组合数的性质和应用
组合数的性质和应用
(1)
例1 计算 198
( 2 )
C C
200
;
2
C
2 200
200 199 21
19900
3 99
C 99;
C
3
3
3
100
2
100 99 98 3 21
161700
( 3 )
2C
3 8
C 9 C 8 .
3 2 2 3
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
4 6 4
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
4 12 4 8 4 12 4 8 4 4种
B.3 C C C
4 12
4 8
4 4种
C. C C A
3 3种
4 4 C12 C84 C4 D. 种 3 A3
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
高中数学组合优秀教案
高中数学组合优秀教案
主题：组合数
主要内容：组合数的概念及性质，组合数的运算法则，组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。
2. 掌握组合数的运算法则。
3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。
二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。
2. 组合数的运算法则。
3. 实际问题中组合数的应用。
三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。
2. 深入理解组合数的概念和性质。
四、教学过程
1. 导入：通过一个有趣的问题引出组合数的概念，让学生产生兴趣。
2. 授课：讲解组合数的定义和性质，介绍组合数的运算法则。
3. 拓展：通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。
4. 应用：通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调组合数在数学中的重要性。
五、教学反馈
1. 布置作业：留作业巩固学习成果。
2. 点评作业：对学生的学习情况进行评价，及时纠正错误。
3. 反馈教学：根据学生的反馈对教学方法进行调整，提高教学效果。
六、教学资源
1. 教材：《高中数学》
2. 辅助教材：《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备：电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度：学生是否主动参与课堂活动。
2. 学生表现：学生是否能够熟练运用组合数解决问题。
3. 教学效果：学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。
组合数的性质与综合应用解读
10
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
例、（1）求证：Cn+m1 = Cnm+-1Cn-m1+Cn-m1-1
4
1
540
四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙 3 人各取 1 堆，共有 C16·C52·C33·A33＝360(种)．
(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除， 故共有C16·AC5122·C44＝15(种)．
(6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A66＝720(种)．
跟踪练习
2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(2)
C m1 n
C m 1 n
2
C
m n
C . m 1 n2
( 2)
C
m1 n
C
m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
1.3(2)第2课时 组合数的性质和应用
(14 分)
【题后反思】 此类问题属于所谓“多面手”问题，应该按照“多 面手”有没有被选中，选中的“多面手”作何用进行分类．
【变式3】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日 语译员，另外两名英、日都精通．从中找出8人，使他们可以 组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语， 这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？ 解 按“英、日语都会的人”的参与情况，分成三类：
种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，
3 AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A 3 种情况，而这A 3 3
种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法， C2 C2 C2 6· 4· 2 故分配方式有 A3 ＝15(种)．
3
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配
＝
90(种)．
(7)直接分配问题．
1 甲选1本，有C1 6种方法；乙从余下的5本中选1本，有C5种方法； 1 1 4 余下4本留给丙，有C4 种方法，共有分配方式 C C5· C4＝30(种)． 4 6·
(9 分)
1 2 3 0 (3)甲、乙都上场，都作前锋有 C6 C4种，都作后卫有 C6 · C4种，一
2 1 2 1 C C 种，共有 C1C2＋C3C0＋C1C C ＝ 个作前锋一个作后卫有 C1 2 6 4 6 4 6 4 2 6 4
176(种)．故共有 120＋340＋176＝636(种)．
解
3 (1)第一步：选3名男运动员，有C 6 种选法，第二步：选2名女
3 2 运动员，有C2 种选法，故共有 C C4＝120(种)选法． 4 6·
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
组合数性质教案
组合数性质教案教案标题：组合数性质教案一、教学目标：1. 理解组合数的概念和性质2. 掌握计算组合数的方法和技巧3. 能够应用组合数解决实际问题二、教学重点和难点：1. 理解组合数的性质和应用2. 掌握组合数的计算方法3. 解决实际问题时的应用能力三、教学内容：1. 组合数的概念和性质2. 组合数的计算方法3. 组合数在实际问题中的应用四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引出组合数的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 讲解：介绍组合数的定义和性质，讲解组合数的计算方法和技巧。
3. 练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生应用组合数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调组合数的重要性和应用价值。
五、教学方法：1. 启发式教学法：通过生动的例子和引导性的问题，激发学生的思维，引导他们主动探索组合数的性质和应用。
2. 讨论式教学法：鼓励学生提出自己的见解和想法，促进学生之间的交流和讨论，培养学生的团队合作精神。
3. 实践性教学法：设计一些实际问题，让学生动手实践，培养学生的动手能力和实际应用能力。
六、教学工具：1. 教科书和课件2. 白板和彩色笔3. 练习题和实际问题的案例七、教学评估：1. 课堂练习：观察学生在课堂上的表现和答题情况，及时发现问题并进行指导。
2. 作业评定：布置作业，检查学生对组合数的理解和应用能力。
3. 实际问题解决能力：通过学生在实际问题中的解决能力，评估他们对组合数的掌握程度。
八、教学反思：根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法和内容，不断完善教学过程，提高教学效果。
组合数_精品文档
组合数组合数是组合数学中的一个重要概念，常常与排列数一起出现。
在数学中，组合数表示从n个不同元素中取r个元素的组合方式的数量。
组合数常常用C(n,r)表示，也可以记作nCr或者C(n，r)。
组合数的计算是基于组合原理和等价关系的。
组合原理指的是从n 个不同的元素中选取r个元素的组合方式数等于从n个不同的元素中选取n-r个元素组合方式数的等价关系。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)，其中n表示元素的总个数，r表示要取出的元素个数。
其中n!表示n的阶乘，n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
例如，当n=5，r=3时，C(5,3) = 5! / (3!(5 - 3)!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10。
组合数在组合数学中具有广泛的应用，尤其是在计算概率、统计学和组合优化等领域。
下面将介绍组合数的一些重要性质和应用。
1. 组合数的性质：- 对称性：C(n, r) = C(n, n - r)。
组合数是关于n/2对称的，因此计算时可以选择较小的r值，减少计算量。
- 递推公式：C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)。
组合数可以根据其前一项和前一行的组合数值计算得出，这个递推公式可以用于较大规模的计算。
- 边界条件：当r = 0或r = n时，C(n, r)均为1。
这是因为当要取出的元素个数为0时，只有一种方式，即不取任何元素；当要取出的元素个数等于总元素个数时，只有一种方式，即取出所有元素。
2. 组合数在计算概率中的应用：组合数常常出现在计算概率的问题中。
例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，求得一手炸弹（四张相同点数的牌加任意一张牌）的概率，可以采用组合数来计算。
在一副扑克牌中，点数从A到K一共有13种，因此可以选择4个点数中的一个，再从每个点数中选择4张牌，最后从剩下的牌中选择1张牌。
组合数学中的组合数问题
组合数学中的组合数问题组合数学是数学的一个分支，研究的是选择、排列和组合的问题。
其中，组合数问题是其中一个重要的研究方向。
本文将围绕组合数问题展开讨论，讲述其基本概念、应用以及解决方法。
一、基本概念组合数是由元素个数有限的集合中取出若干元素（不考虑有序）的不同选择数，用C(n, k)来表示，公式为：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!),其中，n表示集合中元素的个数，k表示选择的元素个数，!表示阶乘。
二、组合数的应用1. 应用于排列组合问题排列组合问题是组合数学中的一个重要问题，它研究的是从给定元素中选取若干个元素进行排列或组合的问题。
例如，在一组数字中选取三个数字排列成不同的序列，即是一个排列问题；而从一组数字中选取三个数字组合成不同的组合，即是一个组合问题。
组合数正是解决这类问题的数学工具。
2. 应用于概率论在概率论中，组合数被广泛应用于计算随机事件发生的可能性。
以抽奖为例，假设有5个奖品，现有10个人参与抽奖，其中3个人将获得奖品。
那么，我们可以通过组合数来计算不同情况下的中奖概率。
具体计算公式为：中奖概率 = C(10, 3) / C(5, 3)。
通过组合数的使用，我们可以准确地计算出各种随机事件的概率。
三、组合数问题的解决方法1. 公式计算法组合数问题的最直接解决方法就是使用组合数公式进行计算。
在计算C(n, k)时，我们可以先通过计算n的阶乘，然后分别计算k和(n-k)的阶乘，最后将结果相除即可得到组合数。
这种方法适用于n和k较小的情况，计算较为方便。
2. 递推法递推法是一种高效地计算组合数的方法。
通过观察组合数的性质，我们可以得到递推公式：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k),通过计算已知组合数的值，不断利用递推公式进行计算，最终得到所需的组合数。
3. 组合数的性质组合数具有一些重要的性质，可以用于简化计算。
例如：C(n, k) = C(n, n-k)，C(n, 0) = C(n, n) = 1等。
组合数的性质
组合数的性质组合导学案课题:组合数的性质课型:新授执笔:韩春冬审核: 使用时间:一、学习目标1、了解组合数的性质2、会应用组合数的性质解决计算问题二、重点难点1、组合数的性质2、组合数的性质应用三、学习内容 1、对偶法则因为从n 个元素中选取k 个元素的组合数,与从n 个元素中选留n -k 个元素的组合数是相等的,因此有等式:2、增一法则:我们来做一个练习:2399989871202!3!C C ???+=+=, 31010981203!C ??==, 于是有 2339910C C C +=,这是巧合还是具有一般性?把这个浅显的道理,推广到一般的情况,就得到组合数的第二个重要性质:四、探究分析1、计算:(1)4850C ; (2)296300C ;(3)239999C C +.方法总结:2、若1105102-+=x x CC,求x 的值方法总结:课堂训练1、计算:(1)97100C ; (2)198200C ;(3)9798100100C C +.2、若42020-=n n C C ,求n课后作业1、计算:(1)2830C (2)58605760C C +2、求证:(1)5105958575655C C C C C =++++ (2)1212++-+=++m n m n m n m n CC C C3、解方程:112315---=+X x x x x C C C教学后记相关文档：更多相关文档请访问：。
组合数的性质教案
组合数的性质教案教案标题：组合数的性质教案教案目标：1. 理解组合数的概念和计算方法。
2. 掌握组合数的性质，包括乘法原理、加法原理和二项式定理。
3. 能够应用组合数的性质解决相关问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入组合数的概念，通过举例说明组合数的应用场景，如从一组物品中选择若干个物品的可能性等。
知识讲解：2. 介绍组合数的计算方法，包括排列和组合的区别，以及组合数的计算公式。
3. 讲解组合数的性质：a. 乘法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，则两个事件同时发生的方式有m * n种。
b. 加法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，且这两个事件不可能同时发生，则这两个事件发生的方式有m + n种。
c. 二项式定理：展开二项式(a + b)^n，可以得到一系列组合数。
示例演练：4. 给出一些实际问题，要求学生利用组合数的性质解决问题。
例如：a. 从10个人中选出3个人组成小组，共有多少种可能的组合？b. 从一副扑克牌中随机抽取5张牌，共有多少种可能的抽取方式？c. 展开二项式(x + y)^4，写出各项系数。
巩固练习：5. 提供一些练习题，让学生巩固对组合数的理解和应用。
鼓励学生积极参与讨论和解答问题。
总结：6. 总结本节课所学内容，强调组合数的概念和性质，并提醒学生在实际问题中运用组合数的方法。
拓展活动：7. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与组合数相关的问题，并尝试解决，以提高他们的综合应用能力。
教学资源：- 白板/黑板和可擦笔- 教学课件或投影仪- 练习题和答案评估方法：- 教师观察学生的参与度和讨论质量。
- 练习题的完成情况和答案的正确性。
注意事项：- 确保学生已经掌握了排列和组合的基本概念。
- 鼓励学生多思考和动手实践，培养解决问题的能力。
- 根据学生的学习进度和理解情况，适当调整教学内容和难度。
数学中的排列与组合
数学中的排列与组合数学中的排列与组合是一种重要的组合数学概念，它们在数学、计算机科学、概率论等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、性质以及具体应用三个方面介绍数学中的排列与组合。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行排列的方式数称为排列数，通常用P(n,m)表示。
排列的计算公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其排列顺序。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合的方式数称为组合数，通常用C(n,m)表示。
组合的计算公式为C(n,m) =n!/(m!(n-m)!)。
二、性质1. 互补性质：排列数和组合数之间存在互补关系。
即，P(n,m) =C(n,m) * m!。
2. 递推性质：排列数和组合数之间存在递推关系。
即，P(n,m) =P(n-1,m) + P(n-1,m-1)，C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
3. 乘法原理：如果事件A可以以m种方式发生，事件B可以以n种方式发生，则事件A和事件B同时发生可以以m * n种方式发生。
4. 加法原理：如果事件A可以以m种方式发生，事件B可以以n 种方式发生，且事件A和事件B不可能同时发生，则事件A或事件B 发生可以以m + n种方式发生。
三、具体应用排列与组合在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 抽奖问题：假设有10个人参加抽奖活动，要从中选取3个人中奖。
这是一个组合问题，根据组合的计算公式C(10,3)，我们可以得知共有120种方式可以进行抽奖。
2. 座位安排问题：某场演出有10个观众，座位有10个，要求每个观众坐一个座位。
这是一个排列问题，根据排列的计算公式P(10,10)，我们可以得知共有 10! = 3,628,800 种方式可以进行座位安排。
组合数的性质及应用 课件(53张)
(2)性质 2 的正用、逆用及变形使用： 正用时是“合二为一”，逆用时则是将组合数 Cmn＋＋11拆为两个； 性质 2 还可变形为 Cmn ＋1＝Cmn＋＋11－Cmn ，在一些题目中可简化求和．
1．若 Cx6＝C26，则 x 的值为(
A．2
B．4
C．0
) D．2 或 4
D [由 Cx6＝C26可知 x＝2 或 x＝6－2＝4．故选 D．]
[解] (1)分步：首先从 4 名内科专家中任选 2 名，有 C24种选法， 再从除内科专家的 6 人中选取 4 人，有 C46种选法，所以共有 C24·C46＝ 90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 法一：按选取的内科专家的人数分类： ①选 2 名内科专家，共有 C24·C46种选法； ②选 3 名内科专家，共有 C34·C36种选法； ③选 4 名内科专家，共有 C44·C26种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽 调方法．
(5)这是部分均匀不编号分组问题． 同(2)中思路，第一步共 C59C24C22种放法． 这次同样不是平均分配，但恰有 2 个箱子装的书本数一样，因此 是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着 2 本书的 2 个箱子的排列顺序，因此应除以这 2 个箱子的全排列数，即 C59C24C22÷A22 ＝378． 故共有 378 种不同的分配方法．
[解]
(1)
原
式
＝
C
3 8
＋
C
2100 ×1
＝
83××72××61＋1020××199＝
56
＋
4
950＝5
006．
(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32． (3)原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n．
组合数的性质(2)
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质1 C
m n
=
C
nm n
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
29
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
Thank you！
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
《组合数的性质》讲义
《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, k)。
其计算公式为：C(n, k) ＝ n! ／ k!（n k)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n ×（n 1) ×（n 2) × ··· × 2 × 1 。
二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, k) ＝ C(n, n k) 。
这意味着从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n k 个元素的组合数是相等的。
例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的组合数 C(5, 2) 与从 5 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(5, 3) 是相等的。
我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。
C(5, 2) ＝ 5! ／（2! × 3!）＝ 10 ，C(5, 3) ＝ 5! ／（3! × 2!）＝ 10 ，两者相等。
这种对称性在解决组合问题时，可以灵活地选择计算量较小的一种方式进行计算。
2、递推性质组合数还具有递推性质，即 C(n, k) ＝ C(n 1, k 1) ＋ C(n 1, k) 。
这个性质可以通过实际的组合情况来理解。
假设我们要从 n 个元素中选取 k 个元素，我们可以分为两种情况：第一种情况，包含第 n 个元素。
那么在剩下的 n 1 个元素中选取 k1 个元素，组合数为 C(n 1, k 1) 。
第二种情况，不包含第 n 个元素。
那么就在剩下的 n 1 个元素中选取 k 个元素，组合数为 C(n 1, k) 。
将这两种情况的组合数相加，就得到了从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数 C(n, k) 。
利用这个递推性质，可以通过较小规模的组合数逐步计算出较大规模的组合数，从而简化计算过程。
3、加法性质C(m ＋ n, r) ＝∑（i ＝ 0 到 r) C(m, i) × C(n, r i) 。
7.3.2组合数的性质和应用1
c
m n 的计算简化
c c
9
98
7
97 9
2
100 99 c100 c100 1 2 4950
9 8 c9 36 1 2
2
（2）当m=n时, 有
c c 1
n n
n
0
所以规定
c
0 n
1
性质2
1、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑 球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？
●小结
1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排， 合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合 理分类）和间接法（排除法）. 作业P26 习题1、6、7、8
解：
⑴ ⑶
C 56
C 35
3 7
3 8
⑵
C 21
2 7
我们发现：
C
3 8
= C
3 7
+ C
2 7
为什么呢?
我们可以这样解释：从口袋内的8个 球中所取出的3个球，可以分为两类：一 类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此 根据分类计数原理，上述等式成立．
定理 2:
证明: C
m n
C
C
m- 1 n
．
（7）6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去， 去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 63 （8）在所有的三位数中，各位数字从高到低 3 3 顺次减小的数共有 个 A 10 / A 3 120
高中数学组合 (4)
三、相同元素分配,隔板处理
练习1： 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛, 每校至少有1人,这样有几种选法?
练习2：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒 至少1球的放法有多少种？ 变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可 空，不同的放法有多少种？
二、相同元素不相邻问题
例：某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C 2C 3C C 126
1 6 2 6 3 6 4 6
种分法.
例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
4
4 256种方法；
2 3 A.(C C7 )(C7 C82 ) 3 2 C.C C C7 C8 3 8 3 2 8 7
C
3 2 3 B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不 都入选的不同选法种数共有（ ）
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
练习： 10名学生均分成2组，每组选出正、 副组长各1人，共有多少种不同的方法？
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
组合数表示方法 括号
组合数表示方法括号组合数是数学中的一个概念，用来表示从n个不同元素中选取r个元素的不同组合的数量。
在组合数中，元素的顺序不重要，只考虑元素的选择。
一、组合数的定义组合数可以用C(n, r)表示，表示从n个不同元素中选取r个元素的不同组合的数量。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
r!表示r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
二、组合数的应用1. 排列组合问题组合数在排列组合问题中有广泛的应用。
例如，从一组人中选取若干人组成小组，或从一组物品中选取若干物品进行组合等。
在这些情况下，我们需要计算不同组合的数量。
2. 概率统计组合数在概率统计中也有重要的应用。
例如，在抽样调查中，我们需要计算不同样本的组合数来估计总体的特征。
又如，在生日悖论中，我们需要计算在一群人中至少有两个人生日相同的概率，就需要用到组合数。
三、组合数的性质1. 对称性组合数具有对称性，即C(n, r) = C(n, n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的组合数与从n个元素中选取剩下的n-r个元素的组合数是一样的。
2. 递推关系组合数具有递推关系，即C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)。
这个递推关系可以用来求解组合数，减少计算量。
3. 组合恒等式组合数还有一些恒等式，如C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，C(n, 0) = C(n, n) = 1等。
这些恒等式可以用来简化组合数的计算。
四、组合数的计算方法1. 逐个计算最简单的方法是逐个计算组合数。
根据组合数的定义，可以按照公式计算组合数的值。
这种方法适用于规模较小的组合数计算，但对于大规模的组合数计算效率较低。
2. 递推计算利用组合数的递推关系，可以通过递推计算的方法求解组合数。
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巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
得:C259
4095
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
C63 20
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C130 120
五.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
横8竖构成的方格图,从
B
A到B只能上行或右行
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 C120 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种C140方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各
有 C21种取法,所以一共有 C140C21C21C21C21 336种0 取法.
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
C53 C51C41 C51 35 或C74 35
练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个 组，则分组的种数是多少？
C122
C120 A33
C82
C63 C33 A22
练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人，
则分组的种数是多少？
C52
C31
C21 A33
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
2.组合数性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n 1
Cnm
C m1 n
组合数的应用
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@ 新疆奎屯
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有 A73 210 条， 其中不过原点的直线有 A61 A62 180 条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
8
8
8
8
8
例2．计算：
C
3 7
C
4 7
C85
C96
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96
C84 C85 C96
(C84 C85 ) C96
C95 C96
C160 C140
1098 7 210 4!
变式：求证：Cnn
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
= Cnm
Cnnm
注 C (1)当m n 时,利用这个公式可使 m的计算简化
(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C130种
取法,3双鞋中取出1双有 C31种方法,另2双鞋中各取1只
有 C21C21种方法故共有 C130C31C21C21 1440种取法.
• 变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把 球全部放入盒内。（假设盒子足够大）
• （1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球， 有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有 几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种 放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法 ？
·2007·
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分成三份，每份两本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
n!
n m!(n m)!
Cnm
n!
n (n m)![n (n m)]!
n!
m!(n m)!
引例2： 一个口袋内装有大小相同的7个白球和 一个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
C
3 8
876 3!
56
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
3.求值 : (1)C54 C64 C74 C84 C94 C140
(2)C31 C42 C53 C64 C4319
4.已知Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn K
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
七.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
多少种取法?
C
2 7
76 2!
21
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多
少种取法?
C
3 7
7
6 3!
5
35
C C C 3 2 3
8
7
7
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以
分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根
据分类计数原理,上面等式成立.
（A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
• 变式1：为美化城市，现在要把一条路上7 盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路 灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色 的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装 方法？
114种
变式 2：某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？某人射击 8 枪，命中 4 枪， 且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？
六.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数