第五章 一元函数微积分的应用(完整资料).doc

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第五章 一元微积分的应用 5.1 函数图象的几何性质

一 基本概念

定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有

0()()f x f x <（0()()f x f x >），

则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．

（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值．

定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++<12

12()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪

⎝⎭

（1）

则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．

公式（1）可以改写为：

1212()()()

f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()

f x x f x f x αβαβ+>+

（2）

其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．

定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点；

定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。

注1 极值点和最值点的区别和联系：

（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；

（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点．

注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．

二 基本方法 1 求极值点

有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：

（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值；

在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．

在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．

（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===，而()0()0n f x ≠，则

(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；

(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点．

2 求函数()y f x =

的单调区间

（1）求函数()f x 的定义域；

（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点；

（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．

3 求函数()y f x =

在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：

具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，则函数()y f x =在[,]a b 的

最大值与最小值分别为

12max{(),(),

,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =；

12min{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =。

特别的，求函数()y f x =在开区间(,)a b 上的最值： 具体方法：求函数()f x 在(,)a b 上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，

（1）若12max{(),(),...,()}max{(),()}n f x f x f x f a f b ≥或max{lim (),lim ()}x a x b f x f x →→ 则()f x 在(,)a b 上存在最大值，最大值就是

12max{(),(),...,()}n f x f x f x

（2

）

若

12min{(),(),...,()}min{(),()}

n f x f x f x f a f b ≤或

min{lim (),lim ()}x a

x b

f x f x →→

则()f x 在(,)a b 上存在最小值，最小值就是

12min{(),(),...,()}n f x f x f x

否则，不存在最值．

4 求凹凸区间和拐点

具体方法：

（1）求函数()f x 的定义域；

（2）求二阶导数()f x ''等于零的点和二阶导数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断二阶导函数()f x ''在每个区间的符号，从而得到凹凸区间和拐点．

5 求曲线的渐近线

（1）水平渐近线：lim ()x f x a →∞=，lim ()x f x a →+∞=或lim ()x f x a →-∞=，则y a =是水平渐近线．

（2）铅直渐近线：0

lim ()x x

f x a →=，0lim ()x x f x a +

→=或0

lim ()x x f x a -→=，则x a

=是铅（垂）直渐近线． （3）斜渐近线：若()

lim

x f x k x

→∞=，lim[()]x b f x kx →∞=-，则y kx b =+是斜渐近线．

6 函数在区间上的平均值