角平分线的性质1详解

Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢!
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
D
O
B
O
B
E
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
ห้องสมุดไป่ตู้
A E E
C
D
B
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
F N
G
M
P
B
E
C
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。
O
C
D
A
E
B
合作交流
［教学内容9］例题讲解
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
所在直线的距离相等．
HＤ
Ｃ
F ＰＥ
Ａ
ＢG
丰收乐园
◆这节课我们学习了哪些知识？
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
·D
作图角度怎么画？
C·
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
A
D
)C
P
O
E B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
EB
∴ PD＝PE
说一说 你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号表示为：
∵OP平分∠AOB
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
∴PD=PE.
A D
P
B E
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
求证：PD=PE.
A
D
P
O
B
E
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E
求证: PD=PE
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
A
D
C
P
∠ PDO＝∠PEO O ∠ AOC＝∠BOC
OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD=DF；
求证：CF=EB
F
E
CD B 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
试试自己写
DC=DE (因为角的平分线的性质) 证明。你一
O
B
活动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 A
钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
（×）
B
A
D
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
（×） B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
再用HL证明.
定行！
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
变题1 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.
变题2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
A
A
F
E
CD
B
E
CD
B
A
变 题 1 如 图 ： 在 △ ABC 中 ，
铁路
Ｓ
1 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则
4 PE=__________cm.
A
C
P
D B
E
O
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离为？
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
探究体验
A·
把简易平分角的仪器放在角的两
边时，（1）平分角的仪器两边
· AB与AD相等，从几何作图角度 B
怎么画？（2）BC=DC，从几何
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。
B
C
O
A
B
C
O
A
∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什
么办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？