(案例分析)里程碑上的数
5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数(教案)
-对于难点三，通过反复练习和讲解，让学生熟悉解方程组的各种技巧。
-对于难点四，通过实际案例的讲解和练习，让学生学会如何将数学解应用于实际问题，并理解其含义。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组--里程碑上的数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过计算两地距离或时间的情况？”比如，计算从家到学校的时间或距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索里程碑问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们讨论成果和实验操作的结果。（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
\[
\begin{cases}
\frac{y}{15} + \frac{y}{10} = 4 \\
\end{cases}
\]
学生在解决这个方程时可能会遇到分数的运算困难，以及如何将总时间与速度的关系正确表达为方程的问题。
在教学过程中，针对这些难点，教师应有意识地通过以下方法帮助学生突破：
-对于难点一，通过实际情境的引入，引导学生观察、分析和抽象问题。
3.培养学生的合作交流能力：在案例分析及练习过程中，鼓励学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
《应用二元一次方程组-里程碑上的数》典型例题
《应用二元一次方程组---里程碑上的数》典型例题例1有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．例2下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价：股票每天交易结束时的价格）某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股．例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99．求这个三位数．例4一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．参考答案例 1 分析 若设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，则这个两位数是x y +10．再根据“个位上的数比十位上的数大5”，“新数与原数的和为143”可以列出两个方程．解 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+++=-.143)10()10(,5x y y x x y 整理，得⎩⎨⎧=+=-.13,5y x x y 解得⎩⎨⎧==.9,4y x 答：这个两位数是49．说明：本题若设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为)5(+x ，列出一元一次方程求解也很方便．例2 解 设该人持有甲、乙股票分别是x 、y 股，根据题意，得⎩⎨⎧=-+-=-+-,1300)3.139.13()5.129.12(,200)5.133.13()125.12(y x y x 解得⎩⎨⎧==.1500,1000y x 答：该人持有甲、乙股票分别为1000，1500股．例3 分析：这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上的数字．有三个相等关系：（1）百位上数字 ＋ 十位上数字＋个位上数字=13（2）十位上的数字=个位上数字＋2（3）百位上数字与个位上数字交换后的三位数=原三位数＋99解：设这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上数字为z ，根据题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++==++991010010100213x y z z y x x y z y x解方程组，得 ⎪⎩⎪⎨⎧===364z y x答：这个三位数是364．例4 分析：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，那么这个两位数是10x ＋y ，两个数字之和是（x 十y ），个位数字与十位数字对调后的两位数是10y十x ，由题意可列出两个等式．解：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+)2(5)(310)1(6)(710y x x y y x y x )4(2)3(-⨯得 ,93=y 3=y ，把3=y 代入（3），得8=x ．答：这个两位数是83．说明：数字问题要善于抓住其特征，正确地表示出三位数，然后找出等量关系，列出方程组．。
优秀教学案例北师大版初中八年级数学里程碑上的数
“应用二元一次方程组----里程碑上的数”教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》第五节的内容2．内容解析本节课的内容属于“数与代数”领域中的“方程”。
前面4节学生已经学习了二元一次方程(组)的定义、解法及两节应用，学生已经体会到方程的模型思想，感受代数方法的优越性，方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型。
本节的重点是通过丰富的实例进一步学习二元一次方程组的应用，强化二元一次方程组的模型思想，提高学生解决实际问题的能力。
本节课的核心内容是能用二元一次方程组解决数字问题的应用题，是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习有关数字问题的应用题。
这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，灵活进行直接设未知数和间接设未知数的选择，进一步提高学生列方程组解应用题的能力。
与前两节相比，本节选择的问题数量关系更为复杂，“里程碑上的数”这一场景较为有趣，既是一个数字问题又和行程有关，用字母表示数字更抽象难度加大，等量关系更隐蔽，据此采取问题串或者借助表格分析的方式将复杂数字问题进行分解，引导学生抓住两个关键：一是用未知数正确表示数字，二是找到等量关系，突破本节课的重难点。
二、教学目标设置1．目标（1）能用二元一次方程组解决数字及实际问题；（2）进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会模型思想，发展应用意识。
学生经历“观察—思考—交流—归纳—应用”的活动，积累丰富的数学活动经验，提升独立思考和合作交流能力；（3）熟练掌握列方程组解应用题的步骤。
2．目标解析本节课通过复习旧知，设置5个小问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课。
情景引入，让学生自主学习合作交流，引导学生采用问题串、表格分析或者线段图的方式分析题目中的已知量、未知量和等量关系，让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法。
5应用二元一次方程组——里程碑上的数[精选文档]
![5应用二元一次方程组——里程碑上的数[精选文档]](https://img.taocdn.com/s3/m/4dbb1ff4b1717fd5360cba1aa8114431b90d8ecb.png)
x 9
解得
y
4
答：这个两位数是94
【例1】小明爸爸驾着车带着小明在公路上匀速行驶,下 图是小明每隔1 h看到的里程情况.你能确定小明在 12:00时看到的里程碑上的数吗?
是一个两位 数,它的两个 数字之和为7
十位与个位数
字与12:00时
所看到的正好 互换了.
比12:00时看
到的两位数 中间多了个0.
【跟踪训练】
1.小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加数的后面多写一
个0, 所得和是242; 小亮在另一个加数的后面多写一个0,
所得和是341；求原来的两个加数分别是多少?
【解析】设第一个加数为x，第二个加数为y. 根据题意得：
10x y 242 x 10y 341
x 21 y 32
2.A、B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行 到A地，两人同时相向出发，4 h后两人相遇，6 h后，甲 剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
A．1.2 km，3.6 km； C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km； D．3.2 km，1.6 km．
【解析】选Ａ.设上坡用x时，下坡用y时，据题意得： 6x+12y=4.8， x＋y＝0.5.
解之得
x＝0.2， y＝0.3.
0.2 6 1.2,0.312 3.6
2．（巴中·中考）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴 中到广元全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴 中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比 货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h , y km／h，则下列方程组正确的是（ ）
阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载乘客的
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解里程表上数字的含义，能够正确读取和理解里程表上的数。
2. 培养学生对数学的实际应用能力，提高学生对数学的兴趣。
3. 培养学生观察、思考、交流和合作的能力。
二、教学内容1. 认识里程表：让学生观察里程表，了解里程表上数字的表示方式和含义。
2. 读取里程表上的数：引导学生学会正确读取里程表上的数，理解前后两个里程数之间的关系。
3. 实践操作：让学生亲自操作里程表，记录行驶过程中的里程数变化，培养学生的实际操作能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够正确读取里程表上的数，理解里程表上数字的含义。
2. 教学难点：理解前后两个里程数之间的关系，能够通过观察里程表上的数进行推理和计算。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生直观地了解里程表的表示方式和含义。
2. 采用实践操作法，让学生亲自动手操作里程表，提高学生的实际操作能力。
3. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索里程表上的数字之间的关系。
五、教学准备1. 准备一辆汽车，让学生观察里程表。
2. 准备一些关于里程表的图片或实物模型，用于辅助教学。
3. 准备一些关于里程表的练习题，用于巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过一辆汽车的里程表引入新课，让学生观察并描述里程表上的数字表示方式和含义。
2. 讲解与演示：讲解里程表上数字的含义，演示如何正确读取里程表上的数。
3. 实践操作：让学生亲自操作里程表，记录行驶过程中的里程数变化。
4. 小组讨论：引导学生思考和探索前后两个里程数之间的关系。
5. 总结与讲解：总结里程表上数字的含义和读取方法，讲解如何通过观察里程表上的数进行推理和计算。
七、课堂练习1. 设计一些关于里程表的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2. 组织一些小组活动，让学生合作完成一些实际问题，培养学生的合作能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考里程表在实际生活中的应用，例如计算行驶距离、油耗等。
北师大版八年级上册数学：5 应用二元一次方程组里程碑上的数》 (1)
(两位数放在一位数 前面)
x
y
y
10x+y
100y+x
后一个三位数
（一位数放在两位数 前面）
x
议一议：
列二元一次方程组 解决实际问题的一般步 骤是怎样的？与你的同 伴进行交流.
【规律方法】利用二元一次方程组解决实际问题的一般步 骤
★ 审 清题意,找出等量关系; ★ 设 未知数;（直接设或间接设) ★ 列 出二元一次方程组;(注意方程两边的单位要一致） ★ 解 方程组； ★ 检 验；
★ 答 题.
①１2:00看到的数，两个数字之和是6 ②１2:00～１3:00间汽车行驶的路程×5 =１2:00～１7:00间汽车行驶的路程
17：00
x
12：00
x y
13：00
y x
9
y
100x+90+3;y -（10x+y） 10y+x -（10x+y）
10y+x
百位 十位 个位 表达式 数字 数字 数字
北师大版八年级数学上册
5.5 应用二元一次方程组——
里程碑上的数
榆林市第一中学分校 张旭
上周末，张老师开车匀速行驶在公路上， 12:00时看到里程碑上的数字是10（km）， 17:00时看到里程碑上的数字是210（km）， 你能获得哪些信息？
10
210
12：00～17:00间汽车行驶的
路程=17:00时看到的碑数字-
5_里程碑上的数_教案1
备课稿年段八学科数学主题单元七课题里程碑上的数课时11.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一风趣场景中的教课目的数字问题和行程问题 .2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程，体会方程 (组 )是刻画现实世界的有效数学模型.3.概括出用二元一次方程组解决实质问题的一般步骤教课流程增删、评论、课后反省一、学习目标：1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一风趣场景中的数字问题和行程问题 .2.进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程，领会方程 (组)是刻画现实世界的有效数学模型 .3.概括出用二元一次方程组解决实质问题的一般步骤二、自学指导：1、自觉 P234-236内容，思虑：⑴小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶 .小明在 12∶00 时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是 7；在 13∶00 时看到的里程碑上的数十位与个位数字与 12∶00 时看到的正好颠倒了；在 14∶ 00 时小明看到的里程碑上的数比12∶00 时看到的两位数中间多个0.试确立小明 12∶00 时看到里程碑上的数 .①设小明在 12∶ 00 时看到的数十位数字是 x，个位数字是 y，依据题意，你能将 12∶00、13∶00、14∶0时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？②达成 P234下面的 4 个问题。
⑵［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右侧接着写较小的两位数，获得一个四位数；在较大的两位数的左侧写上较小的两位数，也获得一个四位数 .已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数 .①此题的等量关系有哪些？②设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y，在较大的数的右侧接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左侧写上较小的数，所写的数可表示为。
③你能列出如何的方程组？⑶列二元一次方程组解决实质问题的一般步骤是如何的？2、小组沟通，议论。
3、教师评论。
三、当堂训练：1、P236随堂练习 12、北京和上海能制造同型号电子计算机，除当地使用外，北京增援外处10 台，上海可增援外处4 台，此刻决定给重庆 8 台，武汉 6 台，每台运费如表所示 . 此刻有一种调运方案的总运费为7600 元.问：这类调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？四、小结：列二元一次方程组解应用题的主要步骤：(1)弄清题意和题目中的等量关系 .用字母表示题目中的两个未知数 .(2)找出可以表示应用题所有含义的两个相等关系.(3)依据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程并构成方程组 .(4)解这个方程组并求出未知数的值.(5)依据应用题的实质意义，检查求得的结果能否合理?(6)写出切合题意的解说 .五、作业：达成习题 7.6。
应用二元一次方程组——里程碑上的数
练一练
我写了从小到大排列的三个数，第一个数(最小的 数)是一个数字之和为7的两位数；第二个数(中间一个 数)是将第一个数的十位数字与个位数字对调得到的两 位数；第三个数(最大的数)是将第一个两位数的中间 添上一个0得到的三位数，并且相邻两数的差相等.你 知道这三个数各是多少吗？
分析：设原两位数的十位数字是x，个位数字是y， 那么
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（2）13:00时小明看到的数可表示为__1_0_y_+_x___， 12:00～13:00间摩托车行驶的路程是_(_10_y_+_x_)_–_(_1_0_x+_y_)；
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（3）14:00时小明看到的数可表示为__1_0_0_x_+_y__， 13:00～14:00间摩托车行驶的路程是(_1_0_0x_+_y_)_–_(_1_0_y+_x_)；
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（4） 12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托 车行驶的路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
新知探究
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数 的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得 到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位 数大2 178，求这两个两位数.
如果设较大的两位数为x，较小的两位数为y. 问题① ：由“这两个两位数之和为68”可得 到等式为____x_+_y_=_6_8__；
新知探究
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数 的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得 到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位 数大2 178，求这两个两位数.
5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)2021-2022学年北师大版数学八年级上册
4.通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决生活中问题的能力。
本节课主要围绕以下例题进行教学：
（1）小明从A地出发，以每小时5公里的速度骑车去B地，1小时后，小华从A地出发，以每小时6公里的速度骑车追赶小明。问小华出发多少小时后能追上小明？
（2）A、B两地相距100公里，一辆汽车从A地出发，以每小时40公里的速度向B地行驶，同时，一辆摩托车从B地出发，以每小时30公里的速度向A地行驶。问它们多久后相遇？
-举例：在里程碑问题中，学生需要理解速度、时间、距离之间的关系，并能列出相应的方程组。如小明和小华的问题中，设小华追上小明所需时间为t小时，则小明行驶的距离为5(t+1)公里，小华行驶的距离为6t公里，两者相等，即5(t+1)=6t。
2.教学难点
-难点1：理解实际问题中的数量关系，并将其转化为数学模型。学生可能难以从描述中抽象出数学关系，需要通过图示、表格等辅助手段帮助学生理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的，它可以用来解决含有两个未知数的线性问题。它在解决实际问题，如相遇问题、购物问题等方面有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用二元一次方程组解决相遇问题，以及它如何帮助我们找到相遇的时间和地点。
5.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，促进生生互动，共同提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握二元一次方程组的应用，能够从实际问题中抽象出二元一次方程组。
-学会使用消元法解二元一次方程组，并应用于解决实际问题。
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案一、教学目标：1. 让学生理解里程碑的概念，认识数字在里程碑上的作用。
2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容：1. 里程碑的定义及其作用2. 数字在里程碑上的表示方法3. 里程碑上的数与其他数的关系4. 实际问题中的里程碑应用5. 合作探究：设计一条具有里程碑的道路三、教学重点与难点：重点：里程碑的概念、数字在里程碑上的表示方法及应用。
难点：里程碑上的数与其他数的关系，设计具有里程碑的道路。
四、教学方法：1. 情境教学法：通过设置实际情境，让学生理解里程碑的作用。
2. 观察法：引导学生观察里程碑上的数，发现数的关系。
3. 合作学习法：分组讨论，共同设计具有里程碑的道路。
五、教学准备：1. 课件：里程碑的图片、实例等。
2. 学具：纸、笔、剪刀、胶水等。
3. 课堂任务单：用于记录学生思考过程和答案。
1. 导入新课：通过展示实际道路上的里程碑图片，引导学生思考里程碑的作用。
2. 探究学习：讲解里程碑的定义、数字表示方法，并进行实例分析。
3. 实践操作：让学生分组设计具有里程碑的道路，并分析里程碑上的数与其他数的关系。
七、课后作业：1. 绘制自己熟悉的道路，添加里程碑，并注明里程碑上的数。
2. 思考：里程碑在交通、旅游等领域的应用，对人们生活的影响。
八、教学反思：对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，针对存在的问题进行改进。
九、评价建议：1. 学生对里程碑概念的理解程度。
2. 学生观察、分析里程碑上数的能力。
3. 学生合作学习、解决问题的能力。
十、拓展活动：组织学生进行实地考察，观察道路上的里程碑，了解里程碑在实际交通中的作用。
六、教学评价1. 学生能够理解里程碑的概念，认识数字在里程碑上的作用。
2. 学生能够观察并理解里程碑上的数与其他数的关系。
3. 学生能够在实际问题中运用里程碑的知识，如计算距离、确定位置等。
八年级上 5.5 二元一次方程组的应用之里程碑上的数
4
的速度通过平路，到达乙地共用 1 h6 min；他回来时先以每小时 12 km 的速度通过平路，又以每小时 8 km 的速度 上坡，回到甲地用了 1 h 30 min，则甲、乙两地相距多少千米？ 3．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10m，那么甲跑 5s 就能追上乙；如果甲让乙先跑 2s，那么甲跑 4s 就能追上乙，则甲、乙两人每秒钟各跑多少米？( ) A．甲跑 6m，乙跑 4m B．甲跑 8m，乙跑 5m C．甲跑 9m，乙跑 6m D．甲跑 10 m，乙跑 8m 1．解：设此人上下扶梯的行走速度为 x，自动扶梯的速度为 y，则，7.5(x-y) =1.5(x+y),即 x
乙在 14 h 后追上甲，求甲、乙两人的速度？
2
1．解：设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h． 由题意，得
6 x 6 y 42, x 2, 解得 y 5. 14y 14x 42.
一、专题精讲
题型一：数字问题
例 1 一个三位数，三个数位上的数字之和为 17，百位上的数字与十位上的数字之和比个位数字大 3，把百位 上的数字与个位上的数字对调后，所得的新数比原数小 198.求原数． 分析：可设百位数字、十位数字、个位数字分别为 x，y，z 等量关系为：三个数字之和=17；百位数字＋十位 数字=个位数字+3；原数一新数=198. 解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为 x，y，z， 根据题意，得
x y z 17, x 9, 解得 y 1, x y z 3, 100x 10 y z (100z 10 y x) 198. z 7.
答：原三位数为 917.
变式训练
1．有大小不同的两个两位数，在大数的右边写上一个 0 之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边 写上大数，然后再写上一个 0，亦得到一个五位数．第一个五位数除以第二个五位数得到的商为 2，余数为 590.此 外，大数的 2 倍与小数的 3 倍之和是 72，求这两个两位数． 1．解：设大的两位数是 x，小的两位数是 y，则第一个五位数是 1000x +y，第二个五位数是 1000y +10x，由题 意，得
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案一、教学目标：1. 让学生理解里程表上数的意义，掌握读取里程表上数的方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 增强学生对数学与生活联系的认识，提高学习兴趣。
二、教学内容：1. 认识里程表：了解里程表的组成部分，理解里程表上数的意义。
2. 读取里程表上的数：学习如何正确读取里程表上的数，包括整数和小数部分。
3. 运用里程表上的数：学会利用里程表上的数进行简单的计算，如计算行驶距离、油耗等。
4. 实际操作：每人一台里程表，进行实际操作，巩固所学知识。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握里程表上数的读取方法，能够运用里程表上的数进行简单计算。
2. 教学难点：理解里程表上数的意义，正确进行小数部分的读取。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生清晰地了解里程表的组成部分。
2. 采用讲授法，讲解里程表上数的读取方法，并进行实际操作示范。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论如何运用里程表上的数解决实际问题。
4. 采用练习法，布置相关练习题，巩固所学知识。
五、教学准备：1. 每人一台里程表，用于实际操作。
2. 教学PPT，展示里程表的图片和相关知识点。
3. 练习题，用于课后巩固所学知识。
4. 教学视频或图片，展示里程表在实际车辆中的应用。
六、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际车辆的里程表图片，引导学生关注里程表，激发学习兴趣。
2. 讲解里程表的组成部分，解释里程表上数的意义。
3. 演示如何正确读取里程表上的数，包括整数和小数部分的读取。
4. 学生分组讨论，如何运用里程表上的数解决实际问题，如计算行驶距离、油耗等。
5. 每组选取一名代表进行汇报，分享讨论成果。
6. 针对讨论内容进行练习，巩固所学知识。
8. 布置课后作业，要求学生独立完成，巩固所学知识。
七、作业布置：1. 观看教学视频，进一步了解里程表在实际车辆中的应用。
2. 完成练习题，包括读取里程表上的数和运用里程表上的数进行计算。
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
里程碑上的数
.
(1)列方程所依据的相等关系有
、
。
(2)如果设李刚有7:00时看到的数的十位数字是x，个位的数 字是y，那么 ①7:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
②8:00时，李刚看到的数可以表示为
③9:00时，李刚看到的数可以表示为 ④根据(1)中的相等关系可得方程组为{
；
；
自主学习：
1．一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果 将十位数与个位数字对调后，所得的数比原数小27， 求原来的两位数。 解答：设原来两位数的个位数字为x，十位数字为y， 根据题意，得 解得
答案：原来的两位数为52。
问题的延伸:
2．甲、乙两人相距42Km，如果两人从两地 相向而行，24小时后相遇，如果二人同时从 两地出发，相向而行，14h后乙追上甲，求二 人的速度。
解：设甲的速度为x Km/h，乙的速度为y Km/h。根据 题意，得
做一做：
3．有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中 取20L，从第二种中取30L，那么混合后得得浓度为混合 液，求两种溶液原来的浓度。
做一做：
5、有甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g， 乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%； 若分别取甲种盐水80g，，乙种盐水160g，混合 后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水 的浓度各是多少？ 解：设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y， 根据题意，得
6．小张、小王和小李三人进行自行车比赛，小张比 小王早12min到达终点，小王比小李早3min到达终点， 他们算了一下，小张比小王每小时要快5Km，小王比 小李每小时要快1Km，他们三人进行自行车比赛的路 程有多长？
解：设小张所用时间为x h，速度为y Km/h，则小 王所用时间为 ，速度为（y-5）Km/h，小李所用时 间为 ，速度为（y-6）Km/h，于是由三个人赛程相 同，有
《里程碑上的数》东郊陈娟(1)(2)(1)(1)
3、一个两位数，十位数字是x，个位数字y， 若在这两位数中间加一个0，得到一个三位数， 则这个三位数可以表示为 _1_0_0_x_+_y__.
4、一个两位数，十位数字是x，个位数字y， 若在这两位数中间加一个z，得到一个三位 数，则这个三位数可以表示为 _1_0_0_x_+_1_0_z_+_y.
x ＋ y ＝７, y ＝６ x .
x ＝１, y ＝６.
用方程组解决数 字与行程问题
答：小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６ ．
12：00
12：00点看到的数是16 13：00点看到的数是61 14：00点看00
拔尖自助餐
1爸2：爸0骑0-着13摩：托30车行带驶着的小里明程在数公：路(1上0y匀+速x)-行(1驶0x，+y小) 明每隔
（1）本节课你学到了什么？ （2）你觉得本节课哪些同学的表现值得你学习？
数学源于生活，服务于生活， 与生活密不可分。通过本节 课的学习，希望同学们树立 自己人生的里程碑！
北师大版八年级数学上册 第五章二元一次方程组
第五节 里程碑上的数
三原县东郊中学 陈娟
陈老师送同学们的寄语： 数学是思维的体操， 只有认真学习数学， 努力学 好 数 学的人， 才会使自己的思维更 敏锐，更科学，更完 美，才能使自己的思 维品质更优秀。
里程碑 (解释：路边标志里数的碑。)
国道为白底红字
省道为白底蓝字 县道为白底黑字
1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数” 这一有趣场景中的数字问题和行程问题;
2.归纳出列二元一次方程组解决实际问题的 一般步骤; 3.能 将实际问题转化成二元一次方程组的
5.5里程碑上的数解析
探究新知
小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶，下图是 小明每隔1小时看到的里程状况．你能确定小明在12:00时看到 的里程碑上的数吗？
是一个两位数 字，它的两个 数字之和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看 到的正好颠倒
了．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0．
探究新知
是一个两位数字， 它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看到
的正好颠倒了．
比12:00时看到 的两位数中间
多了个0．
假如设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
7.5里程碑上的数
复习回顾
（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位 数用代数式表示为 10b+a，若交换个位和十位上的数字，得到 一个新的两位数用代数式表示为 ．10a+b
（2）一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，假如在 它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数 式可以表示为 100y+．x
（3）14:00是小明看到的数可表示为 100x + y
,
13:00～14:00间摩托车行驶的路程是（100x +y ）- （10y +x ） .
探究新知
是一个两位数字， 它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看到
的正好颠倒了．
比12:00时看到 的两位数中间
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
里程碑上的数
案例分析
一、教材分析
1、教材的地位和作用
学生在本章前几节已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了“鸡兔同笼”、“增收节支”两节应用问题，学生已经初步体会到列方程组解决实际问题的一般步骤，学生已初步具有一定的数学应用能力，学生在探索过程中体验数形结合的思维方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2、教学重难点
重点：用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤。
难点：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
3、教学目标
知识技能：用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤。
数学思考：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
二、教法说明
对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。
以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、教学过程
（一）情景导入
一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为(_ _),若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为( )。
有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为。
[设计意图] 通过以上问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．由于问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课。
（二）享受探究乐趣
1、例题：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
（1）12：00时小明看到的数可表示为(___)，根据两个数字和是7，可列出方程(__)；
（2）13：00时小明看到的数可表示为(__)，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是(__)；
（3）14：00时小明看到的数可表示为（）13：00～14：00间摩托车行驶的路程是( )
（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？
创设问题情境，激发学生的学习兴趣．让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题。
2、巩固练习
一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少（1）在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
[设计意图]进一步巩固本课知识与方法．学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况。
（三）分享你我收获
在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？本节课我们学习了那些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流。
师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤。
学生积极大胆发言，增进了师生、生生之间的交流互动，并在这种氛围下，回顾总结了本节课的知识与方法。
[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。
（四）开拓崭新天地
1、数学日记
姓名日期
今天数学课的课题
所学的重要数学知识
理解得最好的地方
疑惑（或还需进一步理解的地方）
对课堂表现的评价（包括对自己、同学、老师）
所学内容在日常生活中的应用举例
2、布置作业
一个两位数,个位数的数字是十位上的数字的2倍,如果把十位上的数与各位上的数对调,那么所得到的两位数比原两位数大36,则原两位数是（）。
某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据下图根据的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元。
图1：5个福娃,2个徽章 ,共145元
图2：10个福娃,3个徽章,共280元
思考：(1)选择未知数对列方程有什么影响?
（2）列方程（组）解应用题的一般步骤是什么?
四、教学设计反思
1、贯穿一个原则——以学生为主体的原则
2、突出一个思想——数形结合的思想
3、体现一个价值——数学建模的价值
4、渗透一个意识——应用数学的意识。