第八章 超静定结构和弯矩分配法
超静定结构的受力分析及特性
超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
第8章超静定结构的计算方法
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
超静定结构计算方法分析
力矩分配法省去了建立方程和解算方程的工作， 直接计算杆端弯矩，故计算较为简便，用力矩分配 法适宜计算连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力 分配法则只能用于计算各层柱为剪力静定的刚架。
建筑力学
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Байду номын сангаас
几何条件——应变与位移之间要满足相应的 几何关系，结构的位移应与约束情况相符合。
任何一个静力分析问题都必须满足上述条件， 这是我们确定实际内力和位移的依据。对静定结构 来说，其内力和位移是可以分别计算的，即先用平 衡条件计算内力，然后考虑结构的物理和几何关系 计算位移；而超静定结构由于具有多余约束，必须 综合运用以上两方面的条件，才能确定出某些内力 或位移，然后再进一步计算其他内力和位移。
从典型方程建立的过程看，力法是以去掉多余 约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在 外因和多余未知力共同作用下的位移与原结构相同 的条件建立力法方程，所以力法的基本方程乃是位 移协调方程。
位移法是将原结构转化为由单跨越静定梁组成 的组合体作为基本结构，以每个附加约束的总反力 为零的条件建立位移法方程，所以位移法方程实质 上是与附加约束相应的原结构的某一结点或一部分 的平衡方程。
力法和位移法，是以基本未知量的数目来衡量 工作量大小的，采用哪种方法的基本未知量的数目 少就选取哪种方法。
因此，凡是多余约束数多且结点位移数少的结 构，宜采用位移法；反之，凡是多余约束数少且结 点位移数多的结构，宜采用力法。此外，当两种方 法的未知量数目相差不多时，宜选用位移法，因为 它的系数和自由项计算较为简便。
建筑力学
超静定结构计算方 法分析
超静定结构计算方法分析
本章介绍了超静定结构的几种计算方法，为 便于加深理解和掌握，本节将对上述方法进行综 合比较，并加以分析。
混凝土结构设计原理 第八章
第八章 受扭构件
2）部分超筋破坏（纵筋或箍筋过多）
3）完全超筋破坏（纵筋和箍筋均过多）
4）少筋破坏（纵筋和箍筋均太少）
第八章 受扭构件
1）适筋破坏（纵筋和箍筋合适） ①开裂前受扭钢筋混凝土构件 呈弹性特征。 ②随着扭矩增大，构件表面相
继出现多条大体连续或不连续
的与构件纵轴线成某一交角的 螺旋形裂缝，开裂后扭转角明 显增大，扭转刚度明显降低。
第八章 受扭构件
8.3 复合受扭构件承载力计算
在弯矩、剪力和扭矩的共同作用下，各项承载力是相互 关联的，其相互影响十分复杂。 为了简化，《混凝土结构设计规范》偏于安全地将受弯 所需的纵筋与受扭所需纵筋分别计算后进行叠加，而对剪 扭作用为避免混凝土部分的抗力被重复利用，考虑混凝土 项的相关作用，钢筋的贡献不考虑相关性，采用简单叠加 方法。
（1）协调扭转的概念 在超静定结构，扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产 生的，不能仅由静力平衡条件求得，还应根据变形协调条 件来决定。 扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，且会产生内力重 分布。（扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定 值，需要考虑内力重分布进行扭矩计算）。 协调扭转通过受扭构造要求保证。
置过少。扭转裂缝一经出现，构件即告破坏，极限扭矩和 开裂扭矩非常接近,属脆性破坏（受扭承载力取决于混凝土 的抗拉强度）。工程设计时应避免出现这种情况。
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.2.2 纯扭构件的开裂扭矩
一、矩形截面纯扭构件
纯扭构件开裂前受扭钢筋的应力很小，因此在研究开裂扭
矩时，可忽略钢筋的影响，视为与素混凝土纯扭构件相似。 （1）按塑性理论计算 假定混凝土为理想塑性材料，开裂时， 截面上各点应力均达到 ft 45o
建筑结构静力计算实用手册_第3版(3篇)
第1篇第一章绪论1.1 编写目的本手册旨在为从事建筑结构设计、施工和监理的专业技术人员提供一本实用性强的静力计算工具书。
通过本手册，读者可以快速掌握建筑结构静力计算的基本原理、方法和技巧，提高设计、施工和监理水平。
1.2 适用范围本手册适用于各类建筑结构的静力计算，包括但不限于住宅、办公楼、厂房、桥梁、隧道等。
1.3 内容结构本手册共分为九章，分别为：第一章绪论第二章基本理论第三章材料力学性质第四章建筑结构受力分析第五章静力计算方法第六章常用结构构件静力计算第七章结构稳定性分析第八章计算实例第九章附录第二章基本理论2.1 建筑结构力学基本概念建筑结构力学是研究建筑结构在荷载作用下的受力、变形和破坏规律的一门学科。
其主要内容包括：（1）荷载：作用于结构上的各种力，如重力、风荷载、地震荷载等。
（2）结构：由各种构件组成的整体，具有一定的几何形状和尺寸。
（3）受力：结构在外力作用下的内力、剪力、弯矩等。
（4）变形：结构在受力过程中产生的形状和尺寸的改变。
（5）破坏：结构在受力过程中达到极限状态，失去承载能力。
2.2 建筑结构力学基本原理（1）静力平衡原理：结构在受力过程中，必须满足静力平衡条件，即结构的内力、剪力、弯矩等在任意截面上必须满足平衡方程。
（2）变形协调原理：结构在受力过程中，各部分必须保持变形协调，即各部分的变形必须满足几何关系。
（3）连续性原理：结构在受力过程中，必须保持连续性，即结构的几何形状和尺寸必须保持不变。
第三章材料力学性质3.1 材料力学性质概述材料力学性质是指材料在受力过程中表现出的各种特性，主要包括：（1）弹性性质：材料在受力过程中，当应力小于弹性极限时，材料可以恢复原状。
（2）塑性性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生永久变形。
（3）强度性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生破坏。
3.2 常用材料力学性质（1）钢材：弹性模量E=200GPa，屈服强度f_s=235MPa，抗拉强度f_t=345MPa。
超静定结构的力矩分配法计算
M
F B
)
M B D
BD(
M
F B
)
5、传递系数 远端为固定支座：
1 C= 2 远端为铰支座： C =0
远端为双滑动支座： C = -1
6、远端传递弯矩 近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到， 而远端传递弯矩则可通过近端分配弯矩得到。
M AB CBAM B A
M CB CBCM B C
BC
S BC SB
BD
S BD SB
一个杆件的杆端分配系数等于自身杆端转动刚度 除以杆端结点所连各杆的杆端转动刚度之和。
各结点分配系数之和等于1 BA BC BD 1
4、近端分配弯矩
将不平衡力矩变号后按比例分配得到各杆的近端分 配弯矩。
M B A
BA (
M
F B
)
M B C
BC (
M D B CBDM B D
建筑力学
力矩分配法中结点弯矩正负号规定： 结点弯矩使结点逆时针转为正 。
1.2 力矩分配法的要素
1、固端弯矩、固端剪力 固端弯矩是荷载引起的杆件在分配结点处固定时产 生的杆端弯矩 固端剪力是荷载引起的杆件在分配结点处固定时产 生的杆端剪力
固端弯矩、固端剪力可通过查表13.1获得 i称为线刚度： i EI
l
其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。
序 号
梁的简图
1
2
3
杆端弯矩
MAB
MBA
4i
i EI
2i
l
ql2
ql 2
12 12
杆端剪力
FQAB
FQBA
6i 6i
l
l
ql 2
ql 2
建筑力学-弯矩分配法
THANKS
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简化假设
弯矩分配法基于一些简化假设，如各杆件的线刚度相等，实际情况 可能并非如此。
无法处理复杂边界条件
对于具有复杂边界条件的结构，弯矩分配法可能无法给出准确的结 果。
弯矩分配法的改进方法
1 2
扩展应用范围
研究如何将弯矩分配法应用于不同类型的梁和结 构。
考虑非线性因素
在弯矩分配法中考虑非线性因素，如材料非线性 和几何非线性，以提高计算精度。
与有限元法的比较
弯矩分配法适用于线性静力分析，而有限元法则更适用于复 杂的非线性问题和动力分析。在某些情况下，将弯矩分配法 和有限元法结合使用可以更好地解决复杂的结构问题。
04
弯矩分配法的局限性与改进方法
弯矩分配法的局限性
仅适用于连续梁
弯矩分配法最初是为连续梁设计的，对于其他类型的梁（如简支 梁、悬臂梁等）可能不适用。
高层建筑结构分析
高层建筑结构复杂，弯矩分配法可以 帮助设计者更好地分析各楼层之间的 相互作用，优化楼层布局和结构形式， 提高建筑的抗震性能。
弯矩分配法在结构设计中的优化作用
01 02
结构形式优化
弯矩分配法可以帮助设计者根据实际受力情况，优化结构形式，选择合 理的梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，提高结构的承载能力和稳定 性。
建筑力学-弯矩分配法
• 引言 • 弯矩分配法的基本原理 • 弯矩分配法的实际应用 • 弯矩分配法的局限性与改进方法 • 结论
01
引言
弯矩分配法的定义
01
弯矩分配法是一种计算超静定结 构内力的方法，通过将结构中的 弯矩进行分配，使结构达到静力 平衡状态。
02
弯矩分配法的基本原理是将结构 中的各个杆件按照其刚度进行弯 矩的分配，刚度越大，分配到的 弯矩越大。
分析超静定结构的基本方法
ｎ
／ ｔ
１
应灵活应用 ， 互相结合 ！
力 法 基 本 体 系 示 例
通过平衡方程 ， 就能快 速的求解 出多余未 知力 Ｘ ， 。 ， Ｘ …， 从而
从位移法中又演变出了弯矩分配法又称渐进法弯矩分配法是一种结构内力的近似求解方法它以位移法为理论基础通过固定节点逐个节点轮流放松的办法进行单节点力矩分配和传递最后将各分析点分配力矩和传递力矩相加得到近似弯矩
２ ０ １ ５ 年Ｉ技之窗◇
分析超静定结构的基本方法
曹 哲 贤 艾伟 光 （ 郑 州 大 学 土 木 工 程学 院 河 南 郑 州 ４ ５ ０ ０ ０ １ ） 【 摘 要】 本 文介 绍了解决超静 定结构（ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｕ ｙ ｉ ｎ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ） １ ＇ ３ ￣ ． 两种基 本方法—— 力＂ ； ￣ ｒ （ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｍ ｅ ｔ ｈ ０ ｄ ） 和位移法（ ｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ
△ｎ＋ ，
０
从位移法 中又演变 出了弯矩分 配法（ 又称渐进法 ） 弯矩分配法是 种结构 内力的近似求解方法 ． 它以位移法为理论 基础 ． 通过 固定 节 点． 逐个节点轮流放松的办法 ， 进行单节点力矩分配和传递 ， 最后将各 这些多余未知量 ． 超静定问题就迎刃而解 ！ 我们通常从基本体系人手 ． 分析点分 配力矩和传递力矩相加得到近似弯矩 。 将超静 定问题转换成静定问题 。一个超静 定结构模 型简 图 ． 将 多余 约 ３ ． 力 法 与 位移 法 的对 比— — 互 为对 偶 束去掉 ， 代之 以对 应的多余未知力 ， ， ， ， …即得到超静定结构 对 力法是求解超静定结构问题的基 本方法 ． 是 由此及彼 ， 由故及新 ， 应的静定结构 。对力法 的基本体系 ， 可以列出独立 的平衡方程 ． 同时 ． 由 已知 静 定结 构 解 法 推 广 到 超 静 定结 构 解 法 的一 种 典 型 的 过 渡 法 ！ 其 需要补充由变形协调条件 。 变形协调条件 是根据去掉多余约束处结 构 实质是把超静定简化成静定 结构 ． 多余约束用 广义力代替 ， 外力 作用 变形与实际情况相 同列 出 得 出的附加方程如下 ： 会使结构变形 ． 计算 时符合变形协调条件 ！ 故力法 基本方 程的实质是 １ ｌ ＋ ２ ２＋… …＋ ， ， ＋Ａｌ ｐ＝ ０ 变形协调条件 ！力法 的分析顺 序为 ： 先满足静力 条件， 后考虑几 何条 件． 先求静力可能内力 ． 再求真实 内力。 ＋ ２ ２ ＋… ． ． ＋ ． ５ ｆ ＋ Ａ２ ｐ＝ ０ ｌ ｌ 位移法是将结构拆成 （ 有形 ． 载常数 ） 的单跨 梁几何 ， 在满 足位移 ； 协调条件下 ． 使荷 载 ． 位移共 同作用时 ， 结构处 于平衡状 态。和力法相 ｌ ｌ ＋ ２ Ｘ ２＋… … ＋ ． Ｙ ＋△ ＝ Ｏ 同的是 ． 位移法的典型方程 的实质也是变形协调 条件。位移法 的分析 顺序为 ： 先满 足几何条件 ， 后考虑静力条件 。 先 求几何可能位 移 ， 再求 实 际位移 。 由以上分析可以得 出 ． 力法 与位移法既有联系 ， 又有 区别 。 力法的 ＋＋ ◆◆◆ 位 知量是力 ． 用位移条件 建立平衡方程 ． 位移法的未知量是位移 ． 用力 的条件建立平衡方程 在求解实际超静定结构问题 中， 力法与位移法
结构力学第八章弯矩分配法-1
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：
固端弯矩之和 （第一轮第一结点）
结点不平 衡力矩
固端弯矩之和 （第一轮第二、三……结点） 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
－0.78
E
CE
CH
0.4
－1.50 － 0.75 －0.08 － 0.04 －1.58 －0.79
2020/11/27
17
(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
2020/11/27
它们都属于位移法的渐近解法。
2
§8-2 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
力矩分配法
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；
一、转动刚度S： 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
SAB=4i
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：BA
4i 4i 3i
0.571
BC
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
超静定结构和弯矩分配法
力法 方程
2.写出位移条件,力1法1 X 方1程1P0
34..作 求单 出位系弯数1 矩和图自11由,荷l项载3/弯3E矩I图;1Pq4l/8EI
5.解力法方程X13ql/8() MM 1X1M P
6.叠加法作弯矩图
ql 2 / 2
l
MP
M1
ql 2一/ 8.力法的基本概念
M
1 0
1 11 1 P 0
q12kN/m
M A F B q2/l1 2 1k 0.m N 0 A EI
B EI
C
MB FA10k0N .m
10m
10m
MB FCMC FB0 放松状态:
0.571 0.429
M B d A B(A M B u) 5.1 7M F 100 100 0
0
M B d C B(C M B u) 4.9 2分配 28.6 57.142.9
-28.6 -9.2 -12.2
1.8
-57.1 -42.9 -6.1 3.5 2.6
-0.8 -1.0
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
M0
140 -140 40.3 -40.3
1.8 3.5 2.6
140
q12 kN/m
40.3
… … ...
A
M
1
2
B
0 0 0
0 B
作剪力图,求反力
MA0
求不平衡力矩
20kN/m
A EI
6m
40kN.m
C B EI
4m
20kN/m
40kN.m
60 A
60 B
C
M B u6 0 4 0 1k 0.N 0 m
材料力学 第八章
边界条件： x 0
xL
y1 0
y2 0
L
Fb 2 x C1 2L
x连Βιβλιοθήκη 条件：xay1 y2
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
yC , B
1、载荷分解
q
ql
ql2
2查表：单独载荷作用下
q
5ql yC1 384EI
yC 2
B2
4
ql3 B1 , 24EI
yC1
ql
B1
(ql)l 3 48EI
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI
yC2
ql2
B2
yC 3
3ql 4 48EI
图所示。试求 ( x), y( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
1 y
y '' ( x )
'2
( x)
3
2
M ( x) EI z
y ( x) ( x) 0
'
1 y ' 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) y' ' EI
第八章超静定结构和弯矩分配法
弯矩分配法优缺点分析
• 对于某些特定结构（如连续梁、无侧移刚架），计算效率 较高。
弯矩分配法优缺点分析
01
缺点
02
03
04
对于复杂结构或侧移刚架，计 算过程较为繁琐。
迭代计算可能收敛较慢，需要 较多计算步骤。
对于某些问题（如温度变化、 支座移动等），弯矩分配法可 能不适用或需要特殊处理。
03
超静定梁与刚架结构分 析
位移法
以结点位移作为基本未知量，通过 建立位移与内力的关系，求解超静 定结构的方法。
弯矩分配法
适用于连续梁和无侧移刚架等超静 定结构的简化分析方法，通过逐步 分配和传递弯矩来求解结构内力。
02
弯矩分配法基本原理
弯矩分配法概念及适用范围
概念
弯矩分配法是一种用于分析超静 定结构的方法，通过逐步分配节 点弯矩，使结构达到平衡状态。
根据结点平衡条件和截面法，可以求 解刚架结构的反力和内力。
考虑轴向变形时内力重分布问题探讨
轴向变形对超静定结构的影响
01
当超静定结构中存在轴向变形时，会引起结构内力的重分布，
进而影响结构的
02
通过引入轴向变形的影响因素，对超静定结构的内力进行修正
和重分布计算。
通过具体算例，展示超静定梁的求解过程 ，包括力法和位移法的应用。
刚架结构内力计算及实例解析
刚架结构的基本概念
刚架是由直杆组成的具有刚结点的结 构，其结点不能发生相对移动但可以 发生相对转动。
刚架结构的内力计算
刚架结构计算示例
通过具体算例，展示刚架结构的求解 过程，包括结点平衡条件和截面法的 应用。
刚度大
由于存在多余约束，超静定结 构的刚度通常比静定结构大。
第八章力矩分配法
1
§8-1 概述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。
为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度
A
i=2
B
i=3 C
6m
3m
3m
40kN/m D
i=4
6m
杆端
m
MF
B1次 C1次
AB C 1 2 BA BC C 1 2 CB CD C 0 DC
0.4 0.6
0.5 0.5
100
0
0 -300
300 -180
0
40
80 120
60
-45
-90 -90
集中力偶m
逆时针为正
讨论
A A
2、静定段处理
D
Δ1 =1 B
4m
i= 3
i= 6
基本系
C
D
r111FR1F 0
3)作M1、MF图
基本系为无侧移刚架
30kN /m
A
r 11
i= 4
M1、MF图运用 力矩分配法绘制
F R 1 F 4)求系数和自由项
i= 3
i= 6
△1作用
C
D
i= 3
i= 6
荷载作用
C
D
5)求未知量 6)叠加法作M图
MM11+MF
l
EI＝ C
位移法求解
（1）建立基本体系
如何分配？
B
l
l
FRK
结构力学学习课件2
F MB
FP
F MBC F MB
A B
M
+
F CB
C
F MC ′
D
A
C MAB
MBA
B µ
MBC
F B
µ
A B
M ′
+
C MCB
C
F F MC + MC ′
D
M
C BC
+ …
µ MCB
C
D
µ MCD
C MDC
例：
用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 80kN 30kN/m B i=2 3m 3m i=1 10m C i=1 3m 5m 160kN D
D iAD
M
A θA iAB iAB B
MAB =
SAB ⋅M ∑S
A
C
SAC MAC = ⋅M ∑S
A
µ MAj = µAj ⋅ M
MAB=SAB θA =4iAB θA MAC=SAC θA = iAC θA MAD=SAD θA =3iAD θA
（ 8-5 ） -
SAD MAD = ⋅M ∑S
CBA = MBA /MAB
µ MAj = µAj ⋅ M
C MBA = CBA ⋅ MAB
远端弯矩/近端弯矩 远端弯矩 近端弯矩
称为分配弯矩。 称为分配弯矩。 称为传递弯矩。 称为传递弯矩。
（8-10） ）
二、基本运算（单结点的力矩分配） 基本运算（单结点的力矩分配）
B MBA MAB A MAC θA C
综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点， 综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点，相当于单结 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。
教案 第八章 力矩分配法[18页]
![教案 第八章 力矩分配法[18页]](https://img.taocdn.com/s3/m/8a9bafe6a98271fe900ef925.png)
第八章力矩分配法（4学时）1.主要内容8-1 力矩分配法的基本概念8-2 多结点的力矩分配8-3 连续梁影响线2.知识点8-1 力矩分配法的基本概念转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。
8-2 多结点的力矩分配多结点力矩分配的基本思路；多结点的力矩分配解题的基本过程：结点力矩、非结点力矩。
8-3 连续梁影响线超静定力影响线的作法；连续梁弯矩、剪力影响线的绘制。
3.重点难点8-1 力矩分配法的基本概念重点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。
难点：非结点荷载如何转变成结点荷载。
8-2 多结点的力矩分配重点：掌握多节点力矩分配法解题的基本过程。
难点：结点的锁住、放松。
8-3 连续梁影响线重点：掌握连续梁影响线的绘制。
8.1 分配法的基本概念1. 知识点转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。
2. 重点难点重 点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。
难 点：非结点荷载如何转变成结点荷载。
知识点：转动刚度、分配系数和传递系数（1）基本概念转动刚度S ：杆件的近端发生单位转角时，在该端需要施加的力矩； 分配系数μ：。
BABA S S μ=∑，只与杆件的线刚度i 和约束条件有关。
传递系数C ：远端弯矩与近端弯矩的比值。
（2）取值表8.1 等截面直杆的转动刚度和传递系数（3）实例例：计算图8.1结构的转动刚度、分配系数和传递系数，EI 为常数。
EAC 2aa2a aB D图8.1解：表8.2 转动刚度和传递系数杆件 远端 转动刚度S分配系数μ传递系数CAB 自由端 0 0 0 AC 固定 4EI ／(2a) 4/9 0.5 AD 铰支 3EI ／(2a) 1/3 -1 AE滑动EI ／a2/9结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤： 1. 确定结点力矩；2. 根据转动刚度求分配系数3. 根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）4. 根据传递系数求传递力矩（远端弯矩） 实例：例1：图8.2a 梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩，并绘制弯矩图。
弯矩分配法要点
弯矩分配法要点学习弯矩分配法这么久，今天来说说关键要点。
我理解啊，弯矩分配法呢，首先要清楚它主要是用来解决超静定结构受力分析的。
就好比几个人在玩拔河，互相牵制着，超静定结构就是这种很复杂的互相影响的情况，而弯矩分配法就是能理清楚这里面力量关系的方法。
那在这个方法里，有个很重要的就是要先确定弯矩分配系数。
这个系数怎么来的呢？这就跟大家在一个团队里的份额差不多。
比如说一个连续梁，每一个支座就像团队里的一个成员，它们各自分到的份额就是根据各个杆件的线刚度来决定的。
我总结一下啊，杆件的线刚度越大，在这个支座那里分到的弯矩分配系数就越大。
这就好比在一个项目里能力越强（线刚度越大）的人承担的任务权重（弯矩分配系数）就越大嘛。
固定端弯矩也是一个要点对不对？这个就好比是每个人开始时候的初始力量状态。
对于梁的不同荷载情况，它的固定端弯矩计算是有固定公式的。
我经常在这里犯错，有时候会把公式记混。
就像背英语单词，得反复去看去用才能记住。
像均布荷载下的简支梁的固定端弯矩公式，它就跟那个荷载大小、梁的长度有关。
一旦记错这个公式，后续的弯矩分配结果就全错了，所以我特别看重这一点，每次计算前都会很小心地回忆这个部分。
还有还有，每次分配完弯矩，要记得传递弯矩。
这个传递就像是火种传递一样，从一个支座传递到下一个杆件的固定端。
传递的弯矩值是和分配弯矩以及传递系数有关的。
这个传递系数呢，有时候是二分之一有时候是三分之一什么的，这得根据杆件的连接情况来定。
这一块我开始也很疑惑，为啥要有不同的传递系数呢？后来发现这其实也是根据结构的力学特性来的，不同的结构形式对应的力学关系就有差别呗。
弯矩分配法在学的时候，真的得要动手多做些例题才行。
参考资料的话，就拿我们专业的《结构力学》课本就很好，里面从基础概念到例题，讲解得很详细。
还有网络课程，像是中国大学MOOC上面也有很多关于结构力学讲解弯矩分配法的课。
多看书多做题多听课，才能慢慢地把弯矩分配法掌握得更好。
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ql 2 / 2 MP
l
M1
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
练习 P
EI
作弯矩图.
EI
l
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
分 配
0
传
50 0 0 30 20 20
100kN.m
递
M 100 20
20 20 20
二.多结点力矩分配
固定状态:
q 12kN / m
A
EI
1 EI
B 2 EI
M1FA ql 2 / 8 150
M
F 12
ql 2
/ 12
100
M
F 21
ql 2
/
12
100
10m
M
F BC
M
F CB
0
放松状态:
q 12kN / m
M
u B
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M
d BC
BC
(
M
u B
)
42.9
M
C AB
CM BA
28.6
M
C CB
0
A ql
2
/
12
B
C
M
u B
A
B
C
最终杆端弯矩:
M AB 100 28.6 128.6
S BC SBA SBC
(
M
u B
)
令
BA
S BA SBA SBC
BC
S BC SBA SBC
A
B
M
u B
B
C
M
d BA
M
u B
B
M
d BC
M
d BA
BA
(
M
u B
)
M
d BC
BC
(
M
u B
)
M
d BA
M
d BC
---分配弯矩
BA BC ---分配系数
一个结点上的各杆端分配系
与静定结构相比, 超静定结构的优点为: 1.内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强
一.超静定结构的静力特征和几何特征 二.超静定结构的性质 三.超静定结构的计算方法
1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量.
3.混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量.
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
这是科学研究的 基本方法之一。
第三节 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结 构。
4.4 力矩分配法
一.基本概念
固定状态:
M
u B
---不平衡力矩,顺时针为正
l M1
Pl
MP
3 Pl M
2
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M F 100
100 0
M
d BC
BC
(
M
u B
)
42.9
M
C AB
CM BA
28.6
M
C CB
0
最终杆端弯矩:
分 配
28.6
57.1 42.9
传
递
M 128.6 42.9 42.9
M AB 100 28.6 128.6
64 64 64
练习
求不平衡力矩
20kN / m
A EI
6m
40kN .m
B EI C
4m
20kN / m
40kN .m
60 A
60 B
C
M
u B
60
40
100kN .m
作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)
40kN.m
M
u B
60
40kN.m 10kN
20kN.m A
EI
6m
B EI C
M1u
M
F 1A
M
F 12
50
M
u 2
M
F 21
M
F 2B
100
放松结点2(结点1固定):
10m
10m
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
28.6
50
10m
M
u 2
B
2
110000
-28.6 -57.1 -42.9
S21 4i S2B 3i
21.4
6.1
ql2 / 2
l
MP
M1
ql 2一/ 8.力法的基本概念
M
1 0 1 11 1P 0
11 X1 11
力法 方程
11 X1 1P 0
1 11 l 3 / 3EI
1P ql 4 / 8EI
X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
1P
11
0
力法 方程
2.写出位移条件,力11法 X方1程 1P 0
34..作 求单 出位系弯数1 矩和图自11 由,荷l项载3 /弯3E矩I 图;1P ql 4 / 8EI
5.解力法方程X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
6.叠加法作弯矩图
数总和恒等于1。
SBA 4i SBC 3i
BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571 A
B
M
u B
B
C
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M
d BC
BC
(
M
u B
)
42.9
结点 B A
1
C
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
q
2ql
ql2 / 4
ql2 / 8 ql2 / 4
M F 0 -1/4 1/4 1/8 0 0
所的结果分是配 近似解吗传?递
0
3 3 9 3 32 16 64 64
3 64
q
M
0
11
1
1 3
3
32 16
• 2、影响节点产生转动的力矩大小和方向。 • 固端弯矩M ，每相邻两节点之间的杆件视为
一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁 在外荷载作用的杆端弯矩叫固端弯矩。
固定状态:
q 12kN / m
M
F AB
ql 2
/ 12
100kN .m
A EI
B EI
C
M
F BA
100kN .m
10m
q 12kN / m 42.9
M BA 100 57.1 42.9
M BC 0 42.9 42.9
128.6
M CB 0
C
0 0 0
M
例1.计算图示梁,作弯矩图
解:
EI
SBA 4 8 0.5EI
EI SBC 3 6 0.5EI
BA
0.5EI (0.5 0.5)EI
对等直杆，SAB只与B端的
支撑条件有关。
A端一般称为近端（本端），
AiB
B端一般称为远端（它端）。
SAB i
M
d BA
SBA B
M
d BC
SBC B
M
u B
M
d BA
M
d BC
0
B
S BA
1 SBC
(
M
u B
)
M
d BA
S BA SBA SBC
(
M
u B
)
M
d BC
远端弯矩
28.6
M
C CB
CM
d BC
0 (42.9)
0
C 近端弯矩
---传递系数 1
远端固定时: 4i A
i
2i C=1/2
B
传递弯矩