全等三角形之角平分线与垂直平分线模型

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等
中垂线（垂直平分线）：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
角平分线和中垂线是我们学过全等之后，非常重要的两个内容，因此很多全等三角形的问题，都需要通过角平分线的性质和中垂线的性质进行切入来构造辅助线。

【精1】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有( )
①DC '平分BDE ∠； ②BC
长为2)a ；
③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长． A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个
【精2】 如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：
C
B
A
E
D
C
B
A
C'
E
D
C
B
A
ABC 90BAC ∠=︒BD ABC ∠AC D AE BC ⊥E BD G FG
AC BC F DF DF BC ⊥G
F
E
D
C
B
A
全等三角形经典模型系列精讲—角平分线和中垂线
精选例题
【精3】 如图（1）所示，OP 是MON ∠的平行线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等
三角形．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图（2），在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ． 请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系．
（2）如图（3），在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【精4】 在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．
（1）
P
N
M
O
（2）
F
E
D C
B
A
（3）
F
E
D
C
B
A
ABC ∆AB AC >AD BAC ∠P AD AB AC PB PC ->-C
D B P
A
【精5】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：
⑴图中有几个等腰三角形？
⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？
⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
【精6】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．
【精7】 已知90AC BC C A =∠=︒∠，，的平分线AD 交BC 于D ，
过B 作BE 垂直AD 于E ．则BE 与12
AD 的关系为______________．
(1)
C
D B
A
E D C
B
A
E D
C
B
A
【精8】 如图，在Rt ABC △中，AB ＝AC ，A ∠＝90，D 为BC 上任意一点，且DF ⊥AB 于F ，DE ⊥
AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF △是什么形状的三角形，并证明你的结论．
【精9】 已知：三角形ABC 中，A ∠=90，AB AC =，D 为BC 的中点，
（1）如图，,E F 分别是,AB AC 上的点，且BE AF =，求证：DEF ∆为等腰直角三角形． （2）若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么，DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
F E
D C
B
A
F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A。