数字信号处理习题及答案

3 .已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定

单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件

求输入为时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

6. 有一信号,它与另两个信号和的

关系是:

其中，

已知，

解：根据题目所给条件可得：

而

所以

8. 若是因果稳定序列，求证：

证明:

∴

9．求的傅里叶变换。解：根据傅里叶变换的概念可得：

13. 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。

解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应, 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统; 所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z 变换为，对下列信号利用求它们的z变换：

(a) ，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b) {

(c)

解：

(a)

(b) ，

(c)由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

∑

∑

=

-

=

=

=

5

6

2

6

5

)

(~

)

(~

)

(

X

~

:

n

nk

j

nk

n

e

n

x

W

n

x

k

π

解

k

j k j k j k

j k

j e e e e e 56

2462362262621068101214πππππ-----+++++=

计算求得:

。 339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~

;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==

。并作图表示试求设)(~),(~)(~ .

))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x ==

∑

∑

=-==

=

5

6

265

)(~)(~)(~

:n nk

j nk

n e n x W n x k X π解

k j k j k

j e e e πππ---+++=3

231

。计算求得： 3)5(~

; 1)4(~ ; 0)3(~ ;

1)2(~

; 3)1(~ ; 4)0(~j X X X X j X X ====-==

。的周期卷积并作图与试求令其它，设 )(~

)(~,

))(()(~

,))(()(~,

)2()(,04

0,1)(.3464n h n x n h n h n x n x n R n h n n n n x ==-=⎩

⎨⎧≤≤+= 解：在一个周期内的计算

)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==)

(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -=

=

应该得到的点。

于的哪些点对应问设所得结果为的再求乘积相乘然后将两个点的各作其他其他设有两序列)()()(),(,,,15n

0,14n 0

),()( n 0,5n 0

),()( 7

n y n x n f n f IDFT DFT DFT n y n y n x n x *⎩⎨

⎧≤≤=⎩⎨

⎧≤≤=

应该得到的点。的点对应于到中只有点处发生混叠，即这到内在时，一个周期卷积序列为周期而延拓形成圆周以用线性卷积结果。所以，混叠点数为点的圆周卷积，即的与为又

的点数应为：故的点数为的点数为解：序列)(*)(145 )(5)1(40 )( 15 5152015

15)()()(201)(*)(15

)(,6)(2121n y n x n n n f L N n n n f L N L n y n x n f N N N n y n x N n y N n x ==--====-=-==-+===

的关系。与点试求点的有限长序列长度变成。现将

点有限长序列是已知)()()]([1-rN n N

0,1-N n 0 ),()()()]([)(,)(.8k X DFT rN n y DFT n x n y n y rN n x DFT k X N n x ⎩⎨

⎧≤≤≤≤==

()[][]相等。

与倍时，的整数为不一定为零），而当个其他的数值的每两个值之间插入相当于在的周期为倍的的抽样点数是在一个周期内解)()(()1()(),)(()()(,)

1,

1,0()

()( )()()()( 1

0)

()( :1

N 21

10

10

2r k X k Y l r k r k X r N k Y r k X k Y N l lr k r

k X e n x W

n x W n y n y DFT k Y N k e n x n x DFT k X N n r

k

n πj nk rN

rN n N n nk

rN

N n nk

N

j -∴-====

=

==-≤≤==∙

∙∙∑

∑

∑∑-=--=-=-=-π