材料力学-附录资料

2、积分法 若将平面图形分割成无穷多个微分面积 ，在极限情 况下用积分公式 3、组合法 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组 成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截 面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此 计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
一、几何图形的一次矩
面积矩（静矩）( first moment of area )
y
Sx y dA A
Sy x dA A
形心 ( center of an area ) 公式
xc x
c
dA
y yc x
xc
1 A
x dA S y A
A
yc
1 A
y dA Sx A
A
Sx yc A S y xc A
重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。
[例1]求三角形ABC对底边BC的静矩
A
00
π 2
R
sin 2 d r 3dr
1
πR4
16
0
0
同理可得对 y 轴的惯性矩
Iy
1 πR4 16
对原点的极惯性矩
IP
Ix
Iy
1 πR4 8
动脑又动笔
求图形的惯性 矩与惯性积。
同理可得对 y 轴的惯性矩
Iy
1 hb3 12
对 xy 轴的惯性积
b2
h2
Ixy xy dA x dx y dy 0
A
b 2
h 2
例 求如图半径为 R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和 极惯性矩。
y
r dA x
θ
对 x 轴的惯性矩
π 2R
I x y2dA r 2sin 2 rdrd
y b
dA x
如果被积函数与 x 无关
dA b dy
wk.baidu.com
y
极坐标系
dA r dr d
如果被积函数与 无关 dA r dr
r
θ
dAdA
x
例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。
y
r dA
x
π 2R
Sx y dA r sin rdr d
A
00
π
2
sin
d
R
r 2dr
1
R3
3
0
xc
Pi xci P
yc
Pi yci P
zc
Pi zci P
式中式中xi, yi, zi为mi 的坐标，xc ,yc, zc为重心的 坐标
当物体为均质时，得到如下的重心坐标公式：
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
重心与形心的简单确定
根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其 重心及形心的位置。• 1、对称法：对于形状比较规则的物体及图形，其重心 及形心可根据对称性直接判断。•（1）具有 一 根对称 轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；•（2）具 有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称 轴的交点上；•（3）中心对称的简单物体及图形，其对 称中心便是重心或形心。
y
解: h y DE , DE b (h y)
A
hb
h
dSy
Sx
b h
dSx
A
(h
y) ydy
h b (h y) 0h
ydy
积分得：
h dy
D
y O
E
x
B
b
C
Sy
b h
h 2
y2
1 3
h
y3
0
1 bh2 6
Sy
(1 2
bh)
h 3
[例4-2]：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
IP (x2 y2 )dA r 2dA
A
A
例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。
y b
斜边的方程为 y h x b
h dA
x
Ix
y2dA
b hx b
y2dydx
b 1hx
b3 dx
1
bh3
3
12
A
00
0
另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条
Sy2 A2
例 求如图截面的形心位置。 例 求如图截面的形心位置。
3a a
7a/ 2
5a/ 2
3a 3a/ 2
a
x
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
Sx
3a 2
7a 2
3a 2
3a 2
15a3
A 2 3a2
yc
5a 2
a
a
1.37a x
2a
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
yC
(2a)2
图形对y轴和x轴的静矩，并确定图形的形心坐标
解：Sy xdA A
b。 xydx
0
Sy
b 0
xh(1
x2 b2
)d x
b2h 4
Sx
ydA
A
h
xydy
0
h h(1 x2 )xdy
0
b2
y
y h(1 x2 / b2 )
b 0
h(1
x2 b2
)
x(h
2x b2
)dx
h
y dx
a
1 πa2 2
4a 3π
(2a)2
1 2
πa2
20a 1.37a 3(8 π)
二、几何图形的二次矩
y
x dA
ry x
惯性矩 ( moment of inertia )
I x y2dA A
I y x2dA A
惯性积 ( product of inertia )
I xy xy dA A
附录 截面图形的性质
Appendix
Properties of Plane Areas
平面图形的几何性质包括：重心， 形心，静矩，惯性矩与惯性积。
重心与形心 1、定义：如果将物体看成由许多个质点组成的，则 各质点所受到的重力便组成一个空间力系。此力系合 力的大小就是物体的重量。合力的作用线总是通过一 个确定点，该点称为物体的重心。如果是均质物体， 重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的 重量无关。这时物体的重心也称为形心。
xdy
dy h 2x dx b2
4bh2 Sx 15
y
Ox
x
dx
b
A
dA
b ydx
0
b 0
h(1
x2 b2
)d
x
A
A 2bh
3
形心坐标为 :
bh2
xC
Sy A
4 2bh
3b 8
3
4bh2
yC
Sx A
15 2bh
2h 5
3
数学工具箱
平面图形中的微元面积
直角坐标系
dA dx dy
dA
b
b h
y
dy
Ix
A
y 2dA
h 0
y 2 b
b h
y dy
1 bh3 12
分析和讨论 可以用如图的竖向微元面积条将二重
积分化为单重积分吗？
动脑又动笔
y
求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。
h
x
对 x 轴的惯性矩
b
Ix
A
y 2dA
h2 b2
y 2dxdy
h 2 b 2
1 bh3 12
0
A 1 πR2 4
yc
4R 3π
同理
xc
4R 3π
组合图形
组合图形的面积矩 组合图形的面积 组合图形的形心公式为
S y S yi xci Ai
i
i
A Ai i
xc xci Ai
Ai
i
i
组合图形形心计 算中的负面积法
S y S y1 S y2
A A1 A2
xy
S y1 A1