第五章 一元函数微积分的应用(完整资料).doc
一元函数积分学及其应用.ppt
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
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函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
一元函数积分法及其应用
第五章 .一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主若是谈论导函数的看法，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律可否是可是描述了一个特定函数的变化率呢？依照变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都拥有同样的变化率变化规律，这实质上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着 Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也能够这么说，即相差任意一个常数的函数拥有同样的导函数。
这样我们就获得了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F（x）+c（ c 为任意常数），对应着一个唯一的函数 f （ x），满足d ( F ( x)c)dx f ( x)，或d (F ( x) c) f ( x)dx 。
换一种看法，上面的过程也能够看作是一种对于函数F（ x）的运算，即微分的运算，获得函数 F（ x）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数 f （ x）的逆运算过程，得到函数 F（ x） +c 自己，这种逆运算就是积分，也许说不定积分，写成d ( F ( x) c) f ( x)dx F ( x) c 。
这里，相对地，我们就把被积函数f（ x）称为原函数F（ x）+c 的导函数，而把原函数F（ x） +c 称为被积函数 f （ x）的不定积分。
因此我们能够把不定积分理解为微分的逆运算，只但是是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无量多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很简单地理解下面的表达式：F ' (x)dx F ( x) c ；d ( f (x)dx) f ( x)dx ；( f (x)dx)' f (x) 。
希望同学们多加领悟这些表面看来很绕的表达式，深切领悟不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（ 1）（ 1）由于我们主若是谈论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而可是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，而且相等。
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.3.1) 凸函数
一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
高等数学微积分 第五章 一元函数积分学(版本2)
例6 求 tan x 2 xdx.
解
tan x 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dx tan x x c
例7 求
dx . 2 2 sin x cos x
解
dx sin 2 x cos 2 x dx 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
定义1 设函数F (x)与f ( x)定义在同一区间内,并且对该区间 内任一点,都有F '(x) f (x)或dF (x) f ( x)dx.那么函数F ( x)就称 为函数f ( x)在该区间内的原函数. 定理1 (原函数族定理) 如果函数f ( x)在某区间内有一个原函 数F ( x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数, 并且原函数的全体由形如F (x) c的函数组成(其中c是任意常数).
2 2
一般地，若不定积分被积表达式能写成
恒等变形 g ( x)dx
f ( x) '( x)dx f ( x) d ( x) f (u )du F (u ) c g ( x)dx F ( x) c
1 dx. 2 2 a x 1 1 1 1 1 x dx 2 dx d 解 2 a a2 x2 a x2 x a 1 2 1 a a 1 x arctan c. a a 例4 求
类似地, 可以得到
x dx arcsin c. a a2 x2
(9) sin xdx cos x c;
2
一元函数微分学的应用88页PPT
二、洛必达法则
把 两 个 无 穷 小 量 之 比 或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限
称 为 0型 或 型 不 定 式 (也 称 为 0型 或 型 未 定 型 )
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的 极 限 ,洛 必 达 法 则 就 是 以 导 数 为 工 具 求 不 定 式 的 极 限
x
1 lx i11 m 1 x l n x ln x lx i1x m 1 2x 1 x1 2.
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
( 1 )每 次 使 用 法 则 前 ， 必 须 检 验 是 否 属 于 0 或 0
未 定 型 ， 若 不 是 未 定 型 ， 就 不 能 使 用 该 法 则 ；
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
(2) 如 果 有 可 约 因 子 ， 或 有 非 零 极 限 值 的 乘 积 因 子 ， 则 可 先 约 去 或 提 出 ， 以 简 化 演 算 步 骤 ；
( 3 )当 lifm ( x 不 存 )在 ( 不 包 括 的 情 况 ) 时 ， 并 不 g (x)
能 断 定 lifm (也 x 不 ) 存 在 ， 此 时 应 使 用 其 他 方 法 求 极 限 ． g(x)
π a rc ta n x
一元函数微积分的应用及算法
f ( x)
＋
0
－
0
＋
f ( x)
单调增加区间为(, 1)和(3, ), 单调减少区间为(1,3).
二、函数的极值
概念引入
y f ( x)在点c1 , c4处的函数值f (c1 ), f (c4 )比它们 左右邻近各点的函数值大, 而在C2 , C5处的函数 值f (c2 ), f (c5 )比它们邻近各点的函数值都小.
2
1 x 1 (15) (arct anx) dx. 2 1 x
dx.
(14) (arccosx)
1
dx.
一、导数的应用
定理 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.
f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调增加; (1)如果在(a,b)内， f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调减少. (2)如果在(a,b)内，
练习：求下列函数的导数
例1 求 y x3 2 的导数.
解 y ( x3 2) ( x3 ) (2) 3x2 .
例2 求 y x 2 sin x 的导数. 解 y ( x2 sin x) ( x2 ) sin x x2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
解 设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为Vcm 得
3
函数最大值和最小值
V x(24 2 x) 2 (0 x 12) V (24 2 x) 2 x 2(24 2 x)(2)
(24 2 x)(24 6 x) 12(12 x)(4 x). 令V ' 0 ,得 x1 12, x2 4.
如果当x x0 (或x )时,函数f ( x)的绝对值无限增大,
《高等数学课件-一元函数微积分》
3
应用
极限可用于求斜率、判断函数的收敛性等。
4. 连续性与间断点的概念及分类讨论
连续性
连续函数的图像没有断裂或跳跃。
间断点
间断点将连续函数的图像切割成不同的部分。
5. 导数的定义、基本性质及其求解方 法
1 定义
2 基本性质
导数描述了函数在某一点的变化速率。
导数可用于求切线、判断函数的平滑 性等。
2. 函数的基本概念及其符号表示法
定义
函数描述了两个变量之间 的关系，每个输入值都有 唯一的输出值。
符号表示法
函数可以用公式、图像或 表格形式表示。
常用函数类型
包括线性函数、指数函数、 对数函数等。
3. 极限的定义、常用极限法则与应用
1
定义
极限描述了函数在某一点附近的行为。
2
常用极限法则
包括极限的四则运算法则、夹逼定理等。
2 判定条件
凸曲线的二阶导数大于等于零，凹曲 线的二阶导数小于等于零。
3 性质
凸曲线整体向上弯曲，凹曲线整体向下弯曲。
12. 函数的最大极值、最小极值及其求解 方法
最大极值
最大极值函数取得的最小值。
3 求解方法
包括使用导数公式和求极限的方法。
6. 中值定理及利用中值定理证明函数的 性质
1
中值定理简介
中值定理建立了导数与函数性质之间
罗尔定理
2
的关系。
如果一个函数在两个点上取得相同的
函数值，那么在两点之间，函数的导
数为零。
3
拉格朗日中值定理
如果一个函数在一个闭区间上连续， 在该区间内可导，那么在该区间内至 少存在一个点，使得导数等于函数在 该区间的平均变化率。
高等数学-一元函数积分学的应用
⾼等数学-⼀元函数积分学的应⽤⽬录⼀元函数积分学的应⽤⼏何学中的应⽤1.平⾯图形的⾯积（1）⼀般形式<1>设平⾯图形是由两条曲线y=f1(x)，y=f2(x)及两条直线x=a，x=b所围成的，其中f1(x)，f2(x)均在[a,b]上连续，且f2(x)≥f1(x)，则该平⾯图形的<2>设平⾯图形是由两条曲线x=g1(y)，x=g2(y)及两条直线y=c，y=d所围成的，其中g1(y)，g2(y)均在[a,b]上连续，且g2(y)≥g1(y)，则该平⾯图形（2）参数⽅程形式A=∫b a|f(x)|d x=∫βα|ψ(t)|ϕ′(t)d t（3）极坐标⽅程形式曲边扇形：由连续曲线r=r(θ)与θ=a,θ=b（a<b）所围成的平⾯图形称为曲边扇形A=12∫βαr2(θ)dθ2.⽴体体积（1）A(x)为截⾯⾯积函数，且在[a,b]上连续，则V=∫b a A(x)d x（2）旋转体的体积x=a,x=b,绕x轴旋转：V=π∫b a f2(x)d xy=a,y=b,绕y轴旋转：V=π∫b a g2(y)d yx=a,x=b,绕y轴旋转：V=2π∫b a xf(x)d x题⽬：教科书P253 例6.2.9 例6.2.103.平⾯曲线的弧长（1）⼀般形式设函数y=f(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则曲线y=f(x)在区间[a,b]上的弧长为s=∫b a√1+f′(x)d x （2）参数⽅程形式s=∫b a√ϕ′2(t)+ψ′2(t)d t（3）极坐标形式s=∫b a√r2(θ)+r′2(θ)dθPS：注意s≠∫b a r(θ)rmdθ，因为⽆法保证误差为Δx的⾼阶⽆穷⼩4.平⾯图形的曲率曲率定义：设曲线弧MN两端点处切线改变⾓为Δα，曲线弧MN的长度为Δs，称⽐值|ΔαΔs|为曲线弧MN的平均曲率，记为¯K|limN→MΔαΔs|=|dαd s|=K为曲线在M处的曲率曲率计算：（1）⼀般形式若函数y=f(x)⼆阶可导，则曲线在点M(x,y)处的曲率为K=|f″（2）参数⽅程形式K=\frac{|\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)|}{[\phi'^2(t)+\psi'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}曲率圆：如果曲线上点M处的曲率不为0，就称R=\frac{1}{K}为曲线在M处的曲率半径，并在M处凹向法线上取点C(x_1,y_1)使|CM|=R，则C为曲率中⼼，以 C为圆⼼，R为半径的圆为曲率圆5.旋转体的侧⾯积（1）⼀般形式设函数y=f(x)在[a,b]上具有连续导数，且f(x) \geq 0，则由x轴，直线x=a，x=b，以及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体的侧⾯积为S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}{\rm d}xPS：圆台侧⾯积S=\pi l(R+r)（2）参数⽅程形式S=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}{\rm d}t题⽬：1.x^2+y^2=R^2，（R>0），x \in [x_1,x_2] \subset [-R,R]，将该图形绕x轴旋转形成球台，则侧⾯积为S=2\pi R(x_2-x_1)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。
一元函数微积分的应用
一元函数微积分的应用一元函数微积分是数学中非常重要的学科之一，它研究了一个变量的函数的微积分和积分。
它涉及到许多数学概念和方法，如导数、微分、积分、曲线图形、斜率、极限等等。
这些概念和方法不仅在数学中有着广泛的应用，而且在科学、工程、经济、医学、管理等各行各业都有着重要的应用价值。
一、导数的应用导数是微积分中最基本的概念之一，它表示一个函数在某一点的切线的斜率。
在科学和工程中，导数经常用于解决各种问题。
例如，在物理学中，我们可以用导数来描述速度、加速度和力等概念。
在工程中，我们可以使用导数来计算电路中的电流和电压，以及管道中的流量和流速。
在金融领域，导数也被用来衡量风险和波动性。
另外，导数还可以用于优化问题的解决。
优化问题是指在特定的条件下寻找最大值或最小值，例如，在生产和物流管理中经常出现的成本最小化或效率最大化问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的极值点，从而得到最优解。
二、微分方程的应用微分方程是微积分中的另一个重要概念，它描述了一个函数和它的导数之间的关系。
微分方程在科学和工程中有着广泛的应用，例如，在物理学中，微分方程可以描述运动的规律和力的作用。
在工程中，微分方程可以用于控制系统和电路的设计。
在经济学中，微分方程被用来描述市场和生产的行为。
微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解是指用公式或函数表示出方程的解，数值解是通过计算机算法来求解。
虽然解析解在理论上更可靠和便于理解，但是在实际应用中，由于很多函数没有解析解，数值解法的应用越来越广泛。
三、积分的应用积分是导数的逆运算，它可以用来求解曲线下面的面积、物理学中的功和能量，以及几何学中的体积和表面积等问题。
积分也是微积分中最重要的概念之一。
在物理学中，积分被广泛地应用于描述能量和功。
例如，通过计算动力学方程中的积分，我们可以得到一个物体的能量和它所做的功。
在经济学中，积分被用来计算某一个变量的总量，如总销售额、总支出等。
四、微积分的应用案例应用微积分的案例非常多，以下列举几个较为典型的例子。
2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节
x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证：由于 m≤ f (x)≤M
则
b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a
故
m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是，若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b])，则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数，且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x
2014.12高数第五章 一元函数的积分学4节
2
a2
a 2 x 2 ]0a
a2 a2
22 4
数
学
高
等
例1. a a 2 x 2 dx (a 0) 0
解：作变换 x=asint, dx=acostdt, a2 x2 a cost
x 0 t 0, x a t
a
a 2 x 2 dx a 2
2c os2 tdt
2
4
数
学
高
等
x2, x≥0
例6. 设 f (x)=
x , x<0
计算
4
1
f (x 2)dx
解：设 x2=t, 则 dx=d t ,
x=1 t= 1, x=4 t=2
于是
4
1
f
(x 2)dx
2
1
f
(t)dt
0
tdt＋
2
t
2dt
13
1
0
6
数
学
高
等
二、分部积分法
设 u=u(x), v=v(x)在[a, b]上可导，且u'v, uv'R([a, b])
a
2
2
2(1
cos 2t)dt
0
0
20
a2 2
[t
1 2
s
in
2t
]02
C
4
a
2
数
学
高
等
一般地，我们有
定理1. 设
(1) f (x)C([a, b]),
(2) x= ( t ) 在 [, ]上单值，可导，
(3) 当 ≤ t ≤ 时, a ≤ ( t )≤b , 且()=a,
( )=b, 则
24-高数第五章 一元微分的应用3-5节
制作：刘金莲
第四章
一元微分学的应用
§3. 函数图形的描绘
一、渐近线 曲线 C 上的动点 M 沿曲线离坐标原点无限 y
远移时，若能与某一直
线 l 的距离趋于零，则
C x
0
称 l 为 C 的一条渐近线.
l
给定C：y= f (x)，确定 C 的渐近线的方法： (1) 若 lim f ( x) A, 则曲线C有一条(水平)渐近线 y=A.
于是
x
lim [ f ( x) ax] b
同理讨论 x
1 例1. 曲线 y . x 1 有 lim 0，故它有渐近线 y 0. x x 1 又有 lim ，故它有渐近线 x 0. x 0 x
y
y 1 x
x
0
x2 . 例2. 曲线 y 1 x
0
y
N N1
M
x
l
由 lim [ f ( x) ax b] 0 求 a, b?
x
f ( x) 1 b [ f ( x) ax b] a x x x
f ( x) 1 b [ f ( x) ax b] a x x x
x+时：
f ( x) lim a x x
型： lim f ( x) g ( x)
0 0
g ( x) lim 1 f ( x)
2 lim x ln x 例7. x0
1 ln x 2 x x ln x 解： lim lim lim x 0 x 0 2 x0 1 3 2 x x 1 2 lim x 0 2 x 0
x2 有 lim ，故它有渐近线 x 1. x 1 1 x
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)9页word文档
一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C(T)=q (T).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x x x m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()baw F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x R xR x dx xx dx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
工科基础数学第五章一元函数微积分的应用
第五章一元函数微积分的应用一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景，它们在自然科学、经济领域以及工程技术上有着广泛的应用。
本章将通过介绍微分中值定理，给出求极限的另外一种方法—罗必塔法则；以导数为工具，研究函数的一些几何性态（单调性，极值，凹凸性等），解决一些常见的应用问题；由微分和函数增量的关系，给出微分在近似计算中的简单应用；通过不定积分来求几个简单的一阶微分方程的解；利用微元法思想，结合定积分的几何意义，求平面区域的面积以及一些特殊的空间立体的体积。
第一节中值定理一、罗尔定理若)(xf在闭区间],[ba上连续，开区间),(ba内可导，且)()(bfaf=，则至少存在一点),(ba∈ξ，使)(ξf'＝0。
罗尔定理的几何意义是:定理的证明略。
罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。
二、拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊的条件)()(bfaf=，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理：若)(xf在闭区间],[ba上连续，在开区间),(ba内可导，则至少存在一点),(ba∈ξ，使得'=--f f b f a b a ()()()ξ该定理的几何意义是：a b a f b f --)()(是弦AB 的斜率，)(ξf '为曲线在点C 处的切线斜率。
在曲线)(x f y =上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB 。
三、柯西中值定理若函数)(x f 、)(x F 满足下述三个条件：(1) )(),(x F x f 在],[b a 连续； (2) )(),(x F x f 在),(b a 可导； (3) ),(,0)(b a x x F ∈≠'。
则至少存在一点 ),(b a ∈ξ， 使得f b f a F b F a f F ()()()()()()--=''ξξ柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X ， ],[b a x ∈试x 为参变量曲线上点 ),(Y X 处的切线斜率为)()(x F x f dX dY ''=弦AB 的斜率为 )()()()(a F b F a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，那未曲线C 点处切线平行于弦AB ， 于是)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- 。
微积分目录(应用材料)
目录第一章函数(1)第一节函数的概念及其基本性质(1)一、集合及其运算二、区间与邻域三、函数的概念四、复合函数与反函数五、函数的基本性质习题1-1 (10)第二节初等函数(11)一、基本初等函数二、初等函数习题1-2 (16)第三节经济学中常见的函数(17)一、成本函数二、收益函数三、利润函数四、需求函数与供给函数习题1-3 (19)第二章极限与连续(20)第一节数列的极限(20)一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限的性质及收敛准则习题2-1 (28)第二节函数的极限(28)一、x→∞时，函数的极限二、x→x０时，函数的极限三、函数极限的性质习题2-2 (34)第三节无穷小量、无穷大量(35)一、无穷小量二、无穷大量习题2-3 (40)第四节函数极限的运算(40)一、极限的运算法则二、复合函数的极限习题2-4 (45)第五节两个重要极限(46)一、lim〖DD(X〗x→0〖DD)〗〖SX(〗sin x〖〗x〖SX)〗=1 二、lim〖DD(X〗x→∞〖DD)〗〖JB((〗1+〖SX(〗1〖〗x〖SX)〗〖JB))〗x= e习题2-5 (52)第六节无穷小量的比较、极限在经济学中的应用(52)一、无穷小量比较的概念二、关于等价无穷小量的性质和定理三、极限在经济学中的应用习题2-6 (59)第七节函数的连续性(59)一、函数连续性的概念二、函数的间断点三、连续函数的基本性质四、初等函数的连续性习题2-7 (66)第八节闭区间上连续函数的性质(67)习题2-8 (71)第三章导数与微分(72)第一节导数的概念(72)一、导数的引入二、导数的定义三、导数的几何意义四、可导与连续的关系习题3-1 (80)第二节求导法则(82)一、函数四则运算的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则四、基本导数公式五、隐函数的求导法则六、取对数求导法七、参数方程的求导法则习题3-2 (92)第三节高阶导数(93)习题3-3 (97)第四节微分及其运算(98)一、微分的概念二、微分与导数的关系三、微分的几何意义四、复合函数的微分及微分公式五、高阶微分习题3-4 (104)第五节导数与微分在经济学中的应用(105)一、边际分析二、弹性分析三、增长率习题3-5 (110)第四章微分中值定理与导数的应用(112)第一节微分中值定理(112)一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理习题4-1 (119)第二节罗必达法则(119)一、0/0/型未定式二、/∞/∞/型未定式三、其他未定式习题4-2 (126)第三节泰勒公式(127)一、泰勒公式二、函数的泰勒展开式举例习题4-3 (133)第四节函数的单调性与极值(133)一、函数的单调性二、函数的极值习题4-4 (139)第五节最优化问题(139)一、最大利润与最小成本问题二、库存问题三、复利问题四、其他优化问题习题4-5 (146)第六节函数的凸性、曲线的拐点及渐近线(147)一、函数的凸性、曲线的拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘习题4-6 (154)第五章不定积分(156)第一节不定积分的概念与性质(156)一、原函数二、不定积分三、不定积分的性质四、基本积分表习题5-1 (161)第二节换元积分法(161)一、第一类换元法二、第二类换元法习题5-2 (172)第三节分部积分法(173)习题5-3 (177)第四节几种特殊类型函数的积分(178)一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分习题5-4 (183)第六章定积分(184)第一节定积分概念(184)一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质习题6-1 (193)第二节微积分基本公式(193)一、积分上限函数二、微积分基本公式习题6-2 (197)第三节定积分的换元法(198)习题6-3 (202)第四节定积分的分部积分法(203)习题6-4 (206)第五节定积分的应用(206)一、建立定积分数学模型的微元法二、定积分的几何应用三、定积分的经济应用四、定积分在其他方面的应用习题6-5 (218)第六节反常积分初步(219)一、无穷积分二、瑕积分三、Γ函数习题6-6 (226)第七章空间解析几何与向量代数(228)第一节空间直角坐标系(228)一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离公式习题7-1 (230)第二节向量及其运算(230)一、向量的概念二、向量的加(减)法与向量的乘积三、向量的分解与向量的坐标习题7-2 (235)第三节两向量的数量积与向量积(235)一、向量的数量积二、向量的向量积习题7-3 (240)第四节平面及其方程(240)一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角习题7-4 (243)第五节直线及其方程(244)一、空间直线的一般方程二、空间直线的点向式方程和参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角习题7-5 (250)第六节空间曲面及空间曲线(251)一、空间曲面及曲面方程的概念二、空间曲线及其方程三、二次曲面习题7-6 (259)第八章多元函数微积分(261)第一节多元函数的概念(261)一、平面区域二、多元函数的概念习题8-1 (266)第二节二元函数的极限与连续性(266)一、二元函数的极限二、二元函数的连续性三、有界闭区域上的二元连续函数的性质习题8-2 (269)第三节偏导数与全微分(270)一、偏导数二、全微分习题8-3 (276)第四节多元复合函数与隐函数的微分法(277)一、多元复合函数的微分法二、隐函数的微分法习题8-4 (286)第五节高阶偏导数(287)习题8-5 (289)第六节方向导数与梯度(289)一、方向导数二、梯度习题8-6 (293)第七节偏导数的应用(293)一、多元函数的一阶偏导数的经济学应用二、多元函数的极值及其应用习题8-7 (302)第八节二重积分(303)一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、无界区域上的反常二重积分习题8-8 (319)第九章无穷级数(321)第一节数项级数的概念和性质(321)一、数项级数及其敛散性二、数项级数的基本性质三、数项级数收敛的必要条件习题9-1 (327)第二节正项级数及其敛散性判别法(327)习题9-2 (334)第三节任意项级数(335)一、交错级数二、任意项级数及其敛散性判别法习题9-3 (339)第四节幂级数(339)一、函数项级数二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算习题9-4 (347)第五节函数的幂级数展开(348)一、马克劳林(Maclaurin)公式二、初等函数的幂级数展开式三、函数幂级数展开的应用举例习题9-5 (356)第十章微分方程初步(357)第一节微分方程的基本概念(357)习题10-1 (360)第二节一阶微分方程(360)一、可分离变量的方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程习题10-2 (371)第三节高阶微分方程(372)一、几类可降阶的高阶微分方程二、二阶线性微分方程解的性质与结构三、二阶常系数线性微分方程的解法习题10-3 (389)第四节微分方程在经济学中的应用(390)一、供需均衡的价格调整模型二、索洛(solow)新古典经济增长模型三、新产品的推广模型习题10-4 (393)第十一章差分方程初步(395)第一节差分方程的基本概念(395)一、差分的概念二、差分方程三、差分方程的解四、线性差分方程及其基本定理习题11-1 (399)第二节一阶常系数线性差分方程(400)一、齐次差分方程的通解二、非齐次方程的通解与特解习题11-2 (407)第三节二阶常系数线性差分方程(407)一、齐次差分方程的通解二、非齐次方程的特解与通解习题11-3 (413)第四节差分方程在经济学中的应用(413)一、存款模型二、动态供需均衡模型(蛛网定理)三、凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型四、哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型五、萨缪尔森(Samuelson.P.A)乘数加速数模型习题11-4 (419)习题答案(420)。
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【最新整理，下载后即可编辑】第五章 一元微积分的应用 5.1 函数图象的几何性质一 基本概念定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有0()()f x f x <（0()()f x f x >），则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值．定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++<1212()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（1）则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．公式（1）可以改写为：1212()()()f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()f x x f x f x αβαβ+>+（2）其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点；定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。
注1 极值点和最值点的区别和联系：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点．注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．二 基本方法 1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值；在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===，而()0()0n f x ≠，则(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点．2 求函数()y f x =的单调区间（1）求函数()f x 的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点；（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．3 求函数()y f x =在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，则函数()y f x =在[,]a b 的最大值与最小值分别为12max{(),(),,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =；12min{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =。
特别的，求函数()y f x =在开区间(,)a b 上的最值： 具体方法：求函数()f x 在(,)a b 上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，（1）若12max{(),(),...,()}max{(),()}n f x f x f x f a f b ≥或max{lim (),lim ()}x a x b f x f x →→ 则()f x 在(,)a b 上存在最大值，最大值就是12max{(),(),...,()}n f x f x f x（2）若12min{(),(),...,()}min{(),()}n f x f x f x f a f b ≤或min{lim (),lim ()}x ax bf x f x →→则()f x 在(,)a b 上存在最小值，最小值就是12min{(),(),...,()}n f x f x f x否则，不存在最值．4 求凹凸区间和拐点具体方法：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求二阶导数()f x ''等于零的点和二阶导数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断二阶导函数()f x ''在每个区间的符号，从而得到凹凸区间和拐点．5 求曲线的渐近线（1）水平渐近线：lim ()x f x a →∞=，lim ()x f x a →+∞=或lim ()x f x a →-∞=，则y a =是水平渐近线．（2）铅直渐近线：0lim ()x xf x a →=，0lim ()x x f x a +→=或0lim ()x x f x a -→=，则x a=是铅（垂）直渐近线． （3）斜渐近线：若()limx f x k x→∞=，lim[()]x b f x kx →∞=-，则y kx b =+是斜渐近线．6 函数在区间上的平均值函数()f x 在闭区间[,]a b 上的平均值：1()d bay f x x b a =-⎰ 例1 已知32()f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，求a ，b ，并求()y f x =所有极大值、极小值和拐点。
解 根据已知有(1)12f a b =++=-，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-。
从而函数解析式为3()3f x x x =-。
求导22()333(1)f x x x '=-=-，令()0f x '=，解得稳定点为1x =±，()6f x x ''=，于是(1)60f ''=>，(1)60f ''-=-<。
所以1x =±分别是极小值点和极大值点，极小值为(1)2f =-，极大值为(1)2f -=。
由于()6f x x ''=，令()0f x ''=，则0x =，由于()60f x '''=≠，所以(0,0)是拐点。
例2 求曲线ln y x =的一条切线，使得曲线、切线与1x =，2e x =所围成的图形面积最小。
解 设曲线ln y x =上的点(,ln )a a 的切线方程是1ln ()y a x a a=+-。
则由ln y x =，1ln ()y a x a a=+-，1x =和2e x =所围成的图形的面积为2e 11()[ln ()ln ]d S a a x a x x a=+--⎰2222e e 1111ln (e 1)()(ln )2a x ax x x x a =⋅-+---2221e (e 1)(ln 1)e 12a a+=-+---。
对a 求导，得到22211e ()(e 1)()2S a a a +'=--，令()0S a '=，解得201(1e )2a =+。
而2220232211e 1()(e 1)()40(1e )e S a a a +-''=--+=>+所以()S a 在0a a =处取极小值，即最小值。
于是所求切线方程为0001ln ()y a x a a -=-，即 221e 2ln 121e y x +-=-+。
例3 函数()f x 对一切实数x满足微分方程()3[()]1e x xf x x f x -'''+=-(1) 若函数()f x 在点(0)x c c =≠有极值，证明它是极小值；(2) 若函数()f x 在点0x =有极值，它是极大值还是极小值？ 解 （1）因为()f x 在点(0)x c c =≠有极值，所以()0f c '=，将x c =代入方程中，得到()3[()]1e c cf c c f c -'''+=-因此1e ()0cf c c-''=>，所以()f c 是()f x 的极小值．（2） 因为()f x 具有二阶导函数，()f x 在0x =有极值，所以(0)0f '=，0lim ()0x f x →'= 000()(0)()(0)limlim lim ()0x x x f x f f x f f x x x→→→''-''''===- 201e lim 3[()]10x x f x x -→⎧⎫-'=-=>⎨⎬⎩⎭． (0)f 是函数()f x 的极小值．例4 函数220()2()d xf x a t a t =-+-⎰(02)a ≤≤，求（1）()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2） 将（1）中的M 看作a 函数，求M 的最值．解（1）因为22()f x x a '=-，()2f x x ''=．令()0f x '=，得到稳定点x a =±，而()20f a a ''-=-<，于是x a =-是极大值点，极大值22302()2()d 23aM f a a t a t a a -=-=-+-=-+⎰． （2）由于2d 22d M a a ==-+，令d 0d Ma=，解得在区间[0,2]稳定点是1a =，所以{}max 444max (0),(1),(2)max 0,,333M M M M ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭；{}min 444min (0),(1),(2)min 0,,333M M M M ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭．例5 设对任意实数x 有()[()1]f x x f x ''-=-，且(0)0f =，求()f x的极值．解 首先求函数()f x 的解析式．依题意有()[()1]f x x f x ''-=-，()[()1]f x x f x ''=---解方程组，得到22()1x xf x x +'=+．所以2221()ln(1)arctan 12x x f x dx x x x C x +==++-++⎰，由于(0)0f =，所以0C =，于是21()ln(1)arctan 2f x x x x =++-．令()0f x '=，解得120,1x x ==-，而22221()(1)x x f x x -++''=+，所以(0)10f ''=>，1(1)02f ''-=-<，所以(0)0f =是极小值，1(1)ln 2124f π-=+-为极大值．练习 5.11．在数列中，求出最大一个数．（最大数：1()(0)xf x x x =>的最大值）2．求函数20()(2)e d x t f x t t -=-⎰的最大值和最小值 （最大值：21e f -=+，最小值 (0)0f = ）3．求函数1220()d f x x t t =-⎰，0x >的最大值和最小值（最小值：11()24f =，无最大值 ）3．求曲线ln y x =在[2,6]内一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =，和曲线ln y x = 所围成的图形面积的最小值．3 答案：112ln 24y x =-+ 5．求方程3222221y y xy x -+-=所确定的函数()y x 的极值。