反比例函数动点问题
反比例函数动点问题
反比例函数动点问题通常涉及到一些几何和代数的知识。
以下是一个典型例题的分析：
已知A、B是反比例函数y=k/x（k＞0，x≠0）的图像上的两点，当点A在第一象限时，与坐标轴围成的矩形AEOF的面积为3，则点B 与坐标轴围成的矩形的面积是（）。
A. 3
B. －3
C. 6
D. 无法确定
我们可以根据题意进行推理。
由于点A在第一象限，所以矩形AEOF 的面积可以表示为|k| = 3。
同时，由于点B在反比例函数的图像上，与x轴和y轴围成一个矩形，其面积也为|k|。
但是这个矩形的面积的具体数值无法确定，因为它与点A的坐标有关。
因此，正确答案是D. 无法确定。
希望这个例子能够帮助你理解反比例函数动点问题的一般思路和方法。
如果你有更多的例题需要分析，欢迎继续提问。
专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。
反比例函数上的点平移规律
反比例函数上的点平移规律
反比例函数上的点平移规律指的是，对于一个反比例函数y=k/x，当x的值发生平移时，对应的y的值也会发生相应的平移。
具体而言，对于反比例函数y=k/x，若将x的值平移a个单位，则对应的y的值会平移1/a个单位。
例如，若原来的函数为y=2/x，在x=2处取值为1，若将x的值平移1个单位变为3，则此时在x=3处取值为2/3，即y的值向右平移了1/2个单位。
这种平移规律同样也适用于反比例函数的图像。
反比例函数的图像是一条双曲线，若将其沿x轴平移a个单位，则图像会沿y轴平移1/a个单位。
例如，若原来的反比例函数图像为y=2/x，则其图像在x=2处交于y轴，若将其沿x轴平移1个单位变为y=2/(x-1)，则此时在x=3处交于y轴，即图像向上平移了1/2个单位。
反比例函数上的点平移规律是数学中很重要的一个概念，它不仅仅适用于反比例函数，也适用于其他函数。
在实际应用中，平移规律也有很多应用，例如在图像处理中，将图像进行平移可以达到很好的效果。
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反比例函数(面积、动点)专项训练一 第1课时(解析版)
【热身训练】要求：快速完成！并写出方法小结或感悟！1．已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在反比例函数3y x=的图象上，当021>>x x 时，下列结论正确的是A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<答案：A解析：反比例函数3y x=的图象在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，所以，当021>>x x 时，有120y y <<2．（2013•铁岭）如图，点P 是正比例函数y=x 与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k的值是 ． =y=S =k=1（（3．（2013•淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是 。
矩形×（矩形．（（交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．5．（2013•十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．y=（，判断出四边形（上，；OA==CB=y==【问题解决】例．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=x x k y 的图象上，则k 的值等于 ． 答案：－12 解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD于M 点，过D 点作DH ⊥CG ，垂足为H ，∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2），则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n=2－2m ，BC AB BC ＝2AB ， 解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－122．（2013•莆田）如图，直线l ：y=x+1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y=的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于C 点左侧，过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN•BM的值．求得：得：，即；，﹣﹣AN=（﹣），﹣（﹣且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．，即，即，，∴；，∴，∴，即由①同理可得：又∵。
备战中考数学反比例函数(大题培优 易错 难题)及答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）解：∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．2．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO= ．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．【答案】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO= •|BO|•|BA|= •（﹣x）•y= ，∴xy=﹣3，又∵y= ，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）解：由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•（|x1|+|x2|）= ×2×（3+1）=4．【解析】【分析】两解析式的k一样，根据面积计算双曲线中的k较易，由公式=2S△ABO,可求出k；（2）求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割△AOC为S△ODA+S△ODC，即可求出.5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．6．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD= ，又∵OA=3，∴D（，3），∵点D在双曲线y= 上，∴k= ×3=4；∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点E的横坐标为4．把x=4代入y= 中，得y=1，∴E（4，1）；（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．∵∠APE=90°，∴∠APO+∠EPC=90°，又∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠EPC=∠OAP，又∵∠AOP=∠PCE=90°，∴△AOP∽△PCE，∴，∴，解得：m=1或m=3，∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．7．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．8．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）.（1）求该二次函数的解析式；（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点 , 落在两个相邻的正整数之间，请写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足，试求实数的取值范围。
2023年九年级中考数学频考点突破--反比例函数动态几何问题
2023年中考数学频考点突破--反比例函数动态几何问题1．如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝nx交线段AC于M点，连接OM，ON，MN．（1）若点N为AB的中点，则n的值为；（2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）；（3）求⊥AMN的面积等于14时n的值．2．如图，一次函数y=2x−2的图与y轴分别交于点A，且反比例函数y=4x的图象在第一象限内的交点为M.（1）求点M的坐标.（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
3．如图，在矩形ABCD中，已知点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象为曲线L．（1）若曲线L过AB的中点．①求k的值．②求该曲线L下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L上方与下方的靓点个数相同，求k的取值范围．4．如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为(1,4)，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF.（1）求反比例函数y=k x(k≠0)的表达式；（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标.5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=k x(k≠0)的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为(− 2,n).（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（√3，1）在反比例函数y＝k x 的图象上．（1）求反比例函数y＝kx的表达式；（2）在x轴上是否存在一点P，使得S⊥AOP＝12S⊥AOB，若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，简述你的理由．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，顶点A，B都在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB=2OA 时，点E恰为AB的中点，若∠AOD=45∘，OA=2√2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．8．如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B．平行于x轴的直线y=n(0<n<8)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）当n为何值时，△BMN的面积最大？9．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝k x与直线y2＝mx＋n交于点A，E，AE交x轴于点C，交y轴于点D，AB⊥x轴于点B，C为OB中点．若D点坐标为（0，﹣2），且S⊥AOD＝4（1）求双曲线与直线AE的解析式；（2）写出E点的坐标；（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．10．如图，将一张Rt△ABC纸板的直角顶点放在C(2,1)处，两直角边BC，AC分别与x，y轴平行( BC>AC)，纸板的另两个定点A，B恰好是直线y1=kx+5与双曲线y2=m x(m> 0)的交点．（1）求m和k的值；（2）将此Rt△ABC纸板向下平移，当双曲线y2=mx(m>0)与Rt△ABC纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求Rt△ABC纸板向下平移的距离．11．如图，在平面直角坐标系中，正六边ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=k x(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．已知CD=2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q．求点Q的横坐标．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=k x(x>0)的图象交于点A (1，3)和点B (3，n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求反比例函数的表达式及n的值；（2）将⊥OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．①请求出点F的坐标；②在x轴上是否存在点P，使得⊥DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知直线OA与反比例函数y=mx(m≠0)的图像在第一象限交于点A．若OA=4，直线OA与x轴的夹角为60°．（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．14．已知正比例函数y1＝ax的图象与反比例函数y2＝6−ax的图象交于A，B两点，且A点的横坐标为﹣1．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）点M（m，n）是反比例函数图象上一动点，其中0＜n＜3，过点M作MD⊥y轴交x轴于点D，过点B作BC⊥x轴交y轴于点C，交直线MD于点E，当四边形OMEB面积为3时，请判断DM 与EM大小关系并给予证明．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=−x+2与反比例函数y2=k x(x<0)相交于点B，与x轴相交于点A，点B的横坐标为-2.（1）求k的值；（2）直接写出当x<0且y1<y2时，x的取值范围；=k x(x<0)的（3）设点M是直线AB上的一点，过点M作MN//x轴，交反比例函数y2图象于点N.若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.16．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y=k x（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：由（1）可知：x A=x B=x N=4，∵点N在y=nx上，∴y N=nx N=n4，∴AN=AB-BN= 1−n 4，故线段AN的长为1−n 4（3）解：由（2）可知：AN= 1−n 4，∵点A（4，1），AC⊥y轴，交y=nx于点M，∴y A=y M=1，AC=x N=4，则x M=ny M=n，即CM=x M=n，∴AM=AC-CM=4-n，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴四边形OBAC为矩形，∴⊥A=90°，∴S⊥AMN= 12×AN×AM = 12(1−n4)×(4−n)= 18n2−n+2，又⊥AMN的面积等于1 4，∴18n2−n+2=14，解得：n=4±√2，又AN= 1−n4＞0，∴n＜4，∴n=4−√2，故n的值为4−√2【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题【解析】【解答】解：（1）∵A（4，1），AB⊥x轴于点B，交y=nx于点N，∴x A=x B=x N=4，AB=1，又∵点N为AB中点，∴BN= 12AB=12，即y N=12，∴n=x N×y N=4× 12=2，故n=2；【分析】（1）根据题意求出x A=x B=x N=4，AB=1，再求出y N= 12，最后计算求解即可；（2）根据题意求出y N=nx N=n4，再求出AN=AB-BN= 1−n4，即可作答；（3）根据题意求出y A=y M=1，AC=x N=4，再求出四边形OBAC为矩形，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
反比例函数与动点问题
Ｑ（ ， 一 ２ ） 或 （一 ， ２ ） ． Βιβλιοθήκη ｚ ・’，
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②若 ＬＯ Ｐ Ｑ＝ＬＡ Ｂ Ｏ， 则△ Ｐ Ｑ Ｏ ＇ － ＂ ＡＢ Ｏ Ａ ．
求 出 点 Ｑ 的 坐标 ， 如果不存在 ， 请 说 明理 由． 解
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（ １ ） ‘ ． ‘ Ｙ＝ｋ ｘ过 （一１ ， ２ ） ， ． ‘ ． ｋ ＝一 ２ ， 即Ｙ ＝ 一２ ｘ ．
解由 尸 点 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ 一 ÷ 的 图 像 上 可 设 Ｐ （ ， ｙ ） ．
２
升 （ 甘肃省陇 南市武都 区滨 江学校 ， 甘肃 陇 南 ７ ４ ６ ０ ０ ０ ）
【 基金项 目】 甘肃省 “ 十三五 ” 教 育科学规 划 ２ ０ １ ６年度
《 初 中数 学 动 点 问题 分 析 研 究》课 题 （ 课题立 项号： Ｇ ｓ
［ ２ ０ １ ６ ］ Ｇ Ｈ Ｂ ０ ６ ５ ３ ） 成果．
数 ｙ ＝ 与 反 比 例 函 数 ｙ ＝ 詈图 像 上 的 一
个 交 点．
一
（ １ ） 求这 两个函数的解析式 ；
Ａ 一 １ 一
图 ２
中 ０（ ０ ， ０ ） ， Ａ（ ０ ， ２ ） ， （ １ ， ０ ） ， 点 Ｐ是 反
１
比例 函数 Ｙ＝一 图像 上的一个动点 ， 过 点 Ｐ作 Ｐ Ｑ上 轴， 垂足 为 Ｑ， 若 以点 ０，
‘
‘ ， ， ＝ 詈 且 过 （ 一 １ ， ２ ） ， ． ‘ ＝ 一 ２ ， 即 ， ， ＝ 一 ２ ．
反比例函数图象上的动点问题
反比例函数图像上的动点问题——反比例函数复习一、开门见山揭示课题二、复习过程演绎（一）问题1教学出示右图：如图，坐标系内有一点A（2，4），有一反比例函数图像经过A点。
则它的函数关系式是什么？（学生口答）变：过A作AD⊥x轴于D,连结OA,则S△AOD=___.学生口答。
（预设两种：S△AOD=12OD×AD=4, S△AOD=12×8）师：你是怎么知道的?总结：①把点的坐标转化为线段的长，往往是解决直角坐标系中有关图形计算的手段（预设1）；变1：若C是图像上的一个动点，也构造这样的直角三角形COF，则面积为多少？你的理由？S△AOD=12︳k︳（根据学生回答，引出C为动点）师：提问：连结AC，在这个图形中，你还能找出其他面积相等的部分吗？（学生在工作单上试做）学生回答：（1）S△AOM =S梯MDFC;S△AOC =S△ADFC板书（移动几何画板观看）变2：若C点坐标为（4，2），求S△AOC生说师写过程（板书转化思想）变3：S△AOC=6，求C点坐标学生试做。
优生板演。
毕。
师：请大家仔细看黑板上同学所做题目。
请给与评价。
有哪些地方值得你欣赏的？哪些地方你觉得要修正的？（老师根据学生所言，共同规范书写过程）板书分类思想阶段评价（二）出示问题2变4：延长AO交图像于点B,则B点坐标为多少？（口答）师：你的理由？（中心对称图形）延长CO、AO交图像的另一分支于点E、B，连结AF、BF，四边形AEBC是什么4)特殊四边形？理由？提问：四边形AEBC变5：点C求此时点C的坐标；有可能是菱形吗？你有理由吗？三、总结：谈谈本节课的收获。
“两种解题方法：求面积，一般性图形。
反比例函数____动点、面积专题(附详细讲解)
反比例函数 ---动点、面积专题（附详解）一、解答题（共7小题）1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．2、已知：反比例函数经过点B（1，1）．（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是，求代数式的值．3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．7、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=图象上第一象限的两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．（1）求证：a=d，b=c；（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N．①求证：PQ∥P1Q1；②求四边形PQNM的面积S能否等于？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．反比例动点与面积答案与评分标准一、解答题（共7小题）1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x 轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。
初中数学反比例函数动点问题
反比例函数 --－动点、面积专项
k旳图象在第一象限旳分支上有一点A（3，4),P为x轴正半轴上旳1．反比例函数ｙ＝
x
一种动点,（1)求反比例函数解析式. （2)当P在什么位置时,△OPA为直角三角形，求出此时Ｐ点旳坐标.
2、如图，M点是正比例函数y＝kx和反比例函数旳图象旳一种交点.
（1）求这两个函数旳解析式；
（2)在反比例函数旳图象上取一点P,过点P做PA垂直于x轴,垂足为Ａ,点Q 是直线MO上一点，QB垂直于y轴,垂足为B，直线MO上与否存在这样旳点Q,使得△OBQ旳面积是△ＯPＡ旳面积旳２倍？如果存在，祈求出点Q旳坐标,如果不存在，请阐明理由．
3、如图１,已知正比例函数和反比例函数旳图象都通过点M（﹣2，﹣1）,且P(﹣1，﹣2）为双曲线上旳一点,Ｑ为坐标平面上一动点，ＰA垂直于x轴，QB垂直于y轴,垂足分别是A、B．
(１)写出正比例函数和反比例函数旳关系式;
(２)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上与否存在这样旳点Q，使得△OＢQ与△ＯAP面积相等如果存在，祈求出点旳坐标,如果不存在,请阐明理由；
(3)如图2,当点Q在第一象限中旳双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边旳平行四边形OPCＱ，求平行四边形OPＣＱ周长旳最小值.。
反比例函数动点问题,面积问题
环球雅思学科教师辅导教案学员编号：年级:九年级课时数：3学员姓名：李宣锐辅导科目：数学学科教师：庄阳海授课类型T(专题）反比例函数（动点，面积问题）星级★★★★授课日期及时段教学内容反比例函数（动点，面积问题）兴趣导入甲乙两个人爬楼梯，甲到了4层，乙到了3层，那么问甲到了16层，乙到了哪一层？（楼层没有上限要求）知识讲解1、已知反比例函数y=错误!未找到引用源。
的图象经过点A（﹣错误!未找到引用源。
，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，错误!未找到引用源。
m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是错误!未找到引用源。
，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2错误!未找到引用源。
n+9的值．2、已知：反比例函数错误!未找到引用源。
经过点B（1，1）．（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，错误!未找到引用源。
）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM 的面积是错误!未找到引用源。
，求代数式错误!未找到引用源。
的值．3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数错误!未找到引用源。
的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数错误!未找到引用源。
的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：错误!未找到引用源。
中考数学反比例函数(大题培优 易错 难题)含答案解析
中考数学反比例函数(大题培优易错难题)含答案解析一、反比例函数1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.5．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．∴双曲线的表达式为y=﹣．∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，∴点B的坐标为（﹣3，2）．∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），∴解得，∴直线的表达式为y=﹣x﹣1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．8．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA=4，OB=3，OC=2，∴AB= =5，BC=5，∴AB=BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD为菱形（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，∴4= ，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：y=（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，∴M点的纵坐标为：﹣4= ，∴M点的坐标为：（0，）【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.（1）请直接写出二次函数的解析式.（2）判断△ABC的形状，并说明理由.（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),∴解得∴抛物线表达式：（2）解：△ABC是直角三角形.令y=0,则解得x1=8,x2=-2,∴点B的坐标为(-2,0),由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又∴BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形（3）解：∵A(0,4),C(8,0),AC= =4 ,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标10．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．11．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。
初中数学反比例函数及动点问题专题讲解及练习
(K>0)考点二、反比例函数的性质1.2.形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;3.位置当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;4.增减性反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.5.图象的发展趋势反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.6.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.7.任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.温馨提示：反比例函数的涉及内容1.ⅰ当路程s 一定时，时间t 与速度v的函数关系t=s/v2.ⅱ当矩形面积S一定时，长a与宽b的函数关系a=s/b3.ⅲ当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的函数关系y=2s/x动点问题（重点）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
解决动点问题的关键是“动中求静”。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。
反比例函数上的点平移规律
反比例函数上的点平移规律要理解这个规律，我们首先回顾一下反比例函数的定义。
反比例函数可以表示为y = k/x，其中k是一个常数。
当x增加时，y会减少；当x减少时，y会增加。
这反映了两个变量之间的相互关系。
现在，我们假设有一个反比例函数y = k/x，其中k是一个常数。
我们将考虑对这个函数中的点进行平移操作。
假设我们将点(x1, y1)平移到点(x2, y2)。
那么根据平移规律，我们可以得到以下等式：y1 = k/x1y2 = k/x2我们可以通过解这个方程组来找到x2和y2之间的关系。
将第一个等式除以第二个等式，我们可以得到：y1/y2 = (k/x1)/(k/x2) = x2/x1通过交叉相乘的方法，我们可以得到：y1 * x1 = y2 * x2这个等式告诉我们，当反比例函数上的点发生平移时，它们之间的乘积保持不变。
换句话说，如果我们知道一个点的坐标，我们可以通过乘以另一个点的坐标来找到平移后的点的坐标。
这个规律在实际生活中有很多应用。
比如，假设我们有一个反比例函数y = k/x，表示某种商品的价格和需求量之间的关系。
如果我们知道某个价格下的需求量，我们可以通过乘以另一个价格下的需求量来找到平移后的需求量。
这对于制定价格策略和预测市场需求非常有帮助。
这个规律还可以应用于物理学中的一些问题。
例如，当我们研究物体在空气中的运动时，我们可以使用反比例函数来描述物体受到的空气阻力和速度之间的关系。
通过应用平移规律，我们可以推导出物体在不同速度下所受阻力的变化情况。
总结起来，反比例函数上的点平移规律是一个有趣且实用的数学现象。
通过应用平移规律，我们可以找到反比例函数上点的平移后的坐标。
这个规律在经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
希望通过这篇文章的介绍，读者们对这个规律有了更深入的理解，并能将它应用到实际问题中去。
专题. 反比例函数(动点问题)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)
专题11.29反比例函数（动点问题）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y轴，垂足分别为B ，C ，则矩形ABOC 的面积为（）A ．-4B ．2C ．4D ．82．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点D 的坐标为（-2，6），点B 是动点，反比例函数(0)ky x x=<经过点D ，若AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为（）A ．6B ．5C ．3D ．73．如图，点A 是双曲线y =6x是在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（）A ．13y x=-B ．3y x =-C ．16y x=-D ．6y x=-4．一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过点(1,4)A --，(2,2)B 两点，P 为反比例函数kby x=图像上的一个动点，O 为坐标原点，过P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则PCO △的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．不确定5．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是函数()0,0ky k x x=>>的图象上的一个动点，PB y ⊥轴于点B ．当点P 的纵坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积的变化为（）A ．不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．先增大后减小6．如图，已知A （1，a ），B （b ，1）为反比例函数y ＝2x图象上y 的两点，动点P 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之和最小时，则点P 的坐标是（）A ．（35，0）B ．（1，0）C ．（53，0）D ．（2，0）7．反比例函数4y x =和6y x =在第一象限的图象如图所示，点A 在函数6y x=图象上，点B 在函数4y x=图象上，AB ∥y 轴，点C 是y 轴上的一个动点，则△ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，8OA =，6OC =，点D 是BC 边上一动点，过点D 的反比例函数(0)k y x x=>与边AB 交于点E ．若将DBE ∆沿DE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在对角线AC 上．则反比例函数的解析式是（）A ．6y x=B ．12y x=C ．24y x=D ．36y x=9．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小10．如图，已知点A 是双曲线y ＝2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为(m ，n)，则m ，n 满足的关系式为()A ．n ＝－2mB ．n ＝－2mC ．n ＝－4mD ．n ＝－4m二、填空题11．如图，已知点A 是双曲线2y x=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化，设点C 的坐标为(),m n ，则m ，n 满足的关系式为______．12．如图，已知点A 是反比例函数()40y x x=>图象上的动点，AB x ∥轴，AC y ∥轴，分别交反比例函数1y x=（0x >）的图象于点B 、C ，交坐标轴于点E 、D ，连接BC ．则ABC 的面积是______．13．如图，A 、B 是函数6y x=上两点，P 为一动点，作PB y ∥轴，PA x ∥轴，若2BOP S =△，则ABP S =△______．14．如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A （m ，n ）是双曲线ky x=上的动点，过点A 作AM ∥y 轴交x 轴于点M ，过点N （0，2n ）作NB ∥x 轴交双曲线于点B ，交直线AM 于点C ，若四边形OACB 的面积为4，则k 的值为________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数y =-4x（x ＞0）的图象上一动点，AB ⊥y 轴，垂足为B ，以AB 为边作正方形ABCD ，其中CD 在AB 上方，连接OA ，则OA 2-OC 2=_______．16．反比例函数2y x=和3y x =在第一象限的图象如图所示，点A 在函数3y x =的图象上，点B 在函数2y x=的图象上，点C 是y 轴上一个动点，若AB y ∥轴，则ABC 的面积是______．17．如图，点A 是反比例函数2y x =-在第二象限内图像上一点，点B 是反比例函数4y x=在第一象限内图像上一点，且AB x ∥轴，C 为x 轴上动点，连接CA 、CB ，则CAB △的面积是___________．18．如图，平行于x 轴的直线分别交反比例函数2(0)y x x =>和4(0)y x x=-<的图像于点A 和点B ，点C 是x 轴上的动点，则ABC 的面积为__________．19．如图，已知点A 是反比例函数y =6xOA ，3为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数y =kx的图象上，则k 的值为________.20．如图，□OABC 的顶点A 的坐标为()2,0，,B C 在第一象限反比例函数1k y x=和22ky x =的图象分别经过,C B 两点，延长BC 交y 轴于点D .设P 是反比例函数1k y x=图象上的动点，若POA ∆的面积是PCD ∆面积的2倍，POD ∆的面积等于28k -，则k 的值为________．三、解答题21．在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =分别以OB 、OA 在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 合），过点F 的反比例函数(0)ky k x=>的图像与AC 边交于点E ．(1)求证：AOE △与BOF 的面积相等；(2)记OEF ECF S S S =- ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？22．如图，点(,2)A a 在反比例函数4y x=的图象上，AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数ky x=的图象于点B ，已知2AC BC =．(1)求反比例函数ky x=的解析式；(2)点D 为反比例函数ky x=图象上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y =k 1x +b 与反比例函数y =2k x的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2），B （m ，1）．(1)求m 的值及直线AB 的解析式；(2)若点P 是直线AB 上的一动点，将直线AB 向下平移n 个单位长度（0＜n ＜3），平移后直线与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，当△PED 的面积为1时，求n 的值．24．直线y kx b =+与反比例函数8(0)y x x=>的图象分别交于点A （m ，4）和点B （8，n ），与坐标轴分别交于点C 和点D ．(1)求直线AB 的解析式；(2)观察图象，当0x >时，直接写出8kx b x+>的解集；(3)若点P 是x 轴上一动点，当△ADP 的面积是6时，求出P 点的坐标．25．已知，如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数图象交于A 点（3，2），（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x 的取值范围？（3）M （m ，n ）是反比例函数上一动点，其中0大于m 小于3，过点M 作直线MN 平行x 轴，交y 轴于点B ．过点A 作直线AC 平行y 轴，交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．26．已知：在矩形AOBC 中，4,3OB OA ==．分别以,OB OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）记OEF ECF S S S =- ，当S 取得最大值时，求k 的值；（2）在（1）的条件下，若直线EF 与x 轴、y 轴分别交于点,M N ，求EM FN ⋅的值．参考答案1．C【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC 的面积等于比例系数的绝对值，即可求解．解：∵点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，∴矩形ABOC 的面积44-=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数()0ky k x=≠中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键．2．A【分析】依据点D 的坐标为（-2，6），CD ⊥CO ，即可得出CO=2，CD=6=AB ，进而得到CO×AB=12，再根据BC AB OC EO=，可得BC•EO=AB•CO=12，进而得到△BCE 的面积1BC OE 62=⨯⨯=.解：∵点D 的坐标为（-2，6），CD ⊥CO ，∴CO=2，CD=6=AB ，∴CO×AB=12，∵AB ∥OE ，∴BC AB OC EO=，即BC•EO=AB•CO=12，∴△BCE 的面积1BC OE 62=⨯⨯=【点拨】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将△BCE 的面积与点D 的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．3．D【分析】连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a，CD =OE =a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y =6x的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC =OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC +∠AOE =90°，∵∠DOC +∠DCO =90°，∴∠DCO =∠AOE ，∴△COD ≌△OAE （AAS ），设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a ，CD =OE =a ，∴C 点坐标为（-6a ，a ），∵-6a•a =-6，∴点C 在反比例函数y =-6x 图象上．故选：D ．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．4．A【分析】由一次函数图像上的两个点(1,4)A --，(2,2)B ，可确定一次函数中的参数k 、b 的值，从而确定反比例函数的关系式，再根据反比例函数k 的几何意义直接求解．解：把点(1,4)A --，(2,2)B 代入(0)y kx b k =+≠得：422k b k b -=-+⎧⎨=+⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，所以反比例函数表达式为4y x-=，根据题意可得：1|4|22PCO S =⨯-= ．故选：A ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义、一次函数关系式的确定，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解题的关键．5．B【分析】连接OP ，根据反比例函数的比例系数的几何意义，可得2BOP k S =V ，再由四边形OAPB 的面积等于p 12BOP AOP k S S y OA x +=+´V V ，即可求解．解：如图，连接OP ，∵PB ⊥y 轴，∴2BOP k S =V ，∵四边形OAPB 的面积等于p 12BOP AOP k S S y OA x +=+´V V ，∵点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 的纵坐标逐渐增大∴四边形OAPB 的面积随点P 的纵坐标的增大而增大．故选：B【点拨】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．6．C【分析】先求出A ，B 的坐标，然后作B 点关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴即为P ，此时PA +PB 最小，最小值为AB ′的长，然后求出直线AB ′的解析式，求出其与x 轴的交点坐标即可.解：把A （1，a ），B （b ，1）代y ＝2x得a ＝2，b ＝2，则A 点坐标为（1，2），B 点坐标为（2，1），作B 点关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴即为P ，此时PA +PB 最小，最小值为AB ′的长，∵B点坐标为（2，1），∴B′点坐标为（2，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝kx+b，∴2 21 k bk b+=⎧⎨+=-⎩解得35 kb=-⎧⎨=⎩∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+5，令y＝0，则﹣3x+5＝0，∴x＝5 3，∴P的坐标为（53，0），故选C．【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7．A【分析】连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=3，S△OBD=2，即可求得S△OAB=S△OAD-S△OBD=1．解：连结OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，∵AB ∥y 轴，∴AD ⊥x 轴，OC ∥AB ，∴S △OAB =S △ABC ，而S △OAD =12×6=3，S △OBD =12×4=2，∴S △OAB =S △OAD ﹣S △OBD =1，∴S △ABC =1，故选：A ．【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．8．C 【分析】设,4,6,46K K D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得DC=4K ,AE=6K ，得到DB=6-4K ,BE=4-6K ,根据三角函数的定义得到tan ∠BAC=tan ∠BED ，根据平行线的判定定理得到DE ∥AC,连接BF ，根据折叠的性质得到BH=FH ，根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2，于是得到结论.解：∵四边形OABC 是矩形，OA=6,OC=4,∴BC=OA=6,AB=OC=4,∴()6,4B ,设,4,6,46K K D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴DC=4K ,AE=6K ,∴DB=6-4K ,BE=4-6K ,∴tan ∠BED=BD BE =634246K K -=-,∵tan ∠BAC=6342BC AB ==,∴tan ∠BAC=tan ∠BED ，∴∠BED=∠BAC,∴DE ∥AC,连接BF,∵将△DBE 沿DE 折叠，点B 的对应点F 正好落在对角线AC 上,∴BH=FH ，∴AE=BE=2,∴26k=,∴k=12.∴反比例函数的解析式12y x=.故选C.【点拨】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.9．A【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S COF S = 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．解：∵点A 是函数(0k y x x=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，∴矩形ACOB 的面积为k ，∵点E 、F 在函数1y x =的图象上，∴BOE S COF S = 12=，∴四边形OFAE 的面积11122k k =--=-，故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，故选：A ．【点拨】本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．10．B解：首先根据点C 的坐标为（m ，n ），分别求出点A 为（2n ，n ），点B 的坐标为（-2n ，-n ），根据图像知B 、C 的横坐标相同，可得-2n=m.故选B ．【点拨】此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：①图像上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x 轴、y 轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|．11．2mn =-【分析】首先根据点C 的坐标为(,)m n ，分别求出点A 的坐标、点B 的坐标；然后根据点B 和点C 的横坐标相同，求出m ，n 满足的关系式即可．解：由反比例函数的性质可知，A 点和B 点关于原点对称，点C 的坐标为(,)m n ，∴点A 的坐标为2(n ，)n ，∴点B 的坐标为2(n -，)n -，根据图象可知，B 点和C 点的横坐标相同，2m n ∴-=，即2n m=-．故答案为：2mn =-．【点拨】此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点(,)x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k ．12．98##1.125【分析】设点A 的坐标为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得点B 的坐标为4,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB AC ⊥，从而得到33,4AB a AC a==，即可求解．解：设点A 的坐标为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵AB x ∥轴，AC y ∥轴，分别交反比例函数1y x=（0x >）的图象于点B 、C ，∴点B 的坐标为4,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB AC ⊥，∴33,4AB a AC a==，∴ABC 的面积是113392248AB AC a a ⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：98【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．13．4【分析】设6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、6,B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2BOP S =△找到m 、n 之间的关系，最后表述出ABP S △，整体代入求值即可．解：设6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、6,B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴6,P n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴66PB n m=-，PA m n =-，∴1662()2BOP S n n m==⋅-△，整理得3m n =，∴1166166(()()(3)42223ABP PA PB m n n nS n n m n =⋅=-⋅-=-⋅-=△，故答案为：4．【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．14．4【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到S △AOM ＝S △BON 12=k ，列方程即可得到结论．解：∵NB ∥x 轴，AM ∥y 轴，∴四边形OMCN是矩形，∵点A、点B在双曲线上，∴S△AOM＝S△BON12=k，∵四边形OACB的面积为4，∴12k12+k＋4＝m•2n，∵点A（m，n），∴mn＝k，∴k＝4，故答案为：4．【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形和三角形的面积的矩形，正确的识别图形是解题的关键．15．8【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2-OC2=8．解：正方形ABCD中，BC=AB，∴OC=BC-OB=AB-OB，∵点A为反比例函数y=-4x（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，∴AB•OB=4，OA2=AB2+OB2，∴OA2-OC2=AB2+OB2-（AB-OB）2=2AB•OB=2×4=8，故答案为：8．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC=BC-OB=AB-OB，AB•OB=4，OA2=AB2+OB2是解题的关键．16．12##0.5【分析】设A(m，3m)，B(m，2m)，则AB=3m-2m，△ABC的高为m，根据三角形面积公式计算即可得答案．解：∵A、B分别为3yx=、2yx=图象上的点，AB//y轴，∴设A(m，3m)，B(m，2m)，∴S△ABC=12（3m-2m）m=12，故答案为：12【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标都满足反比例函数的解析式是解题关键．17．3【分析】连接OA ，OB ，设AB 与y 轴交于点D ，由AB x ∥轴，可得OAB ABC S S =△△，又由反比例函数系数k 的几何意义可知，212OAD S ==△，422OBD S ==△，进而可得OAB 的面积，由此可得出结论．解：如图，连接OA ，OB ，设AB 与y 轴交于点D ，∵AB x ∥轴，∴OAB ABC S S =△△，∵点A 是反比例函数2y x =-在第二象限内图像上一点，点B 是反比例函数4y x =在第一象限内图像上一点，∴212OAD S ==△，422OBD S ==△，∴3OAB OAD OBD S S S =+=△△△，∴3ABC OAB S S ==△△．故答案为：3．【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ．18．3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设点A （a ，2a ），代入4y x=-中求出点B 坐标，再利用三角形面积公式计算．解：设点A 的坐标为（a ，2a ），将y =2a 代入4y x=-中，得：2x a =-，∴点B 的坐标为（2a -，2a ），∴△ABC 的面积为()1222a a a ⨯⨯--⎡⎤⎣⎦=3，故答案为：3．【点拨】此题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．19．【分析】设A （a ，b ），则A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，根据相似三角形的判定证得△AOE ∽△COF ，由相似三角形的性质得到，，则．解：设A(a,b)，∴OE=a ，AE=b ，∵在反比例函数y=x图象上，∴分别过A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，∵矩形AOCB ，∴∠AOE+∠COF=90°，∴∠OAE=∠COF=90°−∠AOE ，∴△AOE ∽△OCF ，∵，∴OCOA =OF AE =CF OE ∴，∵C 在反比例函数y=k x的图象上，且点C 在第四象限，∴k=−OF ⋅.【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质.20．6.4【分析】根据题意求得CD ＝BC ＝2，即可求得OD ＝2k ，由△POA 的面积是△PCD 面积的2倍，得出x P ＝3，根据△POD 的面积等于2k ﹣8，列出关于k 的方程，解方程即可求得．解：∵▱OABC 的顶点A 的坐标为（2，0），∴BD ∥x 轴，OA ＝BC ＝2，∵反比例函数1k y x=和22k y x =的图象分别经过C ，B 两点，∴DC•OD ＝k ，BD•OD ＝2k ，∴BD ＝2CD ，∴CD ＝BC ＝2，BD ＝4，∴C （2，2k ），B （4，2k ），∴OD ＝2k ，∵△POA 的面积是△PCD 面积的2倍，∴y P ＝2323k k ⨯=，∴x P ＝3kk ＝3，∵△POD 的面积等于2k ﹣8，∴12OD•x P ＝2k ﹣8，即122k ⨯×3＝2k ﹣8，解得k ＝6.4，故答案为6.4．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，平行四边形的性质，反比例图象上点的坐标特征，求得P 的横坐标是解题的关键．21．(1)证明过程见详解；(2)当6k =时，S 有最大面积，最大面积为3【分析】（1）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，根据点E ，F 在反比例函数图像上，则可求出11x y k =，22x y k =，且11112AOE S S x y ==△，22212BOF S S x y ==△，由此即可求证；（2）确定,33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11432234ECF k k S EC CF ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ △，EOF AOE BOF ECF AOBC S S S S S =--- 矩形，将OEF ECF S S S =- 转化为含有k 的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解．解：（1）证明：设11(,)E x y ，22(,)F x y ，AOE △的面积为1S ，BOF 的面积为2S ，∵11(,)E x y ，22(,)F x y 都在反比例函数(0)k y k x =>的图像上，∴11k y x =，22k y x =，则11x y k =，22x y k =，∴1111122AOE S S x y k ===△，2221122BOF S S x y k ===△，∴12AOE BOF S S k ==△△．（2）解：根据题意可知，,33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11432234ECF k k S EC CF ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△，∴EOF AOE BOF ECF AOBC S S S S S =--- 矩形，即S 121222EOF ECF ECF k k S k S =---=--△△△，∴112212243234OEF ECF ECF k k S S S k S k ⎛⎫⎛⎫=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△，即2211(6)31212S k k k =-+=--+，∴当6k =时，S 有最大面积，最大面积为3．【点拨】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键．22．(1)2y x=-；(2)3【分析】（1）把点A 坐标代入反比例函数4y x =求得点A 坐标，根据AC =2BC 求出点B 的坐标，然后把点B 的坐标代入k y x =中求得k 的值，即可求出k y x=的解析式．（2）设2,D n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．根据AD 的中点E 在y 轴上求出点D 和点E 坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．（1）解：∵点(,2)A a 在反比例函数4y x=的图象上，∴42a =．∴a =2．∴(2,2)A ．∵AB x 轴，且交y 轴于点C ，∴2AC =．∵2AC BC =，∴1BC =．∴(1,2)B -．∴把点B 坐标代入k y x=得21k =-．∴2k =-．∴该反比例函数的解析式为2y x =-．（2）解：设2,D n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵(2,2)A ，点E 为AD 的中点，∴21,2n n E n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵点E 在y 轴上，∴20n n+=．∴2n =-．∴(2,1)-D ，30,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴32OE =．∴1322OEA A S OE x =⋅=△，1322OED D S OE x =⋅=△．∴3OE OAD OED A S S S =+=△△△．∴△OAD 的面积为3．【点拨】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键．23．(1)m =2；3y x =-+；(2)n =2或1．【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；（2）△PED 的面积S =S 四边形PDOE -S △ODE =1，即可求解．（1）解：反比例函数y =2k x 的图象过点A ，则k 2=1×2=2，故反比例函数的表达式为：y =2x；点B （m ，1）在该函数上，故m ×1=2，解得：m =2，故点B （2，1）；将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：11212k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩，故一次函数的表达式为y =-x +3；（2）解：连接PO ，设点P （m ，3-m ），平移后直线的表达式为：y =-x +3-n ，令x =0，则y =3-n ，令y =0，则x =3-n ，即点D 、E 的坐标分别为（3-n ，0）、（0，3-n ），即OD =OE =3-n ，△PED 的面积=S 四边形PDOE -S △ODE =S △OPD +S △OPE -S △OED =12×OD ×xP +12×OE ×yP -12×OD ×OE =12×（3-n ）（3-m +m ）−12（3-n ）2=1，整理得：n 2-3n +2=0，解得：n =2或1．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24．(1)152y x =-+；(2)28x <<；(3)点P 的坐标为()7,0或()13,0【分析】（1）根据反比例函数上的点的特点求得,m n 的值进而求得点,A B 的坐标，待定系数法求直线解析式即可；（2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，x 的取值范围即可；（3）根据（1）的解析式求得点D 的坐标，设P 点坐标为(),0a ，则10PD a =-，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得a 的值，即可求得点P 的坐标．解：（1） 点(),4A m 和点()8,B n 在8y x=图象上，824m ∴==，818n ==，即()2,4A ，()8,1B 把()2,4A ，()8,1B 两点代入y kx b =+中得4218k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线AB 的解析式为：152y x =-+（2）由图象可得，当0x >时，8kx b x+>的解集为28x <<（3）由（1）得直线AB 的解析式为152y x =-+，当0y =时，10x =，D ∴点坐标为()10,0设P 点坐标为(),0a ，则10PD a=- ADP 的面积是612∴×4×PD ＝6 ∴PD ＝3103a ∴-=解得7a =或13∴P 的坐标为()7,0或()13,0因此，点P 的坐标为()7,0或()13,0时， ADP 的面积是6.【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．25．（1）6y x =，23y x =；（2）03x <<；（3）理由见分析【分析】（1）把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得a 和k 的值，可求得两函数的解析式；（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x 的取值范围；（3）用M 点的坐标可表示矩形OCDB 的面积和△OBM 的面积，从而可表示出四边形OADM 的面积，可得到方程，可求得M 点的坐标，从而可证明结论．解：（1）∵将()3,2A 分别代入k y x =，y ax =中，得23k =，32a =，∴6k =，23a =，∴反比例函数的表达式为：6y x =，正比例函数的表达式为23y x =．（2）∵()3,2A 观察图象，得在第一象限内，当03x <<时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）BM DM=理由：∵//MN x 轴，//AC y 轴，∴四边形OCDB 是平行四边形，∵x 轴y ⊥轴，∴OCDB 是矩形．∵M 和A 都在双曲线6y x=上，∴6BM OB ⨯=，6OC AC ⨯=，∴132OMB OAC S S k ==⨯= ，又∵6OADM S =四边形，∴33612OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++= 矩形四边形，即12OC OB ⋅=，∵3OC =，∴4OB =，即4n =∴632m n ==，∴32MB =，33322MD =-=，∴MB MD =．【点拨】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M 的坐标表示出四边形OADM 的面积是解题的关键．26．（1）6；（2）25【分析】（1）由条件可分别表示出E 、F 的坐标，用k 可表示出S ，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k 的值；（2）求得E 、F 的坐标，即可求得EC ＝2，CF ＝32，根据勾股定求得EF ＝52，设∠CEF ＝α，即可求得sin α＝35，cos α＝45，进而解直角三角形求得EM ＝3sin α，FN ＝4cos α，从而求得EM•FN 的值．解：（1）∵OB ＝4，OA ＝3，且E 、F 为反比例函数图象上的两点，∴E ，F 两点坐标分别为E （3k ，3），F （4，4k ），如图，连接OE 、OF，∴S △ECF ＝12(4−3k )（3−4k ），∴S △EOF ＝S 矩形AOBC −S △AOE −S △BOF −S △ECF ＝3×4−12×3k ×3−12×4×4k −S △ECF ，∴S △EOF ＝12−k−S △ECF ，∴S ＝S △OEF −S △ECF ＝12−k−2S △ECF ＝12−k−2×12(4−3k )（3−4k ），∴S ＝−112k 2＋k ．当k ＝161212-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值，即S 取得最大值时k ＝6．（2）∵k ＝6，∴E （2，3），F （4，32），∴EC ＝2，FC ＝32，EF ＝52，设∠CEF ＝α，则sin α＝332552=，cos α＝24552=，∴EM•FN ＝3425sin cos αα⋅=．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的意义及二次函数的性质，解直角三角形等，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k ＝xy 是解题的关键．。
相似与反比例函数动点问题讲义----
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点
P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？
（3）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出
t 的值；若不存在，说明理由．（4）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？2．如图（左），在直角三角形
ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向A 点匀速运动，速度为1cm/S ；点Q 由点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速运动，速度
为2cm/S ；连接PQ ，若两动点同时出发，设运动的时间为
t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：
⑴t 为何值时，PQ ∥BC ？（可升级为△
PQA 为直角三角形？或△PQA 与△ABC 相似？）⑵设△PQA 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式。
⑶是否存在某一时刻，
使线段PQ 恰好把△ABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由。
⑷如图（右），连接PC ，并把PQC 沿QC 对折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形，若存在，求出此时菱形的边长，若不存在，说明理由。
B
C A P Q ┏
B
C
A P Q ┏
P ′。
反比例函数动点问题训练
反比例函数动点问题训练1.点B的坐标为（2，4），BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB绕点A顺时针旋转90°，得到△DAE．（1）求经过OB中点C的反比例函数图象与线段DE的交点F的坐标．（2）点P是x轴上的一个动点，当△OBP为等腰三角形时，写出点P的坐标．2.如下图，一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，6）和B（m，1）．（1）填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．第2页，共10页3. 如图，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点B ，BC⊥x 轴于C 点，且S △ABC =9． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数图象上的一动点，且位于直线BC 的右侧，过P 点作y 轴的平行线，交直线AB 于点M ，交x 轴于点N ．①若BC MN =35，在直线y =12x +2上有一点Q ，在x 轴上有一点D ，使得△DPQ 周长最小，请求出Q 点坐标以及此时△DPQ 的周长；②是否存在这样的P 点，使得△BPM 为PM 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直x 轴于点B ，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，与边AB 相交于点D ，若D 的坐标为（4，m ），AD =3．（1）求反比例函数y =kx 的解析式；（2）经过C 、D 两点的直线的解析式是______；（3）设点E 是线段CD 上的动点，过点E 且平行y 轴的直线与反比例函数的图象交于点F ，则△OEF 面积的最大值是______．5.如图，双曲线y=kx (x>0)与直线y=−12x+b相交于A（2，m），B（6，n）两点．（1）直接写出：关于x的不等式12x+kx>b的解集是________，k＝________，b＝________；（2）把点A绕平面内的某一点M顺时针旋转90°，恰好与点B重合，已知点M关于点A的对称点为M′，求证：点M′在双曲线y=kx上；（3）如图，点P是双曲线y=kx(x>0)上的一个动点，PE⊥y轴于点E，过点P的直线l：y＝k1x＋b1交x轴的正半轴于点F，当点P向右运动时，四边形OEPF的面积S 如何变化？给出你的结论并说明理由．6.如图，一次函数y=ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与双曲线y=k交第二象限于点C，点C的横坐标为−2．x的解析式；（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数y=kx（2）点D为反比例函数y=k第四象限图象上一个动点，DE⊥y轴于点E，连接AE，xOD，当▵ABE的面积是▵OED面积的4倍时，求点D的坐标．第4页，共10页7.如图,在平面直角坐标系中,已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点A(6,5),B(2,8),反比例函数y=k(x>0)过点C,过点A作AD // y轴交双曲线于点D.x的表达式;(1)求反比例函数y=kx(2)动点P在y轴正半轴运动,当线段PC与线段PD的差最大时,求P点的坐标;(3)将RtΔABC沿直线CO方向平移,使点C移动到点O,求线段AB扫过的面积.第6页，共10页8. 矩形AOBC 中，OB =4，OA =3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数y =kx （k ＞0）的图象与边AC 交于点E ．（1）当点F 运动到边BC 的中点时，求点E 的坐标； （2）连接EF ，求∠EFC 的正切值；（3）如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求此时反比例函数的解析式．9. 如图，已知直线y =12x +b 与y 轴交于点B （0，-3），与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，BC =3AC ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一动点，M 是直线AB 上方的反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上一动点，直线MN ⊥x 轴交直线AB 于点N ，求△PMN 面积的最大值．(k>0,x>0)的图象经过▵OABC 10.如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0）．函数y=kx的顶点A(m,n)和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若的面积等于6，求k的值；（3）在第（2）问的基础上，过点D作直线l平行于直线AB，点P为直线l的上一个动点，点Q为平面内一动点，若以A、P、O、Q为顶点的四边形为矩形，求点P的坐标．11.如图，直线AB与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0,3)，将线段AB绕点A顺时针旋转(k≠0,x>0)的图象经过点C．90°得到线段AC，反比例函数y=kx（1）求直线AB和反比例函数y=k(k≠0,x>0)的解析式；x（2）已知点P是反比例函数y=k(k≠0,x>0)图象上的一个动点，求点P到直线AB最x短距离时的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x−4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=k也经过A点．连接BC．x(1)求k的值；(2)判断△ABC的形状，并求出它的面积．(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图, 直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=m(m≠0)在第一象限交于点A、B,且该直线与x轴正x半轴交于点C, 过A、B分别作x轴的垂线, 垂足分别为E、D.已知A(4,1).(1)求双曲线的表达式;(2)若CD=4CE.求k,b的值;(3)在(2)的条件下, 若点M为直线AB上的动点,则OM长度的最小值为 .（x＞0）14.如图，直线y=﹣x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=12x 上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；第8页，共10页（2）当a=3时，求△EOF的面积．4（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；的图象交于A、B两点，其中A（1，n），15.如图，已知直线y1=3x与反比例函数y2=kx点C是反比例函数在第一象限图象上不同于A的一动点（C在A右侧），BC交y轴于点F．（1）直接写出：①k的值为______；点B的坐标为______；②当y1＞y2时，x的取值范围是______；（2）若∠BAC=90°，求点C的坐标；（3）如图2，延长CA交y轴于点E，直接写出EF的长为______．的图像和一次函数y2=ax+b的图像交于A(3，4)、B(-6，n)。
八年级数学下册 11.3 用反比例函数解决问题 如何处理函数中的动点问题素材 (新版)苏科版
如何处理函数中的动点问题？
难易度：★★★★
关键词：反比例函数应用-动点．
答案：
利用反比例函数的图像和性质，根据点的移动确定函数的解析式，从而做出所求问题。
【举一反三】
典题：如图，已知A、B是反比例函数y= （y＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）
A、B、C、D、
思路导引：本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．当点p在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，当点P在BC上运动时，S随t的增大而减小，根据以上判断做出选择即可．
标准答案：
解：当点p在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，
当点P在AB上运动时，S不变，
∴B、D淘汰；
当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，
∴C错误．
故选A．。
反比例函数经典例题(含详细解答)
反比例函数难题x（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．1.已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式2kx＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝(m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝45．(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC 的面积．(1)过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，∵sin ∠AOE ＝ 45，OA ＝5，∴在Rt △ADO 中，∵sin ∠AOE ＝AD AO ＝AD 5＝ 45， ∴AD ＝4，DO ＝OA2-DA2=3，又点A 在第二象限∴点A 的坐标为(－3，4)，将A 的坐标为(－3，4)代入y ＝ m x ，得4=m -3∴m ＝－12，∴该反比例函数的解析式为y ＝－12x ，∵点B 在反比例函数y ＝－12x 的图象上，∴n ＝－126＝－2，点B 的坐标为(6，－2)，∵一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧－3k ＋b=4，6k ＋b ＝－2，∴⎩⎨⎧k ＝－23， b ＝2∴ 该一次函数解析式为y ＝－23x ＋2．(2)在y ＝－23x ＋2中，令y ＝0，即－23x ＋2=0，∴x=3，∴点C 的坐标是（3，0），∴OC ＝3， 又DA=4， ∴S △AOC ＝12×OC ×AD ＝12×3×4＝6，所以△AOC 的面积为6．xm练习1.已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x的图象上，且sin ∠BAC = 35．（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．（1）把C （1，3）代入y = kx得k =3设斜边AB 上的高为CD ，则sin ∠BAC =CD AC =35∵C （1，3） ∴CD=3，∴AC=5（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有：AD=52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ACD ∽ABC ∴AC 2=AD ·AB ∴AB=AC 2AD =254∴OB=AB －AO=254－3=134 图1此时B 点坐标为（134，0）图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO=254－5=54此时B 点坐标为（－54，0）所以点B 的坐标为（134，0）或（－54，0）．1.如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于B ，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）1.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点1.(1)探究新知如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断 MN 与EF是否平行。
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·、
'
一. 求函数解析式。
例1. 如图1，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3。
求这个反函数的解析式。
图1 图2
二. 求面积
例2.图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。
、
三. 特殊点组成图形的面积
例3. 如图3，反比例函数x
8
y -
=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ∆的面积。
图3 图4
）
》
四. 探讨面积的变化
例4. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x
k
y >=
的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为2
1、S S ，
则1S 与2S 的关系为（ ）
A. 21S S >
B. 21S S =
C. 21S S <
D. 与k ,m 的值无关
五. 求参数的值
例5. 如图5，已知反比例函数x
12
y =
的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，2）。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这
个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。
`
图5
（
一、反比例函数与特殊四边形结合
1．如图1，已知双曲线y ＝
x
k
（k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________；
（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝x
k
（k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限． ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；
②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗可能是正方形吗若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．
—
| ￥
y
x
B
C
D
α
，
1 1
2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y ＝
x
3
的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点A （－m ，0）、C （m ，0）（m 是常数，且m ＞0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是_____________； （2）①当点B 为（p ，1）时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α和m 的值；
\
②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有．．
几个（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD B 点坐标；若不能，说明理由．
%
￥。
二、反比例函数与相似三角形结合
3．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝
x
k
的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，tan ∠AOC ＝31
，点B 的坐标为（m ，－2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．:
》
（
4．如图，是反比例函数y ＝－x 2和y ＝－x 8在第二象限中的图像，点A 在y ＝－x
8的图像上，点A 的横坐标为m （m ＜0），AC ∥y 轴交y ＝－
x 2的图像于点C ，AB 、CD 均平行于x 轴，分别交y ＝－x 2、y ＝－x 8的图像于点B 、D ．
（1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标；（2）求证：梯形ABCD 的面积是定值；（3）若△ABC 与△ACD 相似，求m 的值．
<
@
三、反比例函数与翻折结合
5．如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k （x ＞0）的图象经过点B ． （1）求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、NA ′BC ．设线段MC ′、
NA ′分别与函数y ＝x
k （x ＞0）的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式． ;
~
6．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点C 的坐标为（4，3），反比例函数y ＝x k （k ＞0）的图象与矩形AOBC 的边AC 、BC 分别相交于点E 、F ，将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上． `
（1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等； （2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P 点坐标为（2，－3），在反比例函数y ＝x
k 的图象上是否存在点M 、N （M 在N 的左侧），使得以O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．
~
、
'
课后练习
1．如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝
x k （k ＞0且k ≠2）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （2
2 b ，y 2）． （1）求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）；
（2）过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．（P 、Q 两点请自己在图中标明） 、
：
]
—
2．在平面直角坐标系中，函数y ＝x
m （x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ．
（1）求m 的值；（2）求证：DC ∥AB ；（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式
…
&
3．如图，一次函数y ＝kx －7的图象与反比例函数y ＝－x
12的图象交于A （m ，2）、B 两点． （1）求一次函数的解析式和点B 的坐标；
（2）等腰梯形CDEF 的顶点C 、D 在反比例函数的图象上，顶点E 、F 在一次函数的图象上，DE ∥CF ∥y 轴，且C 、D 的横坐标分别为a 、a －2，求a 的值．
、
[
4．如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝x k （其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9．（1）求双曲线所对应的函数关系式；（2）在
（1）中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH ＞CH 时，使得△QCH 与△AOB 相似若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．。