正定二次型的性质及应用汇编

目录

摘要 (2)

关键词 (2)

Abstract (2)

Keywords (2)

前言 (2)

1预备知识 (2)

1.1二次型定义 (2)

1.2正定二次型定义 (3)

2 正定二次型的性质 (3)

3 正定二次型的应用 (7)

3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)

3.2正定二次型在分块矩阵中的应用 (9)

3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)

3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)

3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12)

3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (12)

3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12)

3.8正定二次型在物理力学问题中的应用 (13)

结束语 (13)

参考文献 (14)

正定二次型的性质及应用

摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵

The properties and Applications of positive definite

Quadratic Forms

Abstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al.

Keywords ：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation ；partitioned matrix.

前言

二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.

1 预备知识

1.1 二次型定义

设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式

()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 2222

221121122

1

1121222,...,, …+

2

n

nn x a

称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型. 1.2 正定二次型的定义

定义1 实二次型()n x x x f ,...,,21称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .

定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定.

2 正定二次型的性质

性质1 实二次型

()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++

是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>.

证明 必要性.因为()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++ 是正定的，所以对

于任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .于是取一组不全为零的实数：,0,0,1,0,,0,0 （这里第i 个为1，其余1-n 个为0），有

),0,0,1,0,,0,0( f =n i d i ,,2,1,0 =>.

充分性显然.

性质 2 n 元实二次型()n x x x f ,...,,21是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.

证明 设二次型()n x x x f ,...,,21经过非退化实线性替换变成标准型

2

222211n n y d y d y d +++ . （1）

上面的讨论表明，()n x x x f ,...,,21正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>，即正惯性指数为n .

性质3 正定二次型()n x x x f ,...,,21的规范形为

2

2221n y y y +++ ，

正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.

性质4 实二次型. ()n x x x f ,...,,21=AX X '，正定的必要条件为0>A 证明 有实二次型知A 是一正定矩阵，因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使

C C EC C A ''==.

两边取行列式，就有

02

'>==C C C A .

性质5 实二次型()n x x x f ,...,,21=AX X '为正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数.

性质6 若A 是正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵.

证明 如果A 正定，则由性质2知0>A ，因而A 可逆，且其存在可逆矩阵

T ,使T T A '=，将等式两边取逆有1'1'][--=T T A ，令'1)(-=T C ，于是

EC C C C A ''1==-，所以1-A 也是正定矩阵.

性质7 若A 是正定矩阵，则对任意的实数k ，kA 也是正定矩阵.

证明 因为A 正定，所以对任意n 维实向量0≠X ，都有0'>AX X ，若0>k ，则0)()(''>=AX X k X kA X ，故kA 为正定矩阵.

性质8 若A 是正定矩阵，则A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵.

证明 因为A 正定，因而0>A ，且有性质四知1-A 也正定，而*A =1-A A ，又由性质5知*A 为正定矩阵

性质9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.

证明 若A 正定，则A 与单位矩阵E 合同，若B 也正定，则B 也与E 合同，即A 、B 都与单位矩阵E 合同，故A 、B 合同.

反之，若A 、B 合同，且A 正定，即A 与单位矩阵E 合同，所以B 也与E 合同，故B 也为正定的.

综上，结论成立.

性质10 若A 、B 为正定矩阵，则B A +也为正定矩阵.