杆件的稳定性分析与稳定性设计
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螺杆的工作应力
P 70 103 55.7 MPa A 402 / 4
校核螺杆的稳定性 计算结果表明，稳定性足够。
ng
cr 220.4 3.96 nw 55.7
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第四节 问题讨论与说明
一、稳定性问题的特点
稳定性问题是材料力学行为的三大特点之一，它研究杆的原始平衡状态稳定的条件。 （一）压杆失稳是在压杆收轴向力时，横截面上的应力还远未达到其强度失效条件时，突然发生的 弯曲破坏。 （二）压杆的失稳是一个综合性问题，不仅与材料本身有关部门，还与压杆的长度、横截面形状及 杆端的约束有关。
i
d 04 64 d 02 40 I 10mm A d 02 4 4 4
2、计算螺杆临界应力并校核稳定性
l
i
2 400 80 10
材料为A5钢，查询机械设计手册得：λc=96。因λ＜λc ，所以采用抛物线公式计算临界应力。
cr s a 2 275 0.00853 802 220.4MPa
2E cr 2 p
或
2E p p
上式表明，欧拉公式的适用范围是压杆的柔度必需大于最小柔度λp即 λ≥λp ，满足这一条件的压杆 称为大柔度杆（或细长压杆）。
三、超过比例极限时的临界应力
工程中中有许多压杆，其柔度λ往往小于λp，这类压杆称为中、小柔度杆。其常用抛物线公式，即
这种过渡状态成为临界状态，其中Pcr称为临界力。临界力是压杆右稳定的平衡状态向不稳定的平衡 状态过渡的临界点，对压杆的稳定性强弱与否起关键性作用。
二、细长压杆的临界力公式
临界力Pcr的大小表征压杆失稳的难易，临界力的大小与影响压缩直杆弯曲变形的因素有关： 1、杆的长度l ：l 越大，抵抗弯曲变形的能越小，Pcr 值就越小； 2、抗弯刚度EI：EI 值越大，抵抗弯曲变形的能力就越大，Pcr 值就越大 ； 3、杆端支承 杆端支承越牢固，越不容易发生弯曲变形，Pcr 值就越大。
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第三节 压杆的稳定性设计
临界力和临界应力是压杆丧失工作能力时的极限值。为了保证压杆具有足够的稳定性，不但要求压 杆的轴向压力或工作应力小于其极限值，而且还应考虑适当额定安全储备。因此，压杆的稳定条件为
Hale Waihona Puke BaiduP
Pcr nw
或
cr
nw
式中nw为规定的稳定安全系数。 钢类 nw = 1.8～3.0 铸铁 nw = 4.5～5.5 木材 nw = 2.5～3.5 在工程实际中，常采用安全系数法进行压杆稳定性计算，即
综合以上几个方面，可得细长压杆的临界力计算公式——称为欧拉公式 ，即
2 EI Pcr 2 l
其中μ为支承系数——与支承形式有关的系数。
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第二节 压杆件的临界应力
一、临界应力
设压杆的横截面面积为A，则压杆的临界应力为
Pcr 2 EI cr A l 2 A
第七章 杆件的稳定性分析与稳定性设 计
第一节 受压杆件稳定的概念 第二节 压杆件的临界应力 第三节 压杆的稳定性设计 第四节 问题讨论与说明
第一节 受压杆件稳定的概念
一、压杆稳定的概念
（一）失稳的概念
对于细长压杆施加轴向压力，当其压应力远小于材料的极限应力时， 它便变弯曲，或因弯曲而折断。这种不能保持压杆原有直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为压杆直线状态的平衡丧失了稳定性，简称压杆失稳。
对于钢材 对于铸铁
cr s a 2
cr b a 2
四、临界应力总图
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象称为临界应力总图。如下Q235钢的临界应力总图
其中临界应力公式分界点为
≥ c
——应用欧拉公式
c
——应用抛物线公式
工程上以λc作为分界点，这是由于在实际工程中，压杆所受的压力存在偏心等缘故。
将压杆截面的惯性半径
i
I A
代入上式得
2 Ei 2 2E cr 2 2 l l
i
令
l i
有
2E cr 2
上式称为压杆临界应力欧拉公式，其中λ 称为压杆的柔度。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式只有压杆的临界应力不超过材料的比例极限时才成立，即材料处于弹性变形范围
2、根据支座形式选择截面形状 压杆总是在柔度大的纵向平面试问，为了充分发挥压杆的抗失稳能力，应使压杆在各个纵向平面内 具有相同或相近的柔度。因此，但压杆两端的支座是固定端或球铰链时，各纵向平面内的约束情况都相 同，应选用圆形或方形截面比较合理；当压杆两端是柱铰链时，在两个相互垂直的纵向平面内，约束也 不相同，就应要求截面对两个相互垂直轴的惯性矩也不相同，因而选用矩形或工字形截面比较合理。 （三）减小压杆的长度 （四）改善约束条件
二、提高压杆稳定性的途径
（一）合理选用材料 对于大柔度杆，临界应力σcr由欧拉公式确定，σcr与材料的弹性模量E成正比，选 E 值的大材料， 可提高大柔度杆的稳定性。但需注意，各种钢的 E 值相近，选用高强度钢，增加成本，却不能提高其稳 定行，所以，宜选用普通钢材；对于中、小柔读杆，临界应力的大小由抛物线公式确定，σcr与材料的 强度有关，材料的强度高，临界应力也高，所以，选用高强度钢，可提高其稳定性。 （二）合理选择截面形状 1、选择惯性矩 I 大的截面形状
（二）平衡稳定性的概念，临界力Pcr 如右图、在杆端施加一轴向力P（右图a），当P不大时，压杆保持 直线平衡状态，当沿杆轴线垂直方向施加一横向干扰力时，压杆只发生 微小的弯曲（右图b），干扰力消除后，杆经过多次摆动后仍能恢复到 原来的平衡状态（右图c）；当轴向力增大超过某一值Pcr时，压肛由原 来的稳定平衡状态过渡到不稳定的平衡状态，即干扰力消除后，压杆不 能恢复到原来的平衡状态（右图d）。
ng
Pcr P
或
ng
cr
式中ng为工作安全系数或实际安全系数。
例 千斤顶的螺杆，其旋出最大长度 l =400mm，螺纹内径 d0 =40mm，最 大起重重量 P=70kN，螺杆的材料为A5钢，规定稳定安全系数 nw=3。 要求：校核螺杆的稳定性。
解：1、计算柔度 螺杆可简化为上端自由下端固定的压杆，故起支承系数μ=2
P 70 103 55.7 MPa A 402 / 4
校核螺杆的稳定性 计算结果表明，稳定性足够。
ng
cr 220.4 3.96 nw 55.7
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第四节 问题讨论与说明
一、稳定性问题的特点
稳定性问题是材料力学行为的三大特点之一，它研究杆的原始平衡状态稳定的条件。 （一）压杆失稳是在压杆收轴向力时，横截面上的应力还远未达到其强度失效条件时，突然发生的 弯曲破坏。 （二）压杆的失稳是一个综合性问题，不仅与材料本身有关部门，还与压杆的长度、横截面形状及 杆端的约束有关。
i
d 04 64 d 02 40 I 10mm A d 02 4 4 4
2、计算螺杆临界应力并校核稳定性
l
i
2 400 80 10
材料为A5钢，查询机械设计手册得：λc=96。因λ＜λc ，所以采用抛物线公式计算临界应力。
cr s a 2 275 0.00853 802 220.4MPa
2E cr 2 p
或
2E p p
上式表明，欧拉公式的适用范围是压杆的柔度必需大于最小柔度λp即 λ≥λp ，满足这一条件的压杆 称为大柔度杆（或细长压杆）。
三、超过比例极限时的临界应力
工程中中有许多压杆，其柔度λ往往小于λp，这类压杆称为中、小柔度杆。其常用抛物线公式，即
这种过渡状态成为临界状态，其中Pcr称为临界力。临界力是压杆右稳定的平衡状态向不稳定的平衡 状态过渡的临界点，对压杆的稳定性强弱与否起关键性作用。
二、细长压杆的临界力公式
临界力Pcr的大小表征压杆失稳的难易，临界力的大小与影响压缩直杆弯曲变形的因素有关： 1、杆的长度l ：l 越大，抵抗弯曲变形的能越小，Pcr 值就越小； 2、抗弯刚度EI：EI 值越大，抵抗弯曲变形的能力就越大，Pcr 值就越大 ； 3、杆端支承 杆端支承越牢固，越不容易发生弯曲变形，Pcr 值就越大。
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第三节 压杆的稳定性设计
临界力和临界应力是压杆丧失工作能力时的极限值。为了保证压杆具有足够的稳定性，不但要求压 杆的轴向压力或工作应力小于其极限值，而且还应考虑适当额定安全储备。因此，压杆的稳定条件为
Hale Waihona Puke BaiduP
Pcr nw
或
cr
nw
式中nw为规定的稳定安全系数。 钢类 nw = 1.8～3.0 铸铁 nw = 4.5～5.5 木材 nw = 2.5～3.5 在工程实际中，常采用安全系数法进行压杆稳定性计算，即
综合以上几个方面，可得细长压杆的临界力计算公式——称为欧拉公式 ，即
2 EI Pcr 2 l
其中μ为支承系数——与支承形式有关的系数。
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第二节 压杆件的临界应力
一、临界应力
设压杆的横截面面积为A，则压杆的临界应力为
Pcr 2 EI cr A l 2 A
第七章 杆件的稳定性分析与稳定性设 计
第一节 受压杆件稳定的概念 第二节 压杆件的临界应力 第三节 压杆的稳定性设计 第四节 问题讨论与说明
第一节 受压杆件稳定的概念
一、压杆稳定的概念
（一）失稳的概念
对于细长压杆施加轴向压力，当其压应力远小于材料的极限应力时， 它便变弯曲，或因弯曲而折断。这种不能保持压杆原有直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为压杆直线状态的平衡丧失了稳定性，简称压杆失稳。
对于钢材 对于铸铁
cr s a 2
cr b a 2
四、临界应力总图
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象称为临界应力总图。如下Q235钢的临界应力总图
其中临界应力公式分界点为
≥ c
——应用欧拉公式
c
——应用抛物线公式
工程上以λc作为分界点，这是由于在实际工程中，压杆所受的压力存在偏心等缘故。
将压杆截面的惯性半径
i
I A
代入上式得
2 Ei 2 2E cr 2 2 l l
i
令
l i
有
2E cr 2
上式称为压杆临界应力欧拉公式，其中λ 称为压杆的柔度。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式只有压杆的临界应力不超过材料的比例极限时才成立，即材料处于弹性变形范围
2、根据支座形式选择截面形状 压杆总是在柔度大的纵向平面试问，为了充分发挥压杆的抗失稳能力，应使压杆在各个纵向平面内 具有相同或相近的柔度。因此，但压杆两端的支座是固定端或球铰链时，各纵向平面内的约束情况都相 同，应选用圆形或方形截面比较合理；当压杆两端是柱铰链时，在两个相互垂直的纵向平面内，约束也 不相同，就应要求截面对两个相互垂直轴的惯性矩也不相同，因而选用矩形或工字形截面比较合理。 （三）减小压杆的长度 （四）改善约束条件
二、提高压杆稳定性的途径
（一）合理选用材料 对于大柔度杆，临界应力σcr由欧拉公式确定，σcr与材料的弹性模量E成正比，选 E 值的大材料， 可提高大柔度杆的稳定性。但需注意，各种钢的 E 值相近，选用高强度钢，增加成本，却不能提高其稳 定行，所以，宜选用普通钢材；对于中、小柔读杆，临界应力的大小由抛物线公式确定，σcr与材料的 强度有关，材料的强度高，临界应力也高，所以，选用高强度钢，可提高其稳定性。 （二）合理选择截面形状 1、选择惯性矩 I 大的截面形状
（二）平衡稳定性的概念，临界力Pcr 如右图、在杆端施加一轴向力P（右图a），当P不大时，压杆保持 直线平衡状态，当沿杆轴线垂直方向施加一横向干扰力时，压杆只发生 微小的弯曲（右图b），干扰力消除后，杆经过多次摆动后仍能恢复到 原来的平衡状态（右图c）；当轴向力增大超过某一值Pcr时，压肛由原 来的稳定平衡状态过渡到不稳定的平衡状态，即干扰力消除后，压杆不 能恢复到原来的平衡状态（右图d）。
ng
Pcr P
或
ng
cr
式中ng为工作安全系数或实际安全系数。
例 千斤顶的螺杆，其旋出最大长度 l =400mm，螺纹内径 d0 =40mm，最 大起重重量 P=70kN，螺杆的材料为A5钢，规定稳定安全系数 nw=3。 要求：校核螺杆的稳定性。
解：1、计算柔度 螺杆可简化为上端自由下端固定的压杆，故起支承系数μ=2