浅谈法曲率

浅谈法曲率摘要：在我们学习微分几何的法曲率时，一般是先给出法截面和法截线的概念，然后再直接由法截线的的曲率给出法曲率的定义，不易理解，存在另一种比较容易理解的法曲率的介绍方法，从考虑曲线的曲率向量在曲面该点处的单位法向量上的投影方面来考虑法曲率，并给出了法曲率如何刻画曲面的弯曲性以及相应的例子；在此，我们着重学习这两种方法及法曲率的性质关键词：曲率；法曲率；主方向；全曲率；主曲率一．法曲率的学习方法方法一.我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究。

给出2C 类曲面S ：),,(v u r r =过曲面S 上点),(v u P 的任一曲线)(C 为：),(),(s v v s u u ==或[]),()(),(s r s v s u r r ==其中s 是自然参数。

我们以的α和β分别表示曲线)(C 的切向量和主法向量。

根据伏雷内公式有,βαk r ==⋅⋅⋅其中k 是曲线)(C 在P 点的曲率。

若以θ表示曲线)(C 的主法向量β和曲面法向量n 的夹角（图1），图1则θβcos k n k n r =⋅=⋅⋅⋅，另一方面，由于,2222I II =⋅==⋅⋅⋅ds r d n ds r d n r n 因此222222cos Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu k ++++=I II =θ （1） （1）式中的右端与第一、二类基本量和dvdu 有关。

且E 、F 、G 、L 、M 、N 都是参数),(v u 的函数，并且在曲面上一个给定点P 都具有确定的值，dvdu 为切方向，所以（1）式右端都有确定的值。

因此若在曲面上一个给定点相切的两条曲面曲线，在该点它们的主法线有相同的方向，则它们的角度θ也相同，所以根据（1），k 也相同。

对在曲面的任何曲线)(C 上一点P ，作通过)(C 在点P 的切线与主法线的平面（即密切平面），得到这个平面与曲面的截线，这条平面曲线与曲线)(C 具有相同的切线与主法线，所以曲率也相同。

则曲面曲线的曲率就可以转化为曲面上一条平面截线的曲率的讨论。

所以下面我们引入曲面上特殊的平面截线。

给出曲面S 上一点P 和P 点处一方向dv du d :)(=，设n 为曲面在P 点的法方向，于是)(d 和n 所确定的平面称为曲面在P 点的沿方向)(d 的法截面，这法截面和曲线S 的交线称为曲面在P 点的沿方向)(d 的法截线。

设方向dv du d :)(=所确定的法截线)(0C 在P 点的曲率为0k 。

对于法截线)(0C ，主法向量0,00=±=θβn 或π，所以由（1）知它的曲率00≥k 为,0III =±k 即,0III ±=k （2） 其中n 和)(0C 的主法向量0β的方向相同时取正号，反之取负号（如图2），即法截线向n 的正侧弯曲时取正号；反之，向n 的反侧弯曲时取负号（图2）。

考虑曲面上一点在一方向)(d 上的弯曲程度仅由00≥k 还不能完全确定，还要考虑曲面弯曲的方向才能全面刻画曲面上一点在方向)(d 上的弯曲性，因此我们再引入法曲率的概念。

定义 曲面在给定点沿一方向的法曲率为⎩⎨⎧-+=的反侧弯曲，，法截线向的正侧弯曲，，法截线向n k n k k n 00由公式（2）可得III =n k （3） 设曲面上一曲线)(C 和法截线)(0C 切于点P ，换言之，它们有相同的切方向dv du d :)(=，则从（1）和（3）可得,cos θk k n =根据这个关系式，所有关于曲面曲线的曲率都可以化为法曲率来讨论。

若设nn k R k R 1,1==，R 称为曲线)(C 的曲率半径，n R 称为曲线)(0C 的曲率半径也称为法曲率半径。

则上式又能写成θcos n R R =。

它的几何意义就是： 梅尼埃（Meusnier ）定理 曲面曲线)(C 在给定点P 的曲率中心C 就是与曲线)(C 具有共同切线的法截线)(0C 上同一个点P 的曲率中心0C 在曲线)(C 的密切平面上的投影。

方法二.为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们首先引进了du 和dv 的两个二次微分形式，即I 和∏，且有第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而∏刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，从直观上讲，它刻画了曲面在空间中的弯曲性。

但曲面在不同的方向弯曲程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。

因此，为使对弯曲的刻画更加确切，并使问题尽可能简化，我们借助于曲面上曲线的曲率，又引进曲面上法曲率的概念。

法曲率的引入第一基本形式I 是曲面上的切向量dr 的长度平方，即dr dr ⋅=I第二基本形式是n r d ⋅=∏2，在本质上它是曲面上任意一点的邻近点P 到该点切平面的有向距离的两倍。

特别是，两个基本形式之比n dr r d dr dr n r d ⋅=⋅⋅=I II 222是曲面上通过该点、以dr 为方向的曲线的曲率向量22drr d k =β在曲面该点处的单位法向量n 上的投影，它是仅依赖于曲面在该点的切方向的函数。

如果考虑曲面上由该点的切方向dr 和单位法向量n 所张成的平面（法截面），并且用该平面在曲面上截出一条曲线（法截线），根据伏雷内公式，则这条平面曲线以dr 为切向量，同时在该点的β和n 是共线的，所以该曲线在该点的曲率正好是I II ，我们把它称为曲面在该点沿切方向dr 的法曲率，记为n k 。

显然有θβcos k n k k n =⋅=III =【注 1】上式III 只是点和方向的函数,给定点处, 其值仅由方向dv du d :)(=决定. 因此, 对于过点P 且具有相同切线的诸多曲线而言, 尽管它们在P 点的曲率k 不同, 对应的θ也不相同,但乘积θcos k 却是个固定值。

【注 2 】θcos k 含有反映曲线弯 曲程度的曲率项,而III 有反映曲面弯曲程度的第二基本形式, 因此, 上式把曲线与曲面的弯曲性联系起来, 为我们利用曲线来研究曲面的弯曲程度提供了方便。

法曲率n k 的几何意义: 设θβ=∠),(n ，则θβαcos k n k n k n =⋅=⋅=⋅(k 为曲线)(:s r r =Γ的曲率)，由于βk 是与曲线)(:s r r =Γ的曲率k 有关的向量，我们称βk 为曲线)(:s r r =Γ的曲率向量，于是法曲率n k 就是曲率向量在曲面的单位法向量n 上的投影，这就是法曲率的几何意义。

一般说来，曲面在每一点由两个彼此垂直的切方向，使得法曲率n k 在这两个方向分别达到它的最大值和最小值，这两个切方向称为曲面在该点的主方向，相应的两个法曲率称为曲面在该点的主曲率。

特别的，如果曲面在某一点（脐点）处有第一、第二类基本量成比例，则每一个切方向都是主方向。

根据法曲率的Euler 公式，主曲率是法曲率的最大值和最小值.因此，计算主方向和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段.我们已经知道主方向和主曲率恰好是曲面在这一点的Weingarten 映射的特征方向和特征值。

因此求曲面主方向和主曲率的问题归结为求Weingarten 映射的特征方向和特征值。

现在把求主方向和主曲率的方法综述如下： 首先，按照公式22122FEG NE MF LG H k k -+-==+和2221F EG M LN K k k --==用曲面的第一基本量和第二基本量计算曲面的平均曲率H 和Gauss 曲率K ，并解二次方程022=+-K H λλ，得到曲面的主曲率21,k k ，其次，分两种情形来处理：在非脐点的情形时，21k k ≠，我们逐次将1k 和2k 分别代替线性方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ 中的λ，其相应的方程组系数矩阵的秩是1，因此对应与1k 的主方向是Fk M G k N E k L F k M v u 1111---=---=δδ 对应于2k 的主方向是Fk M G k N E k L F k M v u 2222---=---=δδ在脐点的情形，G N F M E L k k ====21，将1k （或2k ）代替线性方程组 ⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ 中的λ，其相应的方程组系数矩阵是零矩阵，此时任意的非零数组),(v u δδ都是方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)()(0)()(v G N u F M v F M u E L δλδλδλδλ的解，即主方向是不定的。

法曲率的计算与弯曲性的刻画下面我们用不同的方法来求球面的法曲率例 1：求球面量的}{v R u v R u v R r sin ,sin cos ,cos cos =在一点的法曲率。

解：方法一：利用定义图3如图3，设法截线)(0C 在球面上P 点的曲率为0k ，则Rk 10=。

因为法截线)(0C 向n 的反侧弯曲，由法曲率的定义可得：R k k n 10-=-= 方法二：利用公式θcos k k n =计算设P 是球面上任一点，过此点的平面与球心的距离为d ，平面与球面的交线为)(C ，则)(C 为圆周，其曲率为221d R k -=如图2所示，假设ϕ=∠),(0PC PC ，则圆周的主法向量与平面的法向量的夹角为ϕπθ-=从而R d R 22)cos(cos --=--=θπθ，R R d R d R k k n 1)(1cos 2222-=---==θ 方法三：利用III =n k 计算 对于球面}{v R u v R u v R r sin ,sin cos ,cos cos =有22222cos dv R vdu R +=I ，)cos (222Rdv vdu R +-=∏所以球面上任意点),(v u 沿任何方向):(dv du 的法曲率为Rk n 1-=I II = 方法四：利用欧拉公式 因为球面上的点都是脐点，从而主曲率Rk k 121-==由欧拉公式知其法曲率Rk k k n 1sin cos 2221-=+=θθ下面我们结合例子来说明法曲率刻画了曲面的弯曲性。

例2：求平面、圆柱面和球面的法曲率，并说明它们的弯曲情况。

解：先考虑平面:设平面方程为{}0,,y x r =，则有0=I I ，故0=n k 平面不弯曲，平面上的点都是平点，平面上每一个方向都是主方向。

下面考虑圆柱面： 设圆柱面的方程为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=v a u a a u a r ,sin ,cos ，则有22dv du +=I ，21du a -=∏ 故)(222dv du a du k n +=。