第7章习题解答

习 题

7-1为什么一般矩形波导测量线的槽开在波导宽壁的中线上？

答：因为矩形波导一般工作于10TE 模，由10TE 模的管壁电流知，在矩形波导宽壁中线处只有纵向电流，因此沿波导宽壁的中线开槽不会切断高频电流的通路，不会破坏波导内的场结构，也不会引起波导内的电磁波向外辐射能量。

7-2 推导矩形波导中mn TE 波的场量表达式。

7-3 已知空气填充的矩形波导截面尺寸为2

1023mm b a ⨯=⨯，求工作波长mm 20=λ时，

波导中能传输哪些模式？mm 30=λ时呢？ 解：矩形波导的截止波长2

2

c 2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

b n a m πππλ

当0,1==n m 时，mm a C 462==λ，

1,0==n m 时，mm b C 202==λ， 0,2==n m 时，mm a C 23==λ， 1,1==n m 时，mm b a 34.181********

2

2

2

c =⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

πππλ

满足电磁波在波导中传播条件c λλ<的模式有10TE 、01TE ；当mm 30=λ时，只能传输10TE 模。

7-4 已知空气填充的矩形波导截面尺寸为248cm b a ⨯=⨯，当工作频率GHz 5=f 时，求波

导中能传输哪些模式？若波导中填充介质，传输模式有无变化？为什么？

解： cm f C 610

5103910

=⨯⨯==λ，

矩形波导的截止波长2

2

c 2⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

b n a m πππλ，

当0,1==n m 时，cm a C 162==λ，

1,0==n m 时，cm b C 82==λ， 0,2==n m 时，cm a C 8==λ， 2,0==n m 时，cm b C 4==λ 1,1==n m 时，mm b a 15.74181222

2

2

2

c =⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

πππλ

满足电磁波在波导中传播条件c λλ<的模式有10TE 、01TE 、20TE 、11TE 、11TM ； 若波导中填充介质，工作波长变短，所以传输模式增多。

7-5 已知矩形波导的尺寸为 b a ⨯，若在0≥z 区域中填充相对介电常数为r ε的理想介质，

在0

解：已知波导中沿Z 轴传播的10TE 波的电场强度为:

y Z k i

i z e x a

E e E j 0)sin(-=π

那么,反射波和透射波的电场强度可分别表示为:

y Z k r r z e x a E e E j 0)sin(π=, y Z k t

t z e x a

E e E '

-=j 0)sin(π

式中20

0)2(

1a

k K z λ-=,2)2(

1a

k K z λ

-='

根据边界上电场强度和磁场强度切向分量连续的边界条件,知:

7-6 试证波导中相速p v 与群速g v 的关系为

g

p g

p g d dv v v λλ-=

证明: 根据群速度的定义,d d z g k v ω=

又相速度z

p k v ω

=,则 k z

p z p z z p z g v k v k k v k v d d d )d(d d +===

ω

再根据g

z k λπ

2=

,得g g

z k λλπ

d 2d 2-

=, 则

g

p g

p g

p

g g

p g v v v v v λλπλλπ

λd d d d )

2(22-=-

+

=

7-7试证波导中的工作波长λ、波导波长g λ与截止波长c λ之间满足下列关系

2

22

1

1

1

λ

λ

λ

=

+

c

g

证明: 因为2)(

1c

g λλλ

λ-=

所以222)

(1c

g

λλλλ-=⇒2

2222λλλλλ=-c

g g 两边同除以22g λλ得

222

1

1

1

g

c

λλλ

=

-

⇒

2

22

1

1

1

λ

λ

λ

=

+

c

g

7-8 何谓波导的简并模？矩形波导和圆波导中的简并有何异同？

7-9圆波导中0111TE TE 、和01TM 模的特点是什么？有何应用？

7-10已知空气填充的圆波导直径mm d 50=，当工作频率GHz 725.6=f 时，求波导中能传

输哪些模式？若填充相对介电常数4=r ε的介质，此时波导中能传输哪些模式？ 解: (1) 当圆波导填充空气时, mm f

C 6.4410

725.61039

11=⨯⨯=

=

λ

已知圆波导中TE 、TM 模的截止波长分别为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧'

=TM a TE a

mn

mn

c μπμπλ22