第三章-线性与非线性判别函数PPT课件
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模式识别课件-线性函数
1
–
1. 二维情况 ：取两个特征向量
X ( x1 , x2 )T , n 2
这种情况下 判别函数:
g( x ) w1x1 w2 x2 w3
w为参数， 1 , x2为坐标向量 x
1. 二维情况
在两类别情况，判别函数 g (x) 具有以下性质：
0, X 1 g i ( x) 0, X 2
g1 ( x) g3 ( x) 0
g 2 ( x) g3 ( x) 0 g 3 ( x) g 2 ( x) 3 g 3 ( x ) g1 ( x ) g1 ( x) g 2 ( x) 0
第三种情况（续）
问假设未知模式x= (x1,x2)T= (1,1)T ，则x属于那一类。 把它代入判别函数：g1 ( x), g2 ( x), g3 ( x). 得判别函数为：g1 ( x) 0, g2 ( x) 1, g3 ( x) 1 因为 g2 ( x) g3 ( x), g2 ( x) g1 ( x) g ( x) g ( x) T属于 类。0 .5 g ( x) g ( x) 所以模式x= (1,1) 2 1
3.3判别函数值的鉴别意义、权空间、解空 间
–
1、模式空间与加权空间
–
– –
模式空间：由 构成的n维欧氏空间。 W是此空间的加权向量，它决定 模式的分界面H，W与H正交。 加权空间：以 w1 , w2 ,...,wn1 为变 X2 量构成的欧氏空间 模式空间与加权空间的几何表示 如下图：
IR 4
另一种情况是IR2区域，判别函数都为负值。IR1，IR2，IR3，IR4。都
–
1. 二维情况 ：取两个特征向量
X ( x1 , x2 )T , n 2
这种情况下 判别函数:
g( x ) w1x1 w2 x2 w3
w为参数， 1 , x2为坐标向量 x
1. 二维情况
在两类别情况，判别函数 g (x) 具有以下性质：
0, X 1 g i ( x) 0, X 2
g1 ( x) g3 ( x) 0
g 2 ( x) g3 ( x) 0 g 3 ( x) g 2 ( x) 3 g 3 ( x ) g1 ( x ) g1 ( x) g 2 ( x) 0
第三种情况（续）
问假设未知模式x= (x1,x2)T= (1,1)T ，则x属于那一类。 把它代入判别函数：g1 ( x), g2 ( x), g3 ( x). 得判别函数为：g1 ( x) 0, g2 ( x) 1, g3 ( x) 1 因为 g2 ( x) g3 ( x), g2 ( x) g1 ( x) g ( x) g ( x) T属于 类。0 .5 g ( x) g ( x) 所以模式x= (1,1) 2 1
3.3判别函数值的鉴别意义、权空间、解空 间
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1、模式空间与加权空间
–
– –
模式空间：由 构成的n维欧氏空间。 W是此空间的加权向量，它决定 模式的分界面H，W与H正交。 加权空间：以 w1 , w2 ,...,wn1 为变 X2 量构成的欧氏空间 模式空间与加权空间的几何表示 如下图：
IR 4
另一种情况是IR2区域，判别函数都为负值。IR1，IR2，IR3，IR4。都
第三章 线性与非线性判别函数
T T
wT (11)x21 = (− 2 0 1)(− 1 0 − 1) = 1 > 0 ∴ w(12 ) = w(11) = (− 2 0 1)
T T T
w (12)x22 = (− 2 0 1)(− 1 − 1 − 1) = 1 > 0 ∴ w(13) = w(12 ) = (− 2 0 1)
T
权向量有修正，需进行第四轮迭代
感知器准则函数
例3.2解答（续）
wT (13)x11 = (− 2 0 1)(0 0 1) = 1 > 0 第四轮迭代：
T
∴ w(14 ) = w(13) = (− 2 0 1)
T
T T
w (14 )x12 = (− 2 0 1)(0 1 1) = 1 > 0 ∴ w(15) = w(14 ) = (− 2 0 1)
例3.1
有两类样本
ω1 : (0 0 0 ) , (1 0 1) , (1 0 0) , (1 1 0)
T T T
ω2
{ ( : {0
0 1) , (0 1 1) , (0 1 0 ) , (1 1
T T T
} 1) }
T T
试用Fisher准则降维分类。
Fisher线性判别
例3.1解答
由于原始样本为3维，采用Fisher准则降到 − ω * = sω1 (m1 − m2 ) 一维，知：投影方向为 时，投影后的一维样本最易分类。所以， 先求 ω * ，再投影分类。
Fisher线性判别
例3.1解答（续）
(2)求 yk = w*T xk y11 = (1 − 1 − 1)(0 0 0 ) = 0
T
y12 = (1 − 1 − 1)(1 0 1) = 0
wT (11)x21 = (− 2 0 1)(− 1 0 − 1) = 1 > 0 ∴ w(12 ) = w(11) = (− 2 0 1)
T T T
w (12)x22 = (− 2 0 1)(− 1 − 1 − 1) = 1 > 0 ∴ w(13) = w(12 ) = (− 2 0 1)
T
权向量有修正，需进行第四轮迭代
感知器准则函数
例3.2解答（续）
wT (13)x11 = (− 2 0 1)(0 0 1) = 1 > 0 第四轮迭代：
T
∴ w(14 ) = w(13) = (− 2 0 1)
T
T T
w (14 )x12 = (− 2 0 1)(0 1 1) = 1 > 0 ∴ w(15) = w(14 ) = (− 2 0 1)
例3.1
有两类样本
ω1 : (0 0 0 ) , (1 0 1) , (1 0 0) , (1 1 0)
T T T
ω2
{ ( : {0
0 1) , (0 1 1) , (0 1 0 ) , (1 1
T T T
} 1) }
T T
试用Fisher准则降维分类。
Fisher线性判别
例3.1解答
由于原始样本为3维，采用Fisher准则降到 − ω * = sω1 (m1 − m2 ) 一维，知：投影方向为 时，投影后的一维样本最易分类。所以， 先求 ω * ，再投影分类。
Fisher线性判别
例3.1解答（续）
(2)求 yk = w*T xk y11 = (1 − 1 − 1)(0 0 0 ) = 0
T
y12 = (1 − 1 − 1)(1 0 1) = 0
第3章 线性判别函数
判别规则： x w g ( x ) 0 1 , 若 ,则 （3-2） g ( x) 0 ,则 x w2 , g ( x) 0 ,则可将x分到任一类, 或拒绝
方程 g(x)=0 定义了一个决策面。当 g(x) 为线性函 数时，这个决策面便是超平面。
假设
x1
和
T
x2
都在决策面H上，则有
g ( x) ( x a)( x b)
决策规则是
（3-9）
g ( x) 0, 则决策x 1 g ( x) 0, 则决策x 2
二次判别函数可写成
g ( x) c0 c1 x c2 x
T 3
2
（3-10）
适当选择从x到y的影射，则可把函数化成y的线性函数
g ( x) a y ai yi
3.Fisher算法步骤
由Fisher线性判别式求解向量的步骤： ① 把来自两类 w1 / w2 的训练样本集X分成 w1和w2两 个子集 X 1和 X 2。
1 ② 由 mi Ni
③ 由 Si
xX i
T ( x m )( x m ) , i 1, 2 计算各类的类 i i
T
w x1 w0 w x2 w0
或
（3-3） （3-4）
w ( x1 x2 ) 0
T
这表明，w和超平面H上任一向量正叫交，即w是 H的法向量。
判别函数 g(x) 可以看成是特征空间中某点 x 到超 平面的距离的一种代数度量，见图4.1。
若把x表示成
w x xp r w
（3-5）
在图3.3中，分析w1方向之所以比w2方向优越，
可以归纳出这样一个准则，即向量W的方向选择应 能使两类样本投影的均值之差尽可能大些，而使类 内样本的离散程度尽可能小。这就是Fisher准则函 数的基本思路。为了将这个思路变为可计算的函数 值，我们先对一些基本参量下定义。
第三章 线性与非线性判别函数ppt课件
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一 种自学习判别函数生成方法，由于Rosenblatt企 图将其用于脑模型感知器(Perceptron)，因此被称 为感知准则函数。其特点是随意确定的判别函数初 始值，在对样本分类训练过程中逐步修正直至最终 确定。
编辑版pppt
3
——
知识点
非 参 数 分有 类监 方督 法学 的习 基方 本法 原 理
MSE 准则
定义误差向量 e=Ya-b： 定义平方误差准则函数Js(a):
N
Js(a)e2Y ab2 (aTyib i)2
i 1
最小二乘近似解（MSE解）：
a*argminJs(a)
a
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的 判别函数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向 量
编辑版pppt
Fisher准则
非线性分析器的扩
线
线性分析器
展——分段线性
性
分 析 器
感知准则函数 线性分析器
多层感知器
支持向量机 的基本原理
特性映射方法实现 非线性方法分析器
近邻法
改进的近邻法
编辑版pppt
4
基本概念
感知器 准则
感知器：Perceptron，Rosenblatt，50d/20thc 线性可分性：训练样本集中的两类样本在特征空间
w(k)
wT(k)x(k)0
w(k)x(k) 其它
批量样本修正法与单样本修正法 • 单样本修正法：样本集视为不 断重复出现的序列，逐个样本 检查，修正权向量
• 批量样本修正法：样本成批或 y3
全部检查后，修正权向量
编辑版pppt
感知器 准则
y1
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编辑版pppt
3
——
知识点
非 参 数 分有 类监 方督 法学 的习 基方 本法 原 理
MSE 准则
定义误差向量 e=Ya-b： 定义平方误差准则函数Js(a):
N
Js(a)e2Y ab2 (aTyib i)2
i 1
最小二乘近似解（MSE解）：
a*argminJs(a)
a
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的 判别函数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向 量
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Fisher准则
非线性分析器的扩
线
线性分析器
展——分段线性
性
分 析 器
感知准则函数 线性分析器
多层感知器
支持向量机 的基本原理
特性映射方法实现 非线性方法分析器
近邻法
改进的近邻法
编辑版pppt
4
基本概念
感知器 准则
感知器：Perceptron，Rosenblatt，50d/20thc 线性可分性：训练样本集中的两类样本在特征空间
w(k)
wT(k)x(k)0
w(k)x(k) 其它
批量样本修正法与单样本修正法 • 单样本修正法：样本集视为不 断重复出现的序列，逐个样本 检查，修正权向量
• 批量样本修正法：样本成批或 y3
全部检查后，修正权向量
编辑版pppt
感知器 准则
y1
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小学教育ppt课件教案线性与非线性的概念
线性模型
非线性模型在经济学中用于描述变量之间更复杂、非直接的关系。这些关系可能包括曲线、指数、对数等形式的数学模型。例如，经济增长模型中的产出与投入之间的关系可能是非线性的，因为技术进步、资源稀缺等因素会影响产出对投入的响应。
非线性模型
线性行为
在心理学中，线性行为可以指代某些心理过程或行为反应与刺激之间的直接联系。例如，在感觉适应中，随着刺激强度的增加，感觉神经的反应也可能呈线性增加。
大数据和人工智能等技术的发展为科学研究提供了新的工具和方法。未来科学发展将更加注重数据驱动的研究，通过挖掘和分析大量数据来揭示事物之间的内在联系和规律。
关注人类福祉
科学的发展不仅是为了探索未知世界，更是为了改善人类生活和促进社会发展。未来科学发展将更加注重关注人类福祉，通过研究和创新来解决人类面临的各种挑战和问题。
不可加性
联系
在实际问题中，许多现象既包含线性关系也包含非线性关系；在一定条件下，非线性关系可以近似为线性关系进行处理。
区别
线性关系表现为直线，而非线性关系表现为曲线；线性关系具有比例性和可加性，而非线性关系则不具有这些特性。
转换
通过数学变换（如对数变换、指数变换等），有时可以将非线性关系转换为线性关系进行分析。
1
2
3
生物体按照恒定速率生长，如身高、体重随年龄匀速增长
线性生长
生长速率随时间变化，如指数生长、逻辑生长
非线性生长
细胞分裂、植物生长曲线、动物种群数量变化
例子
05
CHAPTER
线性与非线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在社会科学中的应用
在经济学中，线性模型通常用于描述两个变量之间的直接关系，其中一个变量的变化会引起另一个变量按固定比例变化。例如，供需平衡模型中的价格与数量之间的关系通常被描述为线性的。
非线性模型在经济学中用于描述变量之间更复杂、非直接的关系。这些关系可能包括曲线、指数、对数等形式的数学模型。例如，经济增长模型中的产出与投入之间的关系可能是非线性的，因为技术进步、资源稀缺等因素会影响产出对投入的响应。
非线性模型
线性行为
在心理学中，线性行为可以指代某些心理过程或行为反应与刺激之间的直接联系。例如，在感觉适应中，随着刺激强度的增加，感觉神经的反应也可能呈线性增加。
大数据和人工智能等技术的发展为科学研究提供了新的工具和方法。未来科学发展将更加注重数据驱动的研究，通过挖掘和分析大量数据来揭示事物之间的内在联系和规律。
关注人类福祉
科学的发展不仅是为了探索未知世界，更是为了改善人类生活和促进社会发展。未来科学发展将更加注重关注人类福祉，通过研究和创新来解决人类面临的各种挑战和问题。
不可加性
联系
在实际问题中，许多现象既包含线性关系也包含非线性关系；在一定条件下，非线性关系可以近似为线性关系进行处理。
区别
线性关系表现为直线，而非线性关系表现为曲线；线性关系具有比例性和可加性，而非线性关系则不具有这些特性。
转换
通过数学变换（如对数变换、指数变换等），有时可以将非线性关系转换为线性关系进行分析。
1
2
3
生物体按照恒定速率生长，如身高、体重随年龄匀速增长
线性生长
生长速率随时间变化，如指数生长、逻辑生长
非线性生长
细胞分裂、植物生长曲线、动物种群数量变化
例子
05
CHAPTER
线性与非线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在社会科学中的应用
在经济学中，线性模型通常用于描述两个变量之间的直接关系，其中一个变量的变化会引起另一个变量按固定比例变化。例如，供需平衡模型中的价格与数量之间的关系通常被描述为线性的。
张素文-第3章线性判别函数
维数>3时：判别边界为一超平面。
可以是更高维的。 b) 注意：对判别线正负的理解和确定。 判别界面正负侧的确定，是在训练判别函数的权值时确定 的，不要和几何上的概念混淆。
若X 1 ， 则 d12 ( X ) 0
若X 2 ， 则 d21 ( X ) 0
二、确定判别函数的两个因素 1、判决函数 d ( X ) 的几何性质。它可以是线性的或非线性的函 数，维数在特征提取时已经确定。 如：已知三维线性分类 —— 判决函数的性质就确定了判决函数 的形式： d ( X ) w1 x1 w2 x2 w3 x3 w4
d 31 0
d12 0 d13 0
d 32 பைடு நூலகம்0
3
1
x1
d12 0 d13 0 IR d 23 0
d13 ( X ) 0
例3：一个三类问题，三个判决函数为：
d12 ( X ) x1 x2 5
d13 ( X ) x1 3 d 23 ( X ) x1 x2
则 X 1 类，而 d 23 ( X ) 在判别 1 类模式时不起作用。 这里 d ji dij
如：对一个三类问题，如果 d12 ( X ) 0 、d13 ( X ) 0
d12 ( X ) 0
x2
d 21 0 d 23 0
d23 ( X ) 0
2
问模式 X [4,3]t 属于哪类？
d12 ( X ) 0
5
x2
d23 ( X ) 0
解：计算得 d12 ( X ) 2,
d13 ( X ) 1, d23 ( X ) 1
《非线性判别函数》课件
相关机器学习算法介绍
决策树
通过递归分割特征空间来实 现分类和回归，具有易解释、 易实现、易可视化的优点。
贝叶斯分类器
基于贝叶斯定理，通过计算 各类别的先验概率和条件概 率来进行分类和预测。
聚类分析
通过找到数据中的群体和类 别，来进行分类、分析和可 视化。
非线性判别函数在模式识别中的应用
人脸识别
通过比对图片库和实时图像， 来判断是否为同一个人。
1 问题
如何对时间序列进行滞后分析和趋势预测？
2 解决
使用深度学习和循环神经网络，结合移动平均模型和差分变换等技术，来提高时间序列 的预测准确性和稳定性。
3 应用
股票预测、商品价格预测、交通流量预测、生产销售预测等方面有广泛的应用。
非线性判别函数未来发展趋势
智能化
非线性函数将嵌入在更智能的 系统和设备中，为人类带来更 多的便利和创新。
声音识别
通过识别声音的频谱和波形， 来识别说话人和语音内容。
文本分类
通过处理语料和特征向量，来 对文本进行分类和情感分析。
非线性判别函数在图像识别中的实践
1 问题
2 解决
3 应用
如何在海量数据中识别、 检测和分类物体？
使用深度学习和卷积神 经网络，结合GPU并行 计算和数据增强等技术， 来提高图像识别的准确 性和效率。
灵活性
非线性函数可以拟合任意形状的数据，解决了线性函数的局限性。
复杂度
非线性函数可以处理复杂的问题，如图像和声音识别，文本分类和时间序列数据预测等。
准确性
非线性函数可以避免过拟合和多重共线性问题，提高模型的准确性和泛化能力。
为什么需要使用非线性判别函数？
1
数据形状
Ch.3 线性与非线性判别函数
B>0，增量b(k)为：
11
第3章 线性与非线性判别函数
b(k)＝c[XW(k)-b(k)+|XW(k)-b(k)|] 令ek＝XW(k)-B(k)，则b(k)＝c[ek +|ek|]，代入W*得：
W*(k+1)=X*B(k+1)=X*b(k)+X*B(k)＝W*(k)+ X*B(k) ＝ W*(k)+ X* c[ek +|ek|]
1.感知器概念
感知器是F.Rosenblatt在1957年提出的具有单层计算能力
的神经元模型。
x1
W1
x2 w2
y
wd
Xd
Y=f(wixi-) 如wixi->0 ,那么y=1,否则，y=-1. 其中：W=(w1,w2,…,wd)T,X=(x1,x2,…,xd)T 。权值W是通过训练 学习进行调整，实现线性可分函数。Rosenblatt已经证明：如 果两类模式线性可分，那么算法一定收敛。
2
2
2
近似解应满足J(W,B)最小，即误差矢量的模最小。 和
即为所求的解向量。
记W*=(XTX)-1XTB，称X*＝(XTX)-1XT为X的伪逆矩阵。因W还
依赖于B，可用梯度下降法建立B的迭代：
B(k+1)=B(k)-C(Jb)b=b(k) 其中，C>0，
对于B的前后两次迭代，B(k+1)=B(k)＋b(k)，考虑到
其正向函数增长最快，负向函数值减小最快，分别可达最大 值和最小值。本节先定义一个准则函数J（W,X)，其最小值 对应着W的最优解。据此可得到梯度法的公式：
W(k＋1)＝W(k)-(J)w=w(k) 式中 为一正比例因子，通过J（W,X)和W(1)迭代可求得W。 4. 感知器准则函数
《线性判别函数》课件
模型训练
训练集包含特征向量和类别标签，用于确定线性函数的权重和偏差。训练过程核心是通过优化算法调整权重和 偏差，以最大化模型的分类准确性。
模型应用
线性判别函数广泛应用于模式识别、数据挖掘、图像处理等领域。它们可以用于分类问题、聚类分析、特征选 择等任务。
总结
线性判别函数是一种重要的分类器，具有广泛的应用前景。通过深入理解线 性判别函数的模型原理和应用方法，我们可以更好地利用它们解决么是线性判别函数？
线性判别函数是一种分类器，用于将数据点分组在不同的类别中。它是一个 由一组权重和偏差（截距）确定的线性函数。
模型基本原理
线性判别函数将数据点映射到一个标量值，然后使用阈值函数将其转换为类别标签。模型训练的目的是找到一 组权重和偏差，将数据点映射到正确的类别。
线性与非线性元件讲解65页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根线性Fra bibliotek非线性元件讲解
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
非线性判别函数31页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
60、人民的幸福是至高无个的法。— —过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性判别函数
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
60、人民的幸福是至高无个的法。— —过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性判别函数
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
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g(x)w Txw 0aTy
增广样本向量使特征空间增加了一维，但保
持了样本间的欧氏距离不变，对于分类效果 也与原决策面相同，只是在Y空间中决策面 是通过坐标原点的，这在分析某些问题时具 有优点，因此经常用到。
14
线性分类器设计步骤
引言
线性分类器设计任务：给定样本集K，确定线性 判别函数g(x)=wTx的各项系数w。步骤：
决策规则： 判别函数 决策面方程
7
线性判别函数
引言
d维空间中的线性判别函数的一般形式：
g(x)wTxw0
x是样本向量，即样本在d维特征空间中的 描述， w是权向量，w0是一个常数(阈值 权)。
x x 1 ,x 2 ,...x d Tw w 1 ,w 2 ,...w d T
8
两类问题的分类决策规则
3
——
知识点
非 参 数 分有 类监 方督 法学 的习 基方 本法 原 理
Fisher准则
非线性分析器的扩
线
线性分析器
展——分段线性
性
分 析 器
感知准则函数 线性分析器
多层感知器
支持向量机 的基本原理
特性映射方法实现 非线性方法分析器
近邻法
改进的近邻法
4
基本概念
感知器 准则
感知器：Perceptron，Rosenblatt，50d/20thc 线性可分性：训练样本集中的两类样本在特征空间
2. 迭代: 第k+1次迭代时的权 向量a(k+1)等于第k次的 权向量a(k)加上被错分类的 所有样本之和与rk的乘积
3. 终止: 对所有样本正确分类
任意给定一向量 初始值a(1)
a(k+1)= a(k)+ rk×Sum (被错分类的所有样本)
所有样本
正确分类
N
Y
得到合理的a 完成
分类器设计
18
感知器方法例解
可以用一个线性分界面正确无误地分开。在线性可 分条件下，对合适的(广义)权向量a应有：
如果y1, 则aTy0 如果y2, 则aTy0
规范化样本向量 ：将第二类样本取其反向向量
y=yy
如果 y1 如果 y2
aTyi 0i1,...,N
5
解向量与解区
感知器 准则
6
直接确定判别函数
引言
基于样本的直接确定判别函数方法：
1. 收集一组样本K={x1,x2,…,xN} 2. 按需要确定一准则函数J(K,w)，其值反映分类器的性
能，其极值解对应于“最好”决策。 3. 用最优化技术求准则函数J的极值解w*，从而确定判
别函数，完成分类器设计。
w*argmaxJ(K,w)
w
对于未知样本x，计算g(x)，判断其类别。
15
感知器准则函数
判 别 函 数 ： g (x ) (x a ) (x b )
二次函数的一般形式：
g(x)c0c1xc2x2
11
广义线性判别函数(2)
引言
二次函数的一般形式：g(x)c0c1xc2x2
映射X→Y
y1 1
a1 c0
yy2 x，aa2c1
y3 x2
a3 c2
3
g(x)又可表示成： g(x) aTy ai yi
w
x2
r是 x到 H 的 垂 直 距 离
x
是
p
x
在
H
上
的
投
影
向
量
r0
w0 w
w
x R1: g>0
r
xp
x1
R2: g<0 H: g=0
10
广义线性判别函数
引言
线性判别函数是形式最为简单的判别函数， 但是它不能用于复杂情况。
• 例：设计一个一维分类器，使其功能为：
如 果 xbb或 xxaa
则 决 策 x1 则 决 策 x2
武汉理工大学信息工程学院
模式识别 Pattern Recognition
第三章 线性与非线性判别函数
模式识别
内容目录
3.1 感知准则函数
3.2 最小平方误差准则 3.3 Fisher线性判别 3.4 分段线性判别函数 3.5 多类问题 3.6 讨论
第三章
3.1 感知准则函数
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一 种自学习判别函数生成方法，由于Rosenblatt企 图将其用于脑模型感知器(Perceptron)，因此被称 为感知准则函数。其特点是随意确定的判别函数初 始值，在对样本分类训练过程中逐步修正直至最终 确定。
引言
g(x)>0, 如果g(x)<0,
则决策x1 则决策x2
g(x)=0, 可将其任意分类或拒绝
9
线性判别函数的几何意义
引言
决策面(decision boundary)H方程：g(x)=0
向量w是决策面H的法向量
g(x)是点x到决策面H的距离的一种代数度量
x xp r
w w
,
g(x) r
• 设定判别函数形式，用样本集确定参数。 • 使用准则函数，表达分类器应满足的要求。 • 这些准则的“最优”并不一定与错误率最小相
一致：次优分类器。
• 实例：正态分布最小错误率贝叶斯分类器在特 殊情况下，是线性判别函数g(x)=wTx（决策 面是超平面），能否基于样本直接确定w?
选择最佳准则
训练样本集
固定增量法与可变增量法
w(k1)w(k){x(k)sgn[wT(k)x(k)]x(k)}
2
w(k)
wT(k)x(k)0
w(k)x(k) 其它
批量样本修正法与单样本修正法
• 单样本修正法：样本集视为不 断重复出现的序列，逐个样本 检查，修正权向量
感知器 准则
对于任何一个增广权向量a ， • 对样本y正确分类，则有：aTy>0 • 对样本y错误分类，则有：aTy<0
定义一准则函数JP(a) (感知准则函数)：
JP(a) (aTy) yYk
被错分类的规范 化增广样本集
恒有JP(a)≥0，且仅当a为解向量，Yk为空集（不 存在错分样本）时， JP(a)=0，即达到极小值。 确定向量a的问题变为对JP(a)求极小值的问题。
16
梯度下降算法
感知器 准则
梯度下降算法：对(迭代)向量沿某函数的负梯度方 向修正，可较快到达该函数极小值。
Jp(a)Jpa(a)yYk(y)
a(k 1) a(k) rkJp(a)
a(k) rk y yYk
17
算法(step by step)
感知器 准则
1. 初值: 任意给定一向量初始 值a(1)
i1
12
广义线性判别函数(3)
引言
按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数 展开成高次多项式后，都可转化成线性判别 函数来处理。
一种特殊映射方法：增广样本向量y与增广 权向量a
yx1x1,...,xd,1T
aw 1w1,...,wd,w0T
13
广义线性判别函数(4)
引言
线性判别函数的齐次简化：
增广样本向量使特征空间增加了一维，但保
持了样本间的欧氏距离不变，对于分类效果 也与原决策面相同，只是在Y空间中决策面 是通过坐标原点的，这在分析某些问题时具 有优点，因此经常用到。
14
线性分类器设计步骤
引言
线性分类器设计任务：给定样本集K，确定线性 判别函数g(x)=wTx的各项系数w。步骤：
决策规则： 判别函数 决策面方程
7
线性判别函数
引言
d维空间中的线性判别函数的一般形式：
g(x)wTxw0
x是样本向量，即样本在d维特征空间中的 描述， w是权向量，w0是一个常数(阈值 权)。
x x 1 ,x 2 ,...x d Tw w 1 ,w 2 ,...w d T
8
两类问题的分类决策规则
3
——
知识点
非 参 数 分有 类监 方督 法学 的习 基方 本法 原 理
Fisher准则
非线性分析器的扩
线
线性分析器
展——分段线性
性
分 析 器
感知准则函数 线性分析器
多层感知器
支持向量机 的基本原理
特性映射方法实现 非线性方法分析器
近邻法
改进的近邻法
4
基本概念
感知器 准则
感知器：Perceptron，Rosenblatt，50d/20thc 线性可分性：训练样本集中的两类样本在特征空间
2. 迭代: 第k+1次迭代时的权 向量a(k+1)等于第k次的 权向量a(k)加上被错分类的 所有样本之和与rk的乘积
3. 终止: 对所有样本正确分类
任意给定一向量 初始值a(1)
a(k+1)= a(k)+ rk×Sum (被错分类的所有样本)
所有样本
正确分类
N
Y
得到合理的a 完成
分类器设计
18
感知器方法例解
可以用一个线性分界面正确无误地分开。在线性可 分条件下，对合适的(广义)权向量a应有：
如果y1, 则aTy0 如果y2, 则aTy0
规范化样本向量 ：将第二类样本取其反向向量
y=yy
如果 y1 如果 y2
aTyi 0i1,...,N
5
解向量与解区
感知器 准则
6
直接确定判别函数
引言
基于样本的直接确定判别函数方法：
1. 收集一组样本K={x1,x2,…,xN} 2. 按需要确定一准则函数J(K,w)，其值反映分类器的性
能，其极值解对应于“最好”决策。 3. 用最优化技术求准则函数J的极值解w*，从而确定判
别函数，完成分类器设计。
w*argmaxJ(K,w)
w
对于未知样本x，计算g(x)，判断其类别。
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感知器准则函数
判 别 函 数 ： g (x ) (x a ) (x b )
二次函数的一般形式：
g(x)c0c1xc2x2
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广义线性判别函数(2)
引言
二次函数的一般形式：g(x)c0c1xc2x2
映射X→Y
y1 1
a1 c0
yy2 x，aa2c1
y3 x2
a3 c2
3
g(x)又可表示成： g(x) aTy ai yi
w
x2
r是 x到 H 的 垂 直 距 离
x
是
p
x
在
H
上
的
投
影
向
量
r0
w0 w
w
x R1: g>0
r
xp
x1
R2: g<0 H: g=0
10
广义线性判别函数
引言
线性判别函数是形式最为简单的判别函数， 但是它不能用于复杂情况。
• 例：设计一个一维分类器，使其功能为：
如 果 xbb或 xxaa
则 决 策 x1 则 决 策 x2
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模式识别 Pattern Recognition
第三章 线性与非线性判别函数
模式识别
内容目录
3.1 感知准则函数
3.2 最小平方误差准则 3.3 Fisher线性判别 3.4 分段线性判别函数 3.5 多类问题 3.6 讨论
第三章
3.1 感知准则函数
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一 种自学习判别函数生成方法，由于Rosenblatt企 图将其用于脑模型感知器(Perceptron)，因此被称 为感知准则函数。其特点是随意确定的判别函数初 始值，在对样本分类训练过程中逐步修正直至最终 确定。
引言
g(x)>0, 如果g(x)<0,
则决策x1 则决策x2
g(x)=0, 可将其任意分类或拒绝
9
线性判别函数的几何意义
引言
决策面(decision boundary)H方程：g(x)=0
向量w是决策面H的法向量
g(x)是点x到决策面H的距离的一种代数度量
x xp r
w w
,
g(x) r
• 设定判别函数形式，用样本集确定参数。 • 使用准则函数，表达分类器应满足的要求。 • 这些准则的“最优”并不一定与错误率最小相
一致：次优分类器。
• 实例：正态分布最小错误率贝叶斯分类器在特 殊情况下，是线性判别函数g(x)=wTx（决策 面是超平面），能否基于样本直接确定w?
选择最佳准则
训练样本集
固定增量法与可变增量法
w(k1)w(k){x(k)sgn[wT(k)x(k)]x(k)}
2
w(k)
wT(k)x(k)0
w(k)x(k) 其它
批量样本修正法与单样本修正法
• 单样本修正法：样本集视为不 断重复出现的序列，逐个样本 检查，修正权向量
感知器 准则
对于任何一个增广权向量a ， • 对样本y正确分类，则有：aTy>0 • 对样本y错误分类，则有：aTy<0
定义一准则函数JP(a) (感知准则函数)：
JP(a) (aTy) yYk
被错分类的规范 化增广样本集
恒有JP(a)≥0，且仅当a为解向量，Yk为空集（不 存在错分样本）时， JP(a)=0，即达到极小值。 确定向量a的问题变为对JP(a)求极小值的问题。
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梯度下降算法
感知器 准则
梯度下降算法：对(迭代)向量沿某函数的负梯度方 向修正，可较快到达该函数极小值。
Jp(a)Jpa(a)yYk(y)
a(k 1) a(k) rkJp(a)
a(k) rk y yYk
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算法(step by step)
感知器 准则
1. 初值: 任意给定一向量初始 值a(1)
i1
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广义线性判别函数(3)
引言
按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数 展开成高次多项式后，都可转化成线性判别 函数来处理。
一种特殊映射方法：增广样本向量y与增广 权向量a
yx1x1,...,xd,1T
aw 1w1,...,wd,w0T
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广义线性判别函数(4)
引言
线性判别函数的齐次简化：