实数的完备性

第七章实数的完备性

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。

教学时数：12学时

§ 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。

一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .

二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .

Th 2 单调有界数列必收敛 .

三.Cantor闭区间套定理 :

区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件

1.

ⅰ> 对

, 有

, 即

, 亦即后一个闭区间

包含在前一个闭区间中 ;

ⅱ>

. 即当

时区间长度趋于零.

则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .

简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为:

.

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列

和

, 其中

递增,

递减.

例如 和

都是区间套. 但

、

和

都不是.

2. Cantor 区间套定理: Th 3 设

是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对

有

.

简言之, 区间套必有唯一公共点.

四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :

1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :

⑴

.

⑵

.

解⑴

;

，为使，易见只要 .

对

于是取

⑵

.

为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有

当

,

又

.

为奇数时 ,

当

,

. 综上 , 对任何自然数

, 有

. ……

Cauchy列的否定:

例2

. 验证数列不是Cauchy列.

证对

, 取

, 有

.

因此, 取,……

2.Cauchy收敛原理:

Th 4 数列

收敛是Cauchy列.

( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine 归并原则给出证明 )

五. 致密性定理:

数集的聚点

是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点,

定义设

则称点

=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间

数集

; 设

1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.

Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.

2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.

Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.

六.Heine–Borel有限复盖定理:

复盖: 先介绍区间族.

1.

定义( 复盖 ) 设

称区间族

若每个

都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为

定义( 开复盖 ) 数集

的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的

一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.

复盖了区间, 但不能复盖

例3

;复盖

2.Heine–Borel 有限复盖定理:

Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.

§ 2 实数基本定理等价性的证明（3学时）证明若干个命题等价的一般方法.

本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:

Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则

确界原理 ;

Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;

Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .

一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).

1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:

Th 2 单调有界数列必收敛 .

证

2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th 3 设

是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.

是区间套确定的公共点, 则对, 当

系1 若

时, 总有

系2 若

是区间套 确定的公共点, 则有

↗

,

↘ ,

.

3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:

Th 4 数列

收敛

是Cauchy 列.

引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )

Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.

4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设

为非空有上界数集 . 当 为有

限集时 , 显然有上确界 .下设

为无限集, 取

不是

的上界, 为

的上界. 对

分区间

, 取 , 使

不是

的上界, 为

的上界. 依此得闭区间列. 验证

为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理

收敛. 易

见

↘. 设

↘

.有

↗

.下证

.用反证法验证

的上界性和最小性.

二.“Ⅱ” 的证明:

1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:

Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.

证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 证 （ 用对分法 ）

2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ： Th 4 数列

收敛

是Cauchy 列.