大学课程概率统计学第1-7章复习课件
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概率统计简明教程全套PPT课件
一般可以用极差来反映数据的分散程度。
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5.样本相关系数：
rxy
n
(xi x )( yi y )
i 1
n
n
(xi x )2
( yi y )2
i 1
i 1
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4.2 统计中常用的三种分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统计 中常用到如下三个分布：
2—分布、 t —分布和F—分布。
t (n)
第17页/共27页
三、F—分布
1.构造 若U ~2(n)， V~2(m)，U， V独立，则
F U / n ~ F(n, m). V /m
称为第一自由度为n，第二自由度为m的F—分 布,其概率密度为
h(
y)
(n m)(n / 2
(
n 2
)(
m 2
)(1
m)n/ 2
y
n 1 2
n y)(nm)/2 m
数理统计基本概念
• 引言 • 总体与样本 • 统计中常用的三种分布 • 抽样分布
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引言
数理统计学是数学的一个重要分支，它研究怎样 有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以 对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一定
的决策和行动提供依据和建议。
几个实际问题：
1.某厂日产灯泡30000只，每只使用寿命不超过1000H 为次品，如何确定该灯泡每天的次品率？
(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
limf (t) (t)
1
t2
e 2 , x
n
2
3.分位点
设T～t(n)，若对
:0<<1,存在t(n)>0，
概率统计各章节知识点总结.ppt
概率统计各章节总结
第一章
概率的计算
1）统计定义： fn ( A) n 稳定值 P( A)
2）概率的性质：1~5
3）等可能概型：P(
A)
m n
4）条件概率：P(B
A)
k m
P( AB) P( A)
独立
5）乘法定理： P( AB) P( A)P(B A) P(A)P(B)
1 P(A B)
A AB1 U AB2
1 n
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 , , X n , 相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 , , X n , 相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
Xn ~ B(n, p)
Xn np
X ~ N (, 2 ) Th1 X ~ N (, 2 n),
Th2
X1, X 2 , , X n (n 1)S 2 2 ~ 2(n 1) 独立
X , S 2
1n X n i1 X i
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X ~ t(n 1)
Sn
第六章
常用统计量及抽样分布
2统计量
6）全概率公式：P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
7）贝叶斯公式：P(B1
A)
P(B1 )P( A B1 ) P( A)
A
B1
互斥
B2
第二章
随机变量概率分布
离散型随机变量
连续型随机变量
第一章
概率的计算
1）统计定义： fn ( A) n 稳定值 P( A)
2）概率的性质：1~5
3）等可能概型：P(
A)
m n
4）条件概率：P(B
A)
k m
P( AB) P( A)
独立
5）乘法定理： P( AB) P( A)P(B A) P(A)P(B)
1 P(A B)
A AB1 U AB2
1 n
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 , , X n , 相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 , , X n , 相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
Xn ~ B(n, p)
Xn np
X ~ N (, 2 ) Th1 X ~ N (, 2 n),
Th2
X1, X 2 , , X n (n 1)S 2 2 ~ 2(n 1) 独立
X , S 2
1n X n i1 X i
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X ~ t(n 1)
Sn
第六章
常用统计量及抽样分布
2统计量
6）全概率公式：P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
7）贝叶斯公式：P(B1
A)
P(B1 )P( A B1 ) P( A)
A
B1
互斥
B2
第二章
随机变量概率分布
离散型随机变量
连续型随机变量
概率统计7章ppt课件
i1
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1
n
n
ln L( p) ln( p) xi ln(1 p)(n xi )
i1
i1
n
n
ln L( p) ln( p) xi ln(1 p)(n xi )
i1
i1
d ln L( p) dp
记为
—— 样本的似然函数
满足条件: 为θ的最大似然估计值； 为θ的最大似然估计量；
具体算法：
令
例1 设x1,x2,…,xn是取自总体 X~b(1, p) 的一个
样本值，求参数p的最大似然估计值。
解 P{X x} px (1 p)1x , x 0,1
n
似然函数为: L( p) pxi (1 p)1xi
Fisher
最大似然法的基本思想：
假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个， 如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次 是白球，试估计黑球所占的比例？
准备内容： 当总体X是离散型， 分布律改写为：
以泊松分布为例，
⑴ X 为离散型
分布律为
为X 的样本，
，其中θ未知。 为X 的样本值，
解 1 E(X ) (a b) / 2
2
E(X
2)
D( X
)
E2(X
)
(b a)2 12
(a
b)2 4
令
A1 A2
1 2
a (b a)2 12
b 2A1 (a b)2
4
概率与统计课件第一章
Throwing a die
Chevalier De Mere
Blaise Pascal
Pierre de Fermat
Classical probability古典概率
Suppose a game has n equally likely outcomes, of which m outcomes The correspondence between Pascal and Fermat
changed only when an error has been made; negotiation is not appropriate
• Any questions?
Origins
• Let’s date back to 1650’s in France
• Gambling was fashionable
• Assignments submitted by a studying group（作业）25%
• A study group consists of up to 3 students, and they will receive the same grade on each submission of their homework
tools • To think in a probabilistic and statistical way
Contents to be covered
Probability
Distribution
Joint
分布
Dist.
Discrete random variables
Continuous random variables
• Course project （课程项目）15% (written report + oral presentation)
概率论和统计学基础知识PPT课件
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
• 本着目的性、联系性、简明性三大原则，统计整理可以分为3类，分别是定期统 计报表数据的整理、专题性统计数据的整理和历史统计数据的整理。
• 数据整理的一般过程有以下5部组成： • （1）对搜集到的资料进行全面审核，以确保统计资料符合统计研究目的的要求，
资料准确无误，这是数据整理的起点、也是数据分析的重要环节。 • （2）根据研究目和统计分析的需要，选择整理的标志，并进行划类分组，这部
2.4.2 数据的整理
• 统计整理：就是对搜集得到的初始数据进行审核、分组、汇总，使之条理化、 系统化，变成能反映总体特征的综合数据的工作过程，而且，对已整理过的资 料（包括历史资料）进行再加工也属于统计整理。统计整理是整个统计工作和 研究过程的中间环节，起着承前启后的作用，同时也是统计调查的继续，又是 统计分析的基础，还是积累历史资料的必要手段。
决于事物本身的特点。对于有些事物构成比较复杂，组数可多可少的情况， 就需要考虑统计研究任务的具体要求。人口统计时，性别比例的统计就属 于属性分组方法。 • 变量分组的方法：是按数量标志分组的方法，分组时各组数量界限的确定 必须能反映事物质的差别，而且，应根据被研究的现象总体的数量特征， 采用适当的分组形式，确定相宜的组距、组限。人口统计中的年龄结构计 算应属于变量分组方法的应用范畴。
面运用最多的有分布、t分布和F 3个比较重要的
概率统计基础PPT课件
A .r=0
B．r=1
C．r<0
D．r>0
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8、10个产品中有3个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回）直到把3个不合格品都取出，至少
抽（A ）次才确保抽出所有不合格品。
A 13
B9
C8
D7
29
9、15个产品中有5个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回），直到把5个不合格品都取出，
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（五）样本数据的整理
从总体X中获得的样本是总体的一个缩影，需要对样本数据进
行加工，将有用信息提取出来，以便对总体有所了解。
对数据加工有两种方法：一是计算统计量；二是利用图形与
表格。
19
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三、正态概率纸 1、用来检验一组数据是否来自正态分布 2、在确认样本来自正态分布后，可在正态概率纸上作出正态 均值与正态标准差的估计 3、在确认样本来自非正态分布后，可对数据作变换后再在正 态概率纸上描点，若诸点近似在一条直线附近，则可认为变 换后的数据来自某正态总体，常用的变换有如下两个：
10
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（二）二项分布 1、重复进行 n 次试验； 2、 n 次试验间相互独立； 3、每次试验仅有两个可能结果； 4、成功的概率为p，失败的概率为1-p
在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出 现的次数，则有
P( X x) n p x (1 p)nx x 0,1,, n x
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（三）正态分布
1、正态分布的概率密度函数
p(x)
1
统计与概率ppt课件
占总数的百分比。
从图中能清晰地看出 作用 各数量的多少，便于
相互比较。
从图中既能看出数量的多 从图中能清晰地看出各部
少，也能清晰地看出数量 分占总体的百分比，以及
的增减变化情况。
部分与部分之间的关系。
-
3.条形统计图绘制的步骤和方法：（1）根据纸张的大小画出两条互相垂 直的射线；（2）通常在横轴上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔 ；（3）通常在纵轴上根据数据大小的具体情况，确定单位长度；（4）按照 数据的大小画出长短不同的直条，并标明数量；（5）写上统计图的名称并标 明制图时间。
-
统计
续表
（3）扇形统计图用整个圆表示总数，用圆内的扇形表示各部分，扇形统计 图可以清楚地反映出各部分与总数之间的关系。 3.平均数：总数量÷总份数=平均数。
1.生活中，有些事件的发生是不确定的，一般用“可能”来描述，有些事件 的发生是确定的，一般用“一定”或“不可能”来描述。 2.事件发生的可能性是有大小的，事件发生的可能性的大小与物品数量的多 可能性 少有关。数量多，可能性大；数量少，可能性小。 3.体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，能设计出公平的、符合指 定要求的游戏规则。
-
例 1 丽丽统计的本班20位学生体重如下。（单位：kg） 男生：37 42 39 40 46 41 40 43 44 39 女生：29 32 40 41 27 35 36 33 34 38 数一数，把下面的统计表补充完整。
体重/kg 32以下
32～35
36～39
40～43错答案：0 0 3 5 2 错因分析：错解只统计了10位男生的体重情况，而统计表是汇总的20位 同学的整体体重情况。 满分备考：根据各初始数据统计整理数据时，一定要做到不重不漏。
概论与统计课件第一章 随机事件及概率
例 1 (1)太阳从东方升起 (2)边长为a的正方形的面积为a2 (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
（1)（2)（3）为确定性现象
例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上 (5)掷一枚骰子，向上的点数为2 (6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白球
（4）（5）（6）为随机现象
概率论与数理统计：研究和揭示随机现象的统计 规律性的一门数学学科
样本空间
样本空间
样本空间
A
B
A B
BA
A B
在例1中 A={取到5号球} B ={取到编号是奇数的球} 则Ｂ－Ａ＝{取到编号是1,3,7,9的球}
5、事件的互不相容（互斥）
若两事件Ａ与Ｂ不可能同时发生，即A∩B=φ，则 称事件Ａ与Ｂ互不相容（或互斥）；否则称Ａ与Ｂ是相容。
注：基本事件之间互不相容 样本空间
A
A
注 (1）对立事件是相互的:A是A的逆，A也是A的逆
A A A A, A A
（2）一般 A – B = A-AB =AB
在例1中， A={取到编号是奇数的球}，
B ={取到编号是偶数的球}
则：事件A与事件Ｂ是对立事件, 即Ｂ= A。
** 对立事件与互不相容事件的联系与区别
1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。
i=1
（1） A1∪A2∪…∪An =
(2) AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，
称这 n 个事件构成一个完备事件组（或Ω的一个划分）
在例1中，设：Fi={取到 i 号球}，(i=1,2,…,10)
则：每个事件Fi是基本事件，且 Fi=，
即：全体Fi构成完备事件组。
注：样本空间中全体基本事件构成完备事件组。
（1)（2)（3）为确定性现象
例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上 (5)掷一枚骰子，向上的点数为2 (6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白球
（4）（5）（6）为随机现象
概率论与数理统计：研究和揭示随机现象的统计 规律性的一门数学学科
样本空间
样本空间
样本空间
A
B
A B
BA
A B
在例1中 A={取到5号球} B ={取到编号是奇数的球} 则Ｂ－Ａ＝{取到编号是1,3,7,9的球}
5、事件的互不相容（互斥）
若两事件Ａ与Ｂ不可能同时发生，即A∩B=φ，则 称事件Ａ与Ｂ互不相容（或互斥）；否则称Ａ与Ｂ是相容。
注：基本事件之间互不相容 样本空间
A
A
注 (1）对立事件是相互的:A是A的逆，A也是A的逆
A A A A, A A
（2）一般 A – B = A-AB =AB
在例1中， A={取到编号是奇数的球}，
B ={取到编号是偶数的球}
则：事件A与事件Ｂ是对立事件, 即Ｂ= A。
** 对立事件与互不相容事件的联系与区别
1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。
i=1
（1） A1∪A2∪…∪An =
(2) AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，
称这 n 个事件构成一个完备事件组（或Ω的一个划分）
在例1中，设：Fi={取到 i 号球}，(i=1,2,…,10)
则：每个事件Fi是基本事件，且 Fi=，
即：全体Fi构成完备事件组。
注：样本空间中全体基本事件构成完备事件组。
北京理工大学《概率论与数理统计2》课件-第七章 总复习
S
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
它反映了总体 标准差的信息
37
它反映了总体k
阶矩的信息
3(1) 样本k阶原点矩
an,k
1 n
n
X
k i
,
Байду номын сангаас
k
1,
2,
i1
(2)样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶
中心矩的信息
mn,k
1 n
n i1
(Xi
X )k ,k
2, 3,
特别
an,1 X
mn,2
1 n
有时也根据总体分布的类型来称呼总体 的名称，如正态总体、二项分布总体、0-1分 布总体等等.
11
1.2.2. 样本空间和样本的两重性 1 样本空间
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验， 以获得有关总体的信息，这一抽取过程称 为 “抽样”
所抽取的部分个体称为样本(或子样). 样本中所包含的个体数目称为样本容量.
设样本X1, X 2 , , X ni.i.d., X1 ~ N (, 2 ), 其中和 2未知.
设样本X1, X 2 , , X ni.i.d., X1 ~ Exp(), 其中未知.
这些未知的量只有通过样本去估计. 统计学上把出现在样本分布中的未知的 常数称为参数.
25
在一些问题中，参数虽然未知，但根据 参数的性质可以给出参数取值范围.
33
注1：统计量只与样本有关，不能依赖 任何未知参数
注2：统计量既然是依赖于样本的，而
后者又是随机变量，即统计量是随机变量
的函数，故统计量是随机变量，具有概率
概率论与数理统计ppt课件
P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
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§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
最详细概率统计期末总复习精品PPT课件
第 五 章
1. 大数定律 2. 中心极限定理的应用
第 1. 统计量 总体 样本
六 2. 常用“三大分布”定义 性质
章
各分布分位点定义及查表
第 1. 点估计的两种方法
七
及评价标准
章 2. 参数的区间估计（重点：
单正态总体）
第 1. 假设检验的有关概念 八
章 2.参数的假设检验（重点：
单正态总体）
假设检验步骤(三部曲)
P(B | B0 ) 0 P(B | B1) 0.2 P(B | B2 ) 0.6 P(B | B3) 0.8
B0 A甲 A乙 A丙
P(B0) P A甲PA乙 PA丙 0.6 0.5 0.3 0.09
B1 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙
P(B1) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36
1
0
( 2已知)
检验统计量
U X 0 / n
0
2
0
0
( 2未知)
t X 0 Sn* / n
2
2 0
3
2
2 0
2
2 0
(未知)
2
(n
1)Sn*2
2 0
备择假设H1
0 0 0
拒绝域
u u u u u u /2
0 0 0
2
2 0
2
2 0
2
2 0
t t (n 1) t t (n 1) t t /2(n 1)
① P(18 Y30 22) P( Y30 E(Y30) 2)
②
P(18 Y30
1 D(Y30)/ 4 0.7
22)
概率与统计第7章——概率论课件PPT
ˆ 是θ的无偏估计，并不保证在任何情况下 （即对于任何一次样本观测值），估计值 ˆ (x1,x2,…,xn)必等于θ 。
无偏性只保证没有系统偏差，即用 ˆ估计θ时， 偏差 ˆ 是随机的，有时大于零，有时小于 零，而平均为零。显然，平均为零这一点只有 在大量重复使用时才能体现出来。 但是选取的样本容量是有限的
在统计分析中，经常需要根据样本数据推断
总体的情况，这一过程被称为统计推断 .
统计推断
估计
参数估计区点间估估计计
非参数估计
检验
……（第八章）
参数估计是统计推断的主要方法，也是数理统计
的基本内容.
2
在参数估计问题中，假定
形式已
知，未知的仅仅是一个或几个参数.
参数估计问题的一般提法
已知统计总体的分布函数为 F(x, )，
6
7.1 点估计及其优良性
7.1.1 点估计的概念
例7.1 已知某连续生产线上生产的灯泡的使用寿
命X ~N(, 2)，其中, 2是未知参数，从中随机
抽出5只灯泡，测得使用寿命(单位：h)为： 1529 1513 1600 1527 1411试估 Nhomakorabea, 2的值.
7
由于参数 和2 分别是总体X的均值和方差，即
S 2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
14
那么要问:
样本均值是否是 的一个好的估计量？ 样本方差是否是 2的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题:
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么 特性？
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
15
7.1.2 估计量的优良性 我们知道,对同一未知参数可以构造出许多的 估计量。 评价这些估计量的好坏, 有以下几个标准:
无偏性只保证没有系统偏差，即用 ˆ估计θ时， 偏差 ˆ 是随机的，有时大于零，有时小于 零，而平均为零。显然，平均为零这一点只有 在大量重复使用时才能体现出来。 但是选取的样本容量是有限的
在统计分析中，经常需要根据样本数据推断
总体的情况，这一过程被称为统计推断 .
统计推断
估计
参数估计区点间估估计计
非参数估计
检验
……（第八章）
参数估计是统计推断的主要方法，也是数理统计
的基本内容.
2
在参数估计问题中，假定
形式已
知，未知的仅仅是一个或几个参数.
参数估计问题的一般提法
已知统计总体的分布函数为 F(x, )，
6
7.1 点估计及其优良性
7.1.1 点估计的概念
例7.1 已知某连续生产线上生产的灯泡的使用寿
命X ~N(, 2)，其中, 2是未知参数，从中随机
抽出5只灯泡，测得使用寿命(单位：h)为： 1529 1513 1600 1527 1411试估 Nhomakorabea, 2的值.
7
由于参数 和2 分别是总体X的均值和方差，即
S 2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
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那么要问:
样本均值是否是 的一个好的估计量？ 样本方差是否是 2的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题:
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么 特性？
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
15
7.1.2 估计量的优良性 我们知道,对同一未知参数可以构造出许多的 估计量。 评价这些估计量的好坏, 有以下几个标准:
大学概率与统计课件64页PPT
7
说明 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规 律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
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一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机 试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ,Ａ＝“长度合 格”,Ｂ＝“直径合格”．则CA BAB
18
n
推称 广 A k为 n个事 A 1,A 2,件 ,A n的和 ; 事 k 1
称 A k为可列 A 1,A 个 2,的 事和 件 . 事 k1
n
称A k为 n个事 A 1,A 件 2,,A n的积;事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2,事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
AAA, A , AA, A AA, A A, A .
20
5.事件的差 事件A发生而事件 B不发生
从事件 A中将属于事件 B的基本事件除去,剩下的基本 事件组成的新事件称为 A和 B的差事件,记为AB .
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直 径不合格” ,Ａ＝ “长度合 格”,Ｂ＝ “直径合格”.
3
(2) 随机现象
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又 不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
说明 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规 律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
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一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机 试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ,Ａ＝“长度合 格”,Ｂ＝“直径合格”．则CA BAB
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n
推称 广 A k为 n个事 A 1,A 2,件 ,A n的和 ; 事 k 1
称 A k为可列 A 1,A 个 2,的 事和 件 . 事 k1
n
称A k为 n个事 A 1,A 件 2,,A n的积;事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2,事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
AAA, A , AA, A AA, A A, A .
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5.事件的差 事件A发生而事件 B不发生
从事件 A中将属于事件 B的基本事件除去,剩下的基本 事件组成的新事件称为 A和 B的差事件,记为AB .
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直 径不合格” ,Ａ＝ “长度合 格”,Ｂ＝ “直径合格”.
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(2) 随机现象
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又 不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
复习概率统计知识
P（x1<X<x2）=P（X<=x2）- P（X<=x1）=F（x2）- F（x1）
由此可知，若已知X的分布函数，就知道X在任何区间 上取值的概率。所以，分布函数完整的描述了随机变 量的变化情况。
分布函数F（x）的性质
（1）对一切 x , ，0 F x 1 （2）F x为不减函数 （3）F lim F x 0
（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则 E(X.Y)=E(X).E(Y)
二、方差
表示总体的离散程度，记为Var(.),或2x
2 x V x a E x E r x 2 E x x 2
方差的算术平方根叫标准差。 方差的性质 （1）若c为常数，则Var(c )=0 （2） a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变 量，则(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)
F（ x1，x2，……，xn ）= P(X1x1，X2x2，……， Xnxn)
（x1，x2，……，xn）属Rn，为n元随机变量分布函数。 离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（X,Y） 所有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率 取各个不同数值，则称（X,Y）为二元随机变量。
(X，Y)的联合分布表和联合分布函数
样本和样本容量
总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。 样本中包含的个体的个数称为样本的容量，又 称为样本的大小。 根据样本信息来推测总体的情况，并给出这个 推测的可靠程度，称为推断统计。推断统计要 求抽样是按随机原则选取的，即总体中每个个 体有同样的机会被选入样本。 重复抽样和不重复抽样。
随机变量
分布的数学形式和图形属“技术问题”，精力应集中 于X究竟属于何种分布上。
1. 正态分布
正态分布的定义
由此可知，若已知X的分布函数，就知道X在任何区间 上取值的概率。所以，分布函数完整的描述了随机变 量的变化情况。
分布函数F（x）的性质
（1）对一切 x , ，0 F x 1 （2）F x为不减函数 （3）F lim F x 0
（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则 E(X.Y)=E(X).E(Y)
二、方差
表示总体的离散程度，记为Var(.),或2x
2 x V x a E x E r x 2 E x x 2
方差的算术平方根叫标准差。 方差的性质 （1）若c为常数，则Var(c )=0 （2） a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变 量，则(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)
F（ x1，x2，……，xn ）= P(X1x1，X2x2，……， Xnxn)
（x1，x2，……，xn）属Rn，为n元随机变量分布函数。 离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（X,Y） 所有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率 取各个不同数值，则称（X,Y）为二元随机变量。
(X，Y)的联合分布表和联合分布函数
样本和样本容量
总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。 样本中包含的个体的个数称为样本的容量，又 称为样本的大小。 根据样本信息来推测总体的情况，并给出这个 推测的可靠程度，称为推断统计。推断统计要 求抽样是按随机原则选取的，即总体中每个个 体有同样的机会被选入样本。 重复抽样和不重复抽样。
随机变量
分布的数学形式和图形属“技术问题”，精力应集中 于X究竟属于何种分布上。
1. 正态分布
正态分布的定义
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E[g( X )] g(xi ) pi;
i
性质
E[g(X )]
g(x) f (x)dx.
公式 D( X ) E[X E( X )]2 .
方差D(X)
性质 常见分布的期望和方差
原点矩、中心矩、协方差、相关系数
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第四章 正态分布
X ~ N(, 2)
概率密度、分布函数
令 X μ σ
1.古典概型,伯努利概型;
计算概率的方法 2.条件概率, 概率乘法, 全概率公式,贝叶斯公式; 3. 随机事件的独立性.
2020/6/30
2
第二章
随机变量 及其概率
1.一维随机变量
定义； 分类；
分布律；
离散随机变量 分布函数，及概率计算；
超几何分布、二项分布、泊松分布；
概率密度函数；
连续随机变量 分布函数，及概率计算；
总体X
基本概念
样本(X1, X2,…, Xn)
统计量g(X1, X2,…, Xn):常用统计量
2 (n)分布
t (n)分布
三大抽样分布 F(n1,n2 )分布
上 分位点: 2 (n), t (n), F(n1,n2 ),z
Z X ~ N(0,1)
正态总体X下 统计量的分布
2
n (n 1)S2
Z检验法 ( 2已知)
第7章
选择统计量Z X - ~ N(0,1) n
假设检验 单个正态总
拒绝域 | z | z ; z z ; z z 2
体X下均值μ t检验法 ( 2未知)
的检验
选择统计量t X - ~ t(n -1)
Sn
拒绝域| t | t (n 1);
2
t t (n 1); t t (n 1)
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均匀分布、指数分布、正态分布；
2.二维随机变量
离散型：联合分布律，概率计算 连续型：联合概率密度，概率计算
边缘分布、条件分布、独立性、
随机变量函数的分布（一维，二维（和、极值分布））
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第三章 随机变量 数字特征
数学期望E(X)
定义 E( X ) xi pi.
i
E( X ) xf (x)dx.
2
~ 2(n 1).
t X ~ t(n 1) Sn
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点估计 点估计量 ˆ(X1, X 2, , X n )
点估计值ˆ(x1, x2, , xn )
基本思想:样本矩依概率收敛于总体矩
矩估计法 设总体X有k个待估参数
第6章
令 Al E(X l ), l 1,2, , k k个方程组
参数估计
解得矩估计量
基本思想:一次抽样中,若得到观测值
最大似然 x最1,大…，，选xn，择则使认概为率此最事大件的发统生计的量概。率
估计法 关键：写出似然函数L(θ)，求似然函
数的最大值点
估计量的评价标准：无偏性、有效性
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基本思想,方法;显著性检验,显著性水平
基本概念 第I类错误，第II类错误
双边检验，左边检验，右边检验
X ~ N(0,1)
概率计算P( x1 σ
μ)
Φ(
x1 σ
μ ).
数字特征 E( X )
D( X ) 2
性质：线性性，可加性、线性组合性，系
二维正态分布：2个结论
独立同分布定理
中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯定理
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第5章样本及 其抽样分布
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期末考试
时间：2014-1-2 下午2:00 考试总时间90分钟 考试题型：一、单项选择题（每题4分，共10题）
二、填空题（每空3分，共6题） 三、计算题（共42分，共4题）
2020/6/30
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关系及运算; 样本空间、随机事件 运算定律;
第一章
随机事件 及其概率
随机事件的概率
统计定义, 公理化定义; 性质；