01-第一章离散时间信号与系统
合集下载
数字信号处理教程课后习题及答案
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
2020/7/27
0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
第1章时域离散信号和离散系统
1 x 10
-5
0 n
5
x(n)
x(t)
0 n
5
1.1 时域离散信号（2）
(5)几种常用的离散时间信号(6+1个) 冲击序列（单位抽样序列）： 抽样性质： x(n) (n k ) x(k )
( n)
1, n 0 0, n 0
m
任意序列：可用冲击序列的移位加权和表示： x(n) x(m) (n m) 阶跃序列： 矩形序列：
z-1
1.3 线性非时变系统（LTI）（1）
(1)系统的线性(Linearity)：满足叠加原理(superposition）的系统。 数学表示：
设y1 (n) T [ x1 (k )], y 2 (n) T [ x2 (k )] 若y(n) T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) 则系统称为线性系统。
n
| h( n) |
例如不稳定系统： h(n) sin n
h( n) u ( n )
1.4 线性差分方程描述的LTI系统（1）
(1)N阶线性差分方程
ak y(n k ) bk x(n k ) , ak 1，ak、bk为常数
k 0 k 0
N
第一章 时域离散信号和离散系统
1.1 时域离散信号 1.2 时域离散系统 1.3 线性非时变系统（LTI）
1.4 离散系统的输入输出描ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法－线性常系数差分方程
1.5 结束语
1.1 时域离散信号（1）
(a)正 弦 信 号
(1)时间信号 信号：传递信息的函数。自变量有多种形式。一维和多维。 时间信号：自变量为时间的信号。声压p(t)。一维信号。
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
数字信号处理-第一章(new)
2 n , n 3 x(n) 3 0, n 3 2 n 1 , n 2 x(n 1) 3 0, n 2 2 n 1 , n 4 x(n 1) 3 0, n 4
1数字信号处理第一章离散时间信号与系统11离散时间信号序列本节涉及内容序列的运算序列的周期性序列的能量几种常用序列用单位抽样序列表示任意序列2数字信号处理第一章离散时间信号与系统1离散时间信号定义??nntxnxnntxtxaanttan取整数3数字信号处理第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示形式nx表示离散时间信号序列如图1所示示0时刻的序列值表表示1时刻的序列值0x1x图14数字信号处理第一章离散时间信号与系统一序列的运算1移位m0时该移位
3、矩阵序列
RN (n) u(n) u(n N )
例如N=4
1,0 n N 1 RN ( n ) 0, 其它 n
19
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统
4、实指数序列
a 1 a 1
x(n) a u(n) x(n) 收敛
n
x ( n)
发散
例如a=1/2及a=2时
1 n , n 1 例： x ( n) 2 0, n 1
在－6<n<6范围内求： x(n) ，x(n)
9
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统 n01=-1; n02=0; ns=-5; nf=5; nf1=6; ns1=-6; n1=n01:nf1; n2=ns:nf; n3=ns:nf1; x=(1/2).^n1; x=[zeros(1,(n01-ns)),x]; for n=1:11 y1(1,n)=x(1,n+1)-x(1,n); end
第1章 离散时间信号与系统
m
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
数字信号处理第一章,序列
m
x(m)h(n m)
等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。 1）翻褶： x(n) x(m) h(n) h(m) h(m) 2）移位： h(m) h(n m) 3）相乘： x(m) h(n m) m
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
1 1 1
x( m) xx 1(m) x(m)
1
线性卷积的计算
m m m m
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 0 1 2 30 1 2 3 -3 -2-1 0 1 2 3 h(m )) h(-m) x (m 2 1h(-m) 1 1 1 -3 -2-1 0 -3 -2-1 0
如sin( n)， 0 ， 8 N 4 4 0 该序列是周期为8的周期序列
2
离 散 时 间 信 号 序 列 ——
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
1.1
2）当
2
0
为有理数时，
P 表示成 ，P，Q为互为素数的整数 0 Q 取k Q，则N P，x (n)即是周期为P的周期序列
1.1 离 散 时 间 信 号 序 列 ——
N 即满足 2 k，且N，k 为整数 6 而不论k取什么整数，N 12 k 都是一个无理数 x(n)不是周期序列
课堂练习 1.4（1）（2）
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
讨论： 若一个正弦序列是由连续信 号抽样得到，则抽样时间间 隔T 和连续正弦信号的周期 T0之间应是什么关系才能使 所得到的抽样序列仍然是周 期序列？
第一章 离散时间信号与系统
x(m)h(n m)
等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。 1）翻褶： x(n) x(m) h(n) h(m) h(m) 2）移位： h(m) h(n m) 3）相乘： x(m) h(n m) m
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
1 1 1
x( m) xx 1(m) x(m)
1
线性卷积的计算
m m m m
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 0 1 2 30 1 2 3 -3 -2-1 0 1 2 3 h(m )) h(-m) x (m 2 1h(-m) 1 1 1 -3 -2-1 0 -3 -2-1 0
如sin( n)， 0 ， 8 N 4 4 0 该序列是周期为8的周期序列
2
离 散 时 间 信 号 序 列 ——
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
1.1
2）当
2
0
为有理数时，
P 表示成 ，P，Q为互为素数的整数 0 Q 取k Q，则N P，x (n)即是周期为P的周期序列
1.1 离 散 时 间 信 号 序 列 ——
N 即满足 2 k，且N，k 为整数 6 而不论k取什么整数，N 12 k 都是一个无理数 x(n)不是周期序列
课堂练习 1.4（1）（2）
第 一 章 离 散 时 间 信 号 与 系 统
讨论： 若一个正弦序列是由连续信 号抽样得到，则抽样时间间 隔T 和连续正弦信号的周期 T0之间应是什么关系才能使 所得到的抽样序列仍然是周 期序列？
第一章 离散时间信号与系统
第1章离散时间信号与系统-
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
2019/10/14
40
例 ： 判 断 系 统 y ( n ) x ( n ) s i n ( 2 n ) 是 否 线 性 97
：N 解 1 g2 2 c 3 ,4 3 d 4 )6 6 ( 72 N 2 g3 3 c 3 ,2 3 d 2 )4 4 ( 54
2019/10/14
35
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
当 1 4 T 3 T 0 时 ， x ( n ) 为 周 期 为 1 4 的 周 期 序 列
37
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
2019/10/14
返回到本章
38
1.2 线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成 输出序列的一种运算， 记为：T[]
要 使 x ( n N ) x ( n ) ， 即 x ( n ) 为 周 期 为 N 的 周 期 序 列
则 要 求 0N2k， 即 N 20k， N ， k为 整 数 ，
且 k的 取 值 保 证 N 是 最 小 的 正 整 数
2019/10/14
29
分情况讨论
2 N 0 k
2019/10/14
8
（3）和
x(n)x1(n)x2(n)
数字信号处理-第一章离散时间信号与系统ppt课件
1
n0
δ(n)和u(n)间的关系为u(n)0
n0
(n )u (n ) u (n 1 )
u (n ) (n m ) (n ) (n 1 ) (n 2 )
令n-m=k代m 0 入上式，得(1-6)式
n
u(n) (k)
问：上两实的区别是什么？
k
实际系统一般无n<0的情况,但理论分析需要,故 实际信号可用理想信号乘阶跃序列来分析
如果y(n)=T[x(n)]满足比例性和可加性，则 该系统是增量线性系统。
.
24
1.2.2移不变系统
系统的输出随输入的位移而位移，则该系统为移 不变系统。
即若输入x(n)产生输出y(n)，则输入x(n-m)产生 输出 y(n-m)
表达：移不变系统 y(n)T[x(n)]
则
y(nm )T [x(nm )]
１、交换律 卷积和与卷积序列的次序无关，有
y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
即：把单位冲击响应h(n)作为输入，将输入x(n) 作为系统单位冲击响应，其输出相同。
x(n) h(n) y(n) = h(n)
x(n)
y(n)
.
30
２、结合律（串联）
x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n) =x(n)*[h1(n)*h2(n)]=［x(n)*h２(n)］*h１(n)
证明：
x(n)*[h1(n)h2(n)] x(m)[h1(nm)h2(nm)] m
x(m)h1(nm) x(m)h2(nm)
m
m
x(n)*h1(n)x(n)*h2(n)
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
数字信号处理教程-程佩青-课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
第一章-离散时间信号与系统(1)复习课程
y ( k ) x ( k )* h ( k ) { 2 ,7 ,1 ,1 3 ,1 9 ,4 } 5
1.1 离散时间信号
三、序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
周期为N
则称序列x(n)为周期性序列。
例：
x(n) sin( n)
4
1.2 线性时不变系统
二、线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。
设: y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 那么线性系统一定满足下面两个公式：
由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率域 只考虑一个周期
1.1 离散时间信号
7、用单位采样序列来表示任意序列
任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。 即：
x(n), m=n
x(n)x(m)(nm) x(m) (n-m) =
1.1 离散时间信号
例 ： 已 知 x(k)={1,2,3,4}，h(k)={2,3,1}， 求y(k)=x(k)*h(k)。
解： x(n)
4 3 2 1 0 1 23 n
h(n)
h(n)
23 1
32 1
0 1 2 n 21 0 n
1.1 离散时间信号
x(n)h(n) x(n)h(1n) x(n)h(2n)
其波形如图示
1.1 离散时间信号
5、正弦序列
x(n) = sin(ωn)
ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧 度，表示序列变化的速率，或表示相邻
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
第一章 离散时间信号和系统
N 1 运动平均系统 : y ( n) x(n k ) M N 1 k M
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
数字信号处理辅导第一章
1.2 离散时间信号
离散时间信号的产生 设连续时间信号为x ， 设连续时间信号为 a(t)，对它进行等间隔采 采样周期为T， 样，采样周期为 ，则 样本值： xa (nT ) = xa (t ) t =nT n 为整数 样本值： 记为： 记为： x ( n) = xa ( nT ) 序列的三种表示方法： 序列的三种表示方法： 1、数学表示式表示法 、 2、图形表示法 、 3、样本集合符号表示法 、
y (n) = T [x(n)]
y (n − N ) = T [x(n − N )]
1.3 离散时间系统
3、因果性 、 响应信号总是在激励信号作用于系统之后才产 生。或者说，激励信号是响应信号产生的原 或者说， 这种系统称为因果系统。 因，这种系统称为因果系统。物理上能够实 现的系统都是因果系统。 现的系统都是因果系统。 我们在分析系统的特性时， 我们在分析系统的特性时，有时要分析一些 具有理想特性的系统， 具有理想特性的系统，比如理想低通滤波器 这类系统就不具有因果性。 等。这类系统就不具有因果性。因而是不可 以实现的系统。 以实现的系统。
∞
1.2.2 序列的基本运算 1、两序列之间的乘法运算： 、两序列之间的乘法运算： y (n) = x1 (n) ⋅ x2 (n) 指对应序号的两个样本值之间的乘法运算
1.2 离散时间信号
2、两序列的加法 、 指的是两个序列的对应序号的样本值相加运算： 指的是两个序列的对应序号的样本值相加运算：
y (n) = x1 (n) + x2 (n)
1.2 离散时间信号
5、正弦序列 、
xa (t ) = sin(Ωt ) xa (nT ) = sin( nΩT )
x(n) = sin(ωn)
数字信号处理复习
[δ (n) + 2δ (n − 1) − 5δ (n − 2)]e− jωn ∑ =1 + 2e− jω − 5e−2 jω
二、序列x(n)的直流分量
X (e ) =
i0
n = −∞
∑ x(n)
。
∞
例：若x(n)= δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2), 则x(n)的直流分量X(ej0)=
2.9 傅里叶变换的一些对称性质 1、实序列的傅里叶变换的幅度是偶函数， 相位是奇函数。 2、实序列的傅里叶变换的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 3、实偶序列的傅里叶变换是实偶函数。 4、实奇序列的傅里叶变换是虚奇函数。
三、LSI系统的单位抽样响应h(n) （1）定义：当输入信号为δ(n)，系统的零状态响应 称为单位抽样响应，用h(n)表示。 （2）h(n)只能用来描述线性移不变系统。 （3）若线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，当 输入信号为x(n)时，系统的输出为： y(n)=x(n)*h(n)
四、因果系统 1、因果系统的定义： 因果系统是指某时刻的输出只取决于此时或此 时之前时刻的输入的系统。 例：判断下列系统是否因果系统。 y(n)=x(n-2) ， y(n)=x(n+5)
z 2 − 0.81 z 2 + 0.64
2.粗略画出系统的幅频响应曲线。
离散傅里叶变换DFT 第三章 离散傅里叶变换DFT
3.2 傅里叶变换的几种可能形式 信号时域与频域特性的对应关系 时域：离散 连续 频域：周期 非周期 例：判断对错： 1、x(n)是一个离散周期信号，则它的频谱一定一个离 散周期函数。 2、序列的频谱一定是周期函数。 周期 离散 非周期 连续
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)] 例：判断下列系统是否线性系统。 y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整 数N，满足
x(n)= x(n+N)
则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。
以正弦序列 为例讨论周期性
设
x(n)= Asin(ωn+φ)
则有
x(n+N) =Asin[ω(n+N)+φ]
=Asin(ωN+ωn+φ)
若满足条件ωN= 2kπ，则
x(n+N)= Asin[ω(n+N)+φ] = Asin(ωn+φ) = x(n)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：证明一个时不变系统
例1.7 试分析下列系统的时不变性
(1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。
二者相等 ，具有时不变 性
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
时变系统
(1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
不满足叠
加原理，非线性系
统
满足叠加
原理，线性系统
时不变系统
输入序列x (n)移动任意m 位后，输出序列y (n)也移动m 位，数值却保持不变。
m 为任意常整数 时不变系统也称为移不变系统
例：卷积和计算
例1.3 设序列 求y(n)= x(n)*z(n) 。 解：
对应点相乘！
n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。
0≤n≤4时，
勇于开始，才能找到成
功的路
对应点相乘！
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：卷积和计算
4＜n≤6时，
4＜n≤6时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
(1.2)
表示两个序列的和，定义为同序号 的序列值逐项对应相加。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列的和
例1.1 设序列
计算序列的和x(n)+ y(n)。 解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列求和图示
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的积
设序列为x(n)和y(n)，则序列
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1.2.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来 表示，即 x(n) 可看成是x(n)和δ(n)的卷积和，式中
例1.6
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1.3 离散时间系统
离散时间系统的定义及表示 线性时不变系统 单位脉冲响应与卷积和 线性时不变系统的性质 因果系统和稳定系统
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
图1.1 序列的图形表示
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1.2.2 序列的基本运算
和 积 移位 标乘 翻转
累加 差分 时间尺度变换 序列的能量 卷积和
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的和
设序列为x(n)和y(n)，则序列
z(n)= x(n)+ y(n)
信号的分类
连续时间信号：
连续时间域内的信号 幅度可以是连续数值，或是离散数值
离散时间信号：
离散时间点上的信号 幅度同样可以是连续数值，或是离散数值
特殊形式：模拟信号和数字信号
模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际 中与连续时间信号常常通用。
数字信号：时间和幅度都离散化的信号。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
信号与信息
信号是信息的表现形式
信息则是信号的具体内容
交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。
信号是传递信息的函数
数学上表示成一个或多个独立变量的函数 一维变量：时间或其它参量
语音信号表示为一个时间变量的函数 静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列移位图示
x(n)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的标乘
设序列为x(n)，a为常数(a≠ 0)，则序 列
y(n)= ax(n)
(1.5)
表示将序列x(n)的标乘，定义为各序 列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列 的a倍。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列 ，周期大于2π/ω。
例1.5 序列
，2π/ω= 8/3
是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N=
8。 2π/ω为无理数时，任何k 都不能使N 为正整 数，这时正弦序列不是周期序列。
例 序列
指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列 的情况相同。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
卷积和计算的四个步骤
翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 移位：z(-m) → z(n-m)
n为正数时，右移n位 n为负数时，左移n位
相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1.3.1 离散时间系统的定义及表示
离散时间系统定义为将输入序列x(n)映射成输 出序列y(n)的惟一变换或运算。 以T [·]表示这种运算
y(n)= T[x(n)]
对变换T [·]加以不同的约束条件，所定义的 系统就具有不同的特性和功能。 线性时不变系统: 最重要、最常用，可表征许 多物理过程。
设序列为x(n)，则序列
y(n)= x(n-m) 表示将序列x(n)进行移位。
(1.4)
m为正时
x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位 x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位
m为负时，则相反。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列的移位
例1.1 设序列
计算序列的和x(n+1)。 解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的累加
设序列为x(n)，则序列 (1.7)
定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的 所有x(n)值求和。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的差分
前向差分：将序列先进行左移，再相减
Δx(n) = x(n+1)- x(n)
(1.8)
后向差分：将序列先进行右移，再相减
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
本章主要内容
离散时间信号的基本概念 离散时间系统的定义及其性质 线性常系数差分方程及其求解方法 理想取样：连续时间信号数字处理 的概念和基本方法 Matlab实现
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1.2 离散时间信号——序列
序列的定义及表示 序列的基本运算 几种常用序列 序列的周期性 用单位脉冲序列表示任意序列
▽x(n) = x(n)- x(n-1)
(1.9)
由此，容易得出 ▽x(n) = Δx(n-1)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
多阶差分运算
二阶前向差 分 二阶后向差分
单位延迟算子D，有 Dy(n)= y(n-1)
▽y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n) ▽= 1-D
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
周期性讨论
N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证
N 最小正整数。其周期为
2π/ω为整数时，取k = 1，保证为最小正整数 。此时为周期序列，周期为2π/ω。
例1.4 序列
，因为2π/ω=
8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
周期性讨论
线性系统
设系统的输入序列与输出分别为
可加性: 如果系统的输入之和与输出之和满足
齐次性(或比例性): 设a为常数，系统的输入 增大a倍，输出也增大a倍
线性系统与非线性系统
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：证明一个线性系统
注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且
信号及比例常数都可以是复数。
例1.7 试分析下列系统的线性
z(n)= x(n) • y(n)
(1.3)
表示两个序列的积，定义为同序号 的序列值逐项对应相乘。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列的积
例1.1 设序列
计算序列的和x(n) • y(n)。 解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例：序列求积图示
x(n)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的移位
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
实指数序列
• 当|a|＜1时序列收敛
•a为实数
• 当|a|＞1时序列发散
勇于开始，才能找到成 功的路
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
正弦序列
x(n)= Asin(ωn+φ)
• x(n)由x(t)= sinΩt 取样得到
•A为幅度 •ω为数字域角频率 •φ为起始相位
基本运算—序列的能量
设序列为x(n)，则序列
(1.12)
定义为序列的能量，表示序列各取样值 的平方之和；
若为复序列，取模值后再求平方和。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
基本运算—序列的卷积和
设序列为x(n)和z(n)，则序列
(1.13) 定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又 称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公 式。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
单位阶跃序列
u(n)类似于u(t) u(t)在t= 0时常不定义， u(n)在n= 0时为u(0)= 1