天一大联考2018-2019学年高一上学期阶段性测试(一)数学试题(图片版)
2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A ={x|y =1x }，B ={y|y =1x }，C ={(x ，y)|y =1x }，下列结论正确的是（ ） A ．A ＝BB ．A ＝CC ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解答】解：A ＝{x |x ≠0}，B ＝{y |y ≠0}，C 表示曲线y =1x 上的点形成的集合； ∴A ＝B ． 故选：A ．2．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为（ ） A ．1或2B ．12C ．1D ．2【解答】解：∵集合A ={1，2}，B ={2，2k}，B ⊆A ， ∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k =1，解得实数k ＝2． 故选：D ．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2 B ．f(x)=1(x ≠0)，g(x)=x|x| C ．f （x ）＝x ，g （x ）＝10lgxD ．f(x)=2x ，g(x)=√22x【解答】解：A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2＝2lg |x |，解析式不同，不是同一函数； B ．f （x ）＝1（x ≠0}，g(x)=x|x|={1x ＞0−1x ＜0，解析式不同，不是同一函数；C ．f （x ）＝x 的定义域为R ，g （x ）＝10lgx 的定义域为（0，+∞），定义域不同，不是同一函数；D ．f （x ）＝2x 的定义域为R ，g(x)=√22x =2x 的定义域为R ，定义域和解析式都相同，是同一函数． 故选：D ．4．（5分）某班共50名同学都选择了课外兴趣小组，其中选择音乐的有25人，选择体育的有20人，音乐、体育两个小组都没有选的有18人，则这个班同时选择音乐和体育的人数为（ ）A．15B．14C．13D．8【解答】解：如图，设音乐和体育小组都选的人数为x人则只选择音乐的有（25﹣x）人，只选择体育小组的有（20﹣x）人，由此得（25﹣x）+x+（20﹣x）+18＝50，解得x＝13，∴音乐和体育都选的学生有13人，故选：C．5．（5分）定于集合A，B的一种运算“*”：A*B＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈A，x2∈B}．若P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，2}，则P*Q中的所有元素之和为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：P*Q＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈P，x2∈Q}＝{﹣1，0，1，2，3}，P*Q中的所有元素之和为5．故选：A．6．（5分）若2a＝0.5，b＝2.70.3，c＝0.32.7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵由2a＝0.5可得a＝log20.5＝﹣1，b＝2.70.3＞2.70＝1，0.30＝1＞c＝0.32.7＞0，∴a＜c＜b．故选：D．7．（5分）已知2x＝3y＝a，且1x+1y=2，则a的值为（）A．√6B．6C．±√6D．36【解答】解：∵2x＝3y＝a，∴xlg2＝ylg3＝lga，∴1x=lg2lga，1y =lg3lga，∴2=1x +1y =lg2lga +lg3lga =lg6lga ， ∴lga =12lg 6=lg √6， 解得a =√6． 故选：A ．8．（5分）函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间是（ ） A ．(0，12)B ．(34，1)C ．(12，34)D ．（1，2）【解答】解：由函数f(x)=2x −1x的在R 上是增函数，f （12）＝1√2−2＜0，f （34）=234−43＞212−34＞0，且f （12）f （34）＜0，可得函数在区间（12，34）上有唯一零点．故选：C ．9．（5分）已知函数f(x)={x 2，x ＜0−x 2，x ≥0，则不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0的解集为（ ）A ．（4，+∞）B ．（﹣∞，4）C ．(−∞，23) D ．(23，+∞)【解答】解：函数f(x)={x 2，x ＜0−x 2，x ≥0，是奇函数，在R 上是减函数，不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0，可得f （x +1）＜﹣f （3﹣2x ）＝f （2x ﹣3）， 解得：x +1＞2x ﹣3，可得x ＜4，所以不等式f （x +1）+f （3﹣2x ）＜0的解集{x |x ＜4}． 故选：B ．10．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的单调函数，若f [f （x ）﹣e x ]＝1，则f （e ）＝（ ） A ．e eB ．eC ．1D ．0【解答】解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的单调函数，若f [f （x ）﹣e x ]＝1， 则f （x ）﹣e x 为常数，设f （x ）﹣e x ＝t ，则f （x ）＝e x +t ， 又由f [f （x ）﹣e x ]＝1，即f （t ）＝1，则有e t +t ＝1， 分析可得：t ＝0， 则f （x ）＝e x ，则f （e ）＝e e ， 故选：A ．11．（5分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象过点(2，2√2)，设a ＝f （m ），b ＝f （n ），c ＝f （lnn ），则（ ） A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：∵幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象过点(2，2√2)， ∴{m −1=12n =2√2，解得m ＝2，n =32， ∴f （x ）=x 32， ∴f （x ）＝x 32在（0，+∞）是增函数， 0＜ln 32＜1，∴f （2）＞f （32）＞f （ln 32），∴a ＞b ＞c ．即c ＜b ＜a ． 故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={|log 2(x +1)|，−1＜x ≤2−x 2+4x −3，x ＞2，若关于x 的方程f （x ）﹣t ＝0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，log 23]D ．（0，log 23）【解答】解：方程f （x ）﹣t ＝0有3个不同的实数根，画出y ＝f （x ）的函数图象以及y ＝t 中的图象，|log 23|＞|log 22|＝1， t ∈（0，1）， 故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x ＜5}，那么（∁R A ）∩B ＝ [1，5） ． 【解答】解：∵∁R A ＝{x |x ≥1}，∴（∁R A ）∩B ＝{x |1≤x ＜5}． 故答案为：[1，5）． 14．（5分）函数y =1ln(4−x)+√3x −9的定义域是 [2，3）∪（3，4） ．【解答】解：要使函数y =1ln(4−x)+√3x −9有意义，则{4−x ＞04−x ≠13x −9≥0；解得2≤x ＜4，且x ≠3；∴该函数定义域为[2，3）∪（3，4）． 故答案为：[2，3）∪（3，4）．15．（5分）函数f(x)=log 12(x 2−x −6)在定义域（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）上的增区间是 （﹣∞，﹣2） ．【解答】解：根据题意，设t ＝x 2﹣x ﹣6，则y =log 12t ，函数t ＝x 2﹣x ﹣6在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数， 而y =log 12t 为减函数，则函数f （x ）的递增区间为（﹣∞，﹣2）； 故答案为：（﹣∞，﹣2）．16．（5分）函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，若f （1）＝0，f （0）＜0，则不等式xf （x ﹣1）＜0的解集是 （﹣∞，0）∪（0，2） ． 【解答】解：根据题意，f （x ）在（0，+∞）上递增，且f （1）＝0，f （0）＜0， 则在[0，1）上，f （x ）＜0，在（1，+∞）上，f （x ）＞0， 又由函数f （x ）为偶函数，则在区间（﹣1，0]上，f （x ）＜0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x ）＞0， xf （x ﹣1）＜0⇔{x ＜0f(x −1)＞0或{x ＞0f(x −1)＜0，分析可得：x ＜0或0＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，2）； 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，2）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．17．（10分）计算：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23； （2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35．【解答】解：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23 ＝（32）−13+（212+313）6﹣1﹣（23）13＝（23）13+72﹣1﹣（23）13＝71．（2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35＝lg 5+lg 2+log 53×log 35 ＝lg 10+lg3lg5×lg5lg3 ＝1+1＝2．18．（12分）已知函数f(x)=√log 12(1−12x)的定义域为集合A ，函数g(x)=(12)x−1(−1≤x ≤1)的值域为集合B ． （1）求A ∩B ；（2）设集合C ＝{x |a ≤x ≤3a ﹣2}，若C ∩A ＝C ，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由log 12(1−12x)≥0得，0＜1−12x ≤1；解得0≤x ＜2； ∴A ＝[0，2）； ∵﹣1≤x ≤1； ∴﹣2≤x ﹣1≤0； ∴1≤(12)x−1≤4； ∴B ＝[1，4]； ∴A ∩B ＝[1，2）； （2）∵C ∩A ＝C ； ∴C ⊆A ；∴①C ＝∅时，a ＞3a ﹣2；∴a ＜1；②C ≠∅时，则{a ≥13a −2＜2；解得1≤a ＜43；综上，实数a 的取值范围是(−∞，43)．19．（12分）已知函数f （x ）＝x +ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）． （1）求f （x ）的定义域，并直接写出f （x ）的单调性； （2）用定义证明函数f （x ）的单调性． 【解答】解：（1）由题意得1+x ＞0且1﹣x ＞0， 解得：﹣1＜x ＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）， 函数f （x ）在（﹣1，1）递增；（2）证明：在定义域（﹣1，1）内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）＝x 1﹣x 2+ln(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)，由于﹣1＜x 1＜x 2＜1，故0＜1+x 1＜1+x 2， 故0＜1+x 11+x 2＜1，同理0＜1−x21−x 1＜1，故0＜1+x11+x 2•1−x 21−x 1＜1， 故ln(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)＜0，由于x 1﹣x 2＜0，故f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）为（﹣1，1）上的增函数．20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x +1﹣a ．（1）证明：对于任意的a ∈R ，g （x ）＝f （x ）﹣1必有两个不同的零点；（2）是否存在实数a 的值，使得y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令g （x ）＝0，则f （x ）＝1， 即x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝0，∵△＝（2a ﹣1）2+4a ＝4a 2+1＞0对任意的a ∈R 恒成立， 故x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝0必有2个不相等的实数根，从而方程f （x ）＝1必有2个不相等的实数根，故对于任意的a ∈R ，g （x ）＝f （x ）﹣1必有2个不同的零点； （2）不存在，理由如下：由题意，要使y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）以及（0，2）内各有1个零点，只需{f(−1)＞0f(0)＜0f(2)＞0即{3−3a ＞01−a ＜03a +3＞0，故{a ＜1a ＞1a ＞−1，无解，故不存在实数a 的值，使得y ＝f （x ）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点． 21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万元）的关系为：P =320m +30，Q =40+3√m ．今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元． （1）设对乙种产品投入资金x （万元），求总利润y （万元）关于x 的函数； （2）如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．【解答】解：（1）根据题意，对乙种产品投资x （万元），对甲种产品投资（300﹣x ）（万元）， 那么总利润y =320（300﹣x ）+30+40+3√x =−320x +3√x +115， 由{x ≥75300−x ≥75，解得75≤x ≤225， 所以y =−320x +3√x +1154，其定义域为[75，225]， （2）令t =√x ，因为x ∈[75，225]，故t ∈[5√3，15]， 则y =−320t 2+3t +115=−320（t ﹣10）2+130， 所以当t ＝10时，即x ＝100时，y max ＝130，答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元 22．（12分）已知函数f(x)=1−22x +1． （1）判断函数奇偶性； （2）求函数f （x ）的值域；（3）当x ∈（0，2]时，mf （x ）+2+2x ≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 注：函数y =x +ax (a ＞0)在（0，a ]上单调递减，在(√a ，+∞)上单调递增．【解答】解：函数f(x)=1−22x +1．其定义域为R ；f （﹣x ）=1−22−x +1=1−212x+1=1−2⋅2x 1+2x =1+2x −2⋅2x 1+2x =−(2x+1)+21+2x＝﹣（1−2x）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）是奇函数； （2）由函数f （x ）＝y ＝1−22x+1， 可得21−y=2x +1，即2x =21−y −1 ∵2x ＞0， ∴21−y −1＞0，即1+y 1−y＞0解得：﹣1＜y ＜1∴f （x ）的值域（﹣1，1）．（3）当x ∈（0，2]时，mf （x ）+2+2x ≥0恒成立， 即（1−22x+1）m +2+2x ≥0恒成立， 可得（2x ﹣1）m +（2+2x ）（2x +1）≥0； ∵x ∈（0，2]； ∴2x ﹣1＞0则m ≥−(2+2x)(2x+1)2x −1，即﹣m ≤(2+2x)(22+1)2x+1； 令2x ﹣1＝t ，（0，3]；那么y =(2+2x)(2x+1)2x −1=(3+t)(t+2)t =t +6t +5≥2√6+5；当且仅当t =√6时取等号． ∴﹣m ≤2√6+5；可得实数m 的取值范围[−2√6−5，+∞）．。
2018-2019学年上学期高一年级联考_1
2018-2019学年上学期高一年级联考注意事项：一、本试卷分8页，包括四部分。
其中第一部分、第二部分和第三部分为选择题，包括60个小题；第四部分为非选择题。
考试时间为120分钟，总分为150分。
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
所有题目均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效。
三、做选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
第一卷（共100分）第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后。
你将有两分钟时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．Which city does the man like the most?A．Paris． B．Rome． C．New York．2．What’s the season in Australia now?A．Winter． B．Summer． C．Spring．3．What does the man invite the woman to do on Saturday? A．Visit his friend． B．See his paintings． C．Go to an art show．‘4．How many eggs does the woman need today?A．Ten． B．Twenty． C．Forty．5．Where does the conversation take place?A．In a hospital． B，In a restaurant． C．In a supermarket．第二节听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题
天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学（理科）考生注意：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦千净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x ∈N0≤x≤5},CAB={1,3,5},则集合B=A.{2,4}B.{0,2,4}C.{0,1,3}D.{2,3,4}2.已知集合A={x|x 2-4x<0},B={1,2,5,6},则A∩B=A.{1,2,5}B.{5,6}C.{1,2}D.{1}3.已知复数1276-+=i i z ,则复数z 的虚部为 A.58 B.519- C.519 D.i 519- 4.函数3ln )(-+=x x x f 的零点位于区间A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.=+ππππ1225411cos 127sin 45sin in A.21 B.23 C.21- D.23- 6.已知函数a x x f x -+=2)((a>0)的最小值为2,则实数a=A.2B.4C.8D.167.已知a,B 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列说法中正确的是A.若m ⊥a,n ⊥B,m ⊥n,则a ⊥BB.若m ⊥a,a ⊥B,则m ∥BC.若m ∥a,a ⊥B,则m ⊥BD.若a ∥B,m ∥a,n ∥B,则m ∥n8.若⎩⎨⎧<>-=0),(0,32)(x x g x x f x 是奇函数,则f(g(-2)的值为 A.25- B.25 C.-1 D.1 9.下列说法中,正确的是A.命题“若m>n>0,则n m 3131log log >”的逆命题为真命题B.“x x R x cos 6,2>+∈∀”的否定为“0200cos 6,x x R x <+∈∃C.,0R x ∈∃使得02069x x <+成立D.直线03:1=-y x l 与直线02:2=+my x l 垂直的充要条件为32=m 10.已知函数)2cos()(ϕ-=x x f ,将函数f(x)的图象向右平移3π个单位后与函数)32sin()(π-=x x g 的图象重合,则φ的值可以是 A.6π B.4π C.3π D.12π 11.已知函数4215)(--=x x x f ,若a<-2,b>2,则f(a)>f(b)”是“a+b<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知关于x 的方程16cos 26222+=++x x λλλ仅有唯一实数根,则实数λ的值为A.2或-4B.2C.2或4D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 满足2)4(-=f ，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上的最大值为___________________。
天一大联考2019届高三一诊数理试题
绝密★启用前天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{x |x ＝t 2－|t |，t ∈U }，则∁U A ＝A ．{－2，－1，1}B ．{－1，1，2}C ．{－2，1，2}D ．{0，1，2}2．若复数z ＝b i 3＋i ＋12(b ∈R )为纯虚数，则共轭复数z －＝ A ．－32i B ．－12i C.12i D.32i 3．区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图．根据图中的信息，下面结论中不正确的是A ．广东人口增量最多，天津增幅最高B ．黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾C ．天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过5%D ．人口增量超过200万的省、自治区或直辖市共有7个4．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2，且a 3＋a 15＝14，则其前17项和S 17＝A ．136B ．119C ．102D ．855．一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为A.π2－1B.π4－34C.π4－12D.π4－146．如图是某几何体的三视图，网格纸上的每个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．4＋2πB ．4＋4πC ．8＋2πD ．8＋4π7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|e x －3|，x ≤0，ln x ，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(0，3)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．[2，3)8．已知|a |＝2，|b |＝7，|3a －b |＝27，若(a －3b )⊥(5a ＋2t b )，则t ＝A ．1 B.4714 C.3586 D.129．某市农技推广中心拟将A ，B ，C ，D ，E 五名技术员派到三个农场去作技术指导，每个农场至少有1名技术指导员，其中A 和B 不能去同一农场，A 和C 必须去同一农场，则该中心拟派方案有A ．240种B ．120种C ．60种D ．30种10．已知在曲线C 1：f (x )＝4e x ＋1(e ＝2.718 28…)上任意一点P (x 1，y 1)处的切线为l 1，在曲线C 2：g (x )＝(m －2)x ＋4x x ＋1(x >0)上总是能找到一点Q (x 2，y 2)，使得曲线C 2在Q 点处的切线l 2与l 1平行或重合，则实数m 的取值范围是A ．[－2，1)B ．[－1，2)C ．(－2，1]D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)11．如图，抛物线x 2＝2py (p >0)的准线l 与坐标轴交于点C ，过点C 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若点B 到直线l 的距离为2tp (t >0)，且BC →＝－tBA →，设直线AB 的斜率为k ，则k 2＝A ．22－2 B.5＋12C. 2D. 5 12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝32，侧面P AC 为正三角形，且顶点P 在底面上的射影落在△ABC 的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为A.105π13B.315π26C.315π13D.630π13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －12≤0，3x －5y ＋15≥0，y ≥－3，则z ＝x ＋6y 的最小值为__________． 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线上一点．若MF 1⊥MF 2，且S △MF 1F 2＝8a 2，则该双曲线的离心率为__________．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1－S n 4a n ＋1－a n ＝12，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项和T 4＝__________.16．已知关于x 的方程cos x sin 2x ＝m 有实数根，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝45°，AC ＝5，CD ＝32，且cos ∠BAD ＝210. (Ⅰ)求cos ∠BAC ；(Ⅱ)若△ABC 的面积为5，求BC .18．(12分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AD ＝4，BC ＝3，DC ＝2，M ，N 分别为AD ，BC 上的点，且满足AM ＝MD ，2BN ＝NC .以MN 所在直线为折痕将四边形AMNB 折起，使A ，B 两点分别到达Q ，P 两点的位置，且满足平面PQMN ⊥平面CDMN .(Ⅰ)求证：ND ⊥QC ；(Ⅱ)求二面角N －PQ －C 的余弦值．19．(12分)PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重．下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采用“绿色出行”的人数与PM2.5值的一组数据：程；(计算结果保留两位小数)(Ⅱ)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预测第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)(Ⅲ)若PM2.5的值在(0，50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中任意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．附：b ^＝错误!＝错误!错误!.20．(12分)已知椭圆C ：x 22＋y 2b2＝1(2>b >0)的右顶点和上顶点分别为A 与B ，原点O 到直线AB 的距离为63. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆C 长轴上一点R 作斜率为22的直线l ，与椭圆C 的两个不同交点为P ，Q (不同于点R )，试问4|PR |·|QR |＋3|OR |2是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x 2＋ax .(Ⅰ)证明：f (x )≥x ＋1；(Ⅱ)对任意x ∈(0，1]，不等式f (x )－g (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若函数H (x )＝2f (x )－g (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝－2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0.(Ⅰ)化直线l 的参数方程为普通方程，化圆C 的极坐标方程为直角坐标方程；(Ⅱ)设A 是直线l 上一点，P ，Q 是圆C 上不同的两点，圆心C 是△APQ 的重心，当△APQ 的面积取最大值时，求点A 的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|ax ＋2|.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －1|≤16的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x ＋1)－f (x －1)>6有解，求实数a 的取值范围．。
天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)理科数学试题
天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学（理科）考生注意：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦千净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={04|2<-x x x },A B={1,2,5,6},则集合B=（ ）A.{1,2,5}B.{5,6}C.{1,2}D.{1}2.已知集合A={m ,1,2-},B={m ,2-},若A∩B=B ，则实数m 的值为（ ）A.0或1B.1C.0D.43.已知复数()()i a i z +-=2为纯虚数，其中R a ∈,则a=（ ）A.2B.21-C.-2D.21 4.函数3ln )(-+=x x x f 的零点位于区间（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 5.=+ππππ1225411cos 127sin 45sin in （ ） A.21 B.23 C.21- D.23-6.已知函数a x x f x -+=2)((a>0)的最小值为2,则实数a=（ ）A.2B.4C.8D.167.已知βα,是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列说法中正确的是（ ）A.若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则βα⊥B.若m ⊥α,βα⊥,则m ∥βC.若m ∥α,α⊥β,则m ⊥βD.若α∥β,m ∥α,n ∥β,则m ∥n8.下列说法中,正确的是（ ）A.命题“若0>>n m ,则n m 3131log log >”的逆命题为真命题B.“x x R x cos 6,2>+∈∀”的否定为“0200cos 6,x x R x <+∈∃C.,0R x ∈∃使得02069x x <+成立D.直线03:1=-y x l 与直线02:2=+my x l 垂直的充要条件为32=m 9.已知函数)2c o s ()(ϕ-=x x f ,将函数f(x)的图象向右平移3π个单位后与函数)32sin()(π-=x x g 的图象重合,则φ的值可以是（ ） A.6π B.4π C.3π D.12π 10.已知函数4215)(--=x x x f ,若2,2>-<b a ,则“)()(b f a f >”是“a+b<0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=4,341940),5()(x xx x x x f ,若函数m x f x g +=)()(有4个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]0,4-B.{}4419,425-⎥⎦⎤ ⎝⎛-- C.⎥⎦⎤ ⎝⎛--4,419 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-419,12.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足)()('x f x xf >恒成立（其中)('x f 为函数)(x f 的导函数），对于任意实数0,021>>x x ，下列不等式一定成立的是（ ）A.)()()(2121x x f x f x f ≥⋅B.)()()(2121x x f x f x f ≤⋅C.)()()(2121x x f x f x f +>+D.)()()(2121x x f x f x f +<+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 满足2)4(-=f ，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上的最大值为___________________。
2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =1x }，B ={y|y =1x }，C ={(x ，y)|y =1x }，下列结论正确的是（ ） A. A =BB. A =CC. B =CD. A =B =C2. 已知集合A ={1，2}，B ={2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为（ ）A. 1或2B. 12C. 1D. 23. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. f(x)=2lgx ，g(x)=lgx 2B. f(x)=1(x ≠0),g(x)=x|x| C. f(x)=x ，g(x)=10lgxD. f(x)=2x ,g(x)=√22x4. 某班共50名同学都选择了课外兴趣小组，其中选择音乐的有25人，选择体育的有20人，音乐、体育两个小组都没有选的有18人，则这个班同时选择音乐和体育的人数为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 85. 定于集合A ，B 的一种运算“*”：A *B ={x |x =x 1-x 2，x 1∈A ，x 2∈B }．若P ={1，2，3，4}，Q ={1，2}，则P *Q 中的所有元素之和为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 若2a =0.5，b =2.70.3，c =0.32.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b 7. 已知2x =3y =a ，且 1x +1y =2，则a 的值为（ ）A. √6B. 6C. ±√6D. 368. 函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间是（ ）A. (0,12)B. (34,1)C. (12,34)D. (1,2)9. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥0x 2,x<0，则不等式f （x +1）+f （3-2x ）＜0的解集为（ ）A. (4,+∞)B. (−∞,4)C. (−∞,23)D. (23,+∞)10. 已知f （x ）是定义在R 上的单调函数，若f [f （x ）-e x ]=1，则f （e ）=（ ）A. e eB. eC. 1D. 011. 已知幂函数f （x ）=（m -1）x n 的图象过点(2，2√2)，设a =f （m ），b =f （n ），c =f（l n n ），则（ ）A. c <b <aB. c <a <bC. b <c <aD. a <b <c12. 已知函数f(x)={−x 2+4x −3,x >2|log 2(x+1)|,−1<x≤2，若关于x 的方程f （x ）-t =0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A. [0,1] B. (0,1) C. [0,log 23] D. (0,log 23)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设集合A ={x |x ＜1}，B ={x |x ＜5}，那么（∁R A ）∩B =______． 14. 函数y =1ln(4−x)+√3x −9的定义域是______．15. 函数f(x)=log 12(x 2−x −6)在定义域（-∞，-2）∪（3，+∞）上的增区间是______． 16. 函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，若f （1）=0，f （0）＜0，则不等式xf （x -1）＜0的解集是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 计算：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23；（2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35．18. 已知函数f(x)=√log 12(1−12x)的定义域为集合A ，函数g(x)=(12)x−1(−1≤x ≤1)的值域为集合B ． （1）求A ∩B ；（2）设集合C ={x |a ≤x ≤3a -2}，若C ∩A =C ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f （x ）=x +ln （1+x ）-ln （1-x ）．（1）求f （x ）的定义域，并直接写出f （x ）的单调性； （2）用定义证明函数f （x ）的单调性．20. 已知二次函数f （x ）=x 2+（2a -1）x +1-a ．（1）证明：对于任意的a ∈R ，g （x ）=f （x ）-1必有两个不同的零点；（2）是否存在实数a 的值，使得y =f （x ）在区间（-1，0）及（0，2）内各有一个零点？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金mm+30，Q=40+3√m．今将300万资金投入生产甲、（万元）的关系为：P=320乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元．（1）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数；（2）如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．22.已知函数f(x)=1−2．2x+1（1）判断函数奇偶性；（2）求函数f（x）的值域；（3）当x∈（0，2]时，mf（x）+2+2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．(a＞0)在（0，a]上单调递减，在(√a，+∞)上单调递增．注：函数y=x+ax答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|x≠0}，B={y|y≠0}，C表示曲线y=上的点形成的集合；∴A=B．故选：A．可求出A={x|x≠0}，B={y|y≠0}，而C表示点集，从而得出A=B，从而选A．考查描述法的定义，以及集合相等的定义．2.【答案】D【解析】解：∵集合，B⊆A，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，解得实数k=2．故选：D．由集合元素的互异性及子集的概念可知，由此能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查集合元素的互异性及子集的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：A．f（x）=2lgx，g（x）=lgx2=2lg|x|，解析式不同，不是同一函数；B．f（x）=1（x≠0}，，解析式不同，不是同一函数；C．f（x）=x的定义域为R，g（x）=10lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同，不是同一函数；D．f（x）=2x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D．通过判断解析式不同，即可判断A，B两选项的函数不是同一函数，通过求定义域可判断选项C的函数不是同一函数，从而选D．考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：判断定义域和解析式是否都相同．4.【答案】C【解析】解：如图，设音乐和体育小组都选的人数为x人，则只选择音乐的有（25-x）人，只选择体育小组的有（20-x）人，由此得（25-x）+x+（20-x）+18=50，解得x=13，∴音乐和体育都选的学生有13人，故选：C．设音乐和体育小组都选的人数为x人，你出维恩图，则只选择音乐的有（25-x）人，只选择体育小组的有（20-x）人，由此得（25-x）+x+（20-x）+18=50，从而能求出音乐和体育都选的学生的人数．本题考查这个班同时选择音乐和体育的人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：P*Q={x|x=x1-x2，x1∈P，x2∈Q}={-1，0，1，2，3}，P*Q中的所有元素之和为5．故选：A．直接利用新定义，求解即可．本题考查集合的基本运算，新定义的应用，是基础题．6.【答案】D【解析】解：∵由2a=0.5可得a=log20.5=-1，b=2.70.3＞2.70=1，0.30=1＞c=0.32.7＞0，∴a＜c＜b．故选：D．直接利用指数函数和对数函数的性质求解即可．本题考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵2x=3y=a，∴xlg2=ylg3=lga，∴，，∴2===，∴lga=lg6=，解得a=．故选：A．利用对数的换底公式和运算法则即可得出．本题考查了对数的换底公式和运算法则，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由函数的在R上是增函数，f（）=1＜0，f（）=＞0，且f（）f（）＜0，可得函数在区间（，）上有唯一零点．故选：C．由函数的解析式可得f（）f（）＜0，再根据f（x）是R上的增函数，可得函数在区间（，）上有唯一零点，由此可得选项．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基本知识的考查．9.【答案】B【解析】解：函数，是奇函数，在R上是减函数，不等式f（x+1）+f（3-2x）＜0，可得f（x+1）＜-f（3-2x）=f（2x-3），解得：x+1＞2x-3，可得x＜4，所以不等式f（x+1）+f（3-2x）＜0的解集{x|x＜4}．故选：B．判断函数的单调性以及函数的奇偶性，转化不等式求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）是定义在R上的单调函数，若f[f（x）-e x]=1，则f（x）-e x为常数，设f（x）-e x=t，则f（x）=e x+t，又由f[f（x）-e x]=1，即f（t）=1，则有e t+t=1，分析可得：t=0，则f（x）=e x，则f（e）=e e，故选：A．根据题意，分析可得f（x）-e x为常数，设f（x）-e x=t，则f（x）=e x+t，结合题意可得f（t）=1即e t+t=0，解可得t的值，即可得函数的解析式，将x=e代入计算可得答案．本题考查抽象函数的求值，关键是求出函数的解析式，属于综合题11.【答案】A【解析】解：∵幂函数f（x）=（m-1）x n的图象过点，∴，解得m=2，n=，∴f（x）=，∴f（x）=x在（0，+∞）是增函数，0＜ln＜1，∴f（2）＞f（）＞f（ln），∴a＞b＞c．即c＜b＜a．故选：A．由幂函数f（x）=（m-1）x n的图象过点，列方程组求出m=2，n=，从而f （x）=，再由f（x）=x在（0，+∞）是增函数，能比较a，b，c的大小．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】B【解析】解：方程f（x）-t=0有3个不同的实数根，画出y=f（x）的函数图象以及y=t中的图象，|log23|＞|log22|=1，t∈（0，1），故选：B．画出函数作f（x）的图象，利用数形结合，转化求解即可．本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．13.【答案】[1，5）【解析】解：∵∁R A={x|x≥1}，∴（∁R A）∩B={x|1≤x＜5}．故答案为：[1，5）．由A求出∁R A，再由交集的运算求出（∁R A）∩B．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14.【答案】[2，3）∪（3，4）【解析】解：要使函数有意义，则；解得2≤x＜4，且x≠3；∴该函数定义域为[2，3）∪（3，4）．故答案为：[2，3）∪（3，4）．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，指数函数的单调性．15.【答案】（-∞，-2）【解析】解：根据题意，设t=x2-x-6，则y=，函数t=x2-x-6在（-∞，-2）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数，而y=为减函数，则函数f（x）的递增区间为（-∞，-2）；故答案为：（-∞，-2）．根据题意，设t=x2-x-6，则y=，由二次函数的性质可得t=x2-x-6在（-∞，-2）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数，又由y=为减函数，由复合函数的单调性判断方法分析可得答案．本题考查复合函数的单调性判断方法，注意复合函数的定义域，属于基础题．16.【答案】（-∞，0）∪（0，2）【解析】解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上递增，且f（1）=0，f（0）＜0，则在[0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为偶函数，则在区间（-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，xf（x-1）＜0⇔或，分析可得：x＜0或0＜x＜2，即不等式的解集为（-∞，0）∪（0，2）；故答案为：（-∞，0）∪（0，2）．根据题意，由函数的单调性和特殊值可得在[0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在区间（-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，又由xf（x-1）＜0⇔或，分析可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．17.【答案】解：（1）(338)−19+(√2×√33)6−(−0.9)0−√(23)23=（32）−13+（212+313）6-1-（23）13=（23）13+72-1-（23）13=71．（2）13lg125+2lg √2+log 5(log 28)×log 35 =lg5+lg2+log 53×log 35 =lg10+lg3lg5×lg5lg3 =1+1=2． 【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解． （2）利用对数性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）由log 12(1−12x)≥0得，0＜1−12x ≤1；解得0≤x ＜2； ∴A =[0，2）； ∵-1≤x ≤1； ∴-2≤x -1≤0； ∴1≤(12)x−1≤4； ∴B =[1，4]； ∴A ∩B =[1，2）； （2）∵C ∩A =C ； ∴C ⊆A ；∴①C =∅时，a ＞3a -2； ∴a ＜1；②C ≠∅时，则{3a −2<2a≥1； 解得1≤a ＜43；综上，实数a 的取值范围是(−∞，43)． 【解析】（1）可解出A=[0，2），B=[1，4]，然后进行交集的运算即可；第11页，共13页（2）根据C∩A=C 即可得出C ⊆A ，可讨论C 是否为空集：C=∅时，a ＞3a-2；C≠∅时，，解出a 的范围即可．考查对数的真数大于0，函数定义域、值域的概念及求法，指数函数的单调性，以及交集的运算，子集的定义．19.【答案】解：（1）由题意得1+x ＞0且1-x ＞0，解得：-1＜x ＜1，故函数的定义域是（-1，1），函数f （x ）在（-1，1）递增；（2）证明：在定义域（-1，1）内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=x 1-x 2+ln (1+x 1)(1−x 2)(1−x1)(1+x 2)， 由于-1＜x 1＜x 2＜1，故0＜1+x 1＜1+x 2， 故0＜1+x 11+x 2＜1，同理0＜1−x 21−x 1＜1， 故0＜1+x 11+x 2•1−x 21−x 1＜1， 故ln (1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)＜0，由于x 1-x 2＜0，故f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故函数f （x ）为（-1，1）上的增函数．【解析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．本题考查了函数的定义域以及函数的单调性问题，考查函数单调性的证明，是一道常规题．20.【答案】解：（1）令g （x ）=0，则f （x ）=1，即x 2+（2a -1）x -a =0，∵△=（2a -1）2+4a =4a 2+1＞0对任意的a ∈R 恒成立，故x 2+（2a -1）x -a =0必有2个不相等的实数根，从而方程f （x ）=1必有2个不相等的实数根，故对于任意的a ∈R ，g （x ）=f （x ）-1必有2个不同的零点；（2）不存在，理由如下：由题意，要使y =f （x ）在区间（-1，0）以及（0，2）内各有1个零点，只需{f(−1)＞0f(0)＜0f(2)＞0即{3−3a ＞01−a ＜03a +3＞0，故{a ＜1a ＞1a ＞−1，无解， 故不存在实数a 的值，使得y =f （x ）在区间（-1，0）及（0，2）内各有一个零点．【解析】第12页，共13页（1）结合二次函数的性质证明即可；（2）假设存在，得到各有a 的不等式组，解不等式，判断即可．不同考查了二次函数的性质，考查函数的零点以及转化思想，是一道中档题．21.【答案】解：（1）根据题意，对乙种产品投资x （万元），对甲种产品投资（300-x ）（万元），那么总利润y =320（300-x ）+30+40+3√x =-320x +3√x +115，由{300−x ≥75x≥75，解得75≤x ≤225，所以y =-320x +3√x +1154，其定义域为[75，225]，（2）令t =√x ，因为x ∈[75，225]，故t ∈[5√3，15]，则y =-320t 2+3t +115=-320（t -10）2+130，所以当t =10时，即x =100时，y max =130，答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元【解析】（1）根据题意，对乙种产品投资x （万元），对甲种产品投资（150-x ）（万元），利用利润公式，可求甲、乙两种产品的总利润y （万元）关于x 的函数表达式； （2）利用配方法，可求总利润y 的最大值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．22.【答案】解：函数f(x)=1−22x +1．其定义域为R ；f （-x ）=1−22−x +1=1−212x +1=1−2⋅2x 1+2x =1+2x −2⋅2x 1+2x =−(2x +1)+21+2x =-（1−22x +1）=-f （x ），∴f （x ）是奇函数；（2）由函数f （x ）=y =1−22x +1，可得21−y =2x +1，即2x =21−y −1第13页，共13页 ∵2x ＞0，∴21−y −1＞0，即1+y 1−y ＞0解得：-1＜y ＜1∴f （x ）的值域（-1，1）．（3）当x ∈（0，2]时，mf （x ）+2+2x ≥0恒成立，即（1−22x +1）m +2+2x ≥0恒成立，可得（2x -1）m +（2+2x ）（2x +1）≥0；∵x ∈（0，2]；∴2x -1＞0则m ≥−(2+2x )(2x +1)2x −1，即-m ≤(2+2x )(22+1)2x +1；令2x -1=t ，（0，3]；那么y =(2+2x )(2x +1)2x −1=(3+t)(t+2)t =t +6t +5≥2√6+5；当且仅当t =√6时取等号． ∴-m ≤2√6+5；可得实数m 的取值范围[−2√6−5，+∞）．【解析】（1）根据定义域和定义判断即可；（2）根据指数的范围即可求解f （x ）的值域．（3）利用换元法转化为对勾函数，即可求解实数m 的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元法，转化思想的应用，对勾函数的最值以及单调性的应用．。
2019-2020学年河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题（解析版）
2019-2020学年河南省天⼀⼤联考⾼⼀上学期第⼀次阶段性测试数学试题（解析版）2019-2020学年河南省天⼀⼤联考⾼⼀上学期第⼀次阶段性测试数学试题⼀、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ?=（） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进⾏求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ?=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ?≤=?+>?，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利⽤分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ??，即可求出a . 【详解】由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ?≤=?+>?所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ??-==-=-得1a =，故选：D.本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能⼒. 3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2UD ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数⼤于0，分母不为0和⼆次根式的被开⽅数⼤于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >??≠??-≥?，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈?.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的⽅法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（）C ．1,12?? ???D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代⼊函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ??=<，⽽()110f e =-> 则()1102f f ??<，根据零点存在性定理可知函数零点所在区间为：1,12?? ???. 故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.2【答案】B【解析】将,,a b c 与1和0进⾏⽐较，从⽽得出结果. 【详解】0.20331a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>，故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式⼤⼩的⽐较，⼀般地，先与1和0进⾏⽐较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x +=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-，则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥??-≥??+>-?，解得1,22a ??∈ .故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利⽤函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象⼤致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进⾏选择. 【详解】因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项；故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.⼀般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进⾏选择.9．已知函数(22()log 2f x x x a =-+的最⼩值为3，则a =（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最⼩值点对应的⾃变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成⽴，则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满⾜2290x x -+>在R 上恒成⽴，若220x x a -+>在R 上不恒成⽴，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔⽅约有194.310?种不同的状态，将这个数记为A ，⼆阶魔⽅有85603?种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈?） A ．280.63-? B ．280.610? C ．280.63? D ．320.63?【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应⽤对数运算法则，对数据进⾏估算.由题可知：A B =1984.3105603?两边取对数可得 1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+?-35log 27.93A B ?≈故27.93A B ≈? 解得：27.90.63A B ≈?，故与之最接近的为280.63?. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进⾏处理，是解决本题的重要思路. 11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M m +=（） A ．1 B ．2C ．211e e++ D ．221ee++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造⼀个奇函数，再进⾏求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e -=+，显然()h x 为奇函数，故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数. 12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ?-<=?-+?…若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2??+∞B ．1,2(2,)2+∞?C ．1,2[4,)2+∞?D ．1,2(4,)2+∞?【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合⼀元⼆次⽅程根的分布，对参数进⾏讨论. 【详解】为⽅便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1；对()g x ，因为290a =≥n ，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下⾯两种可能：①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于⽅程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞，只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ??∈或()20g =且522a <，解得12a =，故1,22a ??∈②当()40,4a -?，即(][),04,a ∈-∞?+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于⽅程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ?>?≥?，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ??∈?+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及⼆次⽅程根的分布，其难点是对参数进⾏分类讨论.⼆、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】⼜函数2x y a =+是由x y a =向上平移2个单位得到，故2x y a =+恒过定点()0,3. 故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其⼀般思路为，根据函数图像变换进⾏求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满⾜集合元素的互异性，舍去；若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满⾜集合元素的互异性，舍去，故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代⼊数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=；当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是⼤于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因⽽，在研究对数函数的单调性时，要按01进⾏分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +⽅程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进⾏求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称，且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称，故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应⽤，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216----÷- ? ?（2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444-?- =?--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329??=-++ ?323111533log 9log 3log 212232624=-?+??+=-?= ? ?????.本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ?；（2）若()C A B ?U ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|30}x x -<…（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进⾏讨论，分别求解. 【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或剠e. ∴(){|30}R A B x x ?=-<…e. （2）{|38}A B x x ?=-<<.若C =?，则13m m -+…，解得1m -…. 若C ≠?，则13,13,38,m m m m -<+??--??+≤?…，解得14m -<….∴实数m 的取值范围为(,4]-∞. 【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3??-- .（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.（2）利⽤分母不为零求定义域，采⽤不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系. 【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++，解得1a =.（2）因为212()12121x x xf x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R . ∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x∈+，∴()f x 的值域为(1,1)-. （3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++，∴()f x 是奇函数，即证. 【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、⼄两个互联⽹创新项⽬上共投资1200万元，每个项⽬⾄少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项⽬的收益P 与投⼊a满⾜30P =，⼄项⽬的收益Q 与投⼊a 满⾜1505Q a =+.设甲项⽬的投⼊为x . （1）求两个项⽬的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、⼄两个项⽬的投资，才能使总收益最⼤？最⼤总收益为多少？（注：收益与投⼊的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项⽬投资500万元，【解析】(1)由题意得，分别代⼊甲和⼄的收益函数即可得出两个项⽬的总收益关于x 的函数()F x ； (2)利⽤换元法，令t x =，则103,30t ??∈??，得出关于t 的⼆次函数，根据已知区间内的⼆次函数即可求出最⼤值以及对于的x 值，即可得出答案. 【详解】（1）由题知，甲项⽬投资x 万元，⼄项⽬投资1200x -万元. 所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥??-≥?解得300900x ≤≤.故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =221145260(105)36055y t t t =-++=--+当105t =，即500x =，y 的最⼤值为360.所以当甲项⽬投资500万元，⼄项⽬投资700万元时，总收益最⼤，最⼤总收益为360万元. 【点睛】本题考查函数模型的应⽤以及⼆次函数的性质，利⽤换元法及⼆次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的⼤致图象；（2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成⽴，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43?-【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合⼆次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出⼆次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间⽐较，结合单调性，分别求出每种情况的最⼩值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围. 【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称，即14k=-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的⼤致图象如图所⽰.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成⽴，所以min ()4f x ≥-. 由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增，此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-；当24k≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减，此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件；当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ??上单调递增，此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43?-?.【点睛】值，同时还考查⼆次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +?=-??-≥?,且()()3f f e -=()1求()f x 的最⼤值()2若⽅程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最⼤值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +?=-??-≥?，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a =当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤= 所以()f x 的最⼤值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +?=-??-≥?当11x -<<时,11x -<-< 由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减⼜因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点,当⾮零实数0x 满⾜()()000f x f x --=时,0x -也满⾜()()000f x f x --=, 即原⽅程的⾮零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有⼀个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数⼀般需要分类讨论．。