自动控制理论第二章习题答案

(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
+ ui R
+
2C1
dui dt
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1) 2x&(t) + x(t) = t;
解：对上式两边去拉氏变换得：
（2s+1）X（s）=1/s2→ X (s) =
其中 K s
=
ded dα
α =α
= −Ed 0 sinα 0
2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t) = 1 − e−2t + e−t ，试求系统的传递函数和脉冲
响应。 解：对输出响应取拉氏变换的：
C(s) = 1 − 1 + 1 = s 2 + 4s + 2 因为： C(s) = Φ(s)R(s) = 1 Φ(s)
s s + 2 s + 1 s(s + 1)(s + 2)
s
所以系统的传递函数为： Φ(s) = s 2 + 4s + 2 = 1 +
s
=1− 1 + 2
(s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2
系统的脉冲响应为： g(t) = δ (t) − e−t + e−2t
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量， H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出
水箱的微分方程。
解 当 Q1 = Q2 = Q0 时，H = H 0 ；当 Q1 ≠ Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 − Q2 成
所以： c(t) = 2 − 4e−t + 2e−2t
7
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是
6 dc(t) + 10c(t) = 20e(t) dt
20 db(t) + 5b(t) = 10c(t) dt
且初始条件均为零，试求传递函数 C(s) / R(s) 及 E(s) / R(s)
1
= 1 −1+ 4
s 2 (2s + 1) s 2 s 2s + 1
运动模态 e −0.5t
−1t
所以： x(t) = t − 2(1 − e 2 )
(２) &x&(t) + x&(t) + x(t) = δ (t）。
解：对上式两边去拉氏变换得：
(s 2 + s + 1) X (s) = 1→ X (s) =
解：系统结构图及微分方程得：
u0
= (iC
+ iR1 )R2
=
C
duC dt
+
uC R1

R2
=
C
d
(ui −
dt
u0
)
+
ui
− u0 R1

R2
整理得：
CR2
du0 dt
+ C
R2 R1
+ 1u0
= CR2
dui dt
+C
R2 R1
ui
(b) :列写电压平衡方程：
ui − u0 = uC1 （1）
（1）
s 2C(s) − sc(0) − c&(0) + 3sC(s) − 3c(0) + 2C(s) = 2R(s) （2）
将初始条件代入（2）式得
(s 2 + 3s + 2)C(s) + s + 3 = 2 1 s
即： C(s) = 2 − s 2 − 3s = 2 − 2s + 6 = 1 − 4 + 2 s(s 2 + 3s + 2) s s 2 + 3s + 2 s s + 1 s + 2
K
=
1
K2
( f1 s + 1)( f 2 s + 1) + f1
K 1
K2
K2
所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。
解：（a） :列写电压平衡方程：
ui − u0 = uC
iC
=C
duC dt
iR1
=
uC R1
K 2 x0 = f (x& − x&0 )
消去中间变量 x，可得系统微分方程
f (K1
+
K
2
)
dx0 dt
+
K1K2 x0
=
K1 f
dxi dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
X 0 (s) =
fK1s
X i (s) f (K1 + K2 )s + K1K2
③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
Q=K P
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+

df (x) dx

x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
正比，此时有
F
d(H − dt
H0)
=
(Q1
−
Q0 )
−
(Q2
−
Q0 )
于是得水箱的微分方程为
F
dH dt
= Q1 − Q2
2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式
及传递函数。
图 2—57 机械系统 解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
1
=
1
(s 2 + s + 1) (s + 1/ 2)2 + 3 / 4
运动模态 e−t / 2 sin
3 2
t

所以： x(t) =
2 3
e
−t
/
2
sin
3 2
t

（3） &x&(t) + 2x&(t) + x(t) = 1(t）。
解：对上式两边去拉氏变换得：
(s 2
+ 2s + 1) X (s) = 1 → X (s) = s
− u0 R
+ 2C1
d (ui − u0 ) dt
= C2
du0 dt
−
C1C2
R
d 2uC1 dt 2
即： ui R
− u0 R
+ 2C1
dui dt
− 2C1
du0 dt
= C2
du0 dt
−
C1C2
R
d 2ui dt 2
+
C1C2
R
d 2u0 dt 2
整理得：
C1C2
R
d 2u0 dt 2
+
s(s 2
1 + 2s + 1)=Leabharlann 1 s(s + 1)2
=
1− s
1+ 1 s + 1 (s + 1)2
5
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
运动模态 e−t (1 + t)
所以： x(t) = 1 − e−t − te−t = 1 − e−t (1 + t)
2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：
K1 (xi − x) + f (x&i − x&0 ) = K 2 x0
移项整理得系统微分方程
f
dx0 dt
+ (K1
+ K2 )x0
=
f
dxi dt
+ K1xi
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
xi (0) = x0 (0) = 0
则系统传递函数为
X 0 (s) = fs + K1 X i (s) fs + (K1 + K 2 )
于是传递函数为
X 0 (s) =
f1
X i (s) ms + f1 + f 2
②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：
K1 (xi − x) = f (x& − x&0 )
（4）
将（4）式代入（1）式中得
K1K 2 (xi − x0 ) + K1 f 2 (x&i − x&0 ) = K1 f1x&0 − f1K 2 (x&i − x&0 ) − f1 f 2 (&x&i − &x&0 )