控制工程基础——数学模型
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控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
《控制工程基础》系统的数学模型 ppt课件
如： a n x 0 (n )(t) a n 1 x 0 (n 1 )(t) a 1 x 0 (t) a 0 x 0 (t)
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制工程基础复习提纲
考虑如下系统：
G (j) (jK ) ( v 1 ( 1 jjT 1 ) 1 ) 1 1 ( ( jjT 2 ) 2 ) ( 1 ( 1 jjT m n ) v )( n m )
依据积分环节个数，判断系统类型
0型系统（v = 0）
Im
＝
0
n=1 n=2 n=3 n=4
j
2 1
-3 -2 -1-1 0 1 2 3
-2 G(s)= s+2
(s+3)(s2+2s+2) 的零极点分布图
最小象位系统：s平面右半面没有零点和极点（判断）
知识点3——L反变换（三种情况） （2）case1-不同实数极点
标准形式
F(s)B(s) n Ai A(s) i1 spi
待定系数 A i F ( s ) ( s p i) s p i
1 2
)
阻尼振荡频率 d n 12
（3）二阶系统指标计算 （6个公式背下来）必考
①上升时间 ②峰值时间 ③超调值 ④调整时间
tr
arccos n 1 2
tp
d
n
12
Mp%e 12100%
(ln M p )2
2 (ln M p )2
ts 4n, 0 .0 2 ； ts 3n, 0 .0 5
氏
变5 换6 表7
13
14
f t
t I t
t
e a t
t eat
sin t cos t eat sint eat cost
F s
1
1
s 1 s2 1
s a
1
s a 2
s2 2
s s2 2
s a2 2
sa
G (j) (jK ) ( v 1 ( 1 jjT 1 ) 1 ) 1 1 ( ( jjT 2 ) 2 ) ( 1 ( 1 jjT m n ) v )( n m )
依据积分环节个数，判断系统类型
0型系统（v = 0）
Im
＝
0
n=1 n=2 n=3 n=4
j
2 1
-3 -2 -1-1 0 1 2 3
-2 G(s)= s+2
(s+3)(s2+2s+2) 的零极点分布图
最小象位系统：s平面右半面没有零点和极点（判断）
知识点3——L反变换（三种情况） （2）case1-不同实数极点
标准形式
F(s)B(s) n Ai A(s) i1 spi
待定系数 A i F ( s ) ( s p i) s p i
1 2
)
阻尼振荡频率 d n 12
（3）二阶系统指标计算 （6个公式背下来）必考
①上升时间 ②峰值时间 ③超调值 ④调整时间
tr
arccos n 1 2
tp
d
n
12
Mp%e 12100%
(ln M p )2
2 (ln M p )2
ts 4n, 0 .0 2 ； ts 3n, 0 .0 5
氏
变5 换6 表7
13
14
f t
t I t
t
e a t
t eat
sin t cos t eat sint eat cost
F s
1
1
s 1 s2 1
s a
1
s a 2
s2 2
s s2 2
s a2 2
sa
控制工程基础 系统的数学模型
若
x1(t) x2(t)
线性系统
y1 ( t ) y2 ( t ) a1y1(t)+a2y2(t)
线性系统
线性系统
则
a1x1(t)+a2x2(t)
其中a1、a2为常数。 推而广之：
a x (t )
i 1 i i
n
a y (t )
线性系统
i 1 i i
n
其中ai（i=1，2，…，n）为常数。
3. 本课程涉及的数学模型形式
10:17:57
7
3-1 概述
1. 数学模型的概念 数学模型：是描述系统特性的数学表达式。它揭示了
系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 数学模型是对系统特性（包括动态特性和静态特性） 进行分析、综合的有效工具。 数学模型的类型：微分方程，传递函数，频响函数， 状态空间表达式等。这些模型一般可以互相转化。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数和频率 响应函数（简称频响函数）为基础。而现代控制理论 采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物 理定律及实验规律为依据的微分方程则是最基本的数 学模型，是列写传递函数、频响函数和状态空间方程 的基础。
电网络系统
di uL dt 1 i udt L
23
3-2 系统微分方程的建立
例 1 例 1 ：求图所示电路的微分方程。 解：利用基尔霍夫电压定律得到 L R
I
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) (1) dt 1 i (t )dt uo (t ) (2) C
f mx f(t) 或 mx f 0
（对质量）
弹性元件 弹簧刚度k N∙m－1 粘性阻尼元件 粘性阻尼系数 B N∙s∙m－1
控制工程基础第2章
yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件
元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
• 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。就可以采用单 位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位 斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
duC (t ) i (t ) C dt 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
duC (t ) d uC (t ) ur (t ) RC LC uC (t ) 2 dt dt
2
整理成规范形式
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) 即LCuC
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
例2-6.求指数函数
0 at st
f (t ) e
0 ( a s ) t
at
的拉氏变换
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换 L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
控制工程基础第三章系统的数学模型
转角 rad
J cJ kJ M
转动惯量
N m2
扭矩 N m
（3-2-3）
回转粘性阻系数
N m s rad
-1
扭转弹簧常数
N m rad-1
page
7
机电工程学院
第一章
绪论
3 RLC电网络系统
例3-4 RC电路 (1) 确定输入量和输出量 消去中间变量得
第一章 绪论 例3-5 RLC网络。输入电压Ur ，输出电压Uc （1）确定输入电压为 Ur ，输出电压为 Uc 。 （2）设中间变量电流 i 。 L R i （3）根据克希荷夫定律，有 di iR L uc u r uc C ur dt
机电工程学院
1 uc idt C
（4）消去中间变量，整理得
page
6
机电工程学院
第三章
系统的数学模型
2.机械转动系统
M
图3-2-3 回转机械系统
控 制 工 程 基 础
图3-2-3为在扭矩 M作用下的转动机械系统，所包含的要素有 惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。根据旋转定律可列些外加扭 矩和转角间的微分方程 整理
J M cJ kJ
n
控 制 工 程 基 础
d c t ba C ()a d m s ctbm1s a d b1(s ) 0 c(t ) s b a0 ( s) (t ) G dt n c dt n 1n ( ) 1 n 1 dt 1 n n R( s) an sm 1 an1s a1s a0 dm d d n 0 m) r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) （3-3-3） ) bm r (t ( b dt m dt dt （3-3-1） nm
控制工程基础-控制系统的数学模型(1)(控制工程基础)54页PPT
自动控制理论主要研究的问题
分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下， 对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、 鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。
综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态 性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的 结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标 要求。
2020/4/17
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
8
系统数学模型建立实例
电工系统－ R,L,C串联电路
机械系统－机械平移系统
机电系统－恒定磁场他激直流电动机
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
9
机械平移系统示意图
由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
k－弹簧的弹性系数； m－运动部件的质量； －阻尼器的粘性摩擦系数。
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
10
机械平移系统的基本关系
假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
f1
m
d2y dt 2
设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
第二讲 控制系统的数学模型（1）
14
相似系统（2）
相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。
分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下， 对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、 鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。
综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态 性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的 结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标 要求。
2020/4/17
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
8
系统数学模型建立实例
电工系统－ R,L,C串联电路
机械系统－机械平移系统
机电系统－恒定磁场他激直流电动机
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
9
机械平移系统示意图
由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
k－弹簧的弹性系数； m－运动部件的质量； －阻尼器的粘性摩擦系数。
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
10
机械平移系统的基本关系
假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
f1
m
d2y dt 2
设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
第二讲 控制系统的数学模型（1）
14
相似系统（2）
相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。
控制工程基础2章-1
例题
i2
Ui(t) 为输入电压，Uo(t) 为输 出电压，试列写其关于输入输出的 微分方程模型。
Ui
R2
i1
R1 A
i3 － K0 ＋ C Uo
解：对理想放大器，K0值很大 又 Uo(t) = -K0UA(t) ∴ UA(t) = -Uo(t) / K0 ≈ 0 对点建立节点电流方程
i1 t i2 t i3 t i1 t ui (t ) R1 uo (t ) i2 t R2 i3 t C uo (t )
yo(t) yo(t) Fi(t)
K
M c
d 2 yo (t ) dyo (t ) Fi (t ) M c kyo (t ) 0 2 dt dt d 2 yo (t ) dyo (t ) M c kyo (t ) Fi (t ) 2 dt dt
2、机械旋转系统
如图所示旋转系统，回转体通过柔性轴（用扭转弹簧K表 示）与齿轮连接，回转体的粘性摩擦系数为B。设齿轮扭转转 角为系统输入量，回转体扭转角为系统旋转体转角输出量。
1 h h0 h 忽略二阶以上项，且令 h - h0 = Δh，则 2 h0 d (h h0 ) 1 将 h = h0 +Δh代入原方程 A ( h0 h) qi 0 qi dt 2 h0
∵平衡时
qi 0 qc 0 h0 ，整理即可得
这就是液位系统的线性增量微分方程
二、数学模型的种类 常用的动态数学模型有：微分方程、差分方程、传递函数 、脉冲响应函数、状态空间模型和动态结构图等。
三、数学模型的建立方法
解析法——根据实际系统各环节所遵循的物理化学规律列出 描述这些变化规律的数学表达式，经整理得到相 应的数学模型。 实验法——指对系统加入激励信号，测出其响应信号，然后 分析、拟合、辨识系统的数学模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。
控制工程基础 第二章数学模型-拉氏变换(第三讲)
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可 确定A1和A2的值。
例：求
的原函数。
解：
1 1 2 A1 A2 2 即： j 3 A j 3 1 2 2
所以：
含多重极点的情况 设F(s)存在r个重极点-p0，其余极点均不同，则
= 式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。
解：对微分方程左边进行拉氏变换
对方程右边进行拉氏变换
从而：
所以
当初始条件为零时：
作业: 2-1， 2-2， 2-9(b)， 2-10(a) ，2-11(c)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）为复变数； 象函数 原函数
拉氏变换的符号
简单函数的拉氏变换
单位阶跃函数 1(t)
f(t) 1
0
单位阶跃函数
t
指数函数
f(t) 1
指数函数
t
正弦函数、余弦函数
f(t) 1 0 -1 f(t)=cost 正弦及余弦函数 f(t)=sint
由欧拉公式，有：
工程数学积分变换数学变换小学数学图形变换数学必修二第二章高等数学李伟第二章高中数学图像变换数学建模第二章答案数学必修2第二章数学必修一第二章初一数学第二章
四、拉氏变换和拉氏反变换 设函数f(t) (t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正 实常数σ，使得：
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
复微分定理 若L[f(t)]=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：
积分定理
……
Hale Waihona Puke 当初始条件为零时 延时定理
f(t-a)
a
函数 f(t-a)
《控制工程基础》课件-第二章
4/21/2023
27
第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
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1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
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c
d dt
xo (t)
?
kxo
(t )
?
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压u i(t)为系统输入量。电容器 c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压 ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
电流i(t)为中间变量。
根据电压方程，可写出
Ri(t) ?
L
d dt
i (t )
?
ui (t)
?
uo (t)
1
? uo (t) ? C i(t)dt
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
LC
d2 dt 2
uo
(t )
?
RC
d dt
uo
(t )
?
uo (t)
?
ui (t)
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是 信息方法 ，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
☆ 举例1：机械平移动力学系统
三 举例
弹簧和质量在静止平衡
时的那一点为系统的平衡工 作点。这样的坐标系原点选 择消除了重力的影响。
设系统的输入量为外作 用力fi(t)，输出量为质量块 的位移xo(t)，现研究外力fi(t) 与位移xo(t)之间的关系。
在输入fi(t)力的作用下，质量块 m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
可以预言，未来的“文盲”将不再是目不识丁的人，而 是一些没有学会学习方法、不会自己钻研问题和没有预见能 力、分析能力的人。
学习是基础，思考是关键，实践是根本。
武汉理工大学机电工程学院 黄安贻 huanganyi@
控制工程基础 ——数学模型
数学模型： 描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
控制工程基础
现代教育学家认为：在教学过程中， 占中心地位的应该 是“学”而不是教 ，主张在教师指导下，由学生自己去“发 现”规律、自己去“研究”问题。 教师的主要任务 在于启发 而不在于讲解，教方法、教思路比一般地教知识、教内容更 重要。 学生的主要任务 在于思考，而不是单纯的记忆，强调 理解比单纯记忆更重要。
☆ 机械平移动力学系统的模型
根据牛顿第二定律，应有
d2 f i (t) ? f c (t) ? f k (t) ? m dt xo (t)
由阻尼器、弹簧的特性，可写出
d f c (t) ? c dt xo (t)
fk (t) ? kxo (t)
消去中间变量，写成规范形式
m
d2 dt 2
xo
(t)
?
特征方程为
an?n
?
? a n?1 n?1
?
????
⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明 系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
五 系统运动微分方程的一般形式
设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有
.
an y (n) (t) ? an?1 y (n?1) (t) ? ???? a1 y(t ) ? a0 y(t)
四 小结
☆ 小结：⑴⑵
⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为 相似系统 。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为 相似量 。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的 功能模拟方法 的基础。
作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。
数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 外部模型也称为输入—输出模型。 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入 —输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 内部模型也称为状态变量描述法。 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 建模基本方法：解析法和实验法。
?
n ? m ? bm r (m) (t ) ? bm?1r (m?1) (t) ? ???? b1 r(t ) ? b0r(t)
ai (i ? 0,1,2,???, n) b j ( j ? 0,1,2,???, m) 是由系统结构和
参数决定的常数。齐次方程为
.
an y (n) (t) ? an?1 y (n?1) (t ) ? ???? a1 y(t) ? a0 y(t) ? 0
数学模型的形式
微分方程 L变换 （组） L反变换
传递函数 （阵）
s=jω
频率特性
时间响应
变量状态图
方框图， 信号流图
现代控制理论
Nyquist图， Bode图等
2.1系统运动微分方程的建立
一 依据： 反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
二 步骤：
（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； （5）整理成规范形式。