人教新课标版数学高二选修2-1 作业 3.2空间向量与垂直关系(第二课时)

1．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则 ( )

A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α,β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8) ＝1×2＋2×3－1×8＝0. ∴u ⊥v .∴α⊥β. 答案：B

2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )

A ．－4

B ．－6

C ．－8

D ．8

解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，1

2，2)，

∴(2，m,1)·(1，1

2，2)＝0.

∴2＋1

2m ＋2＝0.∴m ＝－8.

答案：C

3．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且

BP ⊥平面ABC ，则BP 等于

( )

A ．(337，－15

7，4)

B ．(337，－15

7，－3)

C ．(407，－15

7

，4)

D ．(407，15

7

，－3)

解析：由AB ·

BC ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP ⊥平面ABC ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ BP ·AB ＝0， BP ·

BC ＝0，即⎩⎪⎨

⎪⎧

x －1＋5y ＋6＝0，

3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧

x ＝40

7，

y ＝－15

7

.

答案：B

4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )

A ．AC

B ．BD

C ．A 1D

D ．AA 1

解析：建立如图所示坐标系. 设正方体棱长为1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)， A 1(1,0,1)，E (12，1

2，1)．

∴CE ＝(12，1

2，1)－(0,1,0)

＝(12，－1

2

，1)， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，

1A D ＝(－1,0，－1)，1A A ＝(0,0，－1)．

∵CE ·BD ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋1

2＋0＝0，

∴CE ⊥BD ，∴CE ⊥BD . 答案：B

5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．

解析：由题意得OP ⊥OQ . ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.

又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π

3.

答案：π2或π

3

6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．

解析：由AP·AB＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；

由AP·AD＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；

由①②知AP是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确．

答案：①②③

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.

解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2).

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．

∴PC＝(2,22，－2)，BF＝(－1，2，1)，

EF＝(1,0,1)，

∴PC·BF＝－2＋4－2＝0，PC·EF＝2＋0－2＝0，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，

∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF.

8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1E⊥BD；

(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x

轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，

C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．

设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a ). (1) 1A E ＝(－a ，a ，e －a )，

BD ＝(－a ，－a,0)，

1A E ·

BD ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E ⊥BD ，即A 1E ⊥BD .

(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB ＝(a ，a,0)，1DA ＝(a,0，a )，DE ＝(0，a ，e )，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

ax 1＋ay 1＝0，

ax 1＋az 1＝0，

⎩⎪⎨⎪⎧

ax 2＋ay 2＝0，

ay 2＋ez 2＝0.

取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a

e ).

由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2

.

∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .