振动与波习题课及课后作业解答

-6
2
1
t(s) a
a点: X0=-A/2,v0<0
3 π π 2 3 = 7π ω= 1 0 6
或由曲线的 ωta+ = 2π/3+2π 对称性从初 始到1s时刻 始到 时刻 8 π 和从1s到 状 π 和从 到a状 3 = 2 s 态应经历相 ta = 3 7 同的时间 π 6
3. 质量为 质量为0.1kg的小球与轻弹簧组成的弹簧振子 按X=0.1 的小球与轻弹簧组成的弹簧振子, 的小球与轻弹簧组成的弹簧振子 cos(8πt+2π/3)的规律作谐振动 的规律作谐振动,(SI), 求: + 的规律作谐振动 (1) 振动周期,振幅,初相及速度,加速度的最大值; 振动周期,振幅,初相及速度,加速度的最大值; (2) 求最大弹性力及振动能量 求最大弹性力及振动能量. 解:由振动方程知A=0.1m, ω=8π, =2π/3 v=-0. 8πsin(8πt+2π/3) + a=-6.4π2sin(8πt+2π/3) + T=2π/ω=0.25s
( A) k / m /( 2π )
x kx = k1 k1 = 3k 3
( B ) 6k / m /( 2π )
(C ) 3k / m /( 2π ) ( D ) k / 3m /( 2π )
并联 K = 2 × 3k = 6k
5. 已知两谐振动的位置时间及速度时间曲线如图所示 求它们 已知两谐振动的位置时间及速度时间曲线如图所示, 的振动方程. 的振动方程 X(cm) V(cm/s)
vm=0.8π=2.51m/s am=6.4π2=63.1m/s2
k = mω 2 = 0.1× (8π ) 2 = 63.1N / m
Fm=kA=6.31N
1 2 E = kA = 0.316 J 2
4. 一质点在 轴上作简谐振动 选取该质点向右运动通过 点时 一质点在X轴上作简谐振动 选取该质点向右运动通过A点时 轴上作简谐振动, 作为计时起点(t=0), 经过 秒后质点第一次经过 点, 再经过 秒 经过2秒后质点第一次经过 秒后质点第一次经过B点 再经过2秒 作为计时起点 后质点第二次经过B点 若已知该质点在A, 两点具有相同的速 后质点第二次经过 点, 若已知该质点在 ,B两点具有相同的速 率, 且AB=10cm, 求 A,B两点关于原点对称 (1) 质点的振动方程 t=4 B t=2 X A t=0 O (2) 质点在 点处的速率 质点在A点处的速率 点处的速率.
1 1 1 = + K 2 K1 K 2 2 K1 K 2 K= 2 K1 + K 2
K1 K2 m K1
平衡位置 Kx0 = mg
d 2x 任意位置 F = K ( x + x0 ) + mg = Kx = m 2 dt
ω=
K m
x = a cos(ωt + π )
振动习题课后作业(43) 振动习题课后作业 1. 当谐振子的振幅增大到 时, 它的周期不变 速度最大值变为 当谐振子的振幅增大到2A时 它的周期不变 速度最大值变为 不变, 原来的2倍 加速度最大值变为原来的 变为原来的2倍 填增大 减小, 原来的 倍, 加速度最大值变为原来的 倍.(填增大 ,减小,不变 或变几倍) 或变几倍 2. 如图所示质点的谐振动曲线所对应的振动方程 如图所示质点的谐振动曲线所对应的振动方程(D) (A) X=2cos(3t/4+π/4) (m) (B) X=2cos(πt/4+5π/4) (m) (C) X=2cos(πt-π/4) (m) (D) X=2cos(3πt/4-π/4) (m) - -
A2 =
A 2 + A12 2 AA1 cos 60° = 10 3
60° °
A1
4. 一劲度为 的轻弹簧截成三等份 取出其中两根 将它们并联在 一劲度为k的轻弹簧截成三等份 取出其中两根, 的轻弹簧截成三等份, 一起, 下面挂一质量为m的物体 则振动系统的频率为(B) 的物体, 一起 下面挂一质量为 的物体 则振动系统的频率为
v 0 = 65m s 1 u = 334m s 1
(1)声源运动的前方 声源运动的前方: 声源运动的前方 u vs 334 30 λ1 = = = 0.281m ν 1080 声源运动的后方: 声源运动的后方 u + vs 334 + 30 λ2 = = = 0.337 m ν 1080
334 + 65 = × 1080 = 1418 Hz 334 30
Y a 9λ/8 λ/2 b X
2. 如图 在X=0处有一平面余弦波波源 其振动方程是 如图, 处有一平面余弦波波源, 处有一平面余弦波波源 Y=Acos(ωt+π), 在距 点为 在距O点为 点为1.25λ处有一波密媒质界面 处有一波密媒质界面MN, 则O, 处有一波密媒质界面 , λ 3λ 5λ B间产生的驻波波节的坐标是 间产生的驻波波节的坐标是 ; ; . 4 4 4 M ,波腹的坐标是 λ 0; ; λ . 2 反射波在O点的初相: 反射波在 点的初相: 点的初相
(2) 设振动方程为
x = A cos(ωt + 0 )
vm = Aω = 10cm / s
10
0
∴ v = Aω sin(ωt + 0 )
由v—t图知 图知: 图知
V(cm/s)
2π 4 T = π ∴ ω = = 5rad s 1 10 T vm A= = 2cm
1
2
3
4
t(π/10)s -10
t x 反射波为沿x轴正向传播的波 其波动方程 反射波为沿 轴正向传播的波.其波动方程 y2 = A cos[ 2π ( T λ )] 轴正向传播的波 其波动方程: (2)合成波为驻波 其方程为 合成波为驻波,其方程为 合成波为驻波 其方程为:
π y = y1 + y2 = 2 A cos( 2λ x ) cos( 2π t ) T
.
.
由题意:2θ=π-2θ t=0 =5π/4
θ=π/4 θ θ O θ X
π / 4 (π / 4) π ω= = = 2 4 t
A cos
π
4
= 5cm
A = 5 2cm
5π v = 5 2 sin = 3.92cm / s 4 4
π 5π x = 5 2 cos( t + )cm 4 4
2 A v0 > 0 t=0: x0 = 2 = 2 π = 4 t=1: x = 0 v < 0 π 3π ωt + = ω= 2 4
X(m) 2 0 1
t(s)
3. 两个同方向同频率的谐振动 其合振幅为 两个同方向同频率的谐振动, 其合振幅为20cm, 合振动周相 与第一个振动的周相差为60° 第一个振动的振幅为 第一个振动的振幅为A 与第一个振动的周相差为 °,第一个振动的振幅为 1=10cm , 则第一振动与第二振动的周相差为(B 则第一振动与第二振动的周相差为 ) A (A) 0 (B) π/2 (C) π/3 (D) π/4 A2
( x ≥ 0)
λ
2 ; (k = 0,1, LL)
波腹
π A = 2 A cos 2λ = 2 A
∴x = k
π 波节: 波节 A = 2 A cos 2λ = 0
x = (2k + 1) λ ; (k = 0,1, LL) 4
5.一声源的频率为 一声源的频率为1080Hz,相对于地以 相对于地以30m/s的速率向右运动 在其 的速率向右运动, 一声源的频率为 相对于地以 的速率向右运动 右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动 设空气的声速为 的速率向左运动, 右方有一反射面相对于地以 的速率向左运动 334m/s, 求: (1) 声源在空气中发出声音的波长; 声源在空气中发出声音的波长 (2) 每秒钟到达反射面的波数 每秒钟到达反射面的波数; (3) 反射波的速率 反射波的速率; (4) 反射波的波长 1 u + v0 解: ν = 1080Hz v s = 30m s (2) ν ′ = ν
振动习题课(42) 振动习题课 1. 一质点作谐振动 周期为 它由平衡位置沿 正方向运动到离 一质点作谐振动, 周期为T, 它由平衡位置沿X正方向运动到离 最大位移一半处所需要的最短时间为( ) 最大位移一半处所需要的最短时间为 [D] (A) T/4 (B) T/6 (C) T/8 (D) T/12
.
u = 340m s 1
vs = 72km / h = 20m s 1
ν = 360 Hz
∴ν ′ =
u ν = 340 Hz u + vs
4. 设入射波的波动方程为 1=Acos2π(t/T+x/λ), 在x=0处发生反射 设入射波的波动方程为Y 处发生反射, 处发生反射 反射点为一自由端,求 反射点为一自由端 求: (1) 反射波的波动方程 (2) 合成波的方程 并由合成波方程说明哪些点是波腹 哪些点 合成波的方程,并由合成波方程说明哪些点是波腹 并由合成波方程说明哪些点是波腹,哪些点 是波节. 是波节 y20 = A cos(2πt / T ) 反射波在反射点0点振动方程为 解:(1)反射波在反射点 点振动方程为 反射波在反射点 点振动方程为:
2 1 0 1 -1 -2 -10 10
t(π/10)s
t(s) 0
1 2 3 4
解(1)设振动方程为 x = A cos(ωt + 0 ) 设振动方程为 图可知: 由x—t图可知 A = 2 cm 图可知
t = 1s ,
3 ωt + = π 2
t = 0, x0 = A cos = 1; v0 = ωA sin > 0 π 4 ∴ω = ∴ = π 6 3 π 4 ∴ x = 2 cos( t + π )cm 6 3
O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤xБайду номын сангаас1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
π
5. 劲度为 1的轻弹簧与劲度为 2的弹簧如图连接 在K2 的下端挂 劲度为K 的轻弹簧与劲度为K 的弹簧如图连接, 一质量为m的物体 的物体, 证明当m在竖直方向发生微小位移后 在竖直方向发生微小位移后, 一质量为 的物体 (1) 证明当 在竖直方向发生微小位移后 系统 作谐振动. 作谐振动. (2) 将m从静止位置向上移动 然后释放任其运动 写出振动方程 从静止位置向上移动a, 从静止位置向上移动 然后释放任其运动, (取物体开始运动为计时起点 X轴向下为正方向 取物体开始运动为计时起点, 轴向下为正方向) 取物体开始运动为计时起点 轴向下为正方向
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
3 ∴ x = 2 cos(5t + π )cm 2
波动三(46) 波动三 1. 某时刻驻波波形曲线如图所示 则a,b两的位相差是 ) 某时刻驻波波形曲线如图所示, 两的位相差是(A 两的位相差是 (A) π (B) π/2 (C) π/4 (D) 0 两波节之间的点同相,一个波节两侧的点反相. 两波节之间的点同相,一个波节两侧的点反相.
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418