江苏省致远中学高三数学 函数的单调性导学案 苏教版
高中数学 “函数的单调性”的教学设计教案 苏教版必修1
“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。
苏教版高中数学必修1《函数的单调性》导学案
1 / 22.2.1 函数的单调性学习目标：1．理解函数的单调性、最大（小）值的概念及其几何特征，；2．会运用定义判断或证明一些简单函数在给定区间上的单调性；3．掌握判断一些简单函数的单调性的常用方法。
学习过程：一、知识梳理二、诊断练习1.已知函数()y f x =是定义在区间I 上的增函数，那么12,x x I ∀∈，且12x x ≠，式子1212()()f x f x x x --的符号为 。
（填“正”或“负”） 2函数1-=x x y 的单调减区间是 。
3已知函数()y f x =在R 上是增函数，且()()2f m f m >-，则实数m 的取值范围为 。
4函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为___________________。
5若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 。
三、问题探究探究一：如何准确地求单调区间例题1. 求下列函数的单调区间（1）2432x x y -+-=（2）)34(log 221-+-=x x y（3）212ln 2y x x x =-- 探究二：如何证明单调性 例题2. 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )。
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围。
四、课堂小结五、达标检测1函数231xyx-=+在区间(,1)-∞-上是函数。
（填“增”或“减”）2.已知函数1()2axf xx+=+在区间(2,)-+∞上为增函数，则实数a的取值范围是________。
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苏教版高中数学必修一函数的单调性学案(2)
2012高一数学函数的单调性（2）学案学习目标：1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．课前预复习：1．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则有下列关系式：（1）f (a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；（2）f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；（3）f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；（4）f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中一定正确的有．2．用单调性求函数的最值的要求是什么？问题解决：一、问题情境1．情境．（1）复述函数的单调性定义；（2）表述常见函数的单调性．2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况；三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0∈A，使得对任意x∈A， f(x)≤f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．若存在定值x 0∈A ，使得对任意x ∈A ，f (x )≥f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝ f (x 0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0)，当a ＞0时，函数有最小值；当a ＜0时，函数有最大值．（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y ＝f (x )的定义域是[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之，当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调减函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值． 练习反馈：例1、求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x，x ∈[1，3]． 变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．（2）将y ＝1x的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0，10]上的最大值和最小值．例2、求函数f (x )＝x 2－2ax 在[0，4]上的最小值．课堂小结：利用图形，感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．课后巩固：1.已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ]时，f (x )是单调减函数．试证明f (x )在x ＝c 时取得最大值．变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．2.如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．3.求下列函数的值域：（1）yx∈[0，3]；（2） y＝11x-，x∈[2，6]；（3）y（4）y＝11(1)x x--．学习反思：。
数学：函数的单调性苏教版必修
《函数的单调性》教学设计一:教材依据江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节二:设计思路课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。
首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。
在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数xy 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。
教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.三:教学目标１．知识与技能：理解函数单调性的概念；２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.四：教学重点函数单调性的概念与判断五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性六：教学过程（一）.问题情境：１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.３．很多函数也具有类似性质.如：（x>0）y=３x+２y=1x老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）（二）.学生活动:问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？y=x２y=x３学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？（板书：图形、符号）（三）．建构数学：问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》08
教学目标1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．学情分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．重点难点用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域．教学过程教学设计一、问题情境1 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2 分别作出下列函数的图像：（1）＝2．（2）＝－＋2．（3）＝2．根据三个函数图像，分别指出当∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？二、建立模型1 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析观察函数＝2，＝－＋2，＝2图像，可以发现：＝2在（－∞，＋∞）上、＝2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；＝－＋2在（－∞，＋∞）上、＝2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数＝2，∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着的增大，相应的函数值＝f（）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如1＝－5，2＝－3，这时有1＜2，f（1）＞f（2），但是这种量化并不精确．因此，1，2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个1，2得到f（1）＝，f（2）＝．当1＜2时，都有f（1）＞f（2）．这时，我们就说f（）＝2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值的影响．必要时，对，可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，2，当1＜2时，都有f（1）＜f（2），那么我们就说函数f（）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，2，当1＜2时，都有f（1）＞f（2），那么我们就说函数f（）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．如果函数＝f（）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数＝f（）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作＝f（）的单调区间．3 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中1，2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1 证明函数f（）＝2＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2 证明函数f（）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思考：能否说，函数f（）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3 设函数＝f（）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（）在区间D上为增函数，求证：f（）＝在区间D上为减函数．证明：设1，2∈Ｄ，且1＜2，∵f（）在区间D上保号，∴f（1）f（2）＞0．又f（）在区间D上为增函数，∴f（1）－f（2）＜0，从而g（1）－g（2）＞0，∴g（）在D上为减函数．［练习］1 证明：（1）函数f（）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（）＝2－在（－∞，］上是减函数．2 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3 如果函数＝f（）是R上的增函数，判断g（）＝f（），（≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．2 判断二次函数f（）＝a2＋b＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3 如果自变量的改变量Δ＝2－1＜0，函数值的改变量Δ＝f（2）－f（1）＞0，那么函数f（）在区间D上是增函数还是减函数？4 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（）在1，2之间的平均变化率．（1）根据函数的平均变化率判断＝f（）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？课堂实录微课课件：素材资源：学生活动1：1 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？学生活动2：分别作出下列函数的图像：（1）＝2．（2）＝－＋2．（3）＝2．根据三个函数图像，分别指出当∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？学生活动3：提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中1，2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．课后作业：1 下列函数中，113+-=x y2 3x y = 3342+-=x x y 4xy 4=,在区间 （0，2）上为增函数的是 2设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则下列不等式(1).()(2)f a f a >2(2).()()f a f a <2(3).()()f a a f a +<2(4).(1)()f a f a +<正确的是 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》4
函数的性质〔一〕函数的单调性教学设计宝应中学：王德志一、教材内容分析本节课?函数的单调性?是苏教版?高中数学必修1?第二章第二节的内容,函数的性质由研究函数单调性开始，它既是函数根本特征之一,为后面根本初等函数的研究提供了一般方法,为研究不等关系提供了重要依据。
探究方法对研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
函数单调性的实质是对函数两个变量运动趋势相关性的研究,研究函数单调性是从观察具体图象的变化趋势入手，通过图象分析数值之间的关系，最终抽象出用数学符号表述的定义。
二、教学目标知识目标〔学习目标〕（1）能通过函数图象分析函数的单调性。
掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性。
（2）准确概括出增、减函数的定义并理解。
（3）会用增、减函数的定义证明函数的单调性。
能力目标培养学生数形结合的数学思想，指导学生形成研究问题从特殊到一般，从具体到抽象的研究方法。
指导学生形成科学的利用时间进行有效复习的学习方法。
情感态度与价值观目标通过对函数单调性的探究过程培养学生细心观察图象并进行分析最后严谨论证的良好思维习惯，并激发学生利用现代的设备技术去探索数学问题的兴趣。
三、教学〔学习〕重点难点重点：形成增、减函数的形式化定义。
难点：形成增、减函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；用定义证明函数的单调性。
四、学情分析所教授的班级学生为高一学生，在初中通过三类简单的函数图象分析已经对函数的单调性有了一定的直观认识，但是还欠缺对函数单调性用数学符号的定义概括和进一步去理解函数的单调性。
学生思维活泼，小组合作探究已经比拟默契。
对初中没有接触的函数的图象有直观认识。
但学生欠缺标准表述函数的单调性和单调区间。
五、教学策略选择与设计教学设计思路：通过对函数单调性的研究让学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数，单调区间概念的过程。
在这个过程中，让学生通过自主、小组探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的根本方法，培养学生的数学思维能力。
高中数学教师竞赛作品《 函数的单调性 》教学案 苏教版必修1
教学重点：
函数单调性的概念形成和初步运用
教学难点：
函数学习法
所需设备：
电脑多媒体辅助设备
教师活动
学生活动
设计意图
（一）创设情境,提出问题
如图为某地区某一天24小时内的气温变化图,观察这张气温变化图,提出问题：
2、怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
3、对于任意的t1、t2∈[4,18]时,当t1<t2时,是否都有f(t1)<f(t2)呢?
4、类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗？
5、你能找出气温图中的单调区间吗？
6、类似气温图,你还能举出生活中的一些例子吗？
7、你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．
学生自我归纳证明函数单调性的四步骤：假设-作差变形-判断符号-下结论．
学生互相讨论,探求问题的解答和问题的解决过程,并通过问题,归纳总结本节课的内容和方法.
1函数单调性概念
2证明函数单调性的四步骤
问题是数学的心脏,问题是学生思维的开始,问题是学生兴趣的开始．这里,通过两个问题,引发学生的进一步学习的好奇心．
对于问题5,学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于
对于问题6,股市图,心电图等
问题7,学生容易举出具体函数如： ,并画出函数的草图,根据函数的图象说出函数的单调区间．
学生相互讨论,尝试自主进行函数单调性的证明,可能会出现不知如何比较 与 的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．
8、证明函数 在区间（0,+ ∞）上是单调增函数．
教学构想及目标:
教学构想：
苏教版高中数学函数的单调性教学设计2
课题：函数的简单性质（一）——函数的单调性无锡市第三高级中学 成钰一、本节内容在教材中的地位与作用：《函数的单调性》系苏教版高中数学必修一2.1.3.1的内容，该内容包括函数的单调性及函数的最值。
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、学情、教法分析按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。
所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。
在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
三、教学目标与教学重、难点的制定依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： （1）知识目标：函数单调性的定义、函数单调性定义证明的格式 （2）能力目标：①运用函数单调性的定义判断并证明简单函数的单调性②利用简单的代数证明，培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力（3）情感目标：①渗透数形结合的数学思想②激发学生参与数学学习、教学活动的兴趣。
在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》6
函数的单调性执教人：彭尚峰教学目标：1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2．理解单调性的概念，培养识图能力，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；4．通过函数的单调性的学习，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．培养学生利用定义推理的逻辑思维能力教学内容分析：函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．学情分析：1我校学生素质属于全县的三流水平，数学基础非常薄弱。
2学生在初中已经学习了一次函数和二次函数的性质，这为进一步学习函数的单调性做好了铺垫。
教学重点：对函数的单调性的理解，能判断或证明一些简单函数的单调性教学难点：单调性定义的理解，函数单调性的证明与单调区间的书写，以及单调性的逆用教学方法：学讲方式、探究学习、教师启发讲授教学手段：计算机、投影仪课前准备：教学设计、PPT、学案教学过程：【自主先学】（一）情景导入：情境：如图，是气温θ关于时间t的函数，记为θ＝f t，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣，使学生从图形中直接感知函数的单调性。
【小组讨论、交流展示】（二）知识形成:问题1：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？答：在区间[4,14]上图中曲线当t的值增大，θ的值也随之增大问题2：对于任意的t1、t2∈[4,14]时，当t1f2，那么就说＝f在区间I上是单调减函数，区间I称为＝f 的单调减区间．问题5：你能找出思考中气温图中的单调区间吗？答：单调增区间：[4,14]，单调减区间：[0,4]，[14,24]．问题6：函数的单调性与单调区间是怎样定义的？答：如果函数＝f在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数＝f在区间I上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．〖设计意图〗通过问题逐步体现由图形到函数的解析式的量化过程，进而引出函数的单调性的相关定义。
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
江苏省致远中学高三数学 函数与方程导学案 苏教版
函数与方程一、考纲要求函数与方程是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以相互转化，初等函数的解析式就是二元方程，函数的研究离不开方程，而研究方程的问题有需要函数的性质和图象辅助，函数与方程是高考考查的重点内容.在高考中一般一填空的形式考查函数零点、二分法等知识.函数与方程（A 级要求）；二、复习目标1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．三、重点难点函数零点的概念及用“二分法”求方程的近似解，使学生初步形成用函数观点处理问题的意识．四、要点梳理1．函数的零点：能力一般地,如果函数()y f x =在实数a 处的值等于_____，即：______，则a 叫做这个函数的零点。
2．函数零点的判断 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，则函数()y f x =在区间________内有零点，即存在(),c a b ∈使得()0f c =，即c 为函数()y f x =的一个零点，即c 为方程()0f x =的一个根。
3．二分法 对于在区间[],a b 上连续不断，且__________________的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
4．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤是什么？五、基础自测1．方程23x x -+=的实数解的个数为 .（必修1，80P 例4改编）2．若函数222y mx mx =+-没有零点，则实数m 的取值范围是 3．对于函数2()f x x mx n =++，若()0,()0f a f b ><，则函数()f x 在区间(,)a b 内：①一定有零点； ②一定没有零点； ③可能有两个零点； ④至多有一个零点.其中正确的序号是___________。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》30
利用导数研究函数的单调性考试要求：利用导数研究函数的单调性B级要求；教学目标：1了解函数的单调性与导数的关系；2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次；3 能利用导数研究函数的单调性，已知函数单调性求参数的取值范围教学过程设计：一课前准备：1．函数的单调性与导数的关系已知函数f在某个区间内可导，1若f′＞0，则函数＝f在这个区间内；2若f′＜0，则函数＝f在这个区间内；3若f′＝0，则f在这个区间内是常函数．二．课前预习：1函数f＝＋错误!的单调减区间为______________________________．2函数f＝＋2co 在0，π内的单调递减区间为________．3函数＝错误!2－n的单调递减区间为________．三．课堂活动目标1求函数的单调区间例1已知函数f＝＋错误!＋n，求函数f的单调区间．变式1已知函数f＝错误!其中a∈R，且a≠0，求函数f的单调增区间变式2已知函数f＝n－a＋错误!－1，a∈R当0<a<错误!时，讨论f的单调性．拓展训练1．已知函数f＝n－aa∈R，求函数f的单调区间．2．已知函数f＝2n||1判断函数的奇偶性；2求函数f的单调区间．目标2利用函数的单调性求参数的值范围例2已知函数f＝3－a－在R上为增函数，求实数a的取值范围变式1函数f不变，若f在区间－1,1上为减函数，试求a的取值范围．变式2函数f不变，若f的单调递减区间为－1,1，求a的值．变式3函数f不变，若f在区间[1，＋∞上不具有单调性，求a的取值范围．变式4函数f不变，如果f有3个单调区间，求a的取值范围．四、课后作业：1 函数f＝1＋－in在0,2π上的单调性是____________．2．函数f＝错误!的单调递减区间是________．3、已知函数f＝－错误!2＋b n在区间[2，＋∞上是减函数，则b的取值范围是________．4、设函数f＝错误!2－9n在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．五、课堂反思：。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》5
函数单调性一轮复习教学设计张磊明一．教学内容分析函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题,而且常考常新在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象以及从函数的性质研究抽象函数。
在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表现在：1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现．3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的．5．涌现了一些函数新题型．6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．7求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合复习中关注：1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题2．在选择题与填空题中注意不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法本课时函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性揭示了函数的基本特征，是研究函数的重要方面，几乎是每年必考的内容，例如判定或证明函数的单调性（或奇偶性），求解单调区间，利用单调性求最值，求参数的取值范围，利用单调性奇偶性解不等式等，高考试题中既有选择题、填空题，又有解答题。
二．教学目标：（1）知识与技能：使学生加深对函数单调性的理解，掌握判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间；（2）过程与方法：引导学生回顾函数单调性的概念和相关结论，应用图象、求导和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三．教学重点（1）结合定义、导数和函数图象判断与证明函数的单调性（2）运用函数的单调性分析和解决问题教学难点函数单调性的综合应用四．教学方法与教学手段：1遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体”启发式教学和问题探究式教学．2在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．3．结合多媒体教学手段，有效提高教学效率和教学质量．4．以反馈调控为手段，力求反馈的全而性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）．五．教学的基本流程设计六．教学过程：从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值，都与函数性质相关联，因此函数性质是我们进一步研究函数的主线。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》37
【复习回顾】1. 单调性概念：{单调增函数单调减函数2. 判断或证明单调性的方法？3. 奇偶性概念：{奇函数偶函数4. 判断或证明奇偶性的方法？5. 单调性与奇偶性的区别？6. f =错误!f =错误!√x 2+10时，f =1-,求f 表达式思考：两个性质的学习过程中做过哪些题型？它们可以归结于哪类函数？【新课讲解】具体函数：分段函数、分式函数 抽象函数【分段函数】例、已知函数f (x )= {−x 2+2x, x >00 , x =0x 2+mx , x <0 是奇函数（1） 求实数m 的值； （2） 画出函数的f 的图象；（3） 若函数f 在区间[2a -4, a -2]上为单调增函数，求实数a 的范围目的：根据分段函数的定义和特点、奇偶函数的定义与性质、单调性的定义与性质，求①未知数的值；②画出函数的完整图象；③数形结合，求解参数的范围【分式函数】=错误!是奇函数，且f2=错误! 1求实数a, b 的值;2判断f 在−∞, 0上的单调性, 并加以证明 练习：函数f (x )=ax+b1+x 2 是定义在（-1,1）上的奇函数，且f (12)=25(1) 确定函数f 的解析式；(2) 用定义证明：f 在（-1,1）上是增函数； (3) 解不等式：f (t −1)+f(t)<0【抽象函数】, 且在−∞,0]上是减函数, 判断f在[0,∞上的单调性1f是奇函数；2f是偶函数结论：奇函数在关于数“0”对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于数“0”对称的区间上有相反的单调性（简记为“奇同偶异”）引申:设奇函数f定义域为−∞,0∪0,∞, 且f在0∞上是增函数, f1=0, 解不等式f0,求m的取值范围（2）定义域为[– 2，2]上的偶函数f,且f在≥0时为增函数，若fm > f1 –m,求m的取值范围结论：对于奇函数，可以直接根据整个定义域上的单调性，转换对应自变量的大小关系；对于偶函数，由于图象关于轴对称，根据单调性，转换为自变量到原点的距离（绝对值）设f是定义在R上的奇函数，f2=2，且对于任意1、2∈[0,∞，且1≠2，都有f1—f2 >1—2，求不等式f>的解集方法：根据条件构造出新函数，进而利用新函数的单调性与奇偶性求解问题1、例2已知定义在0, ∞上的函数f满足f错误!=f1−f2,且当>1时, f0时, ffN的形式；2、确定：确定函数的单调性；去f：去掉“f”，转化为M>N或M√x2+11xf(x)=√−x2−2x+30时，f=1-,求f表达式设函数f= m2－23在[－1，∞上单调递减，则实数m 的取值范围是___________若f = a2b3a b为偶函数，定义域为[a –3，2a]，则a=_________, b=__________若定义在R上的偶函数f在[0，∞上单调递增，则f3，f-4, fπ的从大到小的关系为______________一、说出下列函数的单调区间：（1）、f=1x；（2）、f =√x2+1二、判断下列函数的奇偶性：（1）、f =错误!（2）、f ={x(x−1),x>0−x(x+1),x<0例：函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(12)=25(4)确定函数f的解析式；(5)用定义证明：f在（-1,1）上是增函数；(6)解不等式：f(t−1)+f(t)<0。
高中数学 第二章 函数 2.2.1 函数的单调性(第1课时)函数的单调性学案 苏教版必修1-苏教版高
2．2 函数的简单性质2．2.1 函数的单调性第1课时函数的单调性1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3．会求函数的单调区间．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 单调性的定义阅读教材P37，完成下列问题．1．定义一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说y ＝f (x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f (x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说y ＝f (x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f (x)的单调减区间．2．函数单调性与单调区间如果函数y＝f (x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f (x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y＝f (x)在定义域上有f (1)＜f (2)，则函数y＝f (x)是增函数．( )(3)若函数f (x)在实数集R上是增函数，则有f (1)＜f (4)．( )(4)若函数y＝f (x)在区间[1,3]上是减函数，则函数f (x)的单调区间是[1,3]．( )【解析】 (1)y ＝2在定义域上无单调性；(2)只根据f (1)<f (2)，无法确定f (x )的单调性；(3)由f (x )在R 上递增，可以得出f (1)<f (4)；(4)一个函数的增区间也是单调区间．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．下列说法正确的是________．(填序号)①定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数；②定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得当x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数；③若f (x )在区间I 1上为增函数，在区间I 2上也为增函数，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数；④若f (x )在区间I 上为增函数，且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1<x 2.【解析】 ①②都是用部分x 1和x 2对应的函数值的大小来判断单调性， 忽略了“任意”．③可举反例排除，如y ＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递增，但在定义域上不具有单调性．【答案】 ④教材整理2 单调性的判断阅读教材P 38例1、例2，完成下列问题． 判断单调性的常用方法是图象法、定义法．根据下列函数的图象，说明函数的单调性．(1)一次函数y ＝kx ＋b ，当k >0时，函数在R 上单调递______，当k <0时，函数在R 上单调递______．(2)反比例函数y ＝kx，当k >0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______，当k <0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______．(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a >0时，函数在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递______，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递______，当a <0时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递______，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递____．【答案】 (1)增 减 (2)减 增 (3)减 增 增 减[小组合作型]利用函数图象求单调区间作出下列函数的图象，并写出单调区间．(1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22，x ≥0，x ＋4，x <0.【精彩点拨】 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减． 【自主解答】 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)． (2)y ＝－2x的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．(3)f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．[再练一题]1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________.【解析】 (1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12函数单调性的判断与证明用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 【精彩点拨】 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．【自主解答】 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．用定义证明(判断)函数单调性的步骤[再练一题]2．证明函数f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．【证明】 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1，x 2>1，∴x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0. 又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．[探究共研型]单调性的应用探究1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？【提示】 先判断函数f (x )在区间D 上的单调性，如果函数f (x )在D 上是增函数，当x 1<x 2时，则f (x 1)<f (x 2)，如果f (x )在D 上是减函数，结论则相反．探究2 如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？ 【提示】 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f 符号，转化为自变量的大小关系．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为________．【精彩点拨】 根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域．【自主解答】 ∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，321．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；另一方面是逆向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)<f (x 2)时，x 1<x 2，当f (x 1)>f (x 2)时，x 1>x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．[再练一题]3．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________. 【解析】 由题意可得2m ≤9－m ， ∴m ≤3. 【答案】 m ≤31．已知函数f (x )的图象如图221所示，则f (x )的单调减区间为________．图221【解析】 由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________． (1)f (x )＝－1x ＋1；(2)f (x )＝x 2－3x ；(3)f (x )＝3－x ；(4)f (x )＝－|x |. 【解析】 函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．【答案】 (1)3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________. 【解析】 ∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数， ∴k －2＜0， ∴k ＜2. 【答案】 k ＜24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －5，x ≥1，－2x ，－1<x <1，x ＋2，x ≤－1，则f (x )的单调增区间为________．【解析】 f (x )为分段函数，当x ≥1时，f (x )单调递增，当x ∈(－1,1)时，f (x )单调递减，当x ≤－1时，f (x )单调递增．【答案】 [1，＋∞)，(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)．(1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008)． 【解】 (1)设1≤x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。
高中数学 第二章 函数 2.2.1 第1课时 函数的单调性学案 苏教版必修1(2021年最新整理)
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2．2。
1 第1课时函数的单调性1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．（重点）2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3．会求函数的单调区间．(重点、难点）[基础·初探］教材整理1 单调性的定义阅读教材P37，完成下列问题．1．定义一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，区间I⊆A。
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f (x1）<f (x2)，那么就说y＝f (x）在区间I上是单调增函数，I称为y＝f （x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1〈x2时，都有f （x1)>f （x2），那么就说y ＝f (x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f （x）的单调减区间．2．函数单调性与单调区间如果函数y＝f (x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f （x）在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)（1）所有函数在定义域上都具有单调性．（）（2）若函数y＝f （x）在定义域上有f （1）＜f （2)，则函数y＝f (x）是增函数．( )（3）若函数f （x）在实数集R上是增函数,则有f （1)＜f （4）．( )（4）若函数y＝f (x)在区间[1,3］上是减函数，则函数f （x）的单调区间是［1，3］．( )【解析】（1）y＝2在定义域上无单调性；(2)只根据f （1）〈f （2），无法确定f （x）的单调性；(3)由f （x)在R上递增，可以得出f (1)<f （4)；(4）一个函数的增区间也是单调区间．【答案】(1)×(2)×（3)√(4)×2．下列说法正确的是________．(填序号）①定义在(a,b)上的函数f （x)，若存在x1<x2，使f （x1）<f (x2），那么f （x）在（a，b)上为增函数;②定义在（a,b)上的函数f (x）,若有无穷多对x1，x2∈（a，b)，使得当x1〈x2时，有f (x1)<f （x2）,那么f (x)在（a，b）上为增函数；③若f （x）在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f (x)在I1∪I2上也一定为增函数；④若f （x)在区间I上为增函数,且f (x1）<f （x2）(x1，x2∈I)，那么x1<x2.【解析】①②都是用部分x1和x2对应的函数值的大小来判断单调性，忽略了“任意”．③可举反例排除，如y＝－错误!在(－∞，0），（0，＋∞)上均递增，但在定义域上不具有单调性．【答案】④教材整理2 单调性的判断阅读教材P38例1、例2,完成下列问题．判断单调性的常用方法是图象法、定义法．根据下列函数的图象，说明函数的单调性．(1）一次函数y＝kx＋b，当k>0时,函数在R上单调递______，当k〈0时，函数在R上单调递______．(2）反比例函数y＝错误!，当k〉0时，函数在(－∞,0)，（0,＋∞)上单调递______，当k<0时，函数在（－∞,0）,（0，＋∞）上单调递______．(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a>0时，函数在错误!上单调递______，在错误!上单调递______，当a〈0时，函数在错误!上单调递______，在错误!上单调递____．【答案】(1)增减(2）减增（3)减增增减[小组合作型］利用函数图象求单调区间作出下列函数的图象，并写出单调区间．(1)y＝x2－4；(2)y＝－错误!；(3)f (x）＝错误!【精彩点拨】在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．【自主解答】三个函数图象如图（1）（2)（3)．（1) (2）(3）(1）y＝x2－4的单调递减区间为（－∞,0），递增区间为（0，＋∞）．(2)y＝－错误!的单调增区间为(－∞，0)，（0，＋∞），无递减区间．（3）f （x）的单调增区间为(－∞,0),(2，＋∞)，递减区间为（0,2)．1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升"或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开,或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．［再练一题]1．函数f (x)＝－x2＋｜x｜(x∈R）的单调递增区间为________。
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函数的单调性
一、考纲要求：
函数的基本性质B
二、复习目标：
1.理解函数的单调性
2.能判断或证明函数的单调性
三、重点难点：
判断或证明函数的单调性
四、要点梳理：
函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，
如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的增区间
如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的减区间
五、基础自测：
1．（必修1第37页第7题）判断下列说法是否正确：
（1）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的单调增函数；
（2）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数；
（3）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间[0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数；
（4）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数．
2、下列函数 （1）2()(1)f x x =- （2）()x f x e = （3）()ln(1)f x x =+ （4） 111y x =-
- （5）||y x x =在(,0)x ∈-∞是减函数的序号是_________________
4．(1) 函数32()15336f x x x x =--+的单调递增区间为 ．
(2) 函数20.7log (32)y x x =-+的单调减区间是____________________
5、若2()2f x x a x =-+与1()2
ax g x x +=
+在区间(2,)-+∞上是减函数，则a 的取值范围是_______________ 六、典例精讲:
例1 （1）判断函数()
f x =
（2）判断函数1()ln
1x f x x
-=+的单调性，并证明你的结论．
例2（1）若函数2()(1)2(1)1f x x x λλ=-++-+在区间[1,1]-是增函数，求实数λ的范围．
（2）函数9()log (8)a f x x x =+-在[)1,+∞是增函数，求a 的取值范围
例3．已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <， ，求证：()f x 是R 上的减函数．
变式：已知()f x 是定义在[]1,1-的奇函数，且(1)1f =，当[],1,1
a b ∈-时，0a b +≠时，有
()()0f a f b a b
+>+，判断()f x 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论
七、反思感悟：
1、判断函数单调性的常见方法：（1）图像法 （2）定义法 （3）导数法
2、复合函数单调性的判断：同增异减法
八、千思百练：
1．函数1()f x x x
=-的单调增区间为 ． 2、设函数()f x 是减函数，且()0f x >，下列函数中为增函数的是_________ (1)1
()y f x =- (2)12log ()
y f x = (3)()2f x y = (4)[]2
()y f x = (5)32()y x f x =-
3．函数()f x 是R 上的减函数，a ∈R ，记2()m f a =，(1)n f a =-，则m ，n 的大小关系是 ．
4、（必修1第37页第7题）函数21()21
x x f x -=+的单调区间是_______________________ 5、（必修1第55页第12题）对于任意的12,,x x R ∈若函数1
()()2x
f x =，则 1212()()()22
f x f x x x f ++与的大小关系是__________________ 6．函数(31)4,1,()lo
g ,1a
a x a x f x x x -+<⎧=⎨⎩≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 7、若函数[]()log (2)01a f x ax =-在，上是减函数，则a 的取值范围是 ．
8、已知函数11()(0)f x a a x
=
->． （1）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上是单调增函数； （2）若()f x 的定义域、值域都是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的值．
9、已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数,x y ，都有()()(),1()0,(4)1f xy f x f y x f x f =+>>=又当时，
（1）求1(1),()16
f f （2）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数 (3) 解不等式：()(3)1f x f x +-≤
10*、已知函数2
()2
x f x x =-（2x R x ∈≠且） （1）求()f x 的单调区间 （2）若函数2()2g x x ax =-与函数()f x 在[]0,1x ∈上有相同的值域，求a 的值 （3）设1a ≥，函数[]32
()35,0,1h x x a x a x =-+∈，若对于任意[]0,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得0()()h x f x =成立，求a 的取值范围。