(完整版)五年级最大公约数与最小公倍数应用

最大公约数与最小公倍数应用（一）

一、知识要点：

1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=

3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法

二、热点考题：

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。（运用性质2）

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四

1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

2．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。

5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

6．已知两个自然数的和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

8、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？

9、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。

10、已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？

家庭练习

1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？

2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？

3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？

4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

5、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？

例1 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。

例2 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大

的可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

练习：

1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个？

2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？

3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？

4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？

5、两数的乘积是9000，它们的最大公因数是15，这个两数各是多少？

6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30

秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

7、两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个

一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12.375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米?

【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？

【例6】（1）A、B 两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。 A、B两数的最大公因数是多少？（2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36，乙数是多少？

【例7】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

练习：

1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？

2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？

3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

4．有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学？