线性方程组解的存在唯一性
考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。
希望对考生在暑期的复习中有所帮助 本文内容为线性代数的常考公式汇总。
1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即C 的3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E .设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如2100(5)050001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如3,2100(2)012001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A .1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ；2）()1r ≠⇔≥A O A ；3）()1r =⇔≠A A O 且A 各行元素成比例；4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =⇔≠A A .6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合.设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合，则称向量β可以由向量组12,,...,m ααα线性表出.线性相关设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,m k k k ，使得1122...0m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,...,m ααα线性相关.如果向量组12,,...,m ααα不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组12,,...m ααα线性相关当且仅当12,,...m ααα中至少有一个是其余1m -个向量的线性组合.定理2：若向量组12,,...m ααα线性相关，则向量组121,,...,,m m αααα+也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...m ααα的延伸组1212,,...,m m αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关.定理4：已知向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...,m αααβ线性相关当且仅当β可以由向量组12,,...m ααα线性表出.定理5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且12,,...,s ααα线性无关，则有s t ≤.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且s t >，则12,,...,s ααα线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：1n +个n 维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设()12,,...,n A ααα=，其中12,,...,n ααα为A 的列向量，则线性方程组Ax b =有解⇔向量b 能由向量组12,,...,n ααα线性表出；⇔()()1212,,...,,,...,,n n r r b αααααα=；⇔()(),r A r A b =线性方程组解的唯一性当线性方程组Ax b =有解时，Ax b =的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组0Ax =有非零解；⇔向量组12,,...,n ααα线性相关；⇔()12,,...,n r n ααα<；⇔()r A n <.注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知()r A n <是不能得到Ax b =有无穷多解的，也有可能无解.2）定理2是按照Ax b =有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出Ax b =有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式A αλα=成立.则称λ是矩阵A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.设E 为n 阶单位矩阵，则行列式E A λ-称为矩阵A 的特征多项式.注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式A αλα=也可以写成()0A E λα-=，因此α是齐次线性方程组()0A E x λ-=的解，由于0α≠，可知()0A E x λ-=是有非零解的，故0A E λ-=；反之，若0A E λ-=，那么齐次线性方程组()0A E x λ-=有非零解，可知存在0α≠使得()0A E λα-=，也即A αλα=.由上述讨论过程可知：λ是矩阵A 的特征值的充要条件是0A E λ-=（或0E A λ-=），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组()0A E x λ-=的非零解.，n 定理3：A 一定有n 个线性无关的特征向量，即A 可以对角化.且存在正交矩阵Q ，使得112(,,...,)T n Q AQ Q AQ diag λλλ-==，其中12,,...,n λλλ为矩阵A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.11、如果二次型11n nij i j i j a x x ==∑∑中，只含有平方项，所有混合项()i j x x i j ≠的系数全为零，也即形如2221122...n nd x d x d x +++，则称该二次型为标准形。
1996年线代数三
1996年线代数三引言概述：1996年线性代数三是一个重要的数学考试，旨在测试学生对线性代数的理解和应用能力。
本文将从五个大点出发，详细阐述1996年线性代数三的相关内容。
正文内容：1. 矩阵与向量空间1.1 矩阵的定义和性质：介绍矩阵的基本概念，包括矩阵的行数和列数，矩阵的加法和乘法运算等。
1.2 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，包括零向量、向量的加法和数乘运算，以及向量空间的子空间等。
2. 线性方程组2.1 线性方程组的基本概念：介绍线性方程组的定义，包括未知数和系数矩阵等。
2.2 线性方程组的解法：详细阐述高斯消元法、矩阵的初等行变换和矩阵的逆等方法来解线性方程组。
2.3 线性方程组的解的存在性和唯一性：讨论线性方程组解的存在性和唯一性的条件，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别。
3. 矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，以及它们之间的关系。
3.2 特征值和特征向量的性质：介绍特征值和特征向量的基本性质，包括特征值的代数重数和几何重数等。
3.3 矩阵的对角化：讨论可对角化矩阵的条件，以及如何通过特征值和特征向量来对角化矩阵。
4. 向量空间的基和维数4.1 向量空间的基的定义：解释向量空间的基的概念，以及基的线性无关性和生成性等。
4.2 维数的定义和性质：介绍向量空间的维数的概念，以及维数与基的关系。
4.3 基变换和坐标表示：讨论基变换的概念和基变换矩阵的求解方法，以及向量在不同基下的坐标表示。
5. 线性映射和矩阵的相似性5.1 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，包括线性映射的线性性质和零空间等。
5.2 矩阵的相似性：详细阐述矩阵相似的定义和性质，以及相似矩阵的判断方法和相似矩阵的性质。
总结：综上所述，1996年线性代数三考试涵盖了矩阵与向量空间、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、向量空间的基和维数，以及线性映射和矩阵的相似性等内容。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答
5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更 精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.
2017考研数学：线性代数必考公式与定理
2017考研数学：线性代数必考公式与定理()12121211121,,...,2122212,,...,12 (1)..................n nnn i i i ni i ni i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑基本性质性质一：如果一个行列式的某一行全为0，则行列式的值等于0.性质二：如果一个行列式的某两行元素对应成比例，则行列式的值等于0.性质三：将行列式的任意两行互换位置后，行列式改变符号。
性质四：将行列式的某一行乘以一个常数k 后，行列式的值变为原来的k 倍。
性质五：将行列式的一行的k 倍加到另一行上，行列式的值不变。
性质六：如果行列式某一行的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别为对应两个加数，其余行与原行列式相等。
即111211112111121212222122221222112212121212..........................................................................................n n nn n n i i i i in ini i in i i n n nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b a a a a a a =++++12..................in n n nnb a a a性质七：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即111211121121222122221212..........................................n n nn n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =。
线性方程组的解的存在唯一性
线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是数学中的重要概念，它与方程的解的存在唯一性密切相关。
在本文中，我们将讨论线性方程组解的存在唯一性，并介绍相应的定理和证明。
一、引言线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
它的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\\cdots\cdots \\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \\\end{cases}\]其中，\(a_{ij}\) 为系数矩阵中的元素，\(x_{i}\) 为未知数，\(b_{i}\) 为常数项。
二、解的存在性线性方程组的解存在的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
具体来说，线性方程组存在解的条件可以通过行列式的性质来判断。
定理1：若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数，则方程组存在解。
证明：根据线性方程组的性质，通过高斯消元法将系数矩阵化为行最简形式，设最简形式的系数矩阵为\(D\)，增广矩阵形式为\([D|C]\)。
由于\(D\) 是行最简形式，所以\(D\) 中的主变量对应的列是主列，而非主变量对应的列是自由列。
对于线性方程组存在解的条件，我们需要判断未知数的个数和主列的个数是否相等。
如果相等，即主变量的个数等于未知数的个数，则存在唯一解。
如果主变量的个数小于未知数的个数，则存在无穷多解。
如果主变量的个数大于未知数的个数，则无解。
因此，当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数时，线性方程组存在解。
三、解的唯一性线性方程组解的唯一性可以通过系数矩阵的行和行列式来判断。
定理2：若线性方程组的系数矩阵的行和行列式不为零，则方程组的解是唯一的。
宋浩线代辅导讲义
宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。
线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。
例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。
•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。
•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。
2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。
一个m×n的矩阵有m行n列。
例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。
其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。
向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。
线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。
例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。
2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
线性方程组的解的存在唯一性
线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是一类具有线性关系的方程组，其中每个方程都是线性方程。
解线性方程组的一个重要问题是确定解的存在性和唯一性。
在本文中，我们将探讨线性方程组解的存在性和唯一性的相关问题。
一、线性方程组的定义我们首先回顾线性方程组的定义。
一个包含n个线性方程和n个未知数的线性方程组可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中aᵢₙ(1≤i≤n, 1≤j≤n)是系数矩阵的元素，x₁, x₂, ..., xₙ是未知数，b₁, b₂, ..., bₙ是常数项。
二、线性方程组的解的存在性对于一个线性方程组，解的存在性意味着是否存在一组解使得所有方程都成立。
定理1：线性方程组存在解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩。
该定理告诉我们，当系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩时，线性方程组存在解。
如果系数矩阵的秩小于常数项矩阵的秩，则线性方程组不存在解。
三、线性方程组的解的唯一性当线性方程组存在解时，解的唯一性描述了解的数量。
定理2：对于一个系数矩阵的秩等于常数项矩阵的秩的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，那么线性方程组的解是唯一的。
该定理告诉我们，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，线性方程组的解是唯一的。
如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组存在无穷多个解。
四、线性方程组解的求解方法确定了线性方程组解的存在性和唯一性后，我们可以考虑解的求解方法。
1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法。
它通过将方程组化为阶梯型或行简化阶梯型，从而求解方程组的解。
2. 矩阵求逆法若系数矩阵可逆，我们可以通过求解矩阵的逆来得到线性方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的余子式来求解线性方程组的方法。
第三章线性微分方程LinearODE3.1预备知识3.2解的存在性与唯一性
(3.3.1)
否则，当且仅当 c= 1
c= = cm = 0 时，(3.3.1)成立，此时称这 m 个向量函 2
数于区间 Ω 上线性无关．
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第八讲: §3.2 解的存在性与唯一性 §3.3齐次线性微分方程组解的结构
第八讲: §3.2 解的存在性与唯一性 §3.3齐次线性微分方程组解的结构
命题 1 满足初始条件 x ( t0 ) = ξ 的微分方程组(3.1.6)等价于下面相应的积 分方程组：
x (t ) = ξ +∫ A (τ ) x (τ ) + f (τ ) dτ t0
t
(3.2.1)
ϕ0 ( t ) = ξ ,
的解，其中 c1 , c2 , , ck 是任意常数
称向量函数组 x ( t ) , x ( t ) , , x ( t ) 在区间 Ω 上是线性相关的， 如果存在不全
1 2 m
为零的常数 c1 , c2 , , cm 使得
c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) + + cm xm ( t ) ≡ 0, t ∈ Ω
1 2 m
m
Ω 上线性相关．
定理 3.2 齐次线性微分方程组(3.1.7)在区间上必存在 n 个线性无关的 解向量．如果 x1 ( t ) , x2 ( t ) ,, xn ( t ) 是区间 Ω 上(3.1.7)的 n 个线性无关的解，则 含任意常数 c1 , c2 , , cm 的表达式
= x c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) + + cn xn ( t ) , t ∈ Ω
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
行列式计算方法范文
行列式计算方法范文行列式是线性代数中的一个重要概念，也是运用广泛的数学工具。
它可以描述线性方程组的解的存在性与唯一性，是矩阵的一种性质。
本文将从深入浅出的角度，详细介绍行列式的定义、性质、计算方法以及应用。
一、行列式的定义行列式是一个方阵（n x n矩阵）所特有的一个数。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、或者，A，定义为：det(A) = ，A， = a₁₁a₂₂...aₙₙ - a₁₂a₂₁...aₙₙ-₁ +a₁₃a₂₁...aₙ-₁ₙ-₁ - ... + (-1)^(i+j)aijMij（1≤i≤n, 1≤j≤n）其中aij为A的(i,j)元素，Mij为A除去第i行和第j列所剩下的（n-1）阶子阵列的行列式。
二、行列式的性质1.互换行列式的行变号：行列式中互换两行，行列式的值变号。
2.如果行列式存在两行（列）完全相同，则该行列式的值等于0。
3.如果行列式的其中一行（列）的元素全为0，则该行列式的值等于0。
4. 行列式与其转置行列式的值相等：det(A) = det(A^T)。
5. 设A为n阶方阵，则，kA， = kn^n，A，其中k为常数。
6.两个行列式的和的值等于两个行列式的值的和：，A+B，=，A，+，B。
7. 行列式的其中一行（列）的公因子可以提到行列式外面：，A， = a₁b det(a₂...an b₁...bn)。
三、行列式计算方法1.按行（列）展开法：选取行（列），根据行列式的定义按照行（列）展开计算。
a.选取一行（列），通常选择其中元素较多为0的行（列），行（列）的元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即可求得行列式的值。
b.递归地将行列式转化成更低阶的行列式，直到变为1阶行列式。
c.将各个阶数的行列式的值带入计算，即可求出原始行列式的值。
按行（列）展开法计算行列式比较繁琐，但是从定义出发可以解决一切行列式问题。
2.三角行列式法：将一个n阶方阵A经过若干次初等行（列）变换，化为上三角行列式形式，从而求解行列式的值。
第二章-线性代数学习指导书(1)
第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。
高等代数期末感悟反思总结
高等代数期末感悟反思总结高等代数是大学数学课程中的一门重要课程，也是我在大学期间学习的一门重要课程。
通过学习高等代数，我对数学知识的理解和应用能力得到了很大的提高。
在期末考试结束之际，我不禁开始反思自己在这门课程中的学习和表现，总结自己的收获和不足，以便以后更好地学习和应用数学知识。
首先，高等代数课程让我深入了解了线性代数的基本概念和原理。
在课程开始的时候，我们首先学习了矩阵的基本概念和运算法则。
矩阵作为线性代数的基本工具，其运算有着严格的规定和特定的乘法法则，而且有很多重要的性质和定理。
通过学习这些知识，我对矩阵乘法的原理和应用有了更深入的理解。
此外，在学习矩阵的同时，我们还学习了行列式的概念和性质。
行列式作为一种特殊的矩阵，它有着很多重要的性质和定理，对于线性方程组求解和线性映射有着重要的应用。
通过学习行列式的性质和计算方法，我对行列式的应用和计算方法有了更深入的理解。
其次，高等代数课程让我学会了如何解决线性方程组的问题。
线性方程组作为线性代数的核心内容之一，其求解方法和性质是该课程的重点。
在课程中，我们学习了线性方程组的解的存在唯一性定理和线性方程组求解的基本方法。
通过学习这些知识，我对线性方程组求解方法有了更深入的理解，并且能够熟练地应用这些方法解决实际问题。
同时，高等代数课程也让我认识到了数学的抽象和推理能力的重要性。
在课程中，我们学习了向量空间的基本概念和性质，通过引入向量空间的概念，我们能够把线性代数的问题抽象成更一般的形式，从而更好地解决具体的线性方程组和矩阵问题。
此外，高等代数课程还涉及到了群论和域论的基本概念和性质，通过学习这些内容，我们能够更好地理解抽象代数和数学中的一些基本概念和定理。
然而，我也意识到自己在学习高等代数中存在一些不足之处。
首先，我发现自己在数学推理和证明方面的能力较弱。
在课程中，老师经常会给出一些数学命题，并要求我们进行证明。
但是我发现自己在进行数学推理和证明时常常思路不清晰，容易陷入困境。
考研数学：线性代数分析之线性方程组-
考研数学：线性代数分析之线性方程组勤能补拙，滴水穿石，成功离我们并不会太遥远，只要用心我们就可以得到自己想要的。
接下来我们就线性方程组进行简单的分析。
线性代数的入门学习就是：线性方程组。
我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石，我们是通过研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。
线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组，其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。
方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法是求解线性方程组的最基本也是最直接的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组我们都可以通过高斯消元法来化解成为阶梯形方程组。
通过阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。
通过矩阵表示出线性方程组，对该矩阵(如果是非齐次线性方程组，则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化，我们可以将其化解为阶梯形矩阵，同样我们可以直观的得到其解的情况。
在判断线性方程组解的情况时，齐次线性方程组，我们只关心解的唯一性，以及不唯一情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组，我们首先要进行判断解是否存在，之后是唯一性，以及通解的表示。
对于齐次而言，判断唯一性的根本是通过r(A)与n之间的关系，如果r(A)=n 则该线性方程组的解唯一;当r(A)对于非齐次线性方程组而言，当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时，无解;当两者相等且等于n时，有唯一解;当两者相等且小于n时，有无穷多的解。
再讨论过线性方程组解的情况后，我们接下来讨论，在线性方程组有无穷多解的情况下，如何表示这些解，也就是其通解的情况。
线性方程组与解的结构
线性方程组与解的结构线性方程组是数学中最基础的概念之一，它在各个领域的应用广泛。
解决线性方程组问题不仅需要深厚的数学功底，还需要对其结构有深入的理解。
本文将介绍线性方程组以及解的结构，以帮助读者更好地掌握这一概念。
一、线性方程组的定义线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
每个方程都具有以下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁，a₁₂，...，aₙₙ为已知常数，b₁，b₂，...，bₙ是方程右边的已知常数，x₁，x₂，...，xₙ是未知数。
二、解的存在性与唯一性解决线性方程组的第一个问题是判断其解的存在性与唯一性。
对于一个线性方程组，可以有以下几种情况：1. 无解：若线性方程组存在矛盾，即方程组的系数无法同时满足所有方程，那么该方程组无解。
2. 唯一解：若线性方程组的系数矩阵是一个满秩矩阵，且方程个数等于未知数个数，那么该方程组有唯一解。
3. 无穷解：若线性方程组的系数矩阵是一个非满秩矩阵，且方程个数小于未知数个数，那么该方程组有无穷多解。
三、解的结构线性方程组的解可以通过高斯消元法或矩阵运算等方法来求解。
一旦解找到，它们具备以下几个结构特点：1. 基础解系：对于一个有解的线性方程组，它的解可以由基础解系线性组合而成。
基础解系是解空间的基，它由方程组中的特殊解和齐次方程的基础解组成。
2. 齐次方程解的结构：齐次方程组是指方程组右边的常数项全为0的线性方程组。
它的解空间是一个子空间，被称为齐次方程组的解空间。
齐次方程组的解空间至少包含一个零解，如果齐次方程组有非零解，那么它的解空间是一个超平面。
3. 特解：对于一个非齐次线性方程组，如果它有解，那么其中一个解被称为特解。
特解加上齐次方程组的解可以构成非齐次线性方程组的全部解。
线性方程组的解的存在唯一性
线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是数学中常见的一种问题，它涉及到多个未知数和多个方程。
解线性方程组的存在唯一性是一个重要的问题，本文将详细介绍这个问题以及相关的概念和定理。
一、线性方程组的定义和概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是未知数的线性组合。
一般形式如下：a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a(nx_n) = b其中，a_1, a_2, ..., a_n 是系数，x_1, x_2, ..., x_n 是未知数，b 是常数。
二、线性方程组的解的存在对于一个线性方程组，如果存在一组解可以使得每个方程都成立，那么我们认为该线性方程组有解。
定理1：一个线性方程组的解存在的充分必要条件是，它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
也就是说，方程组的系数和常数矩阵的秩相等。
三、线性方程组的解的唯一性对于一个线性方程组，如果只存在唯一一组解可以使得每个方程都成立，那么我们认为该线性方程组的解是唯一的。
定理2：一个线性方程组的解是唯一的充分必要条件是，它的系数矩阵的秩等于未知数的个数。
也就是说，方程组的系数矩阵是满秩的。
四、线性方程组的解的存在唯一性的证明为了证明线性方程组的解的存在唯一性，我们可以通过高斯消元法来进行求解。
高斯消元法是一种将方程组化为简化行阶梯形的方法，通过一系列的行变换来使得方程组的解更加明显。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示成增广矩阵的形式。
2. 选取一个主元，即首个非零元素。
3. 通过行变换将第一个主元所在的列的其他元素化为零。
4. 选取下一个主元，并重复步骤3，直到所有列都处理完毕。
5. 再次进行行变换，使得主元所在行只有一个非零元素，且为1。
6. 将主元所在行以下的行都化为零。
7. 重复进行上述步骤，直到所有行都处理完毕。
通过高斯消元法，我们可以将线性方程组化简为简化行阶梯形，从而得到方程组的解。
五、线性方程组的解的存在唯一性的示例考虑以下线性方程组：2x + 3y = 74x - y = 2我们可以将它表示成增广矩阵的形式：[2 3 | 7][4 -1 | 2]通过高斯消元法，我们进行行变换，将其化简为简化行阶梯形：[1 -1/4 | 1/4][0 1 | 3]从化简后的矩阵中，我们可以得到 x = 1/4, y = 3，这就是线性方程组的唯一解。
模糊数线性方程组解的概念与性质
模糊数线性方程组解的概念与性质
模糊数线性方程组解是将传统的数学定义的精确的线性方程组与模糊数学的非严格的思想连接起来的一种处理方式。
模糊数线性方程组解的概念是指把传统数学中的精确的线性方程组转换为模糊数学中的非严格定义的模糊数线性方程组，该方程组有其独特的性质。
即只要答案处于一定范围内，就算答案偏离精确值，也可以称做“正确”。
一般来说，在模糊数线性方程组解中，如果系数和常数是模糊数，那么就可以称为模糊数线性方程组解。
模糊数线性方程组的解的特性主要体现在：对模糊数线性方程组的解，我们不要求趋近于特定的某一数值，而是概括这些解的一个集合，这就是所求的模糊数线性方程组的解的集合。
模糊数线性方程组解的一般性质有：
（1）不存在重解，因为模糊数线性方程组没有实部与虚部分解，只有解集，不可能在这个集合中有重解；
（2）模糊系数矩阵的逆矩阵，如果存在，其解集也必定是一个模糊集；
（3）如果模糊数线性方程组一定存在正未知量个数的解，那么该解集合也必定是一个模糊集；
（4）模糊数线性方程组的解具有唯一性。
如果两个函数的解的集合相等，那么就可以认为它们是等价的函数。
模糊数线性方程组解在解决实际问题中具有很大的优势。
模糊线性方程组可以包含许多不可精确描述的实际问题，同时模糊线性方程组的解也比传统数学方法的解更加实用。
线性方程组的特解与齐次解
线性方程组的特解与齐次解线性方程组是数学中常见的一类方程组，它的解集包含特解和齐次解两个部分。
本文将介绍线性方程组的特解和齐次解的定义、性质以及求解方法。
一、特解的定义与性质线性方程组的特解即是特定的一个解，它满足方程组中的所有方程。
我们可以通过代入法或高斯消元法等方式求解得到特解。
特解的存在性：线性方程组若有解，则必然存在特解。
这是因为若线性方程组有解，就说明至少存在一个解满足方程组，即特解。
特解的唯一性：在某些情况下，特解可能是唯一的；而在另一些情况下，特解可能不唯一。
二、齐次解的定义与性质线性方程组的齐次解即是该方程组的所有解构成的集合。
齐次解是方程组的零解以及所有特解的线性组合。
零解是指线性方程组中所有未知量均为零的解。
对于任何线性方程组，都存在零解。
齐次解的性质：齐次解中的任意两个解的线性组合仍然是一个齐次解。
这是因为线性方程组的解满足线性叠加原理，即若x、y是线性方程组的解，a、b为任意实数，则ax+by也是线性方程组的解。
三、特解与齐次解的关系特解和齐次解之间存在着紧密的联系。
特解与齐次解的和仍然是方程组的解。
证明：设特解为x0，齐次解为x1和x2。
则x0+x1是方程组的解，因为x0是特解，x1是齐次解。
同理，x0+x2也是方程组的解。
综上所述，我们可以得出结论：线性方程组的解是特解与齐次解之和。
四、求解线性方程组的方法1. 代入法：通过将特解代入原方程组，将变量的值逐步求出，从而得到方程组的解。
2. 高斯消元法：通过初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯型，然后逐步回代求解出未知量的值。
3. 矩阵法：将线性方程组转化为矩阵形式，通过矩阵的行变换和列运算求解。
需要注意的是，在使用求解方法时，我们要注意验证解的唯一性和完备性，以免漏解或得出错误的结论。
五、实例分析假设有以下线性方程组：2x + 3y - z = 73x - y + z = 8我们可以通过高斯消元法求解该线性方程组。
首先，写出增广矩阵：[2 3 -1 | 7][3 -1 1 | 8]通过初等行变换，得到简化行阶梯型矩阵：[1 0 1 | 3][0 1 -2 | 2]根据得到的简化行阶梯型矩阵，我们可以得到方程组的解为x=3，y=2，z=-2。
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在某区间α ≤ t ≤ β ([α, β ] ⊂ [a, b]) 的解就是向量
u (t ) 在区间 α ≤ t ≤
β 上连续且满足
u′(t ) = A(t ) u(t ) + f (t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
定义2 初值问题(Cauchy Problem) 定义 初值问题
上的解。 在区间− ∞ < t < +∞ 上的解。 解
e 0 1 u ( 0) = 0 = − e − 1
是给定初值问题的解。 因此 u(t ) 是给定初值问题的解。
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
1) ( A(t ) + B (t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v ′(t )
2) ( A(t ) ⋅ B (t ))′ = A′(t ) B (t ) + A(t ) B′(t ) 3) ( A(t ) ⋅ u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A(t )u′(t )
x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2
1 0 0 x′ = x + f (t ) − q(t ) − p(t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x
(n)
+ a1 (t ) x
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/ 一阶微分方程组
′ x1 = f 1 ( t , x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) x ′ = f ( t , x , x ,⋅ ⋅ ⋅, x ) 2 2 1 2 n L L L L x n = f n ( t , x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) ′
′ x1 x′ dx = x ′ = 2 ……(5.3) M dt n x′
………….(5.4)
dx = x ′ = A (t ) x + f (t ) dt
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
( n −1)
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an −1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t )
( n −1) 令 x1 = x, x2 = x′, x3 = x′′, ⋅ ⋅⋅, xn = x
′ x1 = x′ = x2
′ x2 = x′′ = x3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
′ xn −1 = x ( n −1) = xn
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
上的连续 n × n t ≤b
f (t ) 是区间 a≤t ≤b 上的连续
n
维向量， 维向量，方程组 ………….(5.4)
dx = x ′ = A (t ) x + f (t ) dt
在区间 a ≤ t ≤ b 可定义矩阵与向量函数
B (t ) = (bij (t )) n×n
u ( t ) = ( u 1 ( t ), u 2 ( t ), L , u n ( t )) T
连续: 连续 可微: 可微 可积: 可积
bij (t ) ui (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 连续。 连续。
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
∫ B(t )dt = (∫ b (t )dt )
ij
n×n
u(t )dt = ( ∫ u1 (t ) dt , ∫ u 2 (t ) dt , L , ∫ u n (t ) dt )T ∫
′(t (t 1 ϕ1 (t ) 0 ϕ1(t) 0 ϕ′ (t) = − q(t ) − p(t ) ϕ (t ) + f (t ) 2 2 (t ϕ1 (t ) x= ϕ2 (t )
解
ϕ2 (t) = − q(t)ϕ1 (t) − p(t)ϕ2 (t ) + f (t )
5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价 例1 解
x′′ + p (t ) x′ + q (t ) x = f (t )
令
x1 = x,
x2 = x′,
′ x1 = x′ = x2
′ x2 = x′′ = − p (t ) x′ − q(t ) x + f (t )
′ x1 = x2 2 x′ = − q (t ) x1 − p (t ) x2 + f (t )
初值条件 x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2 , ⋅ ⋅⋅, xn (t0 ) = η n
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
一阶线性微分方程组
′ x1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n (t ) xn + f1 (t ) x′ = a (t ) x + a (t ) x + ⋅ ⋅ ⋅ + a (t ) x + f (t ) 2 21 1 22 2 2n 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn = an1 (t ) x1 + an 2 (t ) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ann (t ) xn + f n (t ) ′
dx = x ′ = A(t ) x + f (t ) dt x (t0 ) = η
………….(5.5)
的解就是方程组(5.4)在包含 t0的区间α ≤ t ≤ β 在包含 的解就是方程组
上的解u(t ), 使得 u(t0 ) = η
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x ( n ) + a1 (t ) x ( n −1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an −1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t ) ………(5.6) ( n −1) x(t0 ) = η1 , x′(t0 ) = η 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x (t0 ) = η n ψ (t ) ψ ′(t ) ψ (t )
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
x(t0 ) = η1 , x′(t0 ) = η 2
x′′ + p (t ) x′ + q (t ) x = f (t )
满足
x = ϕ1 (t )
ϕ1′′(t ) + p (t )ϕ1′(t ) + q (t )ϕ1 (t ) = f (t )
aij (t ), f i (t ) i, j = 1 2， , n 在[a, b]上连续 ，L
…(5.1)
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs § 5.1 E
a11 (t ) a12 (t ) a (t ) a (t ) 22 A(t ) = 21 L L an1 (t ) an 2 (t )
解
x = ϕ (t )
构造 向量
ϕ ′′(t ) + p (t )ϕ ′(t ) + q (t )ϕ (t ) = f (t )
ϕ′(t) (t (t (t ϕ′(t) ϕ (t ) x= ϕ′′(t) = − p(t )ϕ′(t ) − q(t )ϕ(t ) + f (t ) ϕ′(t ) 1 ϕ (t ) 0 0 满足 = ϕ′(t ) + f (t ) − q(t ) − p(t ) 1 0 0 x1 (t0 ) = η1 , x2 (t0 ) = η 2 x′ = x + f (t ) − q(t ) − p(t )
f1 (t ) f (t ) f (t ) = 2 M f n (t )
L a1n (t ) L a2 n (t ) L L L ann (t )
……….(5.2)
x1 x x = 2 M xn
b11 (t ) b12 (t ) b (t ) b (t ) 22 21 B(t ) = L L bn1 (t ) bn 2 (t )
L b1n (t ) L b2 n (t ) L L L bnn (t )
u1 (t ) u (t ) u (t ) = 2 M u n (t )
bij (t ) ui (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 可微。 可微。
′ B′(t ) = (bij (t )) n×n
′ ′ ′ u ′ ( t ) = ( u 1 ( t ), u 2 ( t ), L , u n ( t )) T