第三章应力应变关系复习PPT课件
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《应力与应变》课件
《应力与应变》PPT课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
应力应变概念PPT课件
当长方体伸长时，横向收缩：
y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为：
x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
层状硅酸盐
黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5 白云母KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6 金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 ×1012达因/厘米2
对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要， 因为它们寻求零温度系数材料。
温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正 的），补偿一般材料的负Tc值.且压电偶合因子大。
MgO
Tc11=－2.3
SrTiO3 Tc11=－2.6
－SiO2 Tc11=－0.5
Tc44=－1.6
其中：Tc×10-4/oC
2. 应变
(u/y)dy y
(v/y)dy
B
B
dy
yx
C
C
xy
A
(v/x)dx
0
A
x
dx
(u/x)dx
XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变
应变为：u/x ， 用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
应力与应变关系演示文稿
（D）称为弹性矩阵，将应力与应变的关系写成矩阵形式：
D
第8页，共35页。
各向异性效应
{ } [D]{} 或 {} [ A]{ }
式中：{}为应力列阵；{}为应变列阵；[D] 、[A]为弹性矩阵。
c11c12c13c14c15c16
c21c22
c23c24
c25c26
[D]
c31c32c33c34c35c36
物体的弹性都相同。该平面称为弹性对称面，一般有3个这样的弹性
对称面。
a11a12a13o o o
对于正交各向异性体，由于对称关
a21a22a23o o o
系（正应力分量只产生线应变，不产
a31a32a33o o o
生剪应变）。因此，弹性矩阵中的36 个弹性常数中，有24个为0，在剩下的 12个只有9个是独立的。
x y z yz zx 0
x y z yz zx 0
xy
由广义虎克定律：
xy
G
xy
xy
G
第24页，共35页。
各向同性体的广义虎克定律： （用应力分量表示应变分量）
x
1 E
[
x
( y
z )];
y
1 E
[
y
( z
x )];
z
1 E
[
z
( x
第16页，共35页。
现在来确定各向同性材料独立的弹性常数的个数，设所取的坐标 为三个主轴方向，由广义虎克定律可以得到：
1 C111 C12 2 C133 2 C211 C22 2 C233 3 C311 C32 2 C333
Cij 表示在j轴方向的单位主应变所引起在i轴方向的主应力。
应力与应变之间的关系_图文_图文
例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
即为平面应力状态，有
联立两式可解得：
主应变2为： 其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 正，反之为负。
对应的六个应变分量，
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
应力与应变之间的关系_图文_图文.ppt
3）空间应力状态：
sy
dy
sx txy
tdxzxsttzyxtxyttsyzzzxtxyyttzzyyxstzxtdzxyzsx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
则可得： 同理可得： 对切应力分量与切应变的关系，有：
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设sz=0，txz=0，tyz=0，有：
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
二向应力状态：
设
有
可见，即使s3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
§10-5 广义胡克定律
《应力应变分析》课件
高分子材料
在高分子材料的制备、加工和使用过程中，应力应变分析有助于了解高
分子材料的力学性能和变化规律，优化高分子材料的应用。
03
复合材料
复合材料的性能取决于其组成材料的性能以及它们的组合方式，通过应
力应变分析可以深入了解复合材料的力学行为，为复合材料的优化设计
提供依据。
在机械工程中的应用
01
机械零件设计
实际应用展望
探讨如何将应力应变分析的理论 应用到实际问题中，如结构优化 设计，材料性能评估等。
持续学习计划
制定未来继续深入学习应力应变 分析的计划，如阅读相关文献， 参加学术交流等。
THANKS
谢谢
应力和应变的测量技术
应力的测量技术
机械式测量法
通过测量物体的形变量来计算应力，常用的仪器有杠杆式和弹性 式传感器。
光学式测量法
利用光学原理，通过观察物体的形变来计算应力，如光弹效应和 干涉法。
压电式测量法
利用压电材料的压电效应，将应力转换为电信号进行测量。
应变的测量技术
电阻应变片法
利用金属丝电阻随形变而变化的特性，将应变转换为 电阻变化进行测量。
有限元法适用于各种形状和边界条件的物体，特别是复杂形状和不规则形状的物体。
有限元法具有通用性强、精度较高、计算效率高等优点，是目前工程领域应用最广泛的应力分析方法。
实验法
01
实验法是通过实验手段测量物体的应力应变状态的方
法。
02
实验法通常需要使用各种传感器和测试设备对物体进
行实际加载和测量，以获得真实的应力应变数据。
在航空航天中的应用
飞行器设计
飞行器在飞行过程中会受到各种复杂载荷的作用，通过应力应变分析可以预测 飞行器在不同飞行状态下的应力分布和变形情况，为飞行器的优化设计提供依 据。
工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系
11 C1 C2 11 C2 22 C1 C2 22 C2 33 C1 C2 33 C2 23 2C3 23 31 2C3 31 12 2C312
JUST
C33 C44 C55
弹性矩阵
C11 C 22 D
则广义胡克定律又可写为：
C33 C44 C55
D
由于弹性举证为对称矩阵， 即使各向异性材料其常数 也为21个。
JUST
3.2 广义胡克定律 Jiangsu University of Science and Technology 江苏科技大学
C11 C11 C33 C1 C12 C23 C31 C2 C C C C 55 66 3 44
应力与应变关系
C1 C2 C 1 D
C2 C2 C1
0 0 0 C3
0 0 0 0 0 0 0 C3 0 C3 0
dA dK ij dV ij V dt dt
绝热过程
du dA dK dQ ij ij dV , 0 V dt dt dt dt
对于单位体积的内能： 存在势函数：
dui* ij ij dt
dW ij d ij
dW
W d ij ij
得： ij 由
ij 1i j , ij 0i j
1 ij 11 22 33 ij E 1
1 1 11 22 33 11 11 11 22 33 E 1 E 1 22 22 11 33 12 1 12 , 13 1 13 , 23 1 23 E 2G 2G 2G 1 33 33 11 22 E
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为 应变张量，用表示，即：
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
应力和应变状态分析PPT课件
0.469MPa
第7页/共62页
C 1.04MPa(压) C 0.469MPa
⑶ 作出点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 xy 0.469MPa
40o
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
0
tan 20
2 xy x
y
代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
第9页/共62页
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
0 0
σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面， σmax、σmin为主应力。
max min
x
y
2
(
x
2
CE sin20 cos 2 CE cos 20 sin2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
第23页/共62页
2. 确定主应力的大小及主平面的方位 A1、B1点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
⑴ A1、B1点对应正应力的极值
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x
应力分析和应变分析PPT讲稿
3.1.4 点的应力状态
• 现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分
量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状 态，由静力平衡条件由∑Fx = 0，∑Fy= 0，∑Fz = 0
即有：
•
SxdF –σxdFx – τyxdFy – τzxdFz = 0
•
SydF –σydFy – τxydFy – τzydFz = 0
2022/3/4
10
现在您浏览的位置是第十页，共四十八页。
2022/3/4
11
现在您浏览的位置是第十一页，共四十八页。
2.体积力
• 体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁
力和惯性力等。
• 对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的面力比
较起来要小的多，在实际工程计算中一般可以忽略。
S2 2
2022/3/4
26
现在您浏览的位置是第二十六页，共四十八页。
• 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该
点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量 来表示。
x y z xy yx yz zy zx xz
• 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个
应力分析和应变分析课件
现在您浏览的位置是第一页，共四十八页。
3.1 应力状态基本概念
• 金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生
塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工 件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本 章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方 法。这是塑性加工的力学基础。
2022/3/4
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现在您浏览的位置是第二十五页，共四十八页。
3.1.4 点的应力状态
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
弹塑性力学第三章 应力与应变讲解
pn nn ns (3.2)
式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位 矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n
n pn s
pn2
2 n
(3.3)
研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进 行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系 方向进行分解。
p 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)
或
px py
l1 l2
(3.15)
pz
l3
式中： 表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得
(
x
)l1
设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得 到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3 .18)有 非零解，则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式（3.19)展开后，得
对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整
式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位 矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n
n pn s
pn2
2 n
(3.3)
研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进 行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系 方向进行分解。
p 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)
或
px py
l1 l2
(3.15)
pz
l3
式中： 表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得
(
x
)l1
设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得 到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3 .18)有 非零解，则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式（3.19)展开后，得
对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整
弹性应力应变关系教学课件PPT_OK
c36 c46
C2311
C2322
C2333
C2312
C2323
C2331
c51
c52
c53
c54
c55
c56
C3111 C3122 C3133 C3112 C3123 C3131 c61 c62 c63 c64 c65 c66
取 11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6 两个矩阵均为对称矩阵。
式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。
2021/8/23
16
线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达
x c11 c12 c13 c14 c15 c16 x
y
c21
c22
c23
c24
c25
c26
y
z yz
cc3411
c32 c42
c33 c43
c34 c44
2G y
z
2G z
1
2G z
1
3K
2G z
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
式中 称为Lame 常数。
3K E
E
1
1 1 2 (1 )(1 2)
2021/8/23
13
整理最终的应力应变关系是
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
y c3c333zz c3c434yz
yz c3c535zx
zx
c3c636xy
xy
yyzz c4411 xx c4422 yy c4433 zz c4444 yyzz c4455 zzxx c4466 xxyy
zzxx c5511 xx c5522 yy c5533 zz c5544 yyzz c5555 zzxx c5566 xxyy
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(d z dx )2 (zx )2 d2
6dxy2 6xy2d2
6dyz2 6yz2d2
6dzx26zx2d2
∵ d e 3 2 ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2
3
塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合 塑性变化不可逆——无单值一一对应
关系——与加载路径有关 对于应变硬化材料，卸载后的屈服应
力比初始屈服应力高
4
增量理论
又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或 应变速率之间关系的理论。 全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或
d 3 de 2 e
8
d x
x 'd
(
x
m )d
2 [ 3
x
1 2
(
y
z )]d
de e
[
x
1 2
(
y
z )]
d
y
de e
[
y
1 2
(
z
x )]
d z
de e
[
z
1 2
(
x
y )]
d
x
y
3de 2 e
xy
d yz
3de 2 e
yz
d zx
3de 2 e
zx
9
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程
材料符合Mises屈服准则 e = s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
塑性变形时体积不变
y
dx dy dz d1d2 d3 0
dij dij'
dij dij'
0
ε6
应变增量与应力偏增量成正比 ：
dij ij'd
d
为瞬时的非负系数，加载时为变值， 卸载时为0
Levy-Mises方程
dx ' dy ' dz ' dx ' y dy ' zdz ' x d
应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
1
弹性变形时的应力应变关系
虎克定律
E：弹性模量
v ：泊松比
E 2G广ຫໍສະໝຸດ 虎克定律x1 E[
x
v (
y
z )]
y
1 E
[
y
v (
z
x )]
z
1 E
[
z
v (
x
y )]
G E 2(1 v)
xy
∵
e 1 2 (x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 (x y 2 y z 2 z x 2 )
∴ 2 e 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6 ( x y 2 y z 2 z x 2 )
∴ 92de2 2e2d2
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
14
3 2
卸载时仍按虎克定律求解
1
O
x
复杂加载途径
11
全量理论
简单加载，各应力分量从一开始按同一比例增加 应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发； 应力主轴与应变主轴重合 变形体不可压缩
在上述条件下，小塑性变形的情况下，汉基提出 ：
为瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能是变量。 12
x
y
z
x
x
x
只适用于理想刚塑性材料，
差比形式：
只给出了应变增量与应力
d x x -d yyd y y -d zzd zz -d xxd 偏量之间的关系
d xd (x m )
d x d y d (x m y m ) d (x y ) 7
(d xdy)2(xy)2d2 (d ydz)2(yz)2d2
' 3
面
增量理论特点：
相同点和差别
d
p ij
S
O
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者
' 1
' 2
不考虑
都指出了塑性应变增量与应力偏量之 间的关系
d
p ij
平行于S沿着屈服表面的法线方向
y
4
整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况
xy 2G
yx
yz 2G
zx
zx 2G
剪切模量
m 1E2vm
2
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应 力主轴与全量应变主轴重合
弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变之 间存在统一的单值关系
弹性变形时，应力张量使物体产生 体积变化，泊松比小于0.5
总应变增量由弹、塑性两部分组成：
dij dijp dije
dijpdij'32dePeij' dije 21Gdij'1-E 2dmij—— Hook定律求微分
dij dij'21 Gdij'1-E 2dm ij d dim j' d 1-E 2 ij'd 2m 1 Gd1i0j'
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
变形过程的某个阶段终了时的应变大小，所以可叫做“全量应变”。 应变增量：就是变形过程中某一短阶段中的应变。以物体在变形过程中 某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变
增量，记为： dx,dy,dz,dx,y dy,z dxz
5
1、Levy-Mises理论
材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总 的应变增量
∴ d e 2 9 2 [ ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2 ] ∴ 9 2 d e 2 [ ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2 ]
6dxy2 6xy2d2
6dyz2 6yz2d2
6dzx26zx2d2
∵ d e 3 2 ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2
3
塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合 塑性变化不可逆——无单值一一对应
关系——与加载路径有关 对于应变硬化材料，卸载后的屈服应
力比初始屈服应力高
4
增量理论
又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或 应变速率之间关系的理论。 全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或
d 3 de 2 e
8
d x
x 'd
(
x
m )d
2 [ 3
x
1 2
(
y
z )]d
de e
[
x
1 2
(
y
z )]
d
y
de e
[
y
1 2
(
z
x )]
d z
de e
[
z
1 2
(
x
y )]
d
x
y
3de 2 e
xy
d yz
3de 2 e
yz
d zx
3de 2 e
zx
9
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程
材料符合Mises屈服准则 e = s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
塑性变形时体积不变
y
dx dy dz d1d2 d3 0
dij dij'
dij dij'
0
ε6
应变增量与应力偏增量成正比 ：
dij ij'd
d
为瞬时的非负系数，加载时为变值， 卸载时为0
Levy-Mises方程
dx ' dy ' dz ' dx ' y dy ' zdz ' x d
应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
1
弹性变形时的应力应变关系
虎克定律
E：弹性模量
v ：泊松比
E 2G广ຫໍສະໝຸດ 虎克定律x1 E[
x
v (
y
z )]
y
1 E
[
y
v (
z
x )]
z
1 E
[
z
v (
x
y )]
G E 2(1 v)
xy
∵
e 1 2 (x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 (x y 2 y z 2 z x 2 )
∴ 2 e 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6 ( x y 2 y z 2 z x 2 )
∴ 92de2 2e2d2
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
14
3 2
卸载时仍按虎克定律求解
1
O
x
复杂加载途径
11
全量理论
简单加载，各应力分量从一开始按同一比例增加 应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发； 应力主轴与应变主轴重合 变形体不可压缩
在上述条件下，小塑性变形的情况下，汉基提出 ：
为瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能是变量。 12
x
y
z
x
x
x
只适用于理想刚塑性材料，
差比形式：
只给出了应变增量与应力
d x x -d yyd y y -d zzd zz -d xxd 偏量之间的关系
d xd (x m )
d x d y d (x m y m ) d (x y ) 7
(d xdy)2(xy)2d2 (d ydz)2(yz)2d2
' 3
面
增量理论特点：
相同点和差别
d
p ij
S
O
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者
' 1
' 2
不考虑
都指出了塑性应变增量与应力偏量之 间的关系
d
p ij
平行于S沿着屈服表面的法线方向
y
4
整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况
xy 2G
yx
yz 2G
zx
zx 2G
剪切模量
m 1E2vm
2
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应 力主轴与全量应变主轴重合
弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变之 间存在统一的单值关系
弹性变形时，应力张量使物体产生 体积变化，泊松比小于0.5
总应变增量由弹、塑性两部分组成：
dij dijp dije
dijpdij'32dePeij' dije 21Gdij'1-E 2dmij—— Hook定律求微分
dij dij'21 Gdij'1-E 2dm ij d dim j' d 1-E 2 ij'd 2m 1 Gd1i0j'
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
变形过程的某个阶段终了时的应变大小，所以可叫做“全量应变”。 应变增量：就是变形过程中某一短阶段中的应变。以物体在变形过程中 某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变
增量，记为： dx,dy,dz,dx,y dy,z dxz
5
1、Levy-Mises理论
材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总 的应变增量
∴ d e 2 9 2 [ ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2 ] ∴ 9 2 d e 2 [ ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2 ]