数字信号处理习题及答案

3 .已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件求输入为时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：解：根据奈奎斯特定理可知：6. 有一信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，解：根据题目所给条件可得：而所以8. 若是因果稳定序列，求证：证明:∴9．求的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：13. 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满足并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应。

解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。

当时，求系统单位冲激响应, 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的则有因为此系统是一个因果稳定系统; 所以其收敛17．设是一离散时间信号，其z 变换为，对下列信号利用求它们的z变换：(a) ，这里△记作一次差分算子，定义为：(b) {(c)解：(a)(b) ，(c)由此可设1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

∑∑=-===56265)(~)(~)(X~:nnkjnknenxWnxkπ解kj k j k j kj kj e e e e e 562462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得:。

339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。

并作图表示试求设)(~),(~)(~ .))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x ==∑∑=-===56265)(~)(~)(~:n nkj nkn e n x W n x k X π解k j k j kj e e e πππ---+++=3231。

计算求得： 3)5(~; 1)4(~ ; 0)3(~ ;1)2(~; 3)1(~ ; 4)0(~j X X X X j X X ====-==。

的周期卷积并作图与试求令其它，设 )(~)(~,))(()(~,))(()(~,)2()(,040,1)(.3464n h n x n h n h n x n x n R n h n n n n x ==-=⎩⎨⎧≤≤+= 解：在一个周期内的计算)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==应该得到的点。

于的哪些点对应问设所得结果为的再求乘积相乘然后将两个点的各作其他其他设有两序列)()()(),(,,,15n0,14n 0),()( n 0,5n 0),()( 7n y n x n f n f IDFT DFT DFT n y n y n x n x *⎩⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=应该得到的点。

的点对应于到中只有点处发生混叠，即这到内在时，一个周期卷积序列为周期而延拓形成圆周以用线性卷积结果。

所以，混叠点数为点的圆周卷积，即的与为又的点数应为：故的点数为的点数为解：序列)(*)(145 )(5)1(40 )( 15 515201515)()()(201)(*)(15)(,6)(2121n y n x n n n f L N n n n f L N L n y n x n f N N N n y n x N n y N n x ==--====-=-==-+===的关系。

与点试求点的有限长序列长度变成。

现将点有限长序列是已知)()()]([1-rN n N0,1-N n 0 ),()()()]([)(,)(.8k X DFT rN n y DFT n x n y n y rN n x DFT k X N n x ⎩⎨⎧≤≤≤≤==()[][]相等。

与倍时，的整数为不一定为零），而当个其他的数值的每两个值之间插入相当于在的周期为倍的的抽样点数是在一个周期内解)()(()1()(),)(()()(,)1,1,0()()( )()()()( 10)()( :1N 2110102r k X k Y l r k r k X r N k Y r k X k Y N l lr k rk X e n x Wn x W n y n y DFT k Y N k e n x n x DFT k X N n rkn πj nk rNrN n N n nkrNN n nkNj -∴-=======-≤≤==∙∙∙∑∑∑∑-=--=-=-=-π的关系。

与点试求其他序列点的有限长度得到一个长为个零值点的每两点之间补进现将点的有限长序列是长为已知)()]([ 0,0 , ),/()( , )(,1)()]([)(,)(9k X n y DFT rN n Ni ir n r n x n y n y rN r n x n x DFT k X N n x ⎩⎨⎧<≤==-=()[][]。

周期为即次形成的，延拓周期为将是解rN k Y r N k X k Y k R k X k Y rN k Wi x W r ir x W n y n y DFT k Y N k W n x n x DFT k X rN N N i ik NN i irk rNrN n nkrN N n nk N)())(()()())(()(10,)()/( )()()( 10,)()( :101110∴=∴-≤≤====-≤≤==∑∑∑∑-=-=-=-=并证明你的回答。

频率间隔试确定频谱抽样之间的个抽样的计算了被抽样频谱分析的模拟信号以,,512,8.10DFT kHzHz F N KHzf Nf F N F f F f F f s s s s s ss s s 625.1551280005128:,22:000000000==∴===∴==∴=∴==∙∙∙对于本题间隔。

是频谱抽样之间的频谱频谱的周期的是以角频率为变量其中证明ΩΩΩΩΩΩΩΩππ数。

在一个记录中的最少点高频率所允许处理的信号的最最小记录长度试确定隔为如果采用的抽样时间间要求频率分辨力据处理措施假定没有采用任何殊数的整数幂抽样点数必须为处理器设有一谱分析用的信号)3(;)2(;)1(,1.0,10,,2,.11m s Hz ≤10242: 2,1000101.01.0 )3( 5 5212 10101.011 )2( 1.0 101 101 )1( :1033==∴=⨯=≥∴=<∴>=⨯==∴≥∴≤=∙∙∙∙∙∙N N T T N KHzKHzf f f f KHz T f ssT Hz F F T P s h h s s P P 为一个纪录中的最少点数的整数幂必须为又因频率为允许处理的信号的最高最小纪录长度为而解用直接I 型及典范型结构实现以下系统函数21214.06.028.02.43)(-----+++=z z z z z H 解：21212.03.014.01.25.1)(-----+++=z z z z z H )2.03.0(14.01.25.12121----+--++=z z zz ∵)()(1)(1z X z Y z a zb z H Nn nn Mm mn=-=∑∑=-=-∴3.01-=a ，2.02=a5.10=b ，1.21=b ，4.02=b2.用级联型结构实现以下系统函数)8.09.0)(5.0()14.1)(1(4)(22++-+-+=z z z z z z z H 试问一共能构成几种级联型网络。

解： ∏------++=k k k k k z z z z A z H 2211221111)(ααββ)8.09.01)(5.01()4.11)(1(4211211------++-+-+=z z z z z z ∴ 4=A8.0 ,9.0 , 0,5.0 1,4.1 , 0 ,1 2212211122122111-=-====-===ααααββββ由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3. 给出以下系统函数的并联型实现。

)8.09.01)(5.01(6.141.158.12.5)(211321------++--++=z z z z z z z H 解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：)8.09.01)(5.01(6.141.158.12.5)(211321------++--++=z z z z z z z H21118.09.013.015.012.04----++++-+=z z z z 40=∴G 0 , 5.02111==αα ， 8.0, 9.02212-=-=αα0 , 2.01101==γγ ， 3.0 , 11202==γγ4．用横截型结构实现以下系统函数：()()()1111116112161211)(------⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z z z H解：1111111()(1)(16)(12)(1)(1)26H z z z z z z -----=-+-+-112112111(12)(16)(1)26z z z z z z z -------=--++++-12121537(1)(1)(1)26z z z z z -----=-+++-12345820520581312123z z z z z -----=+-+--5．已知FIR 滤波器的单位冲击响应为()()0.3(1)0.72(2)0.11(3)0h n n n n n n δδδδδ=+-+-+-+- 试画出其级联型结构实现。

根据∑-=-=10)()(N n nz n h z H 得：1234()10.30.720.110.12H z z z z z ----=++++1212(10.20.3)(10.10.4)z z z z ----=++++ 而FIR 级联型结构的模型公式为：∏⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--++=2122110)()(N k k k k z z z H βββ对照上式可得此题的参数为： ,1 , 10201==ββ1.0 , 2.01211==ββ4.0 , 3.02221==ββ6．用频率抽样结构实现以下系统函数：1631325)(------=z z z z H抽样点数N = 6，修正半径9.0=r 。

解； 因为N=6，所以根据公式可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∑=-213066)()()()1(61)(k k z H z H z H z r z Hj H H H H j H H ee e Z H k H z z z z z z z H k jkjk j N k Z 322)5(,0)4(,2)3( 0)2(,322)1(,24)0()1)(35( )()( )1)(35( 1)1)(35()(323/2213133+====-==+++==+++=--+=---=------因而故ππππ1131109.0121)3()( 9.01241)0()( ----+=+=-=-=z rz H z H z rz H z H 则2211110112cos 21)( 1)( ---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==zr N r z z z H k z H k πββ：时：求[][]0)( 0 281.09.016.34)(6.3)1(Re )9.0()2(4]322Re[2)1(Re 2212022111161101====+-+==⋅⋅-==-==---z H k z z z z H W H j H ，：时ββββ 7．设某FIR 数字滤波器的系统函数为：)3531(51)(4321----++++=z z z z z H试画出此滤波器的线性相位结构。