沪科版-数学-八年级上册-《轴对称图形》要点全析

《轴对称图形》要点全析
1．轴对称图形（symmetric figure），对称轴（axis of symmetry）
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．如图14-1-1中，（1）～（6）都是轴对称图形．
图（1）是正方形，有4条对称轴，是对边中点的连线和对角线所在的直线．
图（2）是长方形，有2条对称轴，是对边中点的连线．
图（3）是正五边形，有5条对称轴，是一顶点与对边中点的连线．
图（4）是正六边形，有6条对称轴，是对边中点连线和相对顶点的连线．
图（5）是圆形，有无数条对称轴，是一过圆心的任一条直线．
图（6）是拱形，有一条对称轴，是过拱顶与底边中点的一条直线．
如图14-1-2中，（1）～（5）也是轴对称图形．
【说明】在理解轴对称图形时．应注意以下几点：
（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等．
（2）轴对称图形的对称轴是一条直线，不是射线也不是线段，在叙述时应注意．
（3）轴对称图形的对称轴条数至少有一条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．
2．轴对称，对称点（symmetric points）
（1）把一个图形沿着某一条直线折叠．如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点是对应点，叫做对称点．
如图14-1-3中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于直线MN对称吗？图14-1-4中的两幅图都成轴对称吗？
在图14-1-3中，A与A′是对称点，B与B′、C与C′、D与D′均是对称点，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′关于直线MN对称．在图14-1-4中的（1）、（2）两图中也分别有它们各自的对称点，两幅图都成轴对称（如图中虚线为它们各自的对称轴）．
（2）轴对称是指两个图形，沿某一条直线折叠后，能够重合．与轴对称图形不同的是．轴对称图形是一个图形的两个部分互相重合，而轴对称是两个图形互相重合．（3）轴对称的例子在生活中也比较常见．如旧式双扇门的两扇门，平放着的两枚一样的邮票，同向平放同一张底版洗出的两张照片等等．
3．轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）如果两个图形关于某条直线对称．那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
如图14-1-5中，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，那么△ABC≌A′B′C′．其中A与A′．B与B′，C与C′是对称点．由图可知MN是AA′，BB′，CC′的垂直平分线．同样，对于轴对称图形也有此性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图14-1-6中，长方形ABCD是轴对称图形，A、B为对应点．那么对称轴就是A、B连线的垂直平分线．这一性质可用数学语言表述为：
∵A、B点关于直线MN对称．∴MN⊥AB，并且AE＝BE
4．线段的垂直平分线（perpendicular bisector）
（1）定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如图14-1-7中，直线MN过AB的中点O，且MN⊥AB，则MN就是线段AB的垂直平分线．即MN垂直平分线段AB．
（2）性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
例如：如图14-1-8，MN为AB的垂直平分线，D、
E正分别为MN上的点，则DA＝DB，EA＝EB．
证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN⊥AB，且交AB于点O，∴AO＝OB．
在△AOE和△BOE中，⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
︒
∠
∠
，
＝
，
＝
＝
，
＝
OE
OE
BOE
AOE
OB
AO
90
∴△AOE≌△BOE（SAS）．
∴AE＝BE．同样道理，AD＝BD．性质①反过来，也成立，即：
②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
例如：如图14-1-9，Q、P为线段AB外两点，若P A＝PB，且QA＝QB，则P、Q在AB 的垂直平分线上．
证明：若直线l 交AB 于点O ，在△P AQ 和△PBQ 中，P A ＝PB ，QA ＝QB ，PQ ＝PQ ， ∴ △P AQ ≌△PBQ （S5S ）．
∴ ∠APQ ＝∠BPQ 在△APO 和△BPO 中，P A ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ，PO ＝PO ， ∴△APO ≌△BPO （SAS ）．
∴ AO ＝BO ，∠AOP ＝∠BOP ＝21
×180°＝90°
∴ PO ⊥AB ．
∴ PQ 是AB 的垂直平分线．
综合上面的①与②，可以将线段的垂直平分线看作是一些点的集合．
（3）集合：
线段的垂直平分线可以看成与线段两端点的距离相等的所有点的集合．
如图14-1-9中，若P A ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．反之，若P 点是线段AB 垂直平分线上一点，则P A ＝PB
5．线段垂直平分线的应用
（1）利用线段垂直平分线可以证明线段的垂直与相等（见后面例）．
（2）利用线段垂直平分线可以作一个图形的对称图形．
（3）解决实际问题．
例如：现有A 、B 、C 三个村庄，为了使三个村的水果能及时运出去，要在三个村的区域内建一个水果调度点，使它到三个村的距离一样远，问这个水果调度点应选在何处，为什么？
分析：先将实际问题建立数学模型，即平面内有三点A、B、C（三个村），求一点P，使P A＝PB＝PC．要求的点P，根据线段垂直平分线的性质，由P A＝PB可知，P点在AB 的垂直平分线上，又由PB＝PC可知，P点在BC的垂直平分线上，因此，P点为此两者的交点．
解：如图14-1-10中，
（1）作线段AB的垂直平分线EF；
（2）作线段BC的垂直平分线GH，GH与EF交于点P．点P即为所求的点．
证明：由作图知，P为AB垂直平分线上的点，则P A＝PB．P又为BC垂直平分线上的点，则PB＝PC，∴P A＝PB＝PC．
所以，这个水果调度点应建在AB、BC两边的垂直平分线的交点上，才能满足它到三个村子的距离一样远．
【说明】由此例还可得出以下结论：三角形三边的垂直平分线交于一点．
6．三角形中，三边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离相等．这个结果，可以作为一个结论或定理来使用．证明过程略
7．如何作轴对称图形的对称轴
由轴对称和轴对称图形的性质可知，两个图形成轴对称，对称点的连线被对称轴垂直平分，因此，只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可得到这两个图形的对称轴．
例如：如图14-1-11，画出轴对称图形的一条对称轴．
解：根据轴对称和轴对称图形的性质，作出上述图形的对称轴如图14-1-12．
在（1）图中，可作出5条对称轴，现在只作出其中的2条；
在（2）图和（3）图中，都只有一条对称轴．
在（4）图中，有6条对称轴，这里只作出其中的2条．
8．轴对称的性质在解题中的应用
（1）利用轴对称的性质证明线段的相等或垂直．
例如：如图14-1-13，已知P A＝PB，MA＝MB，Q为直线PM上任一点，且PM交AB 于点O．
求证：（1）QA＝QB；（2）PQ⊥AB，OA＝OB．
分析：由P A＝PB，MA＝MB可知，P点在AB的垂直平分线上，M点也在AB的垂直平分线上，因此PM就是AB的垂直平分线，则PM⊥AB于点O，又Q为PM上的点，所以QA＝QB．
此题除了用上述方法之外，还可利用三角形的全等来证明，但较为烦琐．
证明：（1）∵P A＝PB，MA＝MB，
∴P、M两点都在线段AB的垂直平分线上．
∴PM就是线段AB的垂直平分线．
又∵Q为PM上一点，∴QA＝QB．
（2）由（1）知PM为AB的垂直平分线．
又∵PM与AB交于点O，
∴PQ⊥AB，OA＝OB．
（2）利用轴对称的性质进行求解．
例如：如图14-1-14中，已知AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC 于点E，若△ABC的周长为28，BC的长为8，求△BCE的周长．
分析：已知AB＝AC，BC＝8．△ABC的周长为28，可得，AB＝AC＝10．又DE为AB 的垂直平分线．则AE＝AE．
因此△BCE的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18．
解：∵AB＋BC＋AC＝28，BC＝8．
∴AB＋AC＝20，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝10．
又∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE．
∴△BEC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18，即△BEC的周长为18．。