2015石景山初三数学一模试题及答案
北京市石景山中考一模数学试卷(含答案)
北京市石景山区2022年中考一模数学试卷一、选择题〔此题共16分，每题2分〕1.以下各式计算正确的选项是〔〕A2C3L5r 2 3A. a 2a 5aB. a a a2•实数a , b在数轴上的位置如下列图，以下说法正确的选项是〔# ft1TIF.BCD5 .如图，AD // BC, AC 平分/ BAD，假设/ B = 40 °A. 40°B. 65°C. 70°D.80°2D D4.以下博物院的标识中不是.轴对称图形的是〔〕ab C. a6 a2 a3D. (a2)3 a5MJ ^rl M那么/ C的度数是〔6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点C , B , E 在y 轴上，Rt △ ABC 经过变化得到 Rt △ EDO ,假设点 B 的坐标为(0,1)，OD=2，那么这种变化可以是〔 〕 7•甲、乙两地相距 300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地〔轿车的平均速度大于货车的平均速度〕，如图线段OA 和折线BCD 分别表示两车离甲地的距离 y 〔单位：千米〕与时间 x 〔单位：小时〕 之间的函数关系•那么以下说法正确的选项是〔 〕&罚球是篮球比赛中得分的一个组成局部，罚球命中率的上下对篮球比赛的结果影响很大•以下列图是对 某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：① 当罚球次数是500时，该球员命中次数是 411,所以 罚球命中〞的概率是0.822 ; ② 随着罚球次数的增加， 罚球命中〞的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定 性，可以估计该球员 罚球命中〞的概率是0.812 ;③ 由于该球员 罚球命中〞的频率的平均值是 0.809，所以 罚球命中〞的概率是0.809. 其中合理的是〔 〕 A .①B .②C .①③D .②③A . △ ABC 绕点B . △ ABC 绕点 C . △ ABC 绕点D . △ ABC 绕点 C 顺时针旋转 C 逆时针旋转 O 顺时针旋转 O 逆时针旋转 90 °再向下平移 90 °再向下平移 90 °再向左平移 90 °再向右平移5个单位长度 5个单位长度 3个单位长度 1个单位长度A .两车同时到达乙地C .货车出发3小时后，轿车追上货车B .轿车在行驶过程中进行了提速 D .两车在前80千米的速度相等0.822 0.8120 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 罚球次数二、填空题〔此题共 16分，每题2分〕9 •对于函数y —，假设x 2，那么y _________ 3〔填“ ＞或 “＜〕x10•假设正多边形的一个外角是 45 °那么该正多边形的边数是 _______ •11•如果x y 5，那么代数式〔1 + 丄〕2X 2的值是 _____________________ •x y x y12•我国古代数学名著?孙子算经?中记载了一道题，大意是： 100匹马恰好拉了 100片瓦，3匹小 马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹.假设设小马有 x 匹，大马有y 匹，依题 意，可列方程组为 _____________ •14・ 如图，在△ ABC 中，D , E 分别是AB , AC 边上的点， DE // BC •假设AD — , BD 2 , DE 3，那么 BC ______________________ •15 •某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动， 数学小组的同学们在距奥组委办公楼 钢老厂区的筒仓〕20m 的点B m 的测角仪测得筒仓顶点 C 的仰角为63°贝U 筒仓CD 的高约为13 .如图， AB 是O O 的直径， CD 是弦，CDAE ____________ • AB 于点E ，假设O O 的半径是5 , CD 8，那么〔原首E1.9—〕16.小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线,他的做法是这样的：如图，(1) 利用刻度尺在AOB的两边OA, OB上分别取OM ON ；(2) 利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P ；(3) 画射线OP .那么射线OP为AOB的平分线.请写出小林的画法的依据___________________________________________________ 三、解答题〔此题共68分，第17、18题，每题5分；第19题4分；第20-23题，每题5分；第24、25 题，每题6分；第26、27题，每题7分；第28题8分〕17.计算：2sin45° 5 (-尽.33(x 1) 4x 5,18•解不等式组：x 62x219•问题：将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题•如图，点 形ABCD 的对角线交点，AB 5 ,下面是小红将菱形 ABCD 面积五等分的操作与证明思路,O 是菱 请补充完整〔1〕在AB 边上取点E ，使AE〔2〕在BC 边上取点F ，使BF〔3〕在CD 边上取点G ，使CG〔4〕在DA 边上取点H ，使DH由于AE _____ + ______ _4，连接 0A , OE ; _______ ，连接OF ； _______ ，连接OG ; _______ ，连接OH • _+ _____ + _____ 可证S A AOE S 四边形EOFBS四边形FOGC 1S四边形GOHD=S A HOA.220.关于x 的一元二次方程 mx (3m 2)x 6 0 .〔1〕当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；〔2〕当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整21.如图，在四边形 〔1〕求证：AE 〔2〕假设 tan D ABCD 中， ACE ;3，求AB 的长.BCD 90 ° BC CD 2局,CE AD 于点 E .a22 .在平面直角坐标系xOy中，函数y 〔x 0〕的图象与直线h： y x b交于点A(3,a 2).x〔1〕求a，b的值；〔2〕直线l2：y x m与x轴交于点B，与直线h交于点C，假设S △ ABC > 6,求m的取值范围.23.如图，AB是O O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交O O于点C ,连接BC , 过点D作FD丄OC交O O的切线EF于点F .1〔1〕求证：CBE — F ；2〔2〕假设O O的半径是2韶，点D是OC中点，CBE 15° ,求线段EF的长.24.某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了他们的10次测验, 10次成绩如下〔单位：分〕：整理、分析过程如下，请补充完整.〔1〕按如下分数段整理、描述这两组数据〔示〔3〕假设从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选〔填甲〞或乙〕，25 .如图，半圆0的直径AB 5cm，点M在AB上且AM 1cm，点P是半圆0上的动点，过点B作BQ PM交PM〔或PM的延长线〕于点Q •设PM x cm, BQ ycm •〔当点P与点A或点B重合时，y的值为0〕小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小石的探究过程，请补充完整：〔1〕通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：〔2〔3〕结合画出的函数图象，解决问题:当BQ与直径AB所夹的锐角为60时，PM的长度约为__________________ c m.26. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线G-i：y mx2 2 3〔m 0〕向右平移.3个单位长度后得到抛物线G2，点A是抛物线G2的顶点.〔1〕直接写出点A的坐标；〔2〕过点〔0, 3〕且平行于x轴的直线I与抛物线G2交于B , C两点.①当BAC =90。
2015年_海淀_东城、西城、丰台、朝阳、石景山、两区中考一模试题及答案_Word版本
18. (本小题满分 5 分) 解：
x ， 2① 3x 4 5 1 4 x≥ x . ② 3 3
由不等式①得
x 3．
……………………………………………………2 分 ……………………………………………………4 分
由不等式②得 x≥ 2 ．
∴不等式组的解集为 2≤x 3 ． ……………………………………………………5 分 19. (本小题满分 5 分) 解： ( x 2 y)2 ( x y)( x y) 2 y 2
海淀区九年级第二学期期中练习
数学试卷答案及评分参考
2015．5
一、 选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 B
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 题号 11 12 13 14 15 小明（1 分） ； 一组对边平行且 相等的四边形是 平行四边形 （2 分） 16 30° 或 150° （只答对 一个 2 分， 全对 3 分）
D D
A
E
C
A
E
C
B
B
备用图 （2）求证： EG BC ； （3）用等式表示线段 AE ， EG ， BG 之间的数量关系：_____________________________．
29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(a, b) 和点 Q (a, b) ，给出如下定义：
b, a≥1 若 b ，则称点 Q 为点 P 的限变点．例如：点 2,3 的限变点的坐标是 2,3 ，点 2,5 的限变 b , a 1
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23．如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 线于点 F，连接 BE，∠F=45°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB=14，DE=8，求 sin∠AEB 的值．
北京市石景山区2015届九年级上期末考试数学试题及答案
PM 于点 Q，DE2 交直线 AC 于点 M，DF2 交直线 BC 于点 N，求 QN 的值；
（3）若图
1
中∠B= 60
90，（2）中的其余条件不变，判断
PM QN
13．计算： 8 tan 30 cos 60 2sin 45 ．
14．已知：二次函数 y 2x 2
3k 2x 3k （1）若二次函数的图象过点 A3,0，求此二次函数图象的对称轴；
（2）若二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求此时 k 的值．
15．如图，⊙O 与割线 AC 交于点 B，C，割线 AD 过圆心 O，且∠DAC=30°．若⊙O 的半径 OB=5，AD=13，求弦 BC 的长．
4 5
D．
3 5
2．如图，A，B，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC=110°，则∠AOC 的度数为
A．70°
B．110°
C．135°
D．140°
B
A
C
第1题
A
O
B
C
第2题
D A
E
C
F
B
第3题
3．如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，AC 与 BE 交于点 F．则
△EFC 与△BFA 的面积比为
的值是否为定值，
如果是，请直接写出这个值（用含 的式子表示）；如果不是，请说明理由．
E2
F
C
E1
C F1 Q
E
M
F2
G
P
N
A
25．如图
初三上期末-石景山-2015-1
石景山区2014—2015学年度第一学期期末考试初三数学试卷一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =3，则sin A 的值是A ．34 B ．43 C ．54 D ．532．如图，A ，B ，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC =110°，则∠AOC 的度数为A ．70°B ．110°C ．135°D ．140°3．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点F ．则△EFC 与△BFA 的面积比为A ．2:1B ． 1∶2C ．1∶D ．1∶8 4．将抛物线22x y =向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是A ．()212+=x y B ．()212-=x y C ．122-=x y D ．122+=x y5．将762++=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，h ，k 的值分别为A ．3，2-B ．3-，2-C ．3，16-D ．3-，16-6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10米的A 处，测得旗杆顶部B 的仰角为α，则旗杆的高度BC 为A ．αtan 10B ．αtan 10C ． αsin 10D ． αsin 107．已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法中正确的是A ．0>++c b aB ．0>abC ．02=+a bD ．当0y >时，13x -<<第1题 第2题 第3题FE DC BAOCABCBA第6题 第7题C AB8．如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C 的路径运动，到达点C 时运动停止．设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A BC D第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）10.写出一个反比例函数()0ky k x=≠，使它的图象在各自象限内，y 的值随x 值 的增大而减小，这个函数的表达式为 .11. 如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE ＝ ．12．二次函数23x y =的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…， B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3… =∠A n-1B n A n =120°.则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．14．已知：二次函数()k x k x y 32322-++-=ACD BPDA BCa x y O ()21a +()22a +2a axyOa2aa ()21a+()22a+2a xy Oa ()21a+()22a+a a()21a +()22a +2ax yO a（1）若二次函数的图象过点()0,3A ，求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此时k 的值．15．如图，⊙O 与割线AC 交于点B ，C ，割线AD 过圆心O ，且∠DAC =30°．若⊙O 的半径OB=5，AD =13，求弦BC 的长．16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．17．一次函数 22y x =+与反比例函数 (0)ky k x=≠的图象都过点()1,A m ，22y x =+的图象与x 轴交于点B ．（1）求点B 坐标及反比例函数的表达式；（2）()0,2C -是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．18． 已知：如图，△ABD 中，BD AC ⊥于C ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，2tan =D ，1=CE ，求ECB ∠sin 和AD 的长．四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，EA DCB绿色BC AODCBA绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局． （1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A 点距离地面的高度为2m ，当球运行的水平距离为6m 时，达到最大高度5m 的B 处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号)21．已知：如图，R t △AOB 中，︒=∠90O ，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P ． （1）求证：BP =BC ； （2）若31sin =∠PAO ，且PC =7， 求⊙O 的半径．22．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B 作BF//AD 且BF=AD ，ABCPBOA C连接EF ，AF ，从而构造出△AEF 与△CBE 全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 、E 分别为CB ，CA 上的点，且BC AE 21=，CE BD 21=，BE 与AD 交于点P ，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin APE ∠的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点 C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点()m D ,0作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请直接写出m 的取值范围．24．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B =60°，D 为AB 的中点，∠EDF =90°，DE 交AC 于点G ，DF 经过点C ．（1）求∠ADE 的度数；（2） 如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（︒<<︒600α），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1，∠E 2DF 2 ， DE 1交直线AC 于点P ，DF 1交直线BC 于点Q ，DE 2交直线AC 于点M ，DF 2交直线BC 于点N ，求PMQN的值； （3）若图1中∠B =()︒<<︒9060ββ，（2）中的其余条件不变，判断PMQN的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，点()0,4-D ，8OC =，若抛物线213y x =平移后经过C ，D 两点，得到图1中的抛物线W .（1）求抛物线W 的表达式及抛物线W 与x 轴另一个交点A 的坐标；（2）如图2，以OA ，OC 为边作矩形OABC ，连结OB ，若矩形OABC 从O 点出发沿射线OB 方向匀速图1FEGDBAC图2E 1F 1F 2E 2QMNPDBAC运动，速度为每秒1个单位得到矩形''''O A B C ，求当点'O 落在抛物线W 上时矩形的运动时间；（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O 点出发的同时，点P 从'A 出发沿矩形的边C B B A ''→''以每秒25个单位的速度匀速运动，当点P 到达'C 时，矩形和点P 同时停止运动，设运动时间为t 秒. ①请用含t 的代数式表示点P 的坐标； ②已知：点P 在边''A B 上运动时所经过的路径是一条线段，求点P 在边''A B 上运动多少秒时，点D到CP 的距离最大.草稿纸石景山区2014-2015学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不yxDCAO yxC'B'A'D B C A O O'yx PC'B'A'BDCAOO'yxC'B'A'D B C A O O'图1 图2 图3 备用图ABCDOE同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案CDCBBACA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．π2； 10．只要0>k 即可； 11．38或23； 12．()32,01A ；n 2． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13.解：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8.=222213322⨯+⨯-……………………………4分 =6323-. ……………………………5分14.解：（1）将()0,3A 代入二次函数表达式，求得2=k ………………1分将2=k 代入得二次函数表达式为：6822-+-=x x y ……2分 配方得：()2222+--=x y∴二次函数图象的对称轴为2=x …………3分 （2）由题意得：0=∆ …………………………………4分求得32=k . ……………………………………………………………5分 15.解：过点O 作BC OE ⊥于点E ……1分∵AD 过圆心O ，AD =13，⊙O 的半径是5， ∴ AO =8 ………2分 ∵∠DAC =30°∴OE =4 ………3分 ∵OB =5, ∴ 勾股得BE =3………4分∴BC =2BE =6 ………5分16．解：过点A 作BC AD ⊥，交CB 的延长线于点D ………1分在△ABC 中，3=∆ABC S ，2=BC32==∴∆BCS AD ABC………2分 135=∠ABC 45=∠∴ABD∴232==AD AB ……… 3分 3==AD BD ……… 4分 在Rt △ADC 中，5=CD ，3422=+=CD AD AC …5分17．解：（1）由题意: 令0y =,则1x =-∴()1,0B - ……………1分∵A 在直线22y x =+上∴()1,4A …………………2分DC B A∵()1,4A 在反比例函数 (0)ky k x=≠图象上 ∴4k =∴反比例函数的解析式为：4y x= ……………3分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴()2,2D …………4分 ∴()2,2D 在反比例函数4y x=的图象上 ……5分 18． 解：∵BD AC ⊥，∴︒=∠=∠90ACD ACB ∵E 是AB 的中点，1=CE∴22==CE AB ……… 1分∵23=CD BC ∴设x BC 3=，x CD 2= 在R t △ACD 中，2tan =D ∴ 2=CDAC ，x AC 4= ………2分在R t △ACB 中由勾股定理x AB 5=，∴54sin sin ===∠AB AC B ECB ………3分由2=AB ，得52=x ………4分∴5545222==+=x CD AC AD ……5分四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19．解：（1）……………….1分（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄）， （黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） ………2分（2）()31==93P 甲获胜………………..3分 ()2=9P 乙获胜………………………4分P P >（甲获胜）（乙获胜）∴游戏不公平………………..5分20．解：（说明：根据建系方法的不同，对应给分）以地面所在直线为x 轴，过点A 与地面的垂线作为y 轴建立平面直角坐标系如图所EA DCB 开始红黄绿红黄绿红黄绿绿黄红示. …………………1分 则()0,2A ，()6,5B设抛物线解析式为()()2650y a x a =-+≠， ∵()0,2A 在抛物线上 ∴ 代入得：112a =- ∴()216512y x =--+ (3)分 令0y =∴15261-=x （舍），26215x =+ ……………. 4分 ∴1526+=OC答：该同学把实心球扔出1526+m. ……………… 5分21．(1)证明：连接OC ………………1分BC 是⊙O 切线90OCB ∴∠=︒90OCA BCA ∴∠+∠=︒OC OA =OCA OAC ∴∠=∠90O ∠=︒90OAC APO ∴∠+∠=︒ APO BPC ∠=∠90OAC BPC ∴∠+∠=︒ BPC BCA ∴∠=∠BC BP ∴= ………………2分(2) 延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE 在Rt AOP ∆中1sin 3PAO ∠=∴ 设,3OP x AP x ==∴ 则22AO x = ………3分 AO OE =， 22OE x ∴= 42AE x ∴=1sin 3PAO ∠=13CE AE ∴= 223AC AE ∴= 3722342x x +∴=………4分 PBOACEPBO ACyxA BCO解得：x=362AO ∴= ……………5分22．解：(1) ∠APE =45° ………1分(2) 过点B 作FB//AD 且FB=AD ，连结EF 和AF ∴四边形AFBD 是平行四边形，APE FBE ∠=∠，DB AF = ………2分∵AB 是⊙O 直径，∴∠C =90° ∴FAE BCE ∠=∠=90° ∵2CE BD =，2BC AE =， ∴2CE AF =，∴2CE BCAF EA== ∴△AEF ∽△CBE ……3分∴12EF BE =，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=90°，即∠FEB =90° ……4分 在Rt △BEF 中，∠FEB =90°∴1tan 2EF FBE BE ∠==又∵APE FBE ∠=∠∴5sin 5APE ∠=……5分 五、解答题（本题共3道小题，23、24每小题各7分，25题8分，共22分） 23．（1）由题意得 ()2(4)525544t t -⋅--⋅+=．……………………1分 解得 5t =．∴ 二次函数的解析式为：254y x x =-+．…………………2分（2）令0y =,解得4x =或1x = ……………………3分∴()1,0A ， ()4,0B ，令0x =，则4y =∴()0,4C将B 、C 代入y kx b =+，解得1k =-，4b =一次函数的解析式为：4y x =-+ ……………………4分（3）212-<<-m 或04m << ……………………7分24．解：321F A O PD ECB（1）∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点∴CD =DB ∴∠DCB =∠B ∵∠B =60°∴∠DCB =∠B=∠CDB =60° ∴∠CDA=120°∵∠EDC =90°∴∠ADE =30° ………………2分 （2）∵∠C =90°，∠MDN =90° ∴∠DMC +∠CND=180°∵∠DMC +∠PMD=180°， ∴∠CND =∠PMD 同理∠CPD =∠DQN∴△PMD ∽△QND ………4分 过点D 分别做DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H 可知DG ， DH 分别为△PMD 和△QND 的高∴PM DGQN DH =…………………5分 ∵DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H ∴DG ∥BC又∵D 为AC 中点 ∴G 为AC 中点 ∵∠C =90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG =DH =AG Rt △AGD 中，31=AG DG 即33=QN PM ……………………6分 (3) 是定值，值为)90tan(β-︒………7分 25．解：（1）依题意得： )0,4(-D ,()0,8C -∴抛物线W 的解析式为：212833y x x =-- ………………………1分 另一交点为（6,0） ………………………………………2分（2）解法一：依题意:在运动过程中，E 1F 1F 2E 2H G QMNPD B ACFEGDBAC经过t 秒后，点'O 的坐标为：34,55t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………3分 将'O 代入212833y x x =-- 舍去负值得：203t =经过203秒'O 落在抛物线W 上 …………………………………………4分解法二：射线'OB 解析式为：43y x =-∴24312833y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：4163x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴16'4,3O ⎛⎫-⎪⎝⎭……………………………3分 ∴221620'433OO ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴经过203秒'O 落在抛物线W 上 …………………………………4分 （3）① 设(),P x y(I)当020t ≤≤时，即点P 在''A B 边上，2'5A P t =，34'6,55A t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴365x t =+，65y t =- ……………………………5分(II)当2035t <≤时，即点P 在''B C 边上（不包含'B 点），2'85B P t =- ,34'6,855B t t ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ，∴1145x t =+，485y t =-- ……………………6分 综上所述： ∴当020t ≤≤时，366,55P t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭当2035t <≤时，1414,855P t t ⎛⎫+--⎪⎝⎭②当点P 在''A B 运动时，020t ≤≤，点P 所经过的路径所在函数解析式为：212y x =-+ 又∵直线DC 解析式为:28y x =--∴DC ∥AP∴△DCP 面积为定值 ……………7分∴CP 取得最小值时，点D 到CP 的距离最大，如图，当CP ⊥AP 时，CP 取得最小值过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∴∠PMC =90°∵366,55P t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴685CM t =-，365PM t =+ ∵∠DCO +∠PCM =90°， ∠CPM +∠PCM =90° ∴CPM DCO ∠=∠ ∴1tan tan 2CPM DCO ∠=∠= 在Rt △PMC 中，∠PMC =90° ∴2PM CM = ∴103t =检验：100203≤≤∴经过103秒时，点D 到CP 的距离最大 ………………8分yxMPD C AOy x PC'B'A'D BCAO O'。
北京市石景山区实验中学2014—2015学年初三第一学期期末数学模拟题(二)及答案
北京市石景山区实验中学2014——2015学年初三第一学期期末模拟题（二）班级___________姓名____________学号____________成绩___________ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是2. 反比例函数ky x=（k ≠0）的图象过点（－1，1），则此函数的图象在直角坐标系中的 A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第一、二象限D ．第三、四象限3. 某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是 A ．17B ．18C ．19D ．1104. 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转90︒，得到△M 1N 1P 1 ，则其旋转中心可以是A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H5. 如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC =2m ，BC =8m ，则旗杆的高度是A ．6.4mB ．7mC ． 8mD ．9 m 6.将二次函数1822--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，结果为 A ．32)4(22+-=x y B ．1)2(22--=x y11C ．33)4(22--=x yD ． 9)2(22--=x y7. 如图，D 是△ABC 边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．△ABC ∽△ACD 的是 A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠C ．2AC AD AB =⋅ D ．AC ABCD BC= 8. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的位置如图1所示，点A 的坐标为)0,2(-，点B的坐标为)2,0(,点D 的坐标为(-3,1)．矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，设运动时间为x （0≤x ≤3）秒，第一象限内的图形面积为y ，则下列图象中表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是__________.10. 如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是________．A B C D俯视图左视图主视图Q PNMOCBA11. 如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，AB =32，∠A =30°，则⊙O 的直径为 . 12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12OA OB =时, OP OQ的值为 ；当1OA OB n =时，OP OQ的值为 .(用含n 的式子表示)三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△'''C B A 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ′（6，2）. （1）若点A （25，3），则A ′的坐标为 ； （2）若△ABC 的面积为m ，则△A ′B ′C ′的面积＝ .15. 已知2240x x +-=，求22(1)(6)3x x x ---+的值．16. 如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y kx=－2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数32yx=-（x＜0）的图象交于点3()2M n-，．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y kx=－2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．18. 列方程解应用题：学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．若花圃的面积为48平方米，AB边的长应为多少米？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．20. 甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．21.如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若sin∠CAD，⊙O的半径为8，求CD长．22. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，则BD=______、AB =_______．图① 图②五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=.（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ． （1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．25. 设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]b a ,. 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[]n m ,上的“闭函数”. （1）反比例函数xy 2014=是闭区间[]1,2014上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； A BCDEF M MFED CBA ABCD EF M图1图2图3（2）若一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]n m ,上的“闭函数”，求此函数的表达式； （3）若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]b a ,上的“闭函数”，直接写出实数a ，b 的值.参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）1.C2.A3. B4.C5. C6.D7. D8. D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 圆柱 10. 3y x =-11.4 12．2n； 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.12. 14.（1）（5，6）；（2）4m ． 15.化简得225x x ++，求值为9． 16. （1）略；（2）125． 17．（1）A （－1，0）、B （0，－2）；（2）(3,4)-或(1,4)- 18. 6米四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解： 在△ABE 中，AE BC ⊥，5AB =，53cos =B ∴BE=3,AE=4.∴EC=BC －BE =8－3=5. ∵平行四边形ABCD, ∴CD=AB=5.∴△CED 为等腰三角形.∴∠CDE =∠CED ． ∵ AD//BC, ∴∠ADE =∠CED ． ∴∠CDE =∠ADE ．在Rt △ADE 中,AE =4,AD=BC =8,41tan .82CDE ∴∠== 20. （1）19；（2）公平． 21. （1）证明：连接OA .∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC =90°.∴∠B +∠ACB =90°.∵OA=OC ， ∴∠OAC =∠OCA . ∵∠CAD =∠B ， ∴∠CAD +∠OAC =90°. 即∠OAD =90°. ∴OA ⊥AD .∴AD 是⊙O 的切线.(2) 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E . ∵∠CAD =∠B , ∴sinB =sin ∠CAD=4. ∵⊙O 的半径为8， ∴BC=16.∴AC =sin BC B ⋅=∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2. ∵CE ⊥AD ,∴∠CED =∠OAD =90°.∴CE ∥OA . ∴△CED ∽△OAD .∴CD CEOD OA=. 设CD =x ，则OD =x +8.即288x x =+. 解得x =83.所以CD =83.22. （1）22=BD . （2）BD ＝2. 22=AB .23. 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++B=2(21)m +∵ 2(21)m +≥0，∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. 由题意得 312,3177. 2.m mm m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 解得173m <<. （3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<.24. 解：（1）DM AE =． （2）12DM AE =． （3）① cos DM AE =α．② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72． ∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ． ∴12BM DB BE AB ==．∴EB =2BM ． 又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形． ∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°．∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°． ∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°．在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE=AB =7，∴cos EAB ∠∴cos cos PCB BAE ∠=∠ 在Rt △ABD中，sin AD AB ABD =⋅∠=在Rt △NDC中，cos DC CN NCD =∠，∴ND∴NA AD ND =-．过点N 作NH ⊥AC 于H ．∴12NH AN =∴sin NH ACP CN ∠== 25. 解：（1）反比例函数x y 2014=在第一象限，y 随x 的增大而减小. ∵当1=x 时， 201412014==y当2014=x 时， 120142014==y∴当1≤x ≤2014，有1≤y ≤2014，符合闭函数的定义，xy 2014=是闭函数.（2）分两种情况讨论，k >0或者k <0.①当k >0时，此一次函数y 随x 的增大而增大，根据闭函数定义可得：⎩⎨⎧=+=+n b kn mb km ，解得k =1，b =0，所以此时一次函数表达式为x y =. ②当k <0时，此一次函数y 随x 的增大而减小，根据闭函数定义可得：⎩⎨⎧=+=+mb kn nb km ，解得k =－1，b =m +n ，所以此时一次函数表达式为n m x y ++= （3）⎩⎨⎧=-=12b a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=21099511b aHP ACEF M N图2。
2015年各区一模27题及答案
2015年各区中考数学一模试题第27题 1海淀2东城3西城4朝阳5丰台6石景山7昌平 8顺义9通州10大兴11怀柔12密云13平谷 14延庆15房山16燕山17门头沟解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 海淀一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．东城一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.西城一模27 已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．朝阳一模27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3.（1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）.丰台一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.石景山一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．顺义一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标； （3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．通州一模27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k 的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1y x b =+k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数4444123123321213xOy22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.大兴一模27．已知抛物线222y x x k =++-与x 轴有两个不同的交点．（1） 求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该抛物线与x 轴的交点都是整数点，求k 的值．（3）如果反比例函数my x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足1<0x <2，请直接写出m 的取值范围.怀柔一模27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.23.光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区,20台派往B 地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金 每台甲型收割机的租金 A 地区 1800 1600 B 地区16001200（1）派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)求x 与y 间的函数关系时，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租菱公司这50台联合收割机一天的租金总额比低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。
2015年北京中考数学一模26题汇总
类型一：添加辅助线，构造全等或相似推理证明1.（朝阳一模26）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP= ．2.（门头沟毕业考试26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．图1 图2请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△≌△；（2）BC和AC、AD之间的数量关系是．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．A'DDCBCBA AD CBA图1图2图3图33.（燕山毕业考试26）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA •CD ＝PC •BD ．4.（怀柔一模26）阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC 中， ∠A =2∠B，CD 平分∠A CB ，AD=2.2，AC=3.6 求BC 的长.小聪思考：因为CD 平分∠A CB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC=AC ，连接DE. 这样很容易得到△DEC ≌△DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE 是_________三角形.（2）BC 的长为__________.参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知△ABC 中，AB=AC, ∠A =20°， BD 平分∠ABC,BD=2.3,BC=2. 求AD 的长.E ABP图1ABCABDC图2图3CED CB A BC类型二：添加辅助线，构造特殊四边形，利用解直等方法推理证明.5.（海淀一模26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2图3请回答：BC +DE 的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．类型三：一般四边形的解法，添加辅助线，构造直角三角形进行解直.6.（石景山一模26）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt△ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，21tan =A ，︒=∠=∠135CB ，9=AB ，3=CD ，求BC 和AD 的长．E图1 图2类型四：利用全等三角形的判定方法画图，构造全等三角形，对SSA 是否全等推理验证.7.（平谷一模26）阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ． 小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究． ∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 第一种情况：当∠B 是直角时，如图1， 在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．图1 图2图3类型五：利用圆周角的性质画圆，根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质进行推理证明.8.（房山一模26）阅读材料小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△A B C 中，A D 、B E 、C F 分别为△A B C 的高，求证：∠A F E =∠A C B . 小明是这样思考问题的：如图2，以B C 为直径做半⊙O ，则点F 、E 在⊙O 上， ∠BFE +∠BCE =180°，所以∠AFE =∠ACB .请回答：若∠ABC =40，则∠AEF 的度数是 . 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠BDF =∠CDE .类型六：利用特殊四边形的性质，构造全等或相似推理证明.9.（东城一模26）阅读材料在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ． (1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系 请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AFBE的值.图1 图2图1 图2 图3类型七：利用等边三角形性质，构造全等，利用割补法求一般图形的面积.10.（延庆毕业考试26） 阅读下面资料： 问题情境：（1）如图1，等边△ABC ，∠CAB 和∠CBA 的平分线交于点O ，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O 重合，已知OA =2，则图中重叠部分△OAB 的面积是 ． 探究：（2）在（1）的条件下，将纸片绕O 点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB ，AC 交于点E ，F ，求图2中重叠部分的面积．（3）如图3，若∠ABC =α（0°＜α＜90°），点O 在∠ABC 的角平分线上，且BO =2，以O 为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC 的两边AB ，AC 分别交于点E 、F ，∠EOF =180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）类型八：利用网格，构造直角三角形，进行解直.11.（西城一模26）阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.图1图2类型九：利用特殊四边形及相似的性质求解.12.（通州一模26）阅读材料（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ． 操作：（1）延长BC ．（2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ． （3）过点D 作DQ//AB ．（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ． （5）连结BG ．结论：ABAG= ． （2）如图②，△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =36°，进行如下操作：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转度角，并使各边长变为原来的n 倍（n >1），得到△''AB C . 当点B 、C 、'B 在同一条直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形时（如图③），求和n 的值．类型十：通过拼图，利用等面积法推理证明勾股定理公式.13.（丰台一模26）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ,b ， 斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形.由图1可以得到22142a b ab c +=⨯+（），整理，得22222a ab b ab c ++=+． 所以222a b c +=．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ，整理，得 ，所以 .ααa图1图 2图① 图② 图③。
2015-2016学年北京市石景山区初三一模数学试卷(WORD版含答案)讲解
石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为A．0.28×108 B．2.8×108 C．2.8×107 D．28×1062．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是A．点A B．点BC．点C D．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于．．．中心对称图形的是A B C D4则本组数据的众数与中位数分别为A．5，4 B．6，5C．7，6D．5，55．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是A．31B．85C．53D．836．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB= 90°，若∠1= 40°，则∠2的度数为A．140°B．130°C．120°D．110°7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为A B C D12nmCADB CA–1–21238．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B =135°，则∠AOC 的度数为 A ． 45°B ．90°C ．100°D ．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是 A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从 点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间 为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示， 则这一信息的来源是图1 A ．监测点A B ．监测点B C ．监测点C D ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224am an -=_______________．12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 ． 13．反比例函数6y x=的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y 2y （用“>”，“<”或“=”连接）．14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．第14题图 第15题图15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是______________________． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：E D C B A小轩的主要作法如下：三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()211 3.142sin 602π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭．18．已知m n -=求111m n mn ⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值．19．求不等式组3(1)1,23 2.3x x x +>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．．．．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．求证：∠AED =∠DCB ．21．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根．E D C B A22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的 成本和售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ． （1）求证：四边形ABDE 是菱形； （2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长．24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”． 2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（1）2016年春运40天全国民航客运量比2014年多 万人次；（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．HGF E DCB A25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ； （2）若∠C =30°，EF =EB 的长．26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范 围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<xE A C D B 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE（2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图AC DB29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ； 在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．1石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试11．()()22a m n m n+-；12．12；13．12y y<；14．如BC∠=∠或AC AB=等；15．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．如：8万，预估理由是下降趋势变缓．16．角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式1124+-+…………………………4分=4．………5分18．解：原式=11()mnm n-⋅=11mn mnm n⋅-⋅=n m-．……………………3分（或原式=n mmnmn-⋅=n m-．………………………………………3分）∵m n-=，∴原式=n m-=……………………………………………5分19．解：解不等式()311x x+>-，得2x>-．………………………………2分解不等式2323x-+≥，得32x≤．…………………………………3分∴原不等式组的解集为322x-<≤．………………………………4分∴原不等式组的整数解为-1，0，1．………………………………5分20．证明：∵Rt△ABC中，︒=∠90ACB，CD是AB边上的中线，∴12CD AB DB==．…………………1分∴B DCB∠=∠．………………………2分∵ABDE⊥于点D，∴90A AED∠+∠=︒．………………3分∵90A B∠+∠=︒，∴B AED∠=∠．………………………4分∴AED DCB∠=∠．…………………5分21．解：（1）由题意：0∆>，………………………………………………1分即：()9410k-->．解得54k>-．…………………………………………………2分（2）若k为负整数，则1k=-，……………………………………3分原方程为2320x x-+=，解得121,2x x==．………………………………………………5分EDCBA22．解： 设购进白色文化衫x 件，黑色文化衫y 件．…………………………1分 根据题意，得200,14173040.x y x y +=⎧⎨+=⎩……分解得120,80.x y =⎧⎨=⎩……………4分 答： 购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件． ………………………5分23．（1）证明：∵AC //BD ，AB //ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形． ……………………………1分 ∵AD 平分CAB ∠，∴BAD CAD ∠=∠．∵AC //BD ，∴ADB CAD ∠=∠．∴ADB BAD ∠=∠． ∴BD AB =．∴四边形ABDE 是菱形． ……………………………………2分 （2）解： ∵︒=∠90ABC ，∴︒=∠+∠90ABG GBH ．∵BE AD ⊥， ∴︒=∠+∠90ABG GAB ． ∴GBH GAB ∠=∠………………………3分 ∵87cos =∠GBH ，∴87cos =∠GAB ． ∴78AB AG AH AB ==． ∵四边形ABDE 是菱形，14=BD , ∴14==BD AB∴16=AH ，449=AG ． ………………………………………4分 ∴415=-=AG AH GH ．………………………………………5分 24．（1）733 ……………………………………………………………………1分 （2）例如：统计表如下：25．（1）证明：连接OD ，AD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC =90°．又∵AB =AC ，∴CD =DB ．又CO =AO ，∴OD ∥AB ． ……………………1分 ∵FD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF ． ∴FE ⊥AB ．……………2分（2）解：∵30C ∠=︒，∴60AOD ∠=︒在Rt △ODF 中，90ODF ∠=︒， ∴30F ∠=︒．∴12OA OD OF ==在Rt △AEF 中，90AEF ∠=︒，∵EF，∴AE = ……………………………………3分 ∵OD AB ∥，OA OC AF ==∴2OD AE ==2AB OD ==EB =． …………5分26．解：2a <-； ……………………………………………………………2分解决问题：将原方程转化为a x x =+-342·设函数3421+-=x x y ，a y =1，………………………………3分记函数1y 在40<<x 内的图象为G ，于是原问题转化为2y a =与G 有两个交点时a 的取值范围，结合图象可知3<．……………………………………5分27142++x 经过点()65-，A ∴120256+-=m ∴1=m ……………………………1分 ∴142++=x x y ∴()322-+=x y∴抛物线的顶点坐标是()3,2--．……………………3分 （2）∵直线1y x =-+与直线3y x =+相交于点()2,1- ∴两直线的对称轴为直线1x =- ．……………………4分∵直线1y x =-+与直线3y x =+关于抛物线C ：142++=x mx y的对称轴对称 ∴124-=-m∴2=m ．………………………………5分 （3） 43≤<m ． …………………………………………7分28．（1）补全图形，如图1所示．…………………………………1分（2）ABF ∠与CBE ∠的数量关系：45ABF CBE ∠+∠=︒． ………2分证明：连接BF ，EF ，延长DC 到G ，使得AF CG =，连接BG …3分∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB BC =，90A BCD ABC ∠=∠=∠=︒∴△BAF ≌△BCG ．∴BG BF =，ABF CBG ∠=∠．∵EF CE AF =+，∴EF GE =． ……………………4分 ∴△BEF ≌△BEG ．∴∠FBE =∠CBE ABF MBE ∠+∠=．∴45ABF CBE ∠+∠=︒． ………………5分（3）求解思路如下：a ．设正方形的边长为3a ，AF 为x ，则EF x a =+，3DF a x =-；b ．在Rt △EFD 中，由222EF DF DE =+,可得()()()22232x a a x a +=-+从而得到x 与a 的关系23x a =；c ．根据cos ∠FED 2DE a EF x a==+，可求得结果．………7分 29．解：（1）4，3． ………………………2分（2）设点(),26D x x -+．①当0x ≤时，4,26x y l x l x =-=-+．∵x y l l =，∴624+-=-x x ，∴02>=x （舍去）．M E A C D B②当04x <<时，4,26x y l l x ==-+．∵x y l l =， ∴624+-=x ，∴1=x 或5=x （舍去）．∴()1,4D ．③当4x ≥时，,26x y l x l x ==-．∵x y l l =，∴62-=x x ，∴6=x ．∴()6,6D -．综上满足条件的D 点的坐标为()1,4或()6,6-．……6分（3） 102a ≤<． …………………8分。
石景山区2015-2016学年度第一学期期末九年级数学试题及答案word
石景山区2015—2016学年度第一学期初三期末试卷数 学学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．若⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．两个相似三角形的相似比为1:2，若较小三角形的面积为1，则较大三角形的面积为A ．8B ．4C ．2D3．德育处王主任将10份奖品分别放在10个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有5份是学习文具，3份是科普读物，2份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ．12B ．35C ．15D ．3104．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点（AC <BC ），则AC 的长为 （结果精确到0.1m ）A ．6.7mB ．7.6 mC ．10m5．将抛物线()21y x =-+向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是A ．()2,0-B ．()0,0C ．()1,1--D ．()2,1--6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac -> D ．0a b c -+<7．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若80AOC ∠=︒，则D ∠的度数为 A ．︒80 B ．︒60C ．︒50D ．︒408．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若AC =4，BD =2，则1∠的余弦值为9． 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为()0,1，与y 交点为()3,0，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为10．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB-BA 、CD-DA 运动，到点A ．33 B ．21C ．552 D ．55 A ．1=xB ．1-=xC ．11=x ，32-=xD ．11=x ，42-=x1O DABC第7题 第8题BDCOAA 时停止运动．设运动时间为t (s)，△AEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．若sin α=，则锐角α为____________度．12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点B 在y 轴上，AB ＝AO ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ，若△ABO 的面积为2，则k 的值为_________．13．如果某人沿坡度1:3i =的斜坡前进10m ，那么他所在的位置比原来的位置升高了___________m ．14．如图，折扇的骨柄OA 的长为5a，扇面的宽CA 的长为3a ，折扇张开的角度为n ︒，则扇面的面积为______________ (用代数式表示)．15．根据函数学习中积累的知识与经验，请你构造一个函数，使其图象与x 轴有交点，但与y 轴无交点，这个函数表达式可以为_______________________．16．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，∠ABO=60°，若点D （1,0）且BD=2OD ．把△ABO 绕着点D 逆时针旋转A B C DAOC()0180m m ︒<<后，点B 恰好落在初始Rt △ABO 的边上，此时的点B 记为B '，则点B '的坐标为_______．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：02(3)4sin 45cos302π--+︒⋅︒-．18．已知：二次函数2y x bx c =-++的图象过点()1,8--，()0,3-．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为()2y a x h k =-+的形式； （2）画出此函数图象的示意图．19．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，1AE =寸，10CD =寸，那么直径AB 的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB 的长．20．中秋节来临，小红家自己制作月饼.小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）.做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个.请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率.21．如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，5cos 6A =，D 为AB 上一点，且:1:2AD BD =，若BC =CD 的长．DBCA22．在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数xmy =的图象过点()6,1A ． （1） 求反比例函数的表达式； （2）过点A 的直线与反比例函数xmy =图象的另一个交点为B ，与x 轴交于点P ，若PB AP 2=，求点P 的坐标．四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m 的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：()31082036y x x =-+<<．如果义卖这种文化衫每天的利润为p （元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25．如图，CE 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交CE 延长线于点A ，连接DE ，过点O 作OB ED ∥，交AD 的延长线于点B ，连接BC ．（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）若2=AE ，tan ∠DEO，求AO 的长．26．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =22.5°，则tan22.5°= _________．小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题.于是小天尝试着在CB 边上截取CD =CA ，连接AD （如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：tan22.5°= ________________． 参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，请借助△ABC ，构造出15°的角，并求出该角的正切值．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1222+-+-=m mx x y 的对称轴是直线1=x ． （1）求抛物线的表达式；（2）点()1,y n D ，()2,3y E 在抛物线上，若21y y <，请直接写出n 的取值范围；BA图1 图2图3（3）设点()q p M ,为抛物线上的一个动点，当12p -<<时，点M 关于y 轴的对称点都在直线4-=kx y 的上方，求k 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线，点G 在线段AD 上，过点G 作PG ⊥DE 于点P ，连接CP ，过点D 作DQ ⊥PC 于点Q ，交射线PG 于点H ．（1）如图1，若点G 与点A 重合.①依题意补全图1；②判断DH 与PC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点H 恰好在线段AB 上，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图229．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O的距离P S 的定义如下：若点P 与圆心O 重合，则P S 为⊙O 的半径长；若点P 与圆心O 不重合，作射线OP 交⊙O 于点A ，则P S 为线段AP 的长度． 图1为点P 在⊙O 外的情形示意图．（1）若点()0,1B ，()1,1C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0D ，则=B S ___；=C S ___；=D S ___； （2）若直线b x y +=上存在点M ，使得2M S =，求b 的取值范围；（3）已知点P ，Q 在x 轴上，R 为线段PQ 上任意．．一点．若线段PQ 上存在一点T ，满足T 在⊙O 内．且R T S S ≥，直接写出满足条件的线段PQ 长度的最大值．石景山区2015-数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为便于阅卷，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．图1 备用图2一、 选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．60； 12．2； 13 14．27120n a π； 15．如11y x=+等；16．(或(（对一个给2分）．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 17.解：02(3)4sin 45cos302π--+︒⋅︒-=21142+ ……………………… …….4分 =34…………..……………….5分 18.解：（1）将()0,3-和()1,8--代入二次函数表达式，得43b c =⎧⎨=-⎩…….1分二次函数表达式为：243y x x =-+-配方得：()221y x =--+ ………………… 3分（2）图象略 ………………5分19.解: 示意图如图所示, …………………1分连接OC∵AB 为⊙O 的直径，且AB CD ⊥于点E ，10=CD∴521==CD CE . ………2分∵ 1=AE ，设⊙O 的半径为r 寸, 则OE 为()1-r 寸 ………….. 3分 在Rt △CEO 中，由勾股定理得()22251+-=r r ………4分解得13=r ，∴ 直径AB 的长为26寸. ………5分A20．解：………………….3分 所有可能的结果：（芝麻，芝麻），（芝麻，豆沙），（豆沙，芝麻），（豆沙，豆沙），（豆沙，芝麻），（豆沙，豆沙）. … ……..4分()21==.63P ∴都是豆沙馅 …………………….5分21．解：过点D 作AC DE ⊥于点E ………….1分∵在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，65cos =A ， ∴设x AC 5=，x AB 6=，由勾股定理得x BC 11= ………2分 ∵113=BC∴3=x ……… 3分 ∵:1:2AD BD =，∴62==x AD ∵Rt △ABC 中 65cos =A ， ∴5=AE ， 勾股定理得11=DE ……… 4分 ∴10=-=EA CA CE∴在Rt △DCE 中，由勾股定理得111=CD .…. 5分 22．解：（1）由题意: 解得6m =∴反比例函数的表达式为6y x=……………1分 （2）当过点A 的直线过第一、二、三象限时，分别过点A 作x AD ⊥轴于点D ，过点1B 作x C B⊥1轴于点C ,豆沙豆沙豆沙芝麻芝麻芝麻豆沙豆沙芝麻爸爸小红开始可得111APD B PC △ ∽△ ∵112AP PB =且()1,6A ∴()12,3B --,()11,0P - …………4分 当过点A 的直线过第一、二、四象限时， 同理可求()23,0P∴P 点坐标为()11,0P - ，()23,0P …5分 四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）23．解： 方案一（1）示意图如图选用工具：测角仪、皮尺.………………..2分（2）①用测角仪测出∠ACE 的角度;②用皮尺测量DB 的长; ③AE =DB tan ∠ACE; ④AB=AE+1.5.……………………………5分 方案二（1）示意图如图.选用工具：长为2米的标杆、皮尺…（2）①把2米的标杆EF 如图放置;②测出在同一时刻标杆EF 和电线杆的影长;③用相似的知识利用AB CBEF DF =求出AB 的值.………………………….5分24．解：每天获得的利润为：(3108)(20)p x x =-+- …… ……………………… 1分231682160x x =-+-23(28)192x =--+ ……………………………… 3分∵202836<<∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大，…… 4分 最大利润是192元. . ……5分C CBD 25．（1） 证明：连结OD .∵DE ∥BO ，∴∠2=∠3，∠1=∠4.∵OD OE =，∴∠3=∠4 . ∴∠1=∠2. ∵OD OC =，∠1=∠2，OB OB =，∴△BDO ≌△BCO ∴BDO BCO ∠=∠ ……….1分 ∵BD 为切线，∴OD ⊥AB ∴90BDO ∠=︒ ∴90BCO ∠=︒.又∵点C 在圆上，∴直线BC 是⊙O 的切线 ..……. 2分 （2）∵∠2=∠3 ，tan ∠DEO，∴tan ∠2.∵t R OBC 在△中，∠C =90°，tan ∠2， ∴可设OC k =，BC =，得OB = …… 3分由切线长定理得BD BC ==，∵DE ∥BO ∴AD AEDB EO =.2k =∴AD = …………4分在Rt △ADO中由勾股定理得：222(2)k k +=+解方程得：1k = ∴OA =3 …………5分26．解：tan 22.51︒ .…………. 2分解决问题：如图过点C 作CD ⊥AB 于点D . ……………….. 3分 Rt △ACD 中，∠A=30°， 设CD =x , 则AC =2x ，AD.∵AC =AB ∴AB =2x ，DB =(2x . ∴tan ∠BCD = tan15°=2BDCD= …………. 5分五、解答题（本题共3道小题，27、28每小题各7分，29题8分，共22分） 27． 解：（1）∵抛物线的对称轴是1=x∴1222=--=-m a b ∴1=m …………. ………...1分∴x x y 22+-=． ………. ………...2分 （2）3>n 或1-<n ． ………. ………...4分 （3） 由题意得抛物线22(12)y x x x =-+-<<关于y 轴对称的抛物线为22(2y x x x =---<当13x y ==-时，；当直线4-=kx y经过点()3,1-时，可得1=k ………..5分 当20x y =-=时，；当直线4-=kx y 经过点()0,2-时，可得2-=k ……..6分 综上所述，k 的取值范围是12≤≤-k ． ………..…..7分 28．（1）①依题意补全图1 (1)② DH=CP ……….…………….. .2分 证明：∵DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线∴∠1=∠2=45°∵PG⊥DE于点P∴∠3=45°∴∠HAD=135°，∠PDC=135°∴∠HAD=∠PDC∵四边形ABCD为正方形∴AD=CD.∵DQ⊥PC，∴∠ADQ+∠CDQ=90°，∠4+∠CDQ=90∴∠ADQ =∠4∠HAD=∠PDC ，∠ADQ =∠4，∴△HAD≌△PDC.∴DH=CP…………….…………….. ...5分（2）求解思路如下：a．与②同理可证∠HGD=∠PDC,∠ADQ =∠4可证△HGD∽△PDC；b．由②可知△GPD为等腰直角三角形，可设PD=PG=x，GD x, AG x易证△AGH为等腰直角三角形2x；c. 由△HGD∽△PDC得21xx=解方程求得PD的长……….7分29．解：（1）0BS=；1CS=；23DS=………………………… 3分（2）如图，当直线y x b=+与以O为圆心3为半径的圆相切于点A时，∠OAC=90°可求直线与x轴交于点B（0，-b），与y轴交于点C（0，b）∴OB=OC∴∠OCA=45°∵AO=3，∴OC=……… 4分b≤≤………6分（3）4 ……………………8分。
石景山区初三数学一模试卷及答案
石景山区初三第一次统一练习暨毕业考试数 学 试 卷考 生 须 知1．本试卷共8页．全卷共五道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．题号 一 二 三 四五 总分 分数第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．-1.5的倒数是 A ．32-B ．23-C ．5.1D ． -3 2．今年财政部公布的最新数据显示，1至2月累计，全国公共财政收入22426亿元，比去年同期增加1508亿元，数字1508用科学记数法表示为A ．410508.1⨯B ．4101508.0⨯C ．21008.15⨯D ．310508.1⨯ 3．无理数6在哪两个整数之间 A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ． 4与5 4．函数1-=x x y 中自变量x 的取值范围是A ．x ≥1B ．1x <且 0≠xC ．1>xD ．x ≥1且 0≠x 5．某班有10名学生参加篮球的“定点投篮”比赛，每人投10次，他们的进球数分别为：6，1，4，2，6，4，8，6，4，6．这组数据的极差和中位数分别是A ．7、5B ．5、5C ．5、4D ． 7、46．如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD ⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB .则∠OCD 的度数为 A ．︒110 B ．︒115 C ．︒120 D ．︒1257．把同一副扑克牌中的红桃6、红桃7、红桃9三张牌背面朝上放在桌子上，从 中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为A ．31 B ．32 C ．21 D ．61 8．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为AB 、AD 的中点， G 为线段CE 上的一个动点，设x CECG=，y S GDF =∆，则y 与x第6题图D AC EB的函数关系图象大致是第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．将二次函数762++=x x y 配方为k h x y +-=2)(形式，则=h ___，=k ________．10．分解因式：3244x x x -+=_______________．11. 如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C.则弧AC 所在圆的半径长为 ；弧AC 的长为 . 12．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n 的代数式表示） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．131274cos3082-⎛⎫+-︒+- ⎪⎝⎭．14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．3(2) 4 1214x x xx --≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩①,②.15.已知：如图，点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD ＝BE . 求证：△ACD ≌△CBE .16．已知：24510x x +-=，求代数式()()()()221122x x x x x +--++-的值.A B C D第11题图17．已知：一次函数3+=x y 与反比例函数3m y x-=(0<x ,m 为常数)的图象交于点A （a ，2）、B 两点．（1）求m 的值和B 点坐标；（2）过A 点作y 轴的平行线，过B 点作x 轴的平行线，这两条直线交于点E ，若反比例函数ky x=的图象与△ABE 有公共点，请直接写出k 的取值范围．18．如图，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D .飞机在A 处时，测得山头D 恰好在飞机的正下方，山头C 在飞机前方，俯角为30°.飞机飞行了6千米到B 处时，往后测得山头C 、D 的俯角分别为60°和30°.已知山头D 的海拔高度为1千米，求山头C 的海拔高度. （精确到0.01 1.732≈）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△DBC 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长.20．如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =1，ED =2. (1)求证：∠ABC =∠ADB ；| (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接F A ，试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由．DCBABACD21．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制成的统计表和统计图的一部分.电话用户包括固定电话用户和移动电话用户两种.-全国电话用户到达数和净增数统计表年份全国电话用户到达数（单位：万户）98160 106095 115335 127135 139031净增数（单位：万户）6866 7935 9240 a11896请根据以上信息，解答下列问题（注意：所求数据均保留整数）：（1）统计表中的数据a的值为_________；（2）通过计算补全条形统计图并注明相应数据；（3），全国移动电话用户净增约12591万户，求该年固定电话用户减少了多少万户. wwW .2008-2012年全国移动电话用户统计图2008-2012年全国移动电话用户占电话用户的百分比22．问题解决：已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作ABCA⊥于点A，ABEB⊥于点B，联结CD、DE.（1）请问：点D满足什么条件时，DECD+的值最小？（2）若8=AB，4=AC，2=BE，设xAD=.用含x的代数式表示DECD+的长（直接写出结果）.拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式()22144x x++-+的最小值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 如图，直线33y x=-+交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线1C交轴于另一点M（-3,0）.(1)求抛物线1C的解析式；(2)直接写出抛物线1C关于y轴的对称图形2C的解析式；(3)如果点'A是点A关于原点的对称点，点D是图形2C的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△'A BO是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由. wwW .24．如图，△ABC中，∠90ACB=︒,2=AC，以AC为边向右侧作等边三角形ACD．（1）如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转︒60，得到线段1AB，联结1DB，则与1DB长度相等的线段为（直接写出结论）；（2）如图24-2，若P是线段BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转︒60得到点Q,求ADQ∠的度数；（3）画图并探究：若P是直线BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋x y xA BCDEODA yC x B (E ) FJ转 60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．25．如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ，''C D 与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合).（1）求直线AD 的函数解析式；（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN 为边，在''E D 的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．石景山区初三第一次统一练习暨毕业考试 数学参考答案阅卷须知：备用图备用图DAC EB1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）w W w.9． 32--，；10．()22-x x ； 11． ； 12．13， 262n n -+．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13-114cos302⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭=242-- ……………………………4分=3 …………………………………………………5分14.解：解不等式①， 1≥x …………………………………………2分解不等式②， 23<x ……………………………………………4分原不等式组的解集为231<≤x ，在数轴上表示为：……5分15．证明：∵C 是AB 的中点∴CB AC = …………………………… 1分 又∵CD ∥BE∴B ACD ∠=∠…………………………… 2分 在△ACD 和△CBE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE CD B ACD CB AC …………………………… 4分 ∴△ACD ≌△CBE …………………………………………………… 5分16．解：原式4144222-++-++=x x x x x …………………………………2分2453x x =+- ………………………… 3分当01542=-+x x 时，1542=+x x …………………………… 4分 原式132=-=-．………………………………5分17．解：(1)∵一次函数3+=x y 与反比例函数xm y 3-=（0<x ） (m 为常数)的图象交于点A （a ，2）、B 两点 ∴ 3223a a m +=⎧⎨=-⎩解得11a m =-⎧⎨=⎩ …………………………………2分∴反比例函数3m y x -=（0<x ）的解析式为2y x =- 由题意解23y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得1112x y =-⎧⎨=⎩，2221x y =-⎧⎨=⎩………………………………3分 ∵A （1-，2），∴B （2-，1） ………………………………4分(2)914k -≤≤- ………………………………5分18．解：在Rt △ABD 中，∵∠ ABD = 30°，∴AD = AB ·tan30° = 6 × 33 = 23．……………1分∵∠ABC = 60°，∠BAC = 30°，∴∠ACB = 90°， …………………………………2分 ∴AC = AB ·cos30° = 6 ×32= 33．……………3分 过点C 作CE ⊥AD 于点E ， 则∠CAE = 60°，AE = AC ·cos60°=2.……………4分 ∴DE = AD − AE = 2 3 −332 = 32 w W w. ∴山头C 的海拔高度为1+32≈1.87千米. …………5分19. 解：过点A 作BD AE ⊥于点E (1)分∵AD DC ⊥∴︒=∠90ADC∵△DBC 是等边三角形 ∴︒=∠60BDC∴︒=∠30ADB ………………… 2分 在Rt △AED 中，2=AD∴121==AD AE由勾股定理得：3=DE ………………………………3分 在Rt △AEB 中，︒=∠45ABD ∴1==AE BE ∴2=AB ………………………………4分ABCDEBACDE∴31+=BD∴31+===BD BC DC即四边形ABCD 的周长为3224++.20． (1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ， 又∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠ADB . …………1分(2) ∵∠ABC =∠ADB 又∵∠BAE =∠DAB ， ∴△ABE ∽△ADB ， …………………………2分 ∴AB AEAD AB=， ∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(1＋2)×1=3，∴AB 3分 (3) 直线F A 与⊙O 相切，理由如下：联结OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∴BD 4分BF =BO =12BD∵AB BF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，∴直线F A 与⊙O 相切．………………………………………5分21.解：（1）11800； …………………… 1分（2）1112258.11122480%139031≈=⨯ …………………2分图略 …………………4分 （3）69511896-12591= …………………………5分22. 解：（1）当点D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小………1分(2) CD DE +=……………………2分(3)如图，令4=AB ，1=AC ，2=BE ，设x AD =，则x BD -=4,CD DE + = ……………………3分∵D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小 ∴CE 的最小值.过点E 作AB 的平行线交CA 的延长线于点F∵AB CA ⊥于A ，AB EB ⊥于B .∴AF ∥BE∴四边形AFEB 是矩形 ……………………4分∴2AF BE ==,4EF AB ==在Rt △CFE 中，90F ∠=︒, 3CF =……………5分F EDCBA23．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交轴于A 点，交轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分（3）'A 点的坐标为（-1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+，wwW . ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分 ②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分24.解：(1) BC …………………………… 1分 （2由作图知AQ AP =，∠︒=06PAQ ∵△ACD 是等边三角形．∴AD AC =,PAQ CAD ∠=︒=∠06 ∴QAD PAC ∠=∠ 在△PAC 和△QAD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AC QAD PAC AQ AP ∴△PAC ≌△QAD∴︒=∠=∠90ACP ADQ …………………………… 3分 （3）如图3，同①可证△PAC ≌△QAD ，︒=∠=∠90ACP ADQx y当AD ∥CQ 时，︒=∠-︒=∠90180ADQ CQD∵︒=∠60ADC∴︒=∠30QDC∵2==AC CD | ∴31==DQ CQ ， ∴3==DQ PC 且AD CQ ≠…………………………… 5分∴此时四边形ACQD 是梯形．如图4，同理可证△PAC ≌△QAD ,︒=∠=∠90ACP ADQ当AQ ∥CD 时，︒=∠=∠60ADC QAD ,︒=∠30AQD∵2==AC AD∴4AQ DQ ==，∴PC DQ ==此时DQ 与AC 不平行，四边形ACDQ 是梯形．综上所述，这样的点P 有两个，分别在C 点两侧，当P 点在C 点左侧时，3=PC ；当P 点在C 点右侧时，PC =…………………………… 7分25.解：（1）由题意A (2.0) …………………………………………………………………1分由D (4,2),可得直线AD 解析式：2-=x y …………………………………………………2分 由B (0，4)，可得直线AB 解析式：42+-=x y ，直线BD 解析式：421+-=x y ，J （21，）. （2）在△ECD 平移t 秒时，由∠CDF =45°， 可得D’（t t --24，），N （t 2340-，） 设直线E’D’解析式为：13422y x t =-+- 可得M (t t 24,-)，…………………………………………………3分Q （t t -+222，），P （t -20，）由△MQ D’∽△BJD ,得2)3233't S S BJD MQD -=∆∆（，可得 S △MQD ’ 2)211(3t -=…………………………………………………4分 S 梯形E’C’ PN t t t t 241)2122(212+-=-+=………………………………………5分 23)1(2112122+--=++-=t t t ∴当1=t 时,S 最大=23…………………………………………………6分 （3）当点H 在x 轴上时，有M (t t 24,-)横纵坐标相等 即t t 24-=∴34=t ∴340<<t .…………………………………………………8分|。
2015年北京市石景山区中考数学一模试卷和答案
2015年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣3的绝对值等于（）A．3 B．C．D．﹣32．（3分）2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104 D．6.310×1043．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．104．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是（）A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，476．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．7．（3分）某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4 C．2 D．69．（3分）某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元 B．10元C．12.5元D．15元10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点O以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S 与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x=．12．（3分）二次根式有意义的条件是．13．（3分）已知点A（4，6）与B（3，n）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则n=．14．（3分）如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为．15．（3分）2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）﹣260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为元．16．（3分）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy中，棋子从点（0，0）出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位…依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AE=AC，AD=BC，FA=FC．求证：∠B=∠D．18．（5分）计算：（π﹣1）0﹣+2cos30°+（）﹣1．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2﹣6x﹣1=0，求代数式（x+2）2﹣2x（x﹣1）的值．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．（5分）列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．24．（5分）为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：2014﹣2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？A．没有参加过公益活动B．参加过一次公益活动C．参加过二次至四次公益活动D．参加过五次或五次以上公益活动以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．请回答以下问题：（1）此次调查对象共人，扇形统计图中m的值为；（2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有人．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE=EF；（2）如果sinF=，EF=，求AB的长．26．（5分）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD的长为．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD 的长．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．28．（7分）在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x=﹣1的“理想矩形”，则点D的坐标为；（2）若点A（3，4），求直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；（3）若点A（1，﹣3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为，此时点D 的坐标为．2015年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣3的绝对值等于（）A．3 B．C．D．﹣3【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：|﹣3|=3．故选：A．2．（3分）2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104 D．6.310×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将6310用科学记数法表示为6.31×103．故选：A．3．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵360÷40=9，∴这个多边形的边数是9．故选：C．4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环，故选：D．5．（3分）某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是（）A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，47【分析】根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第13个数解答即可．【解答】解：47出现的次数最多，出现了7次，所以众数为47，按从小到大的顺序排列，第13个数是47，所以中位数为47，故选：B．6．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．7．（3分）某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是（）A．B．C．D．【分析】由某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．∴从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是：=．故选：D．8．（3分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4 C．2 D．6【分析】连接OB，由垂径定理可知，AB=2BD，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt△DOB中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB，∴AD=BD，即AB=2BD，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1，∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选：C．9．（3分）某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元 B．10元C．12.5元D．15元【分析】由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，所以降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，则降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．【解答】解：∵由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，∴降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，∴降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．故选：B．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点O以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S 与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．【分析】根据图象计算0秒、2秒、6秒的时候，矩形在第二象限内的面积为S，即可分析出矩形OABC的初始位置．【解答】解：由图象可以看出在0秒时，S=0，在2秒时，S=，在6秒时，S=；由题意知，矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转，6秒逆时针旋转90°，S=，不难发现B和D都符合，但在2秒时，S=，即矩形OABC绕原点0逆时针旋转30°时，S=，则只有D符合条件．故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．12．（3分）二次根式有意义的条件是x≤．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴1﹣2x≥0，解得x≤．故答案为：x≤．13．（3分）已知点A（4，6）与B（3，n）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则n=8．【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入解析式即可求得n的值．【解答】解：把A（4，6）代入y=得，6=，解得k=24，∴反比例函数y=，∵B（3，n）都在反比例函数y=的图象上，∴n==8．故答案为8．14．（3分）如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC．【分析】由于△ABD和△ACB有一个公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，所以当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB．【解答】解：∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC时，△ABD∽△ACB．故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC．15．（3分）2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）﹣260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为1320元．【分析】根据题中的阶梯水价，计算出应缴纳的水费即可．【解答】解：根据题意得：180×5+（240﹣180）×7=900+420=1320（元），则应缴纳的水费为1320元，故答案为：132016．（3分）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy中，棋子从点（0，0）出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位…依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为（2，9）；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为（33，100）．【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向上3个单位，向右1个单位，用8和100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向上3个单位，向右1个单位，8÷3=2…2，100÷3=33…1，（1）当走完第8步时，为第3个循环组的第2步，所处位置的横坐标为1×2=2，纵坐标为3×9=9，棋子所处位置的坐标为（2，9）；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×1=33，纵坐标为33×3+1=100，棋子所处位置的坐标是（33，100）．故答案为：（2，9）；（33，100）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AE=AC，AD=BC，FA=FC．求证：∠B=∠D．【分析】根据三角形全等得到对应角相等即可得出结论．【解答】证明：∵FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，在△ABC和△EDA中，，∴△ABC≌△EDA，∴∠B=∠D．18．（5分）计算：（π﹣1）0﹣+2cos30°+（）﹣1．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣3+2×+2=1﹣3++2=3﹣2．19．（5分）解不等式组：．【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求其公共解集即可．【解答】解：由①得x≥﹣2；由②得x＜4；∴不等式组的解集为﹣2≤x＜4．20．（5分）已知x2﹣6x﹣1=0，求代数式（x+2）2﹣2x（x﹣1）的值．【分析】由x2﹣6x﹣1=0，得出x2﹣6x=1，进一步化简代数式，整体代入求得答案即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣1=0，∴x2﹣6x=1，∴（x+2）2﹣2x（x﹣1）=x2+4x+4﹣2x2+2x=﹣x2+6x+4=﹣（x2﹣6x）+4=﹣1+4=3．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根可得△=（﹣2）2﹣4（3﹣m）≥0，求出m的取值范围即可；（2）找出符合条件的m的最小整数，然后解一元二次方程即可．【解答】解：（1）由题意得△≥0，∴（﹣2）2﹣4（3﹣m）≥0，∴m≥2；（2）∵由（1）知道m≥2，m为符合条件的最小整数，∴m=2，∴当m=2时，原方程为x2﹣2x+1=0，∴解方程得x1=x2=1．22．（5分）列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．【分析】首先设小丁的速度是x千米/小时，则小辰的速度是3x千米/小时，根据的题意可得等量关系：小丁所用时间﹣小辰所用时间=16分钟，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设小丁的速度是x千米/小时，则小辰的速度是3x千米/小时．根据题意，得﹣=，解得x=5经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意．所以3x=15．答：小丁的速度是5千米/小时，小辰的速度是15千米/小时．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．24．（5分）为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：2014﹣2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？A．没有参加过公益活动B．参加过一次公益活动C．参加过二次至四次公益活动D．参加过五次或五次以上公益活动以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．请回答以下问题：（1）此次调查对象共200人，扇形统计图中m的值为13；（2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有8700人．【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比即可求出总人数，再用D的人数除以总人数即可求出m的值；（2）用总人数减去A、B、D的人数求出C的人数，从而补全统计图；（3）用该市的总人数乘以这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）此次调查对象的人数是：=200（人），D所占的百分比是：=13%，扇形统计图中m的值为13；故答案为：13；（2）C的人数是：200﹣10﹣74﹣26=90（人），补图如下：（3）∵该市某大学有学生15000人，∴这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有15000×=8700（人）．故答案为：8700．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE=EF；（2）如果sinF=，EF=，求AB的长．【分析】（1）连结OC，由CE为⊙O的切线，得到OC⊥CE，又因为FD⊥AB，推出∠3=∠F，得到结论CE=EF；（2）根据三角函数，设出AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，连结CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB=∠FCB=90°，推出∠F=∠B，再根据边角关系得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠2+∠3=90°，∵FD⊥AB，∴∠F+∠1=90°，又∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠3=∠F，∴CE=EF；（2）解：如图2∵FD⊥AB，sin∠F=，设AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，∵D为OB中点∴DB=k，连结CB交FD于点G，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=∠FCB=90°，∴∠F=∠B，∵DB=k，∴GD=k，可得FG=k，∵∠FCB=90°，∴∠5+∠F=∠3+∠4，∵∠F=∠3，∴∠4=∠5，∴CE=EF=EG，∵EF=，∴FG=5，∴=5，∴k=，∴AB=．26．（5分）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD的长为6．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD 的长．【分析】（1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；（2）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=，得出=，求出x=3，那么BC=3，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．【解答】解：（1）延长AB与DC相交于点E，在△ADE中，∵∠A=90°，∠D=60°，∴∠E=30°．在Rt△BEC中，∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=，∴BE=2BC=2，∴AE=AB+BE=4+2=6．在Rt△ADE中，∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6，∴AD=AE•tan∠E=6×=6．故答案为6；（2）如图，延长AB与DC相交于点E．∵∠ABC=∠BCD=135°，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，∠E=90°，∵tanA=，∴=，即=，∴x=3．经检验x=3是所列方程的解，且符合题意，∴BC=3，AE=12，DE=6，∴AD===6．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值；（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】解：（1）将A（3，0）代入，得m=1．∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3．B点的坐标（﹣1，0）．（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∵当﹣2＜x＜1时，y随x增大而减小；当1≤x＜3时，y随x增大而增大，∴当x=1，y=﹣4．最小当x=﹣2，y=5．∴y的取值范围是﹣4≤y＜5．（3）当直线y=kx+b经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y=x+．当直线y=kx+b经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，解析式为y=x﹣．结合图象可得，b的取值范围是﹣＜b＜．28．（7分）在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【分析】（1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F作FG⊥CA于点G，求出四边形HFGA为矩形．推出FH=AG，FG∥AB 求出∠GFC=∠EBC，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS推出△FGC≌△CDF，推出CG=FD即可；（3）过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，求出四边形ACGH为矩形．推出AC=GH，CG∥AB，证△FGC≌△CDF，根据全等三角形的性质得出FG=FD，即可得出答案．【解答】解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA，证明：过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x=﹣1的“理想矩形”，则点D的坐标为（﹣1，0）；（2）若点A（3，4），求直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；（3）若点A（1，﹣3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为5，此时点D的坐标为（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．【分析】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（3，4）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形”ABCD面积；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=10﹣2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，点D的坐标为（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．∵点A的坐标为（3，4），∴AC=AO==5，AF=3，OF=4．∵点A（3，4）在直线y=kx+1上，∴3k+1=4，解得k=1．设直线y=x+1与y轴相交于点G，当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，∴FG=4﹣1=3=AF，∴∠FGA=45°，AG==3．在Rt△GAB中，AB=A G•tan45°=3．在Rt△ABC中，BC===．∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC=3；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．∵（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=10﹣2xy≥0，∴xy≤5．当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形．①当点D在第四象限时，如图3，过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，易证RtAMB≌Rt△DNA，则有AN=BM=2，DN=AM=1，∴点D的坐标为（1+2，﹣3+1）即（3，﹣2）．②当点D在第三象限时，如图4，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，易证RtANB≌Rt△DMA，则有DM=AN=1，AM=BN=2，∴点D的坐标为（1﹣2，﹣3+1）即（﹣1，﹣2）．故答案分别为：5、（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015年北京市初三数学一模试题分类(阅读材料)
类型一：添加辅助线，构造全等或相似推理证明1.（朝阳一模26）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．2.（门头沟毕业考试26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，CD 平分∠ACB ，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系．小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC 上截取CA ′=CA ，连接DA ′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．A'DDCB CBAA图1 图2请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；（2）BC 和AC 、AD 之间的数量关系是 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AC =17，AD =9． 求AB 的长．图1图2图3图3DCBA3.（燕山毕业考试26）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．4.（怀柔一模26）阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠A CB，AD=2.2，AC=3.6求BC的长.小聪思考：因为CD平分∠A CB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）.请回答：（1）△BDE是_________三角形.（2）BC的长为__________.参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=AC, ∠A=20°，BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD的长.图1 AB D CAB D C图2图3EABPCEDCBAB C类型二：添加辅助线，构造特殊四边形，利用解直等方法推理证明.5.（海淀一模26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2图3请回答：BC+DE的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．类型三：一般四边形的解法，添加辅助线，构造直角三角形进行解直.6.（石景山一模26）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，︒=∠=∠90CA，︒=∠60D，34=AB，3=BC，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD的长为．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，21tan=A，︒=∠=∠135CB，9=AB，3=CD，求BC和AD的长．图3图1图2E类型四：利用全等三角形的判定方法画图，构造全等三角形，对SSA是否全等推理验证.7.（平谷一模26）阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ．小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1， 在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF ． 第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．类型五：利用圆周角的性质画圆，根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质进行推理证明.8.（房山一模26）阅读材料小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠AFE =∠ACB . 小明是这样思考问题的：如图2，以BC 为直径做半⊙O ，则点F 、E 在⊙O 上，∠BFE +∠BCE =180°，所以∠AFE =∠ACB .请回答：若∠ABC =40，则∠AEF 的度数是 . 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠BDF =∠CDE .图2图1图3图1 图2 图3BAC类型六：利用特殊四边形的性质，构造全等或相似推理证明.9.（东城一模26）阅读材料在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AF BE的值.A图1 图2类型七：利用等边三角形性质，构造全等，利用割补法求一般图形的面积.10.（延庆毕业考试26） 阅读下面资料： 问题情境：（1）如图1，等边△ABC ，∠CAB 和∠CBA 的平分线交于点O ，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O 重合，已知OA =2，则图中重叠部分△OAB 的面积是 ． 探究：（2）在（1）的条件下，将纸片绕O 点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB ，AC 交于点E ，F ，求图2中重叠部分的面积．（3）如图3，若∠ABC =α（0°＜α＜90°），点O 在∠ABC 的角平分线上，且BO =2，以O 为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC 的两边AB ，AC 分别交于点E 、F ，∠EOF =180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）类型八：利用网格，构造直角三角形，进行解直.11.（西城一模26）阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.类型九：利用特殊四边形及相似的性质求解.12.（通州一模26）阅读材料（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ． 操作：（1）延长BC ． （2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ． （3）过点D 作DQ//AB ．（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ． （5）连结BG ．结论：ABAG= ． 图1图2图3（2）如图②，△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =36°，进行如下操作：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α度角，并使各边长变为原来的n 倍（n >1），得到△''AB C . 当点B 、C 、'B 在同一条直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形时（如图③），求α和n的值．类型十：通过拼图，利用等面积法推理证明勾股定理公式.13.（丰台一模26）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍 的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ,b ， 斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形.由图1可以得到22142a b ab c +=⨯+（）， 整理，得22222a ab b ab c ++=+． 所以222a b c +=．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ， 整理，得 ， 所以 .图1图 2a图① 图② 图③。
2015北京各城区初三一模试卷汇总之几何综合
1. △ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．（1）如图1，如果90BAC∠=︒，那么AHB∠=︒，AFBE=；（2）如图2，如果60BAC∠=︒，猜想AHB∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论；（3）如果BACα∠=，那么AFBE=．（用含α的表达式表示）2．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：.（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1 图2 图3ABCE FQQFE CBAP 3．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？4. 已知，点P 是△ABC 边AB 上一动点（不与A ，B 重合）分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.图1图2图1图25．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．6．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．EDC B AEDCBA图1图2AB H CABHCED7．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ； （3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．8．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ．（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．图1 图2 图3DBFE DAB E DAB C C CP AE图2 图3 图1AC9. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.10．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE .（1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1 图211、在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G. （1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值； （2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）12、在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.图1图2图3ABCPABCP13、在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'AC 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．14.已知：如图，在四边形ABCD 中 ，AD ∥BC ，∠ABC=90°.点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在四边形对角线BD 上的点G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F. （1）点E 可以是AD 的中点吗？请说明理由； （2）求证△ABG ∽△BFE ；（3）设AD=a ，AB=b ，BC=c.当四边形EFCD 为平行四边形时，求a ，b ，c 应满足的关系.15．如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB =∠ABC ． （1）如图1，若∠BAC =60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA =2，求PB 的长； （2）如图2，若∠BAC =60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC =120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．G FEDCBA图3图1图2ABCPABC PABC P。
2015年北京市初三数学一模试题分类(11-16填空题)
2015初三数学一模题分类——填空题因式分解(通州）11．分解因式：2a2－4a+2＝________________．（朝阳）12．分解因式：= ．（西城）13．分解因式：= ．（门头沟）13．分解因式：．（平谷）11．分解因式：= ．（东城）11．分解因式：．（房山）11. 分解因式：＝________________.（延庆）11．分解因式：．（燕山）12．分解因式：＝（海淀）11、解因式：___________（丰台）11、分解因式：2mx2－4mx＋2m= ．（石景山）11、分解因式：=_______________．数与式（门头沟）11．5的算术平方根是．(通州）12．使得分式有意义的的取值范围是 . （朝阳）11．若分式有意义，则x的取值范围是．（西城）11有意义，那么x的取值范围是．（门头沟）12．当分式的值为0时，x的值为．（东城）12．计算的结果为．（燕山）11．若代数式有意义，则x的取值范围是．（房山）12.把代数式x2-4x+1化成 (x-h)2+k的形式，其结果是_____________．（延庆）12．若分式的值为0，则x的值等于_________（石景山）12、二次根式有意义的条件是．（怀柔）11、函数y=中自变量x的取值范围是_________________方程（东城）13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．三角形（西城）14．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，当时，△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）（门头沟）15．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5” ，你认为小明回答是否正确：，理由是．（平谷）16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．（延庆）15. 学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：________，你的理由是_______________________________________（海淀）14、如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若，，，则的长为__________．相似(通州）13．燃灯佛舍利塔(简称燃灯塔)是通州八景之一，该塔始建于南北朝北周宇文时期，距今已有1300多年历史.燃灯塔距运河300 米，是通州的象征.某同学想利用相似三角形的有关知识来求燃灯塔的高度.他先测量出燃灯塔落在地面上的影长为12米，然后在同一（西城）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m，OC=0.5 m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB 换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得到h1与h2的大小关系是：h1 h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）．（门头沟）14．如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=米．（东城）15．已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．（燕山）13．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为cm．（房山）16.如图,在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点（0，2）在y轴上，点，，，，，，在x轴上，的坐标是（1，0）,∥∥．则点A1到x轴的距离是________________，点A2到x轴的距离是________________，点A3到x轴的距离是________________．（丰台）15、如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC=50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm.（石景山）14、如图，△中，是边上一点，连接．要使△∽△，需要补充的一个条件为．函数（朝阳）14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是．(通州）14．生物学研究表明在8—17岁期间，男女生身高增长速度规律呈现如下图所示，请你观察此图，回答下列问题：男生身高增长速度的巅峰期是岁，在岁时男生女生的身高增长速度是一样的.（平谷）13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为米．（平谷）14．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数的表达式为．（平谷）15．在学习二次函数的图象时，小米通过向上（或向下）平移y=ax2的图象，得到y=ax2+c的图象；向左（或向右）平移y=ax2的图象，得到y=a(x﹣h)2的图象．小米经过探究发现一次函数的图象也应该具有类似的性质．请你思考小米的探究，直接写出一次函数y=2x+3的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为．（房山）13.请写出一个随的增大而增大的反比例函数的表达式: ________________（延庆）14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________ ．（燕山）14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当>0时，随的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：＝（海淀）12、写出一个函数（），使它的图象与反比例函数的图象有公共点，这个函数的解析式为___________（丰台）14、请写出一个图象经过点（），并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而增大的函数的表达式：．（石景山）13、已知点与都在反比例函数的图象上，则．(怀柔) 12、请写出一个过一、三象限的反比例函数的表达式_________________．圆（朝阳）13．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，则∠CDB的度数为．(通州）15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于．（西城）12．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm2．（丰台）13、如图左上，A，B，C三点都在⊙O上，如果∠AOB＝80°，那么∠ACB= °（延庆）13．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为．应用题（朝阳）15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是（填“一类、二类、三类”中的一个）．（平谷）12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），（东城）14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费元.（燕山）15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费元．（房山）15.随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用.新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价.具体来说：另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠.小明用学生卡乘车，上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么，小明乘车的费用是________________元.（丰台）16、右图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则的大小关系是．(用“＞”、“＜”或“=”连接)（石景山）15、2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）—260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为元．（怀柔）16、2014年5月1日开始，北京市开始实施居民用水阶梯水价.具体方案如下：户年用水量180立方米（含）内，每立方米5元；181立方米至260立方米（含）内，每立方米7元；260立方米以上，每立方米9元.阶梯水价以日历年（每年1月1日到12月31日）为周期计算.小王家2014年4月30日抄表示数550立方米，5月1日起实施阶梯水价，6月抄表时因用户家中无人未见表，8月12日抄表示数706立方米，那么小王家本期用水量为立方米，本期用水天数104天，日均用水量为立方米. 如果按这样每日用水量计算，小李家今后每年的水费将达到元（一年按365天计算）.统计与概率（房山）14.甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是________________（海淀）13、某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为．（结果精确到0.1）（丰台）12、某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是小时．寻找规律（朝阳）16．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第个式子是（用含的式子表示，为正整数）．（西城）16．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是，如果点与原点的距离不小于20，那么的最小值是．（门头沟）16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x2－2x图象位于x轴上方的部分记作F1 ，与x轴交于点P1 和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；…．这样依次得到F1，F2，F3，…，F n，则其中F1的顶点坐标为， F8的顶点坐标为，F n的顶点坐标为（n为正整数，用含n的代数式表示）．（东城）16．在平面直角坐标系中，记直线为.点是直线与轴的交点，以边做正方形,使点落在在轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形,使点落在在轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点的坐标是，点的坐标是(通州）16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形是正方形，点的坐标为（1，1）. 是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧,是以点为圆心，为半径的圆弧,是以点为圆心，为半径的圆弧,继续以点、、、为圆心按上述做法得到的曲线……称为“正方形的渐开线”，那么点的坐标是，点的坐标是 .（延庆）16. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图16-1．在图16-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图16-1所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是________；连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的点数是________．（燕山）16．定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为＝．记，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则＝；＝．（石景山）16．小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系中，棋子从点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．四边形（海淀）15、在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意的观点，理由是新定义（海淀）16、若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 .（怀柔）15、当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为__________．观察图形：（怀柔）13、下面有五个图形，与其它图形众不同的是第个.。
北京市各城区中考一模数学——几何综合题汇总
2015年北京市各城区中考一模数学——几何综合题汇总（2015石景山一模）28．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'A C 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明；②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．（2015朝阳一模）28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.EABCHFEC ABD lAC 图1 图2 备用图图1 图2BA C （2015燕山一模）28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．（2015东城一模）28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.图1图2AB H CABHCED图1 图2 图3（2015房山一模）28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？（2015海淀一模）28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ．（1）依题意补全图形；EDC BAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．图1 图2 图3图1 图2 图3（2015门头沟一模）28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ．（1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ． （2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．DBFE DAB E DAB C C CP AE图1 图2 图3（2015通州一模）28．在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ． （1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =EF . （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．A BCE FQ Q FE CBAP （2015西城一模）28．△ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AFBE= ．（用含α的表达式表示）（2015延庆一模）28. 已知，点P 是△ABC 边AB 上一动点（不与A ，B 重合）分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.图1图2（2015怀柔一模）28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.（2015平谷一模）28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．AB CPABCP图图3图1（2015丰台一模）28．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=1 2∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.（1）如果∠ACB=90°，①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图2，当点P不与点A重合时，求CFPE的值；（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a的式子表示）（2015顺义一模）28．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．图3图1图2ACPABPAB CP图1 图2 图3。
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石景山区2014—2015学年初三统一练习暨毕业考试数 学 试 卷学校 班级 姓名一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的绝对值是 A ．3B ．31 C ．31- D ．3-2．2015年3-1月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为A ．3103106.⨯B ．21010.36⨯C ．4100.6310⨯D ．410310.6⨯3．若一个正多边形的每一个外角都是︒40，则这个多边形的边数为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．104．右图所示的几何体的俯视图是A B C D5．某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：成绩（次） 43 45 46 47 48 49 51 人数2357422则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是 A ．47，46 B ．47，47 C ．45，48 D ．51，4767．某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是 “20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是 A ．101 B ．21 C ．52D ．518．如图，A ，B ，E 为⊙O 上的点，⊙O 的半径AB OC ⊥ 于点D ，若︒=∠30CEB ，1=OD ，则AB 的长为 A ．3B ．4C ．32D ．69．某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y （元）与销售量x （件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的D O CAB EA B C D价格为A ．5元B ．10元C ．5.12元D ．15元10．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，且A ，C 在坐标轴上，满足OA =1OC =．将矩形OABC 绕原点O 以每秒15︒的速度逆时针旋转．设运动时间为t 秒()06t ≤≤，旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如右图所示，则矩形OABC 的初始位置是A B C D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：x x 93-=_______________．12．二次根式x 21-有意义的条件是 ． 13． 已知点(4,6)A 与(3,)B n 都在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则=n ．14．如图，△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．要使△ABD ∽△ACB ，需要补充的一个条件为 ．CDBA15．2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）—260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为 元．16．小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy 中，棋子从点()0,0 出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________； （2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AE 交于点F ，AC AE =，BC AD =，FA FC =．求证：D B ∠=∠．18．计算()12130cos 2271-+︒+--）（π． E DCBAF19．解不等式组：1,2263 2.x x x x ⎧+≥⎪⎨⎪+>+⎩20．已知0162=--x x ，求代数式()()1222--+x x x 的值.21．已知关于x 的一元二次方程0322=-+-m x x 有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AF AE =，连接EF 并延长，交CB 的延长线于点G ，连接BD ． （1）求证：四边形EGBD 是平行四边形； （2）连接AG ，若︒=∠30FGB ，1==AE GB ，求AG 的长．CDB AGFEm %A37%D C B24．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动统计图2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动分布统计图请回答以下问题：（1）此次调查对象共______人，扇形统计图中m 的值为__________ ； （2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014—2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有____人．2014—2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？ A ．没有参加过公益活动 B ．参加过一次公益活动 C ．参加过二次至四次公益活动 D ．参加过五次或五次以上公益活动25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D是OB 中点，过点D 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ．过点C 作⊙O 的切线交FD 于点E ． （1）求证：CE EF =； （2）如果3sin 5F =，25=EF ，求AB 的长．26．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt△ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，21tan =A ，︒=∠=∠135CB ， 9=AB ，3=CD ，求BC 和AD 的长．图1图2E五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围； （3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．图328．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'A C 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明；②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABCD 为直线l（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-坐标为 ；（2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标为 ．石景山区2014—2015学年初三统一练习暨毕业考试答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）11．()()33-+x x x ；12．21≤x ；13．8； 14．答案不唯一，如C ABD ∠=∠等； 15．1320； 16．()2,9；()33,100．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 证明：FC FA = ，FCA FAC ∠=∠∴． …………1分 在△ABC 和△EDA 中，,,,BC DA ACB EAD AC EA =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠ ∴△ABC ≌△EDA . …………………………4分 D B ∠=∠∴. ……………………5分18．解： ()12130cos 2271-+︒+--）（π =2232331+⨯+- …………………………………4分 =323-． ………………………………5分 19. 解： 解不等式21xx ≥+，得 2-≥x ． ………………………………………2分解不等式2362+>+x x ，得4<x ． …………………………………4分∴不等式组的解集为 42<≤-x ． ……………………5分 20．解：原式=x x x x 224422+-++ ……………………………2分 =462++-x x ． ……………………………3分 0162=--x x162=-∴x x ． ……………………………………… 4分∴原式=()264x x --+143.=-+=21．解：（1）由题意：0∆≥ ， ………………………………………1分 即：()4430m --≥．解得 2m ≥． ………………………………………3分（2）当2m =时，原方程为2210x x -+=，解得121x x ==． …………………………………5分 22．解：设小丁的速度是x 千米/小时，则小辰的速度是3x 千米/小时.根据题意，得2216360x x -=． …………………………… 3分 解得5x =. ………………………………………… 4分 经检验，5x =是所列方程的解，且符合题意.所以315x =. 答：小丁的速度是5千米/小时，小辰的速度是15千米/小时.………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：连接AC (图略)∵ 四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分DAB ∠，且BD AC ⊥. ……………1分 AE AF = ，EF AC ⊥∴，BD EG //∴. 又∵ 菱形ABCD 中，BG ED //，………………………………………………5分∴ 四边形EGBD 是平行四边形.……2分（2）解： 过点A 作AH BC ⊥于H . ∵30FGB ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，∴ 260ABH DBC ∠=∠=︒ ∵1GB AE ==可求2AB AD ==…… 3分在Rt △ABH 中，90AHB ∠=︒∴1AH BH ==.∴ 2GH =………………………………… 4分 在Rt △AGH 中， 勾股定理得，AH =. ……………5分24．（1）200 ；13. ……………………………………………………2分 （2）（图略）90. ………………………………………………………3分 （3）200-8415000=8700200⨯.………………………………………… 5分 25．（1）证明：连结OC ．∵CE 为切线，∴OC ⊥CE . ∴2390∠+∠=°.∵FD AB ⊥，∴190F ∠+∠=°． 又∵OC =OA ，∴12∠=∠. ∴3F ∠=∠.∴CE EF =.………………………………………..2分（2）∵FD AB ⊥，3sin 5F =，设3AD k =，5AF k =，可得4FD k =．A BDCHG F E∵D 为OB 中点，∴DB k =． 连结CB 交FD 于点G ．∵AB 为⊙O 直径，∴90ACB FCB ∠=∠=°． ∴F B ∠=∠． ∵DB k =， ∴34GD k =，可得134FG k =．………………...3分 ∵90FCB ∠=°，∴534F ∠+∠=∠+∠． ∵3F ∠=∠，∴45∠=∠．∴CE EF EG ==． …… ……..……………………………. …..4分∵25=EF ，∴5=FG ． ∴5413=K ，1320=k ．∴1380=AB ．……………………. …….5分26．解：AD 的长为6． ………………………………...1分解决问题：如图，延长AB 与DC 相交于点E ． ∵135ABC BCD ∠=∠=︒， ∴︒=∠=∠45ECB EBC ．∴CE BE =，︒=∠90E ． …………………. ………………….2分 设x CE BE ==，则x BC 2=，x AE +=9，3DE x =+．在Rt△ADE 中，︒=∠90E ，∵21tan =A ， ∴21=AE DE ． 即2193=++x x ．……………. .3分 ∴3=x ．经检验3=x 是所列方程的解，且符合题意．∴23=BC ，12=AE ，6=DE ． ……………. ………..4分 ∴56=AD ． ……………………………………………… ...5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-． ………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小； 当13x ≤<时，y 随x 增大而增大， ∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分28．解：（1）正确画出图形． ……………1分（2）①CA FH DF =+．……………2分 证明：过点F 作FG⊥CA 于点G ． ……3∵FH ⊥BA 于点H ，90A ∠=︒，FG ⊥∴四边形HFGA 为矩形． ∴AG FH =，FG ∥AB ．∴GFC EBC ∠=∠． ……………4分 由（1）和平移可知， ∠ECB =EBC ∠=∠GFC ， ∠FDC =90A ∠=︒． ∴∠FDC =∠FGC =90°． ∵FC CF =，∴△FGC ≌△CDF ．∴CG FD =． ………………………5分 ∴DF FH GC AG +=+．即DF FH AC +=． ……………6分②CA DF FH =- ． ………………7分29．解：（1）()1,0D -（2）连结,AO AC ，过点A 作AF y ⊥则5AC AO ==3145EF AE =∠=︒∴=∴∴在Rt AEB ∆中，由勾股定理AB =∴在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，BC =∴所求“理想矩形”ABCD 面积为AB BC ⨯=……………………………………………………5分（3）“理想矩形”面积的最大值是5． (6)分()()1,23,2D ---或． ………………………………8分。