五年级——抽屉原理
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理（也称为鸽笼原理）是离散数学中的一项基本原理，用于解决一类关于集合和计数的问题。
该原理指出，当将n+1个物体放入n个容器中时，至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物体。
这个原理虽然看似简单，却被广泛应用于各个领域，如图论、计算机科学等。
在本文中，我们将通过阐述抽屉原理的三个公式来进一步理解和应用这一原理。
公式一：抽屉问题公式在抽屉问题中，我们要研究的是如何将n个物体放入m个抽屉中，使得至少有一个抽屉中装有k个或更多的物体。
那么根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：n ≥ (k-1) * m + 1这个公式告诉我们，当抽屉的数量m不足以容纳k个物体时，至少有一个抽屉中会有k个以上的物体。
公式二：鸽笼问题公式鸽笼问题是抽屉原理的一种特殊形式，它要求从n个物体中选择m 个物体，保证至少有一个物体被选中两次。
根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：m ≥ n这个公式告诉我们，当鸽笼的数量m小于等于物体的数量n时，至少有一个鸽笼会被分配到两个或更多的物体。
公式三：化简公式在某些情况下，我们需要对抽屉原理进行化简，以求得更简洁的表达式。
当物体的数量n不足以填满抽屉的数量m时，我们可以利用抽屉原理进行化简，得到如下公式：n ≤ (k-1) * m这个公式告诉我们，当抽屉的数量m过多时，至少会有一个抽屉为空。
同时，它也提醒我们在实际问题中进行有效的资源利用，避免抽屉的浪费。
综上所述，抽屉原理是离散数学中一项重要的原理，通过公式的运用，我们能够更好地理解和应用这一原理。
通过抽屉问题公式，我们可以确定至少某抽屉中装有一定数量的物体；通过鸽笼问题公式，我们可以确定至少某个物体会被选中两次；通过化简公式，我们可以对抽屉原理进行简化，提醒我们有效利用资源。
无论是在理论还是实践中，抽屉原理的三个公式都具有重要的指导意义。
所以，我们应该深入学习和掌握这些公式，并能够在适当的时候灵活运用，解决实际问题。
五年级第12讲抽屉原理
抽屉原理是数学中的一种基本原理，也是组合数学的重要概念之一、在数学中，通常用来解决一些问题中存在的矛盾或者重复的情况。
下面我们来详细介绍一下抽屉原理。
抽屉原理最简单的形式可以这样表述：如果有n+1个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉中会放有多于一个物体。
抽屉原理从直观上来说是很容易理解的，我们可以想象抽屉的个数比物体的个数少，那么总会有至少一个抽屉中会有多个物体。
抽屉原理的形式化表述如下：用S1,S2,...,Sn表示n个集合。
并且满足之间的交集都是空集，即Si∩Sj=Ø。
若这n个集合中的元素的总数大于n，则至少存在一个集合Si中包含至少两个元素。
这个原理的证明是基于反证法，即假设所有集合中的元素的总数不大于n-1，然后推导出与之前的假设矛盾的结论，从而可以得出结论为真。
抽屉原理的应用非常广泛，可以用来解决各种问题。
比如在排列组合问题中，可以用抽屉原理来证明一些集合中必然会出现其中一种排列方式。
在概率论中，也可以用抽屉原理来证明一些事件发生的概率。
下面我们通过一个例子来进一步说明抽屉原理的应用。
例1：有7个梨和6个苹果，他们放在5个抽屉里，请证明至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
假设所有的抽屉都没有同时放有苹果和梨，那么根据抽屉原理，最多只能有5个苹果和5个梨被放入这些抽屉中。
但是实际上有7个梨和6个苹果，所以这个假设是不成立的。
根据反证法，我们可以得出结论，至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
通过这个例子，我们可以看到抽屉原理的应用非常直观和简单。
在解决问题时，只需要假设所有的情况都不满足，然后推导出矛盾的结论，就可以得出结论为真。
除了上述的简单形式，抽屉原理还有很多扩展形式，比如多重抽屉原理、大理数抽屉原理等，用来应对更加复杂的情况。
总的来说，抽屉原理在数学中起着非常重要的作用，不仅能够用于解决各种问题，还能够培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。
在进行数学证明过程中，抽屉原理是一种常见的证明方法之一，因此对于学生来说，掌握抽屉原理是十分必要的。
数学中的抽屉原理
数学中的抽屉原理先看简单的事实：把3本书放到两个抽屉里，只有两种情况：一个一本一个二本，或一个三本一个没有。
无论哪种情况，都至少有一个抽屉里有两本或两本以上的书。
更一般地说，只要被放置的书数比抽屉数目大，就一定会有两本或两本以上的书放进同一抽屉。
（一）抽屉原理的常见式【原理一】：如果把n个东西放进n（mn）只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或两个以上的东西。
【例1】求证：在任意选取的n+1个整数中，至少存在两个整数，它们的差能被n整除。
证明：对于n+1个整数，被除所得的余数为0，1，…，n－1共n类，按余数的不同分成的n类中，至少有两个在同一类里，即这两个数被n除时所得的余数相同，那么它们的差就一定能被n整除。
【例2】幼儿园有三种塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各若干个，每个小朋友任意选择两件。
证明：不管怎样挑选，在七个小朋友中总有两个人选的玩具相同。
证明：从三种玩具中挑选两件，搭配方式共有下列六种：（兔、兔）、（兔、熊猫）、（兔、长颈鹿）、（熊猫、熊猫）、（熊猫、长颈鹿）、（长颈鹿、长颈鹿），每一种可以看作一个抽屉，七人的7种选法中，只有6种不同的搭配，由抽屉原理，七人中至少有两人挑选玩具时搭配方式相同。
【原理二】：如果把多于m×n件东西，任意放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉里有不少于m+1件东西。
【例3】在口袋里有红色、蓝色和黄色的小球若干个，21个人轮流从袋中取球，每人每次取3个球。
求证：这21个人中至少有3个人取出的颜色相同。
证明：取出的三个球颜色是同一色的（即全红、全蓝或全黄）有三种不同的情况，是两色的（如两红一蓝等）有6种情况，是三色的（即红、蓝、黄三色小球各一个）只有一种情况，故共可分成10类。
由抽屉原理二知道，把21个人所取出的球按颜色可归为这10类中，则必有一类至少有（个）。
所以，21个人中至少有3人取出的球的颜色相同。
运用抽屉原理只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。
抽屉原理[1].
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一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理知识定位1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与其他知识点的结合类型也很多。
知识梳理一．抽屉原理的概念①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n ＋1或多于n ＋1个元素放到n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
我们称这种现象为抽屉原理。
集合：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合。
元素：集合中各事物叫做集合的元素。
二. 抽屉原理的分类抽屉原理一：将n+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．抽屉原理二：将nr+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素．抽屉原理三：将m 个元素放到n 个抽屉中去(m ≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有个元素．11m n -??+例题精讲【题目】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【题目】从1，2，3，…，2007，2008这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【题目】从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【题目】从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【题目】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【题目】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．【题目】从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?【题目】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【题目】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【题目】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【题目】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。
五年级奥数第12讲：抽屉原理-课件
例题二
芭啦啦综合教育学校五年级有32名同学是在五月份出生 的，那么，其中至少有几名同学的生日在同一天？
抽屉原理1：将多 于n件的物品任意 放到n个抽屉里， 那么至少有一个 抽屉里的物品不 少于2件。
31天
32÷31=1（名）……1 （名） 1+1=2（名）
答：至少有2名同学的生日在同一天。
练习二
答：如果每个抽屉里都放一个苹果，那么6 个抽屉就有6个苹果，实际上有7个苹果， 说明至少有一个抽屉里至少有2个苹果。
练习一
5只鸽子飞进4个鸽笼，那么一定有一个鸽笼里至少飞进 2只鸽子，为什么？
5÷4=1（只）……1（只）
答：每个鸽笼里飞进一只鸽子，4个鸽笼就有4只鸽子， 实际上有5只鸽子，说明至少有1个鸽笼里至少飞 进2只。
共9种
1个足球1个排球、1个足球1个篮球、1个排球1个篮球
66÷9=7（名）……3（名） 7+1=8（名）
答：至少有8名同学所拿的球种类是完全相同的。
练习五（选做）
芭啦啦综合教育学校组织夏令营活动，游览北京颐和园、 故宫和长城三个景点，共有200名同学参加。规定每人至少去 1处，至多去2处，那么至少有几人游览的地方完全相同？
选
择
在
夏
我们，还在路上……
某兴趣小组有13名同学，其中至少有几名同学是同一个 星座的？
12个
13÷12=1（名）……1 （名） 1+1=2（名）
答：至少有2名同学是同一星座的。
小结
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个 抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物品不少于 2件。
例题三
有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒 里，从中摸球，一次至少摸出几个，才能保证有3个小球是同 色的？
五年级奥数抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放， 至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如 果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那 么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个 苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹 果不少于2个。 同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个 鸽笼至少飞进了2只鸽子。 以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原 理”，也叫“鸽笼原理”。
两个生日是在同一天的小朋友？
例2、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们 的差能被3整除？ 分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三 种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一 个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个 “抽屉”里。 将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不 止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两 个数的差必能被3整除。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2 件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品， 此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件 物品。这就说明了抽屉原理1。
抽 屉 原 理
例1、某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同 的小朋友？ 分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366 个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品 放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此 抽 至少有2名小朋友的生日相同。 屉 原 理 练习1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到
练习2.在任意三个自然师至少拿几本书，随意分给小朋友， 才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 2.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋 友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两 人选的玩具是相同的？ 3.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色 有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取 出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？
五年级数学专题五抽屉原理
解答：为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最 少要取出4个球。
对应练习
木箱里装有红色球7个、黄色球5个、蓝色球9个，若蒙眼 去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出 多少个球？
1.在任意的37人中，至少有几人的属相相同？
5.将9名工人分到4个工作小组里面去，无论怎样分，有一 个小组至少分进去了几名工人？
6.一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。如 果在黑暗中，你至少要抓住多少根缆线才能保证每种颜色都至 少抓到1根?
7.小红家来了5位客人，她拿出糖果来招待他们。要保证有 的客人能吃到6颗糖，她至少要准备多少颗糖?
解答：13×3+2=41（张）41+1=42（张） 答：最少要拿出42张，才能保证在拿出的牌中4种花
色都有。
对应练习
• 盒子里有红、黄、蓝玻璃球各12个，从中至少拿出 多少个，才能保证拿出的玻璃球中3种颜色的都有 ？
【典题3】
盒子里放了4个黑球，6个花球，如果不许看，一次至 少摸出几个球，才能保证有2个颜色不同的球？
解析：根据最不利原则，一次摸出6个球，摸出的全 是花球，这时，只要再增加一个球肯定就是黑球，就可以 保证摸出的球中有2个颜色不同的球。
解答：6+1=7（个） 答：一次至少摸出7个球，才能保证有2个颜色不同
的球。
对应练习
• 盒子里放了4个红球，3个白球，如果不许看，一次至少摸出 几个球，才能保证有2个颜色不同的球？
专题五：抽屉原理 B卷
1.五（一）班有56个学生，能否至少有2个人在同一 周过生日？（请说明理由）
一、抽屉原理简介
一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。
二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理1：将n+1件或更多件的物体随意地放到n个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中的物体个数不少于2个。
抽屉原理2：将多于m×n个（m×n+1，m×n+2，……）物体任意放到n个抽屉去，那么至少有一个抽屉的物体个数不少于m+1.例1：五（1）班有40名学生。
班里有1个小书架，同学们可以任意借阅。
问：小书架至上少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到2本书？练习：五（1）班有49名学生。
老师至少拿几本书随意分给大家，才能保证至少有一个同学能得到两本书？例2：有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起。
黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问：至少要取多少根才能保证达到要求？练习：衣柜里有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服。
如果闭着眼睛取衣服，那么至少要取多少件，才能保证取出的衣服中至少有两件颜色相同？例3：一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问：至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？练习：幼儿园小朋友分水果，有苹果、梨、橘子3种。
如果每个小朋友任意拿两个，那么，至少有多少个小朋友拿过后，才一定会出现两人拿得水果是相同的？例4：学校开设了音乐、美术、体育、科技4个兴趣小组。
每位同学任意参加两个小组，问：至少有几个同学参加活动，就能保证有2个同学参加的小组相同？练习：幼儿园买来许多猪、狗、马的塑料玩具，每个小朋友任意选择两件。
问：至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同？例5：把135块饼干分给16个小朋友。
若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。
为什么？练习：把97件玩具分给幼儿园大班的小朋友，不管怎样分都至少有一位小朋友分得5件或5件以上的玩具。
问：这个班最多有多少个小朋友？例6：五（1）班有40名学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》三种报刊中的一种、两种或三种。
抽屉原理
抽屉模型的综合运用导入1、把98个苹果放到10个抽屉中，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有多少个苹果？2、一个袋子里有一些球，这些球仅有颜色不同。
其中红球 10 个，白球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2 个。
某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？知识精讲抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．1、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
2、抽屉原理的解题方案（1）利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：①余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里②余数＝x ()()11x n -p p ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里③余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（2）利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想，“任我意”方法、特殊值方法．【例1】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】1、五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．例题精讲2、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【例2】学校组织2006名同学去春游，现有解放公园、野生动物园、水族公园三个景点，规定每人至少去一处，最多去两处游览，那么至少有多少个同学游览的地方相同？【巩固】1、“六一”儿童节老师买来一些铅笔、橡皮和直尺，奖给全班40名同学，每人都得到其中的一、二或三种，那么，他们当中至少有几个同学得到的学习用具相同？2、100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.3、五（1）班的同学要从10名候选人中投票选举班干部，如果每个同学只能投票选举两名候选人，那么，这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个以上的同学投相同的两名候选人的票？【例3】从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【巩固】1、从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？2、从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【例4】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。
小学五年级(上)奥数第十二讲 抽屉原理
抽屉原理的逆用（2） 从最坏处着想
• 例4、一幅扑克牌，共54 张，问：至少从中 摸出多少张牌，才能保证： • ①至少有5张牌的花色相同； • ②四种花色的牌都有； • ③至少有3张牌是红桃。 • 阅读课本第96
游戏一、 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、 10这十个数按任意顺序排成一圈。能不能使 任意相邻的3个数的和都小于17
6
7 8 3 9 4 10 5
1 2
停止
看书上的例子（例5）
• 例5、把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这十个数按任意顺序排成一圈。 • （1）你是否总能找到相邻的3个数和不小 于17？ • （2）你能看懂书上的解答吗？ • （3）你能证明着一圈数中一定有相邻的5 个数和不小于28吗？
• 例2、我们班有21名同学，每人从一副扑克 牌（去掉大小王）中随意抽出两张扑克牌， 至少有几个同学抽出的扑克牌花色一样？ • 回忆上一课，共有10种不同的组合
抽屉原理的逆向应用
• 如果只有20个同学，能保证至少有6个同学 所拿的扑克牌花色一样吗？ • 想一想： • 要保证至少有6位同学所拿的扑克花色一样， 至少有多少同学参与抽扑克牌？
抽屉原理的应用举例
• 我们以我们熟悉的生活为例讨论作业应用抽屉原 理 • 例1、如果我们班有25名同学，每人从一副扑克 牌（去掉大小王）中随意抽出一张扑克牌，至少 有几个同学抽出的扑克牌花色一样？ • 解：把四种花色看作4个抽屉， • 25÷4=6‥‥‥1 • 根据抽屉原理，至少有7个同学抽出的扑克牌花色 一样。
看看书上的例子
• 例、放体育用品的仓库里有许多足球、排 球和篮球。有66名同学来仓库拿球，要求 每人至少要拿一个球，至多那两个球。问： 至少有多少名同学所拿的球种类完全相同？ • 分析：把66名同学每人拿球的种类看作苹 果，把所有可能的拿法看作不同的抽屉
五年级奥数基础教程-抽屉原理小学
抽屉原理(一)我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的抽屉原理问题。
这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。
抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。
问：至少有几名学生的成绩相同？分析与解：关键是构造合适的抽屉。
既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。
除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21= 2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
例2 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。
抽屉原理（又名：鸽笼原理）
抽屉原理（又名：鸽笼原理）编辑本段常见形式第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
编辑本段应用基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
五年级奥数：抽屉原理
抽屉原理【鸽巢原理】抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”原理1 ：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1 个的物体。
常用计算公式：A、计算其中一个抽屉至少有几个元素= 总数÷抽屉数+ 1B、计算总数= （其中一个抽屉至少有几个元素- 1）×抽屉数+ 1例１：400人中至少有两个人的生日相同抽屉：366（一年算366天），苹果：400，400 ÷366=1……1+1=2例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同抽屉：6（有6种选玩具的方法），7÷6=1……1+1=2练习：1、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？【4】2、一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？【16】3、11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
4、有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
5、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？【6】6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人。
抽屉原理(五年级)
第八讲抽屉原理姓名：一、例题1、5个蓝球，3个红球，7个黄球放入抽屉，如果任意摸球，至少摸多少个才能保证三色都有？2、口袋中放有红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出多少只袜子，才能保证能配成5双。
（一双是指同颜色的袜子两只）3、图中给出3行9列共27个小方格，将每个小方格随意地涂上白色或红色，求证：无论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。
4、育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10人中任选两名，那么至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相同两个候选人的票。
5、在8×8的方格纸中，每个方格内可以填上1—4四个自然数中的任意一个，填满以后，对每个2×2“田”字形内的4个自然数求和，在这些和中，相同的和至少有多少个？6、从1、2、3……49、50个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，最多可取多少个数？二、巩固练习1、在一副无“王”的扑克中，至少拿多少张才能保证三张同花？2、黑、白、黄的筷子各6根，混在一起，黑暗中要取出颜色不同的两双筷子，至少要拿多少根才能保证达到要求？3、口袋里有5个黑球，8个红球，9个白球，2个蓝球，一次至少要取多少个能保证有1个红球？4、一副扑克牌有54张，至少抽取几张，方能使其中至少有两张牌有相同的点数？5、给定50个自然数，1、2、3、4、……、50，从中任意取出26个数，证明，其中一定有2个数，较大的数是较小的数的倍数。
6、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分，结果发现总有两个人取的球颜色相同，由此可以，参加取球的有多少人？7、一个袋子里放了三种不同颜色的球共20个，其中白球8个，红球7个，绿球5个。
如果让你闭上眼睛从袋里取出球，使袋子还剩下的一定有4个同色球和有3个另一种颜色的球，那么最多只能取出多少个球呢？8、某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者任何10人必有男生，则参赛男生的人数为多少人？。
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1+1=2 1+1=2
8
5
8÷5=1……3
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
5
8÷5=1……3
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9
5
5
8÷5=1……3
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
5
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4 10÷5=2
1+1=2
1+1=2
5
5
2
=2
11
11÷5=2……1
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10 11
4÷3=1……1
1+1=2
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放(
)个小球。
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6
Байду номын сангаас4 5
2 2
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6 7
4 5 6
2 2
2
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6 7
8
4 5 6
7
2 2 2
1+1=2
1+1=2
5
10÷5=2
2
=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4 10÷5=2
1+1=2
1+1=2
10
11
5
5
2
=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5÷4=1……1
1+1=2
随意找13位老师，他们中至少 有2个人的属相相同。为什么？ 13位老师 12个属相 13个待分的物体 12个
13÷12=1……1
1+1=2
在26位同学中，至少有3人 在同一个月里过生日。为什么？ 26位同学 12个月 26个待分的物体 12个
26÷12=2……2
2+1=3
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4 10÷5=2
1+1=2
1+1=2
5
5
2
=2
11÷5=2……1
2+1=3
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7 8 9 10
6÷5=1……1 1+1=2 物体 放进抽屉里，如果 5 把小球 7÷5=1 ……2 1+1=2 平均分后有剩余，那么总有一 5 8 ÷ 5=1 ……3 1+1=2 个抽屉里至少放“商+1”个； 5 9÷5=1……4 1+1=2 5 10÷5=2 2 =2
5
5 11÷5=2……1 2+1=3 11 如果正好分完，至少放的个数 等于商。
抽屉原理
把物体 放进抽屉里，如果 平均分后有剩余，那么总有一 个抽屉里至少放“商+1”个； 如果正好分完，至少放的个数 等于商。
狄里克雷
5只鸽子飞进3个鸽巢，总有 一个鸽巢至少飞进几只鸽子？
鸽巢原理
5只鸽子飞进3个鸽巢，总有 一个鸽巢至少飞进几只鸽子？
2
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6 7
8 9
4 5 6
7 8
2 2 2
2
2
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6 7
8 9
4 5 6
7 8
2 2 2
2 2 2
…
…
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1
1+1=2
小球个数 抽屉个数
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4 10÷5=2
1+1=2
1+1=2
5
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
5÷3=1……2 5只 1+1=2
5个待分的物体
3个
3个
1.把7支铅笔放进2个文具盒里，总有 一个文具盒至少放几支铅笔？ 2.把11枚硬币放进4个口袋里，总有 一个口袋至少放几枚硬币？
待分的物体
5只鸽子
7支铅笔 11枚硬币
3个鸽巢
2个文具盒 4个口袋
模 型
一副扑克牌（去掉大王、小王） 有4种花色，任意抽5张牌，至少有 2张牌是同一花色的。为什么？ 5张牌 4种花色 5个待分的物体 4个
8
9
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
1+1=2
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
1+1=2
1+1=2
5
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
义务教育教科书（人教版）数学六年级下册
抽屉原理
济宁市任城区安居中心小学 谢 涛
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
第一种放法：
第二种放法：
第三种放法：
第四种放法：