X =3H＞，H0),则下面结论成立的是A. - = -B. -=-C. - = -D. - = ^y 2 3 y y 3 23【答案】A【解析】根据等式的性质2，等式的两边同时乘以或者除以f 不为0的数或字母，等式依然成立.故在等式左右两边同时除以勿,可得M = f .故选才y22.如图所示，该几何体的左视图是A【答案】D【解析】在三视图中实际存在而被遮挡的线用虚线来表示，故选D3•如图,一?斜坡长130川,坡顶禺水平地面的距禺为50m f那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于【答案】C【解析】在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120"正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于諾=备，故选C・4.如图，在。
O中…捕二證，点D在。
O上.ZCD3 = 25。
,则=A.45Q8・50。
C.55°D・60。
【答案】B【解析】在同一圆中•等弧所对的圆心角是圆周角的2倍"故选〃5.下表是一组二次函数+ 的自变虽x与函数直v的对应值：那么方程F +3x-5 = 0的f 近似根是A. 1B. 1.1C. 1.2D. 13【答案】C［解析】由表格中的数据可以看出0.04更接近于0，故方程的一个近似根是1.2 ,故选6.如果FZS欠方程2r+3.t+W = O有两个相等的实数根，那么是实数刎的取值为9 8 9 84 m>— B. m>— C. m = — D. m =—8 9 8 9【答案】C【解析】由题目可知，一元二次方程2i+3x+,” = O有两个相等的实数根，所以从一4nc =9-8加=0 ,解得加=善,故选C.7・T不透明的盒子里有”个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸岀一个球记下颜色后再放回盒子，通过大最16复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30% ,那么估计盒子中小球的个数”为A.2OB.24C.28D.3O【答案】D【解析】由题意可知纹100% = 30% ,易解得” = 30 ,故答案选D8•如图，矩形肋3的对角线"'与血相交于点O , "3 = 30。
甘肃省兰州市中考数学试题（解析）
兰州市中考数学试题一、单项选择题（每小题4分，共60分）1．sin60°的相反数是【】A．－12B．－33C．－32D．－222．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【】A．y＝400x B．y＝14x C．y＝100x D．y＝1400x3．已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【】A．相交B．外切C．外离D．内含4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是【】A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝25．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为【】A．6 B．8 C．12 D．246．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为【】A．πB．1 C．2 D． 2 37．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是【】A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是【】A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.59．在反比例函数y＝kx(k＜0)的图象上有两点(－1，y1)，(－14，y2)，则y1－y2的值是【】A．负数B．非正数C．正数D．不能确定10．某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为x m，则可列方程为【】A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝20011．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a、b的大小关系为【】A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s 的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF 是直角三角形时，t(s)的值为【】A．74B．1 C．74或1 D．74或1或9413．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】A．130°B．120°C．110°D．100°14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞315．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是【】A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）16．如图所示，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是．17．如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．18．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．19．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是．20．如图，M为双曲线y＝3x上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．三、解答题（本大题8小题，共70分）21．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式x－33x2－6x÷⎝⎛⎭⎫x＋2－5x－2的值．22．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图(2)设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4m，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，求楼梯占用地板增加的长度(计算结果精确到0.01m，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727)．23．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．24．5月23、24日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出第一组的频率为0.04，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15．结合统计图回答下列问题：(1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？(3)如果这次测试成绩中的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？25．如图，定义：若双曲线y＝kx(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝kx(k＞0)的对径．(1)求双曲线y＝1x的对径；(2)若双曲线y＝kx(k＞0)的对径是102，求k的值；(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝kx(k＜0)的对径．26．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ．(1)判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)若tan C ＝52，DE ＝2，求AD 的长．27．若x 1、x 2是关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ b a ，x 1•x 2＝ ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝a c a b 42-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝224a ac b -＝||42a ac b -． 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A (x 1，0)、B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．28．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y ＝ 23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(每小题4分，共60分)．1．sin60°的相反数是( )A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值。
甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版
2017年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
）1．（4分）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．xy=32B．x3=2yC．xy=23D．x2=y32．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B． C． D．3．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．513B．1213C．512D．13124．（4分）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（）A．45° B．50°C．55° D．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1y﹣1﹣那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．C．D．6．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（）A．m＞98B．m＞89C．m=98D．m=897．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣610．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=300011．（4分）如图，反比例函数y=kx（k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集为（）A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．（4分）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2C．π﹣1 D．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB约为（）A．米B．9米C．米D．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G 在CD 上，DE=2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针 旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上， 连接CE′，则CE′+CG′=（ ） A ．√2+√6 B ．√3+1C ．√3+√2D ．√3+√615．（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．235 B ．5 C ．6 D ．254二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数y =kx 的图象经过点（﹣1，2），则k 的值是 ． 17．（4分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH位似，位似中心点是O ，OE OA =35，则FGBC= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax 2+bx+c 上 的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称， 则Q 点的坐标为 ．19．（4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB=AD ；②AB=BD ，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD ．其中正确的序号是 ． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，?ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A （3，0），B （0，2）．动点P 在直线y=32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P与?ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ． 三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
甘肃省兰州市2023届中考数学试卷(含解析)
甘肃省兰州市2023届中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.－5的相反数是()A.15-B.15C.5D.-52.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（）A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒3.计算：255a aa -=-（）A.5a - B.5a + C.5 D.a4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（）A.45︒B.60︒C.110︒D.135︒5.方程213x =+的解是（）A.1x = B.=1x - C.5x = D.5x =-6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （）A.20cm πB.10cmπ C.5cmπ D.2cmπ7.已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A.对称轴为2x =- B.顶点坐标为()2,3 C.函数的最大值是－3D.函数的最小值是－38.关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（）A.－2B.2C.－4D.49.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B.2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C.相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D.相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（）A.35︒B.30︒C.25︒D.20︒11.一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A.2B.1C.－1D.－212.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（）A.2B.2.5C.3D.3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：2225x y -=______．14.如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．15.如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.18计算：()()()2234x y x y y y +---．19.解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20.如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21.综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23.一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x <；B ．1015x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．27.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，0,3T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM ，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．答案1-12CBDAA BCADA DC13.()()55x y x y +-14.5015.316.①③17.解：原式＝-．18.解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．19.解：312(1)223x x x x ->+⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．20.（1）解：∵反比例函数()0k y x x =<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-⨯-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；（2）解：∵1OD =，∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()114422BC =--=．21.解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．22.解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC ∠=︒，∴()tan 380.781814.04m BC AB =︒≈⨯=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=︒，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =︒≈⨯=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．23.（1）解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得1210a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；（2）解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +．24.（1）证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ∠=∠=∠=︒，1302OCF DCF OCD ∠=∠=∠=︒，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ∠=∠=∠=︒，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；（2）解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ∠=︒，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF 中，9030GDF ODC ∠=︒-∠=︒，∴323tan 30233GF DF =︒=⨯=，∴433EG EF GF =-=．25.（1）解：由题意可得：4021096211m =-----=；（2）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y ≤<这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③（3）排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540⨯=（人）．26.（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．27.（1）解：如图所示，过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ =，∵()1,0G -，30,3T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴313OG TO ==，，∵333tan 13TGO ∠==，∴30TGO ∠=︒，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；（2）解：当P 到x 轴的距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC 是等边三角形，且BC y ⊥轴，设BC 交于点D ，则AD BC ⊥，∴BD DC =12a =，∴1,2C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵=OC ∴22152a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：2a =或2-（舍去）∴等边三角形ABC 的边长为2（3）解：如图所示，当四边形ABCD 是正方形时，()1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，∵()1,0A ，()2,0B ，()2,1C∴1AB =，AC ==，∵()1,0A ，()2,1C 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则021m n m n +=⎧⎨+=⎩解得11m n =⎧⎨=-⎩∴直线AC 的解析式为1y x =-，∴直线,AC EF 垂直，当0x =时，1y =-∴()0,1M -，∵AM AC ===，即得P 到直线EF 的距离为，则当点P 与点A 重合时，P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．此时()0,1M -在y x b =-+上，则01b +=-，解得：1b =-，当点P 与C 点重合时，则EF 过点A ，此时01b =-+，解得：1b =，∴11b -≤≤．28.解：（1）∵GD DF ⊥，DF CE ⊥，AG DG ⊥，∴90G DFC ∠=∠=︒，90ADG ADF ∠+∠=︒，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF ∠=︒=∠+∠，∴ADG CDF ∠=∠，∵AG CF =，∴ADG CDF ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ⊥，AH CE ⊥，GD DF ⊥，∴90DFH H GDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC ∠=︒=∠，同理可得：ADG CDF ∠=∠，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC ∠=∠=︒，AC AB =，45BAC ∠=︒，∵AEH CEB ∠=∠，∴AHE CBE ∽，∴AE HE CE BE=，∵BEH AEC ∠=∠，∴HEB AEC ∽，∴HBE MCA ∠=∠，∵,AH CE AH HM ⊥=，∴45HAM BAC ∠=︒=∠，∴HAE MAC ∠=∠，∴AHB AMC ∽，∴HB AB MC AC ==∴MC =．。
精品解析：2024年甘肃省兰州市中考数学试题(解析版)
2024年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1.全卷共120分，考试时间120分钟．2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 2024的绝对值是（ ） A. 2024 B. 2024−C.12024D. 12024−【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键．根据绝对值的意义解答即可．【详解】解：2024的绝对值是2024， 故选：A ．2. 已知∠A ＝80°，则∠A 的补角是（ ） A. 100° B. 80°C. 40°D. 10°【答案】A 【解析】【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案． 【详解】解：∵∠A ＝80°， ∴∠A 补角为：180°﹣80°＝100°． 故选A ．【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．3. 2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（ ） A. 987.7910⨯B. 98.77910⨯C. 108.77910⨯D. 118.77910⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a ⨯，其中，110a ≤<，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：数据87790000000用科学记数法表示为108.77910⨯． 故选：C4. 计算：22(1)2a a a −−=（ ） A. a B.a −C. 2aD. 2a −【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：22(1)2a a a −−22222a a a =−−2a =−故选：D ．5. 一次函数23y x =−的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】先判断k 、b 的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：∵20,30k b =>=−<，∴一次函数23y x =−的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．6. 如图，小明在地图上量得12∠=∠，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线平行D. 对顶角相等【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，由12∠=∠，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵12∠=∠， ∴福大街与平安大街互相平行，判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B ．7. 如图，小张想估测被池塘隔开的A ，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C ，然后步测出,AC BC 的中点D ，E ，并步测出DE 的长约为18m ，由此估测A ，B 之间的距离约为（ ）A. 18mB. 24mC. 36mD. 54m【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得DE 为ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．【详解】解：∵点D ，E ，分别为,AC BC 的中点， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴236m AB DE ==； 故选：C ．8. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A.12B.13C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式计算即可．【详解】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板， ∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：16， 故选：D ．9. 关于x 的一元二次方程2960x x c −+=有两个相等的实数根，则c =（ ） A. 9− B. 4C. 1−D. 1【答案】D 【解析】【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=−，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()2Δ64936360c c =−−⨯⨯=−=， 解得：1c =， 故选：D ．10. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x 个，苦果y 个，则可列方程组为（ ）A. 100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B. 100011499997x y x y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C. 100041199979x y x y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D. 999411100079x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 【答案】A【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x 个，苦果y 个，由题意，得：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩； 故选A ．11. 如图，在ABC 中，AB AC =，130BAC ∠=︒，DA AC ⊥，则ADB =∠（ ）A. 100︒B. 115︒C. 130︒D. 145︒【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得180252BACC ︒−∠∠==︒，再由三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，130BAC ∠=︒， ∴180252BACC ︒−∠∠==︒，∵DA AC ⊥， ∴90CAD ∠=︒，∴115ADB C CAD =∠+∠=︒∠． 故选：B12. 如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接BD ，点M 从B 出发沿BD的速度运动至D ，同时点N 从B 出发沿BC 方向以1cm /s 的速度运动至C ，设运动时间为()s x ，BMN 的面积为()2cm y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长为（ ）A. B.C. 4cmD. 8cm【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知()cm BN x =，()cm BM =，结合菱形的性质得30DBC ∠=︒，过点M 作MH BC ⊥于点H ，则()cm MH x =，那么()22cm y x =，设菱形ABCD 的边长为a ，则BD =，那么点M 和点N 同时到达点D 和点C ，此时BMN 的面积达到最大值为x ，即可知菱形边长．【详解】解：根据题意知，()cm BN x =，()cm BM =， ∵四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴30DBC ∠=︒，过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接AC 交BD 于点O ，如图，则()sin cm 2MH BM MBH x =⨯∠=，那么，BMN 的面积为()221cm 24y BN MH x =⨯=， 设菱形ABCD 的边长为a ，∴22cos 22BD BO BC BOC a ==⨯⨯∠=⨯⨯=，∴点M 和点N 同时到达点D 和点C ，此时BMN 的面积达到最大值为∴24x =，解得4x =，（负值舍去）， ∴4BC =． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解221x x −+=______． 【答案】()21x − 【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：221x x −+=（x ﹣1）2． 故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．14. 如图，四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥于点F ，若4=AD ，则EF =______．【答案】2 【解析】【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到AFE △为含30度角的直角三角形，4AE AD ==，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥，4=AD ， ∴90,60,90,4FAD EAD AFE AD AE ∠=︒∠=︒∠=︒==， ∴30FAE ∠=︒，∴122EF AE ==； 故答案为：2．15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中M ，N e 的半径分别是1cm 和10cm ，当M 顺时针转动3周时，N e 上的点P 随之旋转n ︒，则n =______．【答案】108 【解析】【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P 移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P 移动的距离为3216cm ππ⨯⨯=， ∴106180n ππ︒⨯⨯=，解得：108n =． 故答案为：10816. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）【答案】①②##②① 【解析】【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案．【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．故答案为：①②．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.−．【解析】【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式==−=18. 解不等式组：2613122x xxx+>⎧⎪⎨−<−⎪⎩【答案】61x−<<【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．【详解】解：2613122x xxx+>⎧⎪⎨−<−⎪⎩①②由①，得：6x>−；由②，得：1x<；∴不等式组的解集为：61x−<<．19. 先化简，再求值：7411a a a a++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =． 【答案】21a a +，85【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式1714a a aa a +++=⋅++()2414a a a a +=⋅++ 21aa =+； 当4a =时，原式248415⨯==+． 20. 如图，反比例函数(0)ky x x=>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ，点B 是反比例函数图象上一点，BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ，连接AB ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数1y mx =+的表达式； （2）当4OC =时，求ABD △的面积． 【答案】（1）6y x=，1y x =+ （2）72【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．（2）由已知条件求出点C ，点B ，点D 的坐标，过点B 作BE x ∥轴交一次函数1y x =+的图象交于点E ，过点A 作AF BE ⊥与点F ，利用两点之间的距离公式分别求出BD ，BE ，AF 的值，最后根据ABDDBEEAB SSS=−即可求出答案．【小问1详解】 解：∵反比例函数(0)ky x x=>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ， ∴32k=，321m =+， ∴6k =，1m =， ∴反比例函数为：6y x=，一次函数的解析式为：1y x =+． 【小问2详解】 ∵4OC =， ∴()4,0C ，∵BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ， ∴点B 的横坐标为4．点D 的横坐标为4． ∴6342B y ==，415D y =+= ∴34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,5D ∴37522BD =−= 过点B 作BE x ∥轴交一次函数1y x =+的图象交于点E ，过点A 作AF BE ⊥与点F ， ∴BD BE ⊥，点E 的纵坐标为32， ∴33322AF =−=， 把32代入1y x =+，得312x =+，∴12x =，∴点13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴17422BE =−=， ∴ABDDBEEAB SS S=−1122BD BE AF BE =⋅−⋅177137222222=⨯⨯−⨯⨯ 72=21. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，CE AD ∥，AE AD ⊥，EF AC ⊥．（1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若4,3BC CE ==，求EF 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等腰三角形三线合一的性质得出90ADC ∠=︒，有平行线的性质得出90ECD ∠=︒，结合已知条件可得出90EAD ∠=︒，即可证明四边形ADCE 是矩形．（2）由（1）可知四边形ADCE 是矩形．由矩形的性质得出AE DC =，3CE AD ==，90AEC ∠=︒，由已知条件可得出122DC AE BC ===，由勾股定理求出AC ，最后根据等面积法可得出1122EF AC AE CE ⋅=⋅，即可求出EF ． 【小问1详解】证明：∵AB AC =， D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒， ∵CE AD ∥，∴18090ECD ADC ∠=︒−∠=︒，又∵AE AD ⊥， ∴90EAD ∠=︒， ∴四边形ADCE 是矩形． 【小问2详解】由（1）可知四边形ADCE矩形．∴AE DC =，3CE AD ==，90AEC ∠=︒， ∵D 是BC 的中点，4BC = ∴122DC AE BC ===， 在ADC △中，90ADC ∠=︒，∴AC ===∵EF AC ⊥，∴1122EF AC AE CE ⋅=⋅即112322EF =⨯⨯，∴13EF =． 22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A 处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA 的竖直高度()m y 与离发射点O 的水平距离()m x 的几组关系数据如下：（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O 的水平距离为5m 时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式216255y x x =−+ （2）水火箭距离地面的竖直高度5米 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，()1根据题意可设抛物线的表达式()20y ax bx a =+≠，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为()15,9，代入求解即可；()2由题意知5x =，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式()20y ax bx a =+≠，由表格得抛物线的顶点坐标为()15,9，则215294b a b a⎧−=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，解得12565a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的表达式216255y x x =−+， 【小问2详解】解：由题意知5x =，则216555255y =−⨯+⨯=， 那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．23. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A 为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M ，N ，先将木条的端点M 与点A 重合，任意摆放木条后，另一个端点N 的位置记为点B ，连接AB ；②木条的端点N 固定在点B 处，将木条绕点B 顺时针旋转一定的角度，端点M 的落点记为点C （点A ，B，C不在同一条直线上）；③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；∠是直角．④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的DAC=，请画出以点A为顶点操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BA BC∠；的直角，记作DAC推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：==，证明：AB BC BD△是等腰三角形．∴与ABDABC∴∠=∠∠=∠．（依据1______）,BCA BAC BDA BAD∴∠+∠=∠+∠=∠．BCA BDA BAC BAD DAC180∴∠+∠+∠=︒，（依据2______）DAC BCA BDA∴∠=︒，2180DACDAC∴∠=︒．90依据1：______；依据2：______；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记∠，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）作POQ【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，（1）根据“观察发现”延长CB 至点D ，且DB CB =，连接,CA AD 即可知以点A 为顶点的DAC ∠为直角；（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理； （3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】解：[操作体验] （1）[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理； 故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理； [拓展探究]（3）24. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x 表示，分为四个等级，包括优秀：90100x ≤≤；良好：8090x ≤<；合格：7080x ≤<；待提高：70x <）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m=______；（2）下列结论正确的是______；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．【答案】（1）4 （2）①③（3）18【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．（1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案．（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断．②用中位数的定义判断即可．③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可．（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解：207274m =−−−=， 故答案为：4． 【小问2详解】①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知： 体育成绩低于80分的人数有8人，∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的()820100%40%÷⨯=，故①正确． ②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数位于8090x ≤<之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．③在信息三中，点A 的美育成绩为90，体育成绩为70，点B 的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A 所代表的学生，点B 所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确， 故有①③正确， 故答案为①③． 【小问3详解】根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人． 故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有21801820⨯=人． 25. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．解决问题：根据以上信息，求ED长．（结果精确到0.1cm ）参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈，sin 640.90,cos640.44,tan 64 2.05︒≈︒≈︒≈． 【答案】ED 的长为8.2cm 【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解,,OD OB OC ，再求解OE ，从而可得答案； 【详解】解：∵BD OA ⊥，64∠=︒BOA ，20.5cm BD =； ∴20.510tan 64 2.05BD OD =≈=︒，1022.73cos 640.44OD OB =≈≈︒，∴22.73OB OC ==， ∵37COA ∠=︒，CE OA ⊥，∴cos3722.730.818.2OE OC =⋅︒≈⨯≈， ∴18.2108.2DE OE OD =−=−=； ∴ED 的长为8.2cm ； 26. 如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，BC BD =，延长BA 至E ，使得ADE CBA ∠=∠．（1）求证：ED 是O 的切线；的（2）若14,tan 2BO CBA =∠=，求ED 的长． 【答案】（1）见解析 （2）163【解析】【分析】（1）连接OD ，易得ODB OBD ∠=∠，圆周角定理得到90ADB ACB ∠=∠=︒，进而得到90ODB ADO ∠+∠=︒，证明Rt Rt ADB ACB ≌，推出ADE ODB ∠=∠，进而得到90ODE ∠=︒，即可得证；（2）等角的三角函数相等，得到1tan tan 2AD ABD CBA BD ∠=∠==，证明EDA EBD △∽△，得到12ED AE AD BE DE BD ===，进行求解即可． 【小问1详解】解：连接OD ，则：OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠， ∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒， ∴90ODB ADO ∠+∠=︒， ∵AB AB BD BC ==，， ∴Rt Rt ADB ACB ≌， ∴ABC ABD ODB ∠=∠=∠， ∵ADE CBA ∠=∠， ∴ADE ODB ∠=∠，∴90ADE ADO ∠+∠=︒，即：90ODE ∠=︒， ∴OD DE ⊥， ∵OD 是O 的半径， ∴ED 是O 的切线；【小问2详解】∵4OB =， ∴28AB OB ==，由（1）知：ABD ABC ∠=∠， ∴1tan tan 2AD ABD CBA BD ∠=∠==， 由（1）知：EDA ABD ∠=∠， 又∵DEA DEB ∠=∠， ∴EDA EBD △∽△， ∴12ED AE AD BE DE BD ===， ∴2DE AE =，2DE AE BE =⋅，∴()()22AE AE AE AB =⋅+，即：2248AE AE AE =+， 解得：0AE =（舍去）或83AE =， ∴1623DE AE ==【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 27. 综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在ABC 中，点M ，N 分别为AB ，AC 上的动点（不含端点），且AN BM =．【初步尝试】（1）如图1，当ABC 为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ，连接BD ，则MN DB =，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AE MN ⊥于点E ，交BC 于点F ，将MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，连接DA ，DB ．试猜想四边形AFBD 的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在ABC 中，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，连接BN ，CM ，请直接写出BN CM +的最小值．【答案】（1）见详解，（2）四边形AFBD 为平行四边形，（3）【解析】【分析】（1）根据等边三角的性质可得60,A AB AC ∠=︒=，再由旋转的性质可得,120DM AM AMD =∠=︒，从而可得60DMB A ∠=∠=︒，证明()SAS ANM MBD ≌，即可得证；（2）根据等腰直角三角形的性质可得=45ABC ∠︒，再根据旋转的性质可得,45MA MD MAD MDA =∠=∠=︒，90DMA DMB ∠=∠=︒，从而可得45MAD ABF ∠=∠=︒，由平行线的判定可得AD BF ∥，证明()SAS ANM MBD ≌，可得AMN MDB ∠=∠，利用等量代换可得DBM MAF ∠=∠，再由平行线的判定可得DB AF ∥，根据平行四边形的判定即可得证；（3）过点A 作45BAG ∠=︒，使AG CB =，连接GM 、GC ，BG ，延长CB ，过点G 作GO CB ⊥于点O ，根据等腰三角形的性质可证==45GAM BCN ∠∠︒，证明()GAM BCN SAS ≌，可得GM BN =，从而可得当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值，根据平行线的性质和平角的定义可得=45GBO ∠︒，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得OG OB ==，从而可得OC =【详解】（1）证明∵ABC 为等边三角形， ∴60,A AB AC ∠=︒=，∵MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ， ∴,120DM AM AMD =∠=︒， ∴60DMB ∠=︒，∵AN BM =，60DMB A ∠=∠=︒， ∴()SAS ANM MBD ≌， ∴MN DB =；（2）解：四边形AFBD 为平行四边形，理由如下， ∵AB AC =，90BAC ∠=︒， ∴=45ABC ∠︒，∵MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，∴,45MA MD MAD MDA =∠=∠=︒，90DMA DMB ∠=∠=︒， ∴45MAD ABF ∠=∠=︒，在ANM 和MBD 中，MA DM MAN DMB AN MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ANM MBD ≌， ∴AMN MDB ∠=∠， ∵AE MN ⊥，∴90AMN MAE ∠+∠=︒， ∵90MDB MBD ∠+∠=︒， ∴DBM MAF ∠=∠， ∴DB AF ∥，则四边形AFBD 为平行四边形；（3）解：如图，过点A 作45BAG ∠=︒，使AG CB =，连接GM 、GC ，BG ，延长CB ，过点G 作GO CB ⊥于点O ，∵4AB AC ==，90BAC ∠=︒， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， ∴==45GAM BCN ∠∠︒， ∵AN BM =， ∴AM CN =， 又∵AG CB =，∴()GAM BCN SAS ≌， ∴GM BN =，∴=BN CM GM CM CG ++≥，∴当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值， ∵==45GAM ABC ∠∠︒， ∴ AG BC ∥，∴==90BAC ABG ∠∠︒，∴=180=45GBO ABG ABC ∠︒−∠−∠︒， ∴=45GBO ∠︒，∴==GB ，∴OG OB ==，∴OC =在Rt GOC 中，GC ==∴BN CM +的最小值为【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：点P 是图形W 外一点，点Q 在PO 的延长线上，使得12PO QO =，如果点Q 在图形W 上，则称点P 是图形W 的“延长2分点”，例如：如图1，3(2,4),(2,2),1,2A B P ⎛⎫−−⎪⎝⎭是线段AB 外一点，()2,3Q 在PO 的延长线上，且12PO QO =，因为点Q 在线段AB 上，所以点P 是线段AB 的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形1W ：线段AB ，()2,4A ，()2,2B ，在()()1235,1,1,1,1,22P P P ⎛⎫−−−−−− ⎪⎝⎭中，______是图形1W 的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形2W ：线段BC ，()2,2B ，()5,2C ，若直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，求b 的最小值：（3）如图3，已知图形3W ：以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ，若以()1,2D −−，()1,1E −，()2,1F 为顶点的等腰直角三角形DEF 上存在点P ，使得点P 是图形3W 的“延长2分点”．请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）23,P P （2）72−（3）13t ≤≤或11t −≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；（2）作BC 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B C ''，根据直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，得到直线:MN y x b =−+与B C ''有交点，进而得到当:MN y x b =−+过点C '时，b 值最小，进行求解即可；（3）作DEF 以原点为位似中心，位似比为1:2的位似D E F '''△，得到3W 与D E F '''△有交点，求出T e 与D E ''相切以及T e 与D F ''相切，两种情况求出t 的临近值，即可得出结果．【小问1详解】解：作线段AB 以原点为位似中心，位似比为2:1位似图形A B ''，∵()2,4A ，()2,2B ， ∴()1,2A '−−，()1,1B '−−，的∵点P 是图形1W 的“延长2分点”， ∴点P 在线段A B ''上， ∵()()231,1,1,2P P −−−−线段A B ''上，∴23,P P 是图形1W “延长2分点”；故答案为：23,P P ； 【小问2详解】作BC 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B C ''，如图，∵()2,2B ，()5,2C ，∴()1,1B '−−，5,12C ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，∵直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”， ∴直线:MN y x b =−+与B C ''有交点， ∴当:MN y x b =−+过点C '时，b 值最小， 把5,12C ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，代入y x b =−+，得：72b =−，∴b 的最小值为72−； 【小问3详解】作DEF 以原点为位似中心，位似比为1:2的位似D E F '''△，在的∵()1,2D −−，()1,1E −，()2,1F ， ∴()2,4D '，()2,2E '−，()4,2F '−−，∵等腰直角三角形DEF 上存在点P ，使得点P 是图形3W 的“延长2分点”， ∴当3W 与D E F '''△有交点时，满足题意， 当T e 与D E ''相切时，如图，则：1t =或3t =，∴13t ≤≤时，满足题意；当T e 与D F ''相切时，且切点为G ，连接TG ，则：90TGE =︒∠，∵DEF 为等腰直角三角形， ∴D E F '''△为等腰直角三角形，∵()()1,1,2,1E F −，()2,2E '−，()4,2F '−−， ∴EF E F x ''∥∥轴， ∴45D F E '''∠=︒，∵以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ， ∴T 点在直线EF 上，1TG =， ∴45TEG D E F '''∠=∠=︒，∴ET ==∴1t =−或1t =，∴11t −−≤≤；综上：13t ≤≤或11t −≤≤．【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．。
甘肃省兰州市中考数学试卷(PDF版)附答案解析
⎩ ⎩ ⎩考生注意：2020 年兰州市中考数学试题(A)9.中国古代人民在生产生活中发展了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐 3 人，则 2 辆车无人乘坐，若每车乘坐 2 人，则 9 人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？设共有 x 轴车，y 人，则可列方程组 1. 本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟，2. 考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填(涂)写在答题卡上。
为( ) ⎧⎪3(x - 2) = y , ⎧⎪3(x + 2) = y⎧ 3x = y ⎧3(x + 2) = y 3. 考生必将答案直接填(涂)在答题卡的相应位置上。
否则无效.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，A.⎨⎪⎩2x + 9 = y B .⎨⎪ 2x + 9 = y C .⎨2x + 9 = y D .⎨ 2x - 9 = y 只有一项是符合题目要求的.1. - 1的绝对值是( )2 10. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点 D 在CA 的延长线上，DE ⊥BC 于点E ，∠BAC=100°，则∠D=()A.40°B.50°C.60°D.80°A. 1 2B. - 12C .2D . - 2 11. 已知点A(x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2) 在反比例函数 y = - 3的图象上， x 2. 如图，该几何体是由 5 个大小形状相同的正方体组成，它的俯视图是()若 y 1 < y 2 < 0 ，则下列结论正确的是( )(第 10 题图)A .x 1 < x 2 < 0B .x 2 < x 1 < 0C .0 < x 1 < x 2D .0 < x 2 < x 13. 智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由 4G 到 5G 的转折阶段，据中国移动 2020 年 3 月公布的数据显示，中国移动 5G 用户数量约 31720000 户，将 12.如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC=90°0，以点A 为圆心，以 AB 长为半径作弧交 BC 点D ，再分别以点B ，D 为圆心，以 大于 1 BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P ，作射线 AP 交 BC 2 于点E ，若AB=3，AC=4，则 CD=( )(第 12 题图)31720000 用科学遍数法表示为( ) A.0.3172×10 8 B.3.172×10 8 C.3.172×10 7 D.3.172×10 9A.12 5 B . 9 5 C . 8 5 D . 7 54.如图，AB ∥CD ，AE ∥CF ，∠A=50°，则∠C=( )A.40°B.50°C.60°D.70°5.化简：a (a - 2) + 4a =( )(第 4 题图)二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 13.分解因式： m 3 - 6m 2 + 9m =.14.点A(-4,3)，B(0，k)在二次函数 y = -(x + 2)2 + h 的图象上，则k=.A. a 2+ 2aB. a 2+ 6aC. a 2- 6aD .a 2 + 4a - 215.如图，四边形 ABCD 与四边形A ′B′C′D ′位似，位似中心为点 O ，O C=6，CC′=4，A B=3， 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC=( )A.40°B.60°C.70°D.80°7. 一元二次方程 x (x - 2) = x - 2 的解是()则A′B′= .A .x 1 = x 2 = 0B .x 1 = x 2 = 1C .x 1 = 0, x 2 = 2D .x 1 = 1, x 2 = 2(第 6 题图)8.若点A(-4，m-3)，B(2n,1)关于x 轴对称，则( )(第 16 题图)(第 2 题图)(第 15 题图)23k16.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AB=2，点E 在AB 的延长上，且AE=AC，EF⊥AC 于点F，连接BF 并延长交CD 于点G，则DG=_ .三、解答题：本大题共12 小题，共86 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21.(6 分)某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校的提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：A.陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；B.陇南市两当兵变纪念馆；C.甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；D.张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆.小宁和小丽决定通过抽签方式确定本次研学活动的目的地，请你用树状图或列表的方17.(5 分)计算：⨯ - ( +1)2 .法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率.18.(5 分)⎧⎪2(x+1)>3x-1,①⎨2x -1>x +1. ②19.(5⎩⎪23⎛ 3 a ⎫ 2a 122.(7 分)如图，在一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =ax +b(a ≠ 0) 的图象与反比例函数y=k(k≠0，x>0)的图象相交于点A(1,5)，B(m,1)x分)先化简，再求值：a - 2-a + 2⎪÷a 2 - 4, 其中a =-2.两点，与x 轴，y 轴分别交于点C，D，连接OA，OB.⎝⎭(1)求反比例函数y =(k ≠ 0，x > 0) 和一次函数xy =ax +b(a ≠ 0) 的表达式；(2)求△AOB 的面积.20.(6 分)如图，在△ABC 中，AB=AC，点D，E 分别是AC 和AB 的中点.求证：BD=CE.(第20 题图)(第22 题图)23.(7 分)如图，在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA=OB，点C 是AB 的中点，以OC为半径作⊙O.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若OC=2，求OA 的长.(第23 题图) 624.(7 分)为培养学生正确劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育，某校八年级1 班对本班35 名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数：信息二：25.(7 分)为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测量区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如下表：信息三：近一周家务劳动时间分布表(第24 题图)时间／小时t≤1 1<t≤2 1<t≤3 3<t≤4 t>4人数／人 5 8 12 73 信息四：劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表根据以上信息，解决下列问题：(1)直接从信息二的统计图中“读”出八年级1 班劳动能力量化成绩的平均分为分；(2)请你判断下列说法合理吗？(请在横线上填写“合理”或“不合理”)①规定劳动能力量化成绩8 分及以上为合格，八年级1 班超过半数的学生达到了合格要求：.②班主任对近一周家务劳动总时间在 4 小时以上，且劳动能力量化成绩取得10 分的学生进行表彰奖励，恰有3 人获奖：③小颖推断劳动能力量化成绩为8 分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2<t ≤3 的时间段：；(3)结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的的关系？学校要求测温区域的宽度AB 为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.(结果精确到0.1m，参考数据：s in73.14°≈0.957，co s73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600)26.(9 分)如图，在△ABC 中，AB=6cm，AC=5cm，∠CAB=60°，点D 为AB 的中点，线段AC 上有一动点E，连接DE，作DA 关于直线DE 的对称图形，得到DF，过点F 作FG⊥AB 于点G，设A，E 两点间的距离为xcm 观，F，G 两点间的距离为ycm.小军根据学习函数的经验，对因变量y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小军的探究过程，请补充完整.(1)列表：下表的已知数据是根据A，E 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC 的支架CP 上x/cm 0 0.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.68 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00y/cm 0 0.94 1.91 2.49 2.84 3.00 2.84 2.60 2.00 1.50 0.90 0.68请你根据计算补全表格：(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数据所对应的点(x,y)，并画出y 关于x 的图象：(3)探究性质：随着x 值的不断增大，y的值是怎样变化的？；(4)解决问题：当AE+FG=2 时，FG 的长度大约是cm.(保留两位小数) 28.(12 分)如图，二次函数y =1x 2 +bx +c 的图象过点A(4，-4)，B(-2，m),交y 轴于点4C(0，-4)，直线BO 与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E 是线段AB 上的一动点，过点E 作EF∥BD 交AD 于点F.(1)求二次函数y =1x 2 +bx +c 的表达式；4(2)判断△ABD 的形状，并说明理由；(3)在点E 的运动过程中，直线BD 上存在一点G，使得四边形AFGE 为矩形，请判断此时AG 与BD 的数量关系，并求出点E 的坐标；(4)点H 是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P 是平面内使得∠EPF=90°的点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，27.(10 分)如图，在□ABCD 中，DE⊥AC 于点O，交BC 于点EG=EC，GF∥AD 交DE 于点F，连接FC，点H 为线段AO 上一点，连接HD，HF.(1)判断四边形GECF 的形状，并说明理由；(2)当∠DHF=∠HAD 时，求证： AH ⋅ CH = EC ⋅ AD .(第27 题图) 使得△HPQ 是以∠PQH 为直角的的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(第28 题图)⎣ ⎦ ⎨ ⎩2020 年兰州市中考数学(A) 19.(5 分)解： 原式= ⎡3a (a + 2) -a (a - 2)⎤ ⋅ a - 4 ……1 分参考答案及评分参考⎢(a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) ⎥2 a本答案仅供参考.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 46 分.= 2a 2 + 8a (a + 2)(a - 2)= 2a (a + 4) (a + 2)(a - 2)⋅ a 2 - 4 .............................. 2 分 2a⋅ (a + 2)(a - 2) .................... 3 分2a二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.13.m(m-3)2; 14.315.5; 16. 4 - 2 2 .=a-4 .......................................................... 4 分 将a = - 1代入上式，得：原式= - 1+ 4 =7 .........................5 分.224三、解答题：本大题共 12 小题，共 86 分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.20.(6 分)证明：∵AB=AC ，点D 、E 分别是AC 和AB 的中点，∴AD=AE.……2分17.(5 分)解：原式= 12 - 3 + 2 3 +1……2 分⎧ AB = AC ， 在△ABD 和△ACE 中， ⎪∠A = ∠A ，∴△ABD ≌△ACE(SAS).……5 分= 2 3 - 3 - 2 3 -1……4 分⎪ AD = AE=-4 ........................ 5 分18.(5 分)解不等式①，得-x>-3,x<3 ............... 2 分∴BD=CE ........................ 6 分.解不等式②，得 3(2x-1)>2(x+1),x > 5 ……4 分、 421.(6 分)根据题意，画树状图如下：则不等式组的解集为： 5< x < 3 .................... 5 分4……2 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B A C D D A B C D⎩ 或列表如下： ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线 ............... 3 分(2) 解：∵在 Rt △AOB 中，点C 是 AB 的中点，∵OC ＝1AB ＝AC ＝2 .(5 分)2 ∵OC ＝AB ，∴△AOC 为直角三角形.∴由树状图可知，所有的可能结果有 16 种， ........... 4 分 OA ＝ OC 2＋AC 2＝ 22＋22＝2 2 .……7 分24.(7 分)解：(1)8 ......................................... 2 分 其中小丽和小宁在同一地点的可能结果共有 4 种，……5 分∴小丽和小宁在同一地点概率是： 4 16 = 1.……6 分4(2)①合理： ......................... 3 分 ②不合理 ............................. 4 分22.(7 分)解：(1)∵反比例函数过点A(1，5)，∴k=1×5=5 ............... 1 分5③合理 ............................... 5 分(3) 普遍情况下参加家务劳动的时间越多，劳动能力越强.[其它参考此考点∴反比例函数的表达式为 y = (x > 0) .................. 2 分x评分]……7 分∴1 = 5, m∴m=5. ∴B(5,1)… ........................... 3 分25.(7 分)解：设OC ＝xm,∵一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象过点A(1,5)，B(5,1)， 在 Rt △OBC 中， BC ＝ OC ＝x ≈ x .…………2 分 ∴ ⎧ a - b = 5, 解得⎧a = -1, ∴一次函数的表达式为 y=-x-6 .................4 分tan ∠OBC tan 73.14 3.3⎨⎩5a + b = 1.⎨b = 6.在 Rt △OAC 中， AC =OC ＝ tan ∠OAC x tan30.97 ≈ x0.6.……………………4 分. (2)∵y=-x+6 与 y 轴交于点D ，∴D(0,6) ............... 5 分 ∵AC －BC ＝AB ，∴ x0.6- x 3.3 = 4 .................................................................. 6 分∴S △AOB= S △BOD - S △AOD = 1 OD ⋅ | x 2 B | - 1OD | x 2A| .................. 6 分 解得：x=2.9 ......................................................................................... 7 分=12. ……………………7 分答：该设备的安装高度OC 约为 2.9m.23.(7 分)(1)证明：∵OA=OB ，∴△AOB 为等腰三角形……1 分 ∵点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB ， ..................... 2 分⎨ ⎩⎨∠FCH ＝∠HAD.⎨⎨26.(9 分)解：(1)∵GF ∥AD ，∴FG ∥BC ，∴∠FGO ＝∠ECO ........................ 3 分.⎧∠FGO ＝∠ECO. 在△FGO 和△ECO 中， ⎪GO ＝CO ，(2)如图，图(1)即为所要求的图象.⎪∠GOF ＝∠COE. ∴△FGO ≌△ECO(ASA). ∴EO ＝FO .................... 4 分∵EO ＝FO ，GO ＝CO ，EF ⊥GC ，∴四边形 GECF 是菱形 ........ 5 分(2) ∵四边形GECF 是菱形，∴CF ＝GF. ∴∠FCH ＝∠FGC.∵GF ∥AD ，∴∠HAD ＝∠FGC.∴∠FCH ＝∠HAD.………………4 分.[解出除(1.50， 33 )以外的其他所有点的位置即可]2∴∠CHF ＝∠ADH ......................................... 8 分 在△ADH 和△CHF 中， ⎧∠CHF ＝∠ADH ，⎩ (3) 探究性质：随着 x 值的不断增大，y 的值先不断增大，然后不断减小 (7)∴△ADH ∽△CHF.∴ AH ＝ AD. ………………9 分 分(4) 解决问题：当AE ＋FG ＝2 时，FG 的长度大约是 1.30cm(如图 2) (9)∴ AH ⋅ CH ＝CF ⋅ AD.CF CH分注：答案不唯一，1.20≤FG≤1.40 均得分.27.(10 分)证明：(1)四边形GECF 是菱形，理由如下： ........... 1 分 ∵四边形GECF 是菱形，∴CF ＝EC. ∴ AH ⋅ CH ＝EC ⋅ AD ....................... 10 分28.(12 分)解：(1)∵二次函数 y = 1x 2 + bx + c 的图象过A(4，－4)，C(0，－4 4)两点， ∵EG ＝EC. ∴△EGC 是等腰三角形，∵DE ⊥AC ，∴GO ＝CO .................... 2 ∴ ⎧4＋4b + c = -4,⎩c = -4.解得⎧b = -1, ⎩c = -4.………………1 分分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴ y = 1x 2 - x - 4 .......................................................... 2 分4(2) △ABD 是直角三角形，理由如下：x/cm 0 0.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.65 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00 y/cm 0 0.94 1.91 2.49 3 322.843.00 2.84 2.60 2.00 1.50 0.900.68⎨ ⎩ ⎩当 x B = -2 时， y B= 1 ⨯（－2）2－（－2）－4＝－1. 4∴B(－2，－1)， ∴AM ＝GM.……6 分 设直线 BO ： y = kx (k ≠ 0）, ∵过点 B(－2，－1)，∴ k = 1 ,∴ y = 1x .∵EF ∥BD ，∴AM ＝ AE ＝ AF ＝1. 2 2AG AB AD 2⎧y = 1 x ⎧ x = 8, x = -2,∴E ，F 分别为AB ，AD 的中点.联立⎪ ⎪ y = ⎩2 1 x 2 4 - x - 4 解得： ⎨ y = 4. ⎧ ⎨ y = -1. ∴D(8,4) ...............3 分. ∴ EF ＝12BD ................................................................................... 7 分如图 1，作直线AC ，过点 B 作 BJ ⊥AC 于点 J ，过点D 作DC ⊥AC 于点K.∵A(4，－4)，B(－2，－1)，D(8,4)， ∵四边形AFGE 为矩形，∴EF ＝AG. ∴AG ＝1BD ..................................... 8 分2[也可通过相似三角形证得G 为 BD 的中点(7 分)，(第 28 题图 2)∴BJ ＝3，AJ ＝6，DK ＝8. 进而运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AG ＝1BD .(8 分)]2 ∴ BJ ＝ AJ . ∴△BAJ ∽△ADK.由(2)得，在 Rt △ABJ 中，BJ ＝3，AJ ＝6，过点 E 作 EN ⊥AJ 于点 N ， AKDK∴∠BAJ ＝∠ADK ........................ 4 分则△AEN ∽△ABJ.∵E 为AB 的中点，∵ EN ＝1BJ ＝ 3， AN ＝1AJ ＝3 .∵∠ADK ＋∠DAK ＝90°，(第 28 题图 1)∴｜x 2 22|=| x | - AN = 4 - 3 = 1 ，| y |=| y | -EN = 4 - 3 = 5.E A t A2 2∴∠BAJ ＋∠DAK ＝90°， ∴ E (1,- 5) ................................................................. 10 分2 ∴∠BAD ＝90°.(4) Q (2,- 3), Q (2,-4) ................................................ 11,12 分. 14 2∵∠ADK ＋∠DAK ＝90°， ∴∠GAJ ＋∠DAK ＝90°， ∴∠BAD ＝90°.∴△ABD 是直角三角形. ……………………5 分.(3) 如图 2，连接 AG 交 EF 于点 M ，∵四边形AFGE 为矩形，。
兰州中考真题数学试卷分析
兰州中考真题数学试卷分析兰州市是甘肃省的省会城市，每年都有许多中学生参加中考。
数学试卷是中考的重要组成部分，对学生的数学能力和解题能力进行考察。
一、试卷结构分析兰州中考数学试卷一般由选择题、填空题、计算题、应用题等几个部分组成。
选择题是考察学生对基础知识的掌握情况，填空题是考察学生的计算能力，计算题是考察学生解题过程和思维能力，应用题是考察学生将数学知识运用到实际问题中的能力。
二、题型分析1. 选择题选择题是试卷中最常见的题型。
根据兰州中考数学试卷的题目特点，选择题主要包括单项选择和多项选择。
这些题目往往涉及到学生对知识点的理解和运用能力。
在解答选择题时，学生需要对问题进行仔细分析，选择正确的选项。
2. 填空题填空题是另一种常见的题型。
这些题目通常要求学生填写正确的数字、符号或计算结果。
在解答填空题时，学生要注意题目中的提示信息，准确计算并填写答案。
3. 计算题计算题是考察学生解题能力和计算能力的题型。
这些题目往往需要学生进行复杂的计算和推理。
在解答计算题时，学生应注意列式计算、逻辑推理等问题的处理。
4. 应用题应用题是综合考察学生将数学知识用于实际问题的能力。
这些题目通常涉及到解决实际问题、分析数据和做出合理的判断。
在解答应用题时，学生需要灵活运用数学知识，结合实际情况进行分析，找出正确的解决方法。
三、难度分析兰州中考数学试卷的难度通常根据试卷中的题目难度、解题过程复杂度和解答时间来评估。
试卷涵盖的知识点越广泛，题目的难度就可能越大。
一般来说，选择题难度较低，计算题和填空题难度适中，应用题难度相对较高。
四、试卷评价兰州中考数学试卷的编排紧密结合教材内容，考察了学生对基础知识和能力的掌握情况。
试卷中的题目设计合理，难度适中，能全面考察学生的数学能力。
同时，试卷注重考查学生的问题解决能力和创新思维，培养学生的数学思维、逻辑思维和实际应用能力。
总的来说，兰州中考数学试卷综合考察了学生的数学基础知识、计算能力、问题解决能力和实际应用能力。
2022年甘肃省兰州市中考数学真题(解析)
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
6.若一次函数 的图象经过点 ， ，则 与 的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
详解】解：A．不能沿一条直线折叠完全重合；
B．不能沿一条直线折叠完全重合；
C．不能沿一条直线折叠完全重合；
D．能够沿一条直线折叠完全重合；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．
【答案】0.9
【解析】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
21.人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
2022年甘肃省兰州市中考数学真题
一、选择题
2023年甘肃省兰州市中考数学试卷及答案解析
2023年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．B．﹣5C．D．52．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°3．（3分）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a4．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（）A．45°B．60°C．110°D．135°5．（3分）方程的解是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝﹣56．（3分）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（）A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm7．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣38．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．（3分）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一，如图反映了2021年，2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况，（2022年同比增长速度＝×100%），根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1% D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10．（3分）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（）A．35°B．30°C．25°D．20°11．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣212．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解：x2﹣25y2＝．14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝______°．15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a ＝．16．（3分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷501002003005001000200030005000次数盖面朝上2854106158264527105615872650次数盖面朝上0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300频率①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：．18．（4分）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．19．（4分）解不等式组：．20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；（2）当OD＝1时，求线段BC的长．21．（6分）综合与实践：问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE ＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB 的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22．（6分）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）23．（6分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．24．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．25．（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：分组y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.67.6≤y＜8.48.4≤y＜9.29.2≤y 人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7.87.8▲8.89.2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝；（2）下列结论正确的是；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE 交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．27．（8分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．28．（9分）综合与实践：【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E 是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：D．【点评】本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．【分析】利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，由量角器度量的方法可得结论．【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC，∵∠AOC＝50°，∴∠BOD＝50故选：B．【点评】本题考查了对顶角相等和量角器的度量的方法，掌握这些知识点是解题的关键．3．【分析】先把分式的分子因式分解，再约分即可．【解答】解：＝＝a，故选：D．【点评】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．4．【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°．故选：A．【点评】本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．5．【分析】方程两边同时乘以x+3，即可转化为一个整式方程，求得方程的根后要验根．【解答】解：方程两边同乘x+3，得2＝x+3解得x＝﹣1．检验：x＝﹣1时，x+3≠0．∴x＝﹣1是原分式方程的解．故选：B．【点评】本题主要考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．6．【分析】由弧长公式：l＝（n是弧的圆心角的度数，r是弧的半径长），即可计算．【解答】解：∵圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，∴的长＝＝10π（cm）．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．7．【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．8．【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．9．【分析】根据折线统计图的信息进行求解即可．【解答】解：由统计图可知，2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，原说法正确，故选项A不符合题意；2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，原说法正确，故选项B不符合题意；相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，原说法正确，故选项C不符合题意；相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法错误，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．10．【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解．【解答】解：由作图得：a∥b，∴∠CON＝∠MNO＝35°，∵OA＝OB，C平分AB，∴OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON＝35°，故选：A．【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质及等腰三角形的性质是截图的关键．11．【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，分别计算各选项中y和x值下的k值，看哪个是负数，哪个就符合题意．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，∴k＜0，A、当x＝2，y＝2时，k＝，不符合题意；B、当x＝2，y＝1时，k＝1，不符合题意；C、当x＝2，y＝﹣1时，k＝0，不符合题意；D、当x＝2，y＝﹣2时，k＝﹣，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．12．【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝AG＝5，然后在Rt△ABG 中利用勾股定理即可求出AG的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，∴，∴BG＝BF＝5，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，由勾股定理得：．故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y）．故答案为：（x﹣5y）（x+5y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．14．【分析】因为BD＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性质可求∠DAE，即可求解．【解答】解：在△DBC中，∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，又∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，又∵AE⊥BD，∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．15．【分析】利用正方形的面积求得OA＝，OD＝3，根据旋转的性质得出a＝OA＝，b＝OD＝3，从而求得b﹣a＝3﹣．【解答】解：∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9，∴OA＝，OD＝3，∴a＝OA＝，b＝OD＝3，∴b﹣a＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键．16．【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确，故答案为：①③．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则进行计算即可．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．【点评】本题考查整式的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．19．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＞3，由②得：x＜4，则不等式组的解集为3＜x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（，1），从而求得BC＝4．【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），∴4＝，4＝﹣2×（﹣1）+m，∴k＝﹣4，m＝2，∴反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2；（2）∵BC⊥y轴于点D，∴BC∥x轴，∵OD＝1，∴B、C的纵坐标为1，∴B（﹣4，1），C（，1），∴BC＝＝4．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE ＝∠DOE，即可得出结论；（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分线，故答案为：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射线OC是∠AOB的平分线；（3）如图，点E即为所求的点．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．22．【分析】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB•tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB•tan∠BAD＝23.94m，然后由CD ＝BD﹣BC即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，∵，∴BC＝AB•tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，∵，∴BD＝AB•tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），∴CD＝BD﹣BC＝13.94﹣14.04＝9.9（m）．答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义．23．【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．24．【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，再证△FDC 和△FOE全等得CD＝OE，据此可得ED＝OE＝CD＝CO，进而可判定四边形OCDE的形状；（2）先证△ODC为等边三角形得DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，进而DF＝2，据此再分别求出CF，GF，进而可得EG的长．【解答】解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，在△FDC和△FOE中，，∴△FDC≌△FOE（ASA），∴CD＝OE，又ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO，∴四边形OCDE是菱形．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴CD＝CO，∴CD＝CO＝DO，∴△ODC为等边三角形，∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，∴，在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，由勾股定理得：，由（1）可知：四边形OCDE是菱形，∴，∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，∴，∴，∴．【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答此题关键是理解菱形的判定，等边三角形的性质，数量利用勾股定理锐角三角函数进行计算．25．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得m的值；（2）根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数，根据题意和表格中的数据可以逐一判断；（3）根据题意和表格中的数据可以求得全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣9﹣6﹣2＝11，故答案为：11；（2）由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比：≥65%，①错误．掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6，②正确．若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确．故答案为：②③；（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300×＝75，答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人．【点评】本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．【分析】（1）连接OC，由圆周有定理得出∠BOD＝∠BOC，由等腰三角形的性质证出∠GBF＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）由垂径定理得出DB＝BC，DC⊥AB，证出∠DCB＝∠CDB，由直角三角形的性质得出∠DGB＝∠DBG，则可得出结论；（3）由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵，∴∠BOD＝∠BOC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠BOC＝2∠A，又∵∠BOD＝2∠F，∴∠A＝∠F，又∵∠AGE＝∠BGF，∴∠AEG＝∠GBF，∵DE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∴∠GBF＝90°，∴OB⊥BF，∵OB为半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：△DGB为等腰三角形，理由：∵，∴DB＝BC，DC⊥AB，∴∠DCB＝∠CDB，∵OB⊥BF，∴DC∥BF，∴∠BDC＝∠DBF，又∵∠BDC＝∠A，∴∠DBF＝∠A，又∵∠A＝∠F，∴∠DBF＝∠F，∵∠GBF＝90°，∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°，∴∠DGB＝∠DBG，∴DB＝DG，即△DBG为等腰三角形；（3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，∴DF＝DB，∴DF＝DG＝DB＝2，∴FG＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．27．【分析】（1）由已知点的坐标可求出∠TGO＝30°且P到EF的距离为2，从而利于三角比可求出线段GP的长，进而可得点P的坐标；（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，从而可得＝2a，求出a即可求出三角形的边长；（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝，则tan∠TGO＝＝，∴∠TGO＝30°，∴GP＝＝＝4，∴P（3，0）．（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），则C（a，），△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，＝2a，解得，a＝1或﹣1（舍去），所以此时等边三角形ABC的边长为2．（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为＝，即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，当l1过A时，b＝﹣1，当l1过C时，b＝1，即﹣1≤b≤1；当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，当l1过A时，b＝3，当l1过C时，b＝5，即3≤b≤5；综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．【点评】本题属于新定义问题，主要考查了一次函数的相关知识以及三角比的应用．本题的解题关键是读懂定义，找到每个情况下P到直线EF的实际距离．28．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，得到∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，于是得到四边形ABCD是正方形；（2）根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G＝∠DFC＝90°，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠ADC＝90°，求得∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AG＝CF，DG＝DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；（3）连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF，理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，∴四边形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形HFDG是正方形，∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；（3）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AH⊥CE，AH＝HM，∴△AHM是等腰直角三角形，∴∠HAM＝45°，∴∠HAB＝∠MAC，∵，∴△AHB∽△AMC，∴，即BH＝CM．【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键。
2022年甘肃省兰州市中考数学试卷及答案解析
2022年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算：＝（）A．±2B．2C．±D．2．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°3．（3分）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y25．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°6．（3分）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．18．（3分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（）A．4B．6C．8D．169．（3分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．11．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞212．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解：a2﹣16＝．14．（3分）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝cm．16．（3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.（结果精确到0.1）三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式：2（x﹣3）＜8．18．（4分）计算：（1+）÷．19．（4分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC ＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．20．（6分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m 的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．（6分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x ≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为百万人．（2）下列结论正确的是．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．22．（6分）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55 y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》25．（6分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B（3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝x+b的表达式；（2）求DE的长．26．（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．27．（8分）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD 上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．28．（9分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE ⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP ＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB ＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．2022年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用算术平方根的性质求解．【解答】解：∵＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．2．【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．【解答】解：A．不能沿一条直线折叠完全重合；B．不能沿一条直线折叠完全重合；C．不能沿一条直线折叠完全重合；D．能够沿一条直线折叠完全重合；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4．【分析】利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．5．【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜4即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．7．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】利用相似三角形的性质可得，代入即可得出EF的长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵＝，BC＝2，∴，∴EF＝4，故选：A．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．9．【分析】总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是，故选：B．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC＝﹣＝2.25πm2．故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：a2﹣16＝（a﹣4）（a+4）．故答案为：（a﹣4）（a+4）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．14．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．15．【分析】根据将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DF A，而AF＝2EF，即得AF＝6cm，AE＝9cm，由四边形ABCD是矩形，可得AB＝CD＝DF，AD∥BC，从而AD＝AE＝9cm，在Rt△ADF中，用勾股定理得DF＝3cm，从而AB＝DF＝3cm．【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，∴EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DF A，∵AF＝2EF，∴AF＝6cm，AE＝AF+EF＝6+3＝9（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝DF，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠DEF，∴AD＝AE＝9cm，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴62+DF2＝92，∴DF＝3（cm），∴AB＝DF＝3（cm），故答案为：3．【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．16．【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．故答案为：0.9．【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以，即可得出不等式的解集【解答】解：去括号，得：2x﹣6＜8，移项，得：2x＜8+6，合并同类项，得：2x＜14，两边同乘以，得：x＜7．故原不等式的解集是x＜7．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．18．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的关键．19．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，然后设CF ＝xm，则CD＝（x+3）m，先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，设CF＝xm，∴CD＝CF+DF＝（x+3）m，在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，∴tan31°＝＝≈0.6，∴x＝6，经检验：x＝6是原方程的根，∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），∴凉亭AB的高约为6.9m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．【分析】（1）根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数即可求出中位数；（2）①根据频数分布直方图进行判断即可；②根据条形图与折线图即可判断；③根据折线图即可判断；（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，故答案为：40；（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，故原结论错误，不符合题意．所以结论正确的是①②．故答案为：①②；（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．【点评】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．22．【分析】问题解决：（1）以B为顶点，以AB为一边，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一边与圆交于D，连接AD，BC，AD，BC的交点即是圆心O；类比迁移：（2）方法同（1）；拓展探究：（3）连接AC，AB，作AC，AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心．【解答】解：问题解决：（1）如图：O即为圆心；类比迁移：（2）如图：O即为所求作的圆心；拓展探究：（3）如图：O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用．23．【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；（2）先描点，再连线，即可画出图象；（3）根据图象直接得出结论；（4）利用表格和图象估算出AM的长度．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，过点C作CM'⊥AB于M，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，∴CM'＝，在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝＝1.8，当x＝1.8时，点M与点M'重合，∴CM⊥AB，∵BN⊥CM，∴点M，N重合，∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，故答案为：3.2；（2）如图所示，（3）由图象知，y随x的增大而减小，故答案为：y随x的增大而减小；（4）借助表格和图象得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，故答案为：1.67．【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．24．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．25．【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y＝x+b 即可求得b的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOB＝|k|＝3，∴k＝6，∴反比例函数为y＝，∵一次函数y＝x+b的图象过点B（3，0），∴×3+b＝0，解得b＝﹣，∴一次函数为y＝x﹣；（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，∴当x＝5时y＝＝；y＝x﹣＝3，∴E（5，），D（5，3），∴DE＝3﹣＝．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．26．【分析】（1）根据垂直、平角的定义可得∠D+∠AOD＝90°，进而得到AD⊥OA即可；（2）根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到AD ＝DE，再根据锐角三角函数可得OE＝OC，在Rt△AOD中由勾股定理可求半径．【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，即OA⊥AD，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，∴∠DAE＝∠OCB，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠DEA＝∠B，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝，设半径为r，则OE＝r，OD＝r+，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD2+OA2＝OD2，即（）2+r2＝（r+）2，解得r＝2或r＝0（舍去），即半径为2．【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．27．【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意知，k＝＝3，即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，∴＝2或＝2，即a＝2b或b＝2a，∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；②由①知，a＝2b或b＝2a∵a+b＝3，∴或，∴OP＝＝；（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝x和直线y＝x之间，①当P点与D点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，如图：连接OD，延长DA交x轴于E，此时＝，则，解得a＝，此时B点的坐标为（，），且k＝＝∴a＞+1；②当P点与B点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，如图：连接OB，延长CB交x轴于F，此时＝，则＝，解得a＝3+，此时D（，），且k＝＝，∴a＞+3；综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞+1．【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．28．【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠F AE，则△F AE≌△CEP （SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．【解答】解：（1）AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠F AE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△F AE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°，（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝4，∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
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2011-2015兰州市中考数学试题分析试卷风格相近，统计没有考察，锐角三角函数考察较往年有所减少。
试卷仍以基础题为主，最后的几道大题考查学生的综合能力。
前面的题目区分度不大，23、27、28题属于中档偏上题目，有一定的难度，能够区分优秀学生和普通学生。
二、20XX年-20XX年试卷总体情况：2.1考点分值分布20XX年-20XX年中考知识点分值分布兰州市中考数学试卷在近5年试卷结构几乎没有变化，难易程度适中，低档、中档、难题比例基本维持在7：2：1，而且每一年的基础题比较集中，集中在选择、填空、前四道大题，对于中等及偏下的学生的区分度不高。
近两年基础题比例增加，因此对于中上以及拔尖的学生们的区分度不是很高。
近几年兰州市中考试卷呈现出题目基础灵活度增加，综合考察增加的特点，更加侧重于考查考生规范答题，仔细、分析、应用能力。
2.2试题难度特点：A.最近五年中考试卷中对函数的考查分值最高，也是初中数学最为重要的部分。
B.其次是三角形和四边形、概率统计、圆，其中三角形和四边形与函数、圆经常混合在一起考查，同学应该在日常学习中加强这方面的学习，尤其是初中数学对称、平移、旋转三大变化的相关题目，一般命题人喜欢从这方面考查，而且高中低难易程度都可覆盖。
C. 函数，三角形与四边形，圆一直是中考的热门，它们所占的分值比例很大，在各个题型中都广泛出现，而且压轴题必然出在这两个考点之中。
D. 数与式，方程与不等式，统计与概率在每一年的中考试卷中都没有出现难题，都是对基本概念的考察，所占分值在近几年也没有什么变化。
三、20XX 年兰州市中考试卷具体分析：3.1、选择题：1.考查的是二次函数的概念，易错点是主要看二次项系数是确定的具体的数，还是含有字母的一般的数，如函数1)1(2--+=x m mx y 或方程01)1(2=--+x m mx ，在没有明确给出字母m 的取值范围之前，它们未必是关于x 的二次函数或二次方程，属于基础题。
2.考察三视图，以及考生的空间概念能力，属于基础题。
3.考查了二次函数的图象和性质的相关知识在涉及到二次函数的对称轴问题时，可以将函数改写为顶点式n m x a y +-=2)(的形式，那么只要令0=-m x ，其对称轴就便可求之。
4.考查了直角三角形中角的三角函数值的定义，一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值 时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。
在直角三角形中，我们将夹角 α的那条直角边称为邻边，角α所对的那条边称为对边，那么角阿尔法的各三角函数值分别 为斜边对边=αsin ，斜边邻边=αcos ，邻边对边=αtan 。
如果原题没有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来， 将问题转化到直角三角形中去解决。
属于基础题。
5.考查了坐标和相似的有关知识。
难度中等。
6. 此类题的关键在于配方，由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而 我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西， 因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，难度中等。
7. 考查特殊平行四边形的性质和判定，难度中等。
8. 考查一次函数、反比例函数的图象和性质，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条直 线，当0>k 时，这条直线从左到右是上升的；反之，它是下降的；反比例函数(0)k y k x=≠ 的图象是双曲线，当0>k 时，其图象分别位于第一、三两个象限，并且在每个象限（注意： 仅仅是在该象限之内），图象上的点越来越低（从左到右）；反之，双曲线的两支分别在第二、 四象限，在每个象限内图象位置越来越高。
难度中等。
9. 本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角； 当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。
属于基础题。
10. 本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点菱形的四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分；等腰三角形底边上的高线平分底边和 顶角。
属于难题11. 本题考查了增长率的概念和方程的基本性质所谓某个量m ，它增长了%p ，意味着增长部分是%p m ⋅，那么它就由原来的m ，增长 到了（%p m m ⋅+），也就是%)1(p m +我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为a 或m 等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了x ，那么就是到了)1(9.0x +；接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为x ，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的)1(9.0x +，它是在)1(9.0x +的基础上增加到了)1(x +倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是)1()]1(9.0[x x +⋅+，也就是2)1(9.0x +。
难度中等。
12. 本题考查反比例函数的图象和性质，以及坐标系中的相关知识点。
反比例函数)0(≠=k xk y 的图象关于原点对称，既然21x x -=，那么必有21y y -=，所以 选D 。
属于简单题。
13. 本题考查的是坐标系以及二次函数图象,,a b c 的相关性质。
难度中等。
14. 本题考查二次函数的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线a b x 2-=。
属于难题。
15. 本题考查的是矩形性质，弧长的计算矩形的对角线相等，且互相平分；半径为r ，圆心角为α的弧的长度为180απr .属于难题.3.2、填空题：16. 本题考查了方程的解的概念能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。
属于简单题。
17. 本题考查比例的基本性质，难度一般，只要熟悉定理，很快就可以做出。
18. 本题考查概率和频率当独立随机实验的次数足够大时，某现象发生的频率总在概率附近波动，属于简单题。
19.本题考查的是反比例函数的图象，图形的面积变换，平面直角坐标系y）到x轴和y轴的距离分别是y和x；等底等高的两个三角形面坐标平面内点P（x，积相等。
如果点B和点M在原点处，那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的，但现在这两个三角形都在半途，我们自然想到如何将之与△APO和△QNO联系？画出图形后，我们发现：只要能说明S△PBO=S△QMO，那么问题便可解决。
有一定难度。
20.本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半，在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。
BC=半径，那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。
属于简单题。
3.3、解答题21.（1）化简求值:主要是考查本题考查特殊角的三角函数值和实数的运算，属于简单题（2）解方程本题考查一元二次方程的解法，难度一般。
22.尺规作图本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，基本作图角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等MN是⊙P的弦，那么圆心P到弦的两个端点的距离相等，所以圆心P在线段MN的垂直平分线上；圆心P到∠AOB两边的距离相等，则P在∠AOB的角平分线上，所以，圆心P在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点。
注：无论是否要求写出作图过程，千万不要漏写结论。
在书写结论时，一定要写明哪个图形是所求作的图形，是哪一条线段？还是哪个角？或者是哪个点等，千万不要笼统地说“如图为所求图形”。
例如在本题中，所求的图形是一个圆，那么结论就应该很明确地说“⊙P为所求图形”。
有一定难度。
23.概率本题考查树状图的画法，求概率。
属于简单题。
24. 视图与投影本题考查投影和相似的相关知识点太阳光照射下的投影是平行投影；相似图形对应边的比等于它们的相似比；矩形对边相等。
假若影子完全落在地面上，那么根据两个三角形相似，很容易就可以求出答案；现在既然是落在墙上的投影影响我们的解题，很容易就想到如何消除墙上影子的影响？自然而然地，就想到了只要过墙上影子的顶端，作地平线的平行线，这样问题就可以解决了。
难度一般。
25.三角形与四边形本题考查特殊四边形的性质，和等腰三角形性质中的相关知识点。
在同一个三角形中，相等的边所对的角相等；平行四边形对边相等（1）要说明AD=BC，只要能说明△ACD≌△BDC，现已有AC=BD，CD=DC，那么关键是如何说明∠1=∠2；这里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出结论∠1=∠2，因为AC和BD并非同一个三角形中的元素。
能否以某一角为媒介，使得∠1和∠2都与之相等？结合已知条件中的AC=BD，如果能够构造出以AC和BD为其中两边的三角形，那么它们所对的角自然相等。
为此，可将AC 平移，使点A 到点B 位置（如图），那么有∠2=∠K ，而∠K=∠1，则有∠2=∠1，问题得以解决；很多时候，在直接说明某两个量相等（如本题中需证明∠1=∠2）有困难时，我们往往可以寻找第三方媒介，分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等，从而达到说明两个目标量相等的目的。
例如证明本题中的∠1=∠2，以及本卷第19题中的MQO PBO S S ∆∆=，或者S1=S2。
（2）要说明线段EF 与线段GH 互相垂直平分，只要能说明线段EF 与GH 是菱形的两条对角线即可。
难度一般。
26. 一次函数与反比例本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，直角坐标系，三角形面积，数形结合思想 某一点在某函数的图象上，那么意味着当自变量取值该点的横坐标时，该函数的函数值为该点的纵坐标。
因此，从图象上我们可以看出：点的位置越往右，对应的x 的值就越大；点的位置越往上，对应的函数值就越大。
（1）所谓的021>-y y ，也就是21y y >，说明对于同样的x 直线上的点必须在双曲线的上方，从图中我们可以看到：在第二象限，只有线段AB （不包括两个端点）才居于双曲线的上方，而点A 和B 的坐标均为已知；（3）△PCA 和△PDB 的面积，均随着点P 位置的改变而改变，而其中AC 和BD 都是固定的，所以只要确定了点P ，这两三角形的面积也就随之确定， 既然点P 在直线AB 上，在解决了（2）之后，点P 的横坐标和纵坐标之间的关系也就受到约束，它们之间可以互相用另一个量来表示。
属于难题。
27. 直线与圆本题考查圆与直线的位置关系，扇形面积计算过直径的端点，且与直径垂直的直线是圆的切线（1）我们当然很容易就猜想到BC 是⊙O 的切线，为此，只要连结OD ，证明OD ⊥BC 即可；（2）只要求出△OBD 的面积和扇形ODE 的面积，那么两者之差便为阴影部分的面积涉及到非常规图形的面积问题时，我们通常采用的是割补的方法，将问题转化为常规图形的面积问题来解决。