第6章 图论lz

定义: 一个无向图G,如果它的任何两个结点均是可达的, 则称图G为连通图;否则称为非连通图。
v2 v2 v3 v5
连通图
v1 v4
v1
v5
v1 v4
v3
v4
v5
连通图
v6
v6
v2
v3
非连通图
短程线与距离
定义 6.25 设 G V , E 是一个无向图， 若u 与 u, v V ，
v 连通， 则 u 与 v 之间长度最短的通路称为 u 与 v 之间的短 程线。 短程线的长度(短程线上边的条数)称为 u 与 v 之间的
d (v ) 2 E 2 m
i 1 i
n
图中结点的次数
握手定理
图G=<V,E>是一个(n,m)图，其中 n V={v1,v2,……,vn}，此时有 deg(vi) 2m
i 1
例：在一次同学会上，想统计所有人握手次数之和， 应该如何建立该问题的图论模型？
分析：由定义知，结点v的度数等于以v为端点的边数， 而1条边有2个端点(环的2个端点相同)，因此1条 边贡献2度。 证明：因为每条边都有两个端点(环的两个端点相同)， 所以加上一条边就使得各结点的度数之和增加2， 因此结论成立。
邻接矩阵的一 个重要应 用是通过计 算 A 的 k 次幂
k Ak (aij )nn （ k 为正整数） ，可求出 G 中两个顶点之间有
多少条长为 k 的通路。在矩阵 A (aij ) nn 中，元素 aij 的
k k
k
值就是从顶点 vi 到顶点 v j 的长为 k 的通路数目。
1 0 1 2 3 1 2 3
图中长为2的通路总数为： 29 图中长为3的通路总数为： 92 图中长为2的回路总数为： 13
练习
求图中b、c之间长度为2的通路总数 6 求图中长度为2的通路总数 50 求图中长度为2的回路总数 20
a b c
aA
b
B
c
1 2 b 1 1 2 A(G1 ) c 2 2 1
v1e4v4e7v5e8v6
v1e4v4e5v2e3v3e6v4e9v6
e4e7e8 e4e5e3e6e9 v1v4v5v6 v1v4v2v3v4v6
6.2 图的连通性
若通路中的边两两不同，则称该通路为简单通路。 若通路经过的顶点各不相同，则称为初级通路
设 v0e1v1e2 el vl 是无向图 G 中的一条通路， 若 v0 vl ，则称该通路为 v0 到 v0 的一条回路。
a 0
5 4 A2 b 5 6 6 c 4 6 9
a 5
a
b
c
C
练习
• 写出图的邻接矩阵，并计算图中长度为2的通路总数
练习
写出图的邻接矩阵，并计算图中长度为2的通路总数
图的判定
【判定一个图是否连通 】 设 G V , E 是一个无 向图， A 是 Gwk.baidu.com的邻接矩阵，则 G 是连通图当且仅当
图的基本概念
• 简单图：不含平行边也不含环的无向图。 • 多重图：含有平行边的无向图。
定义 6.9 设 e (vi , v j ) 是无向图 G 的一条边， 若 vi v j ， 则说
e 与 vi (或 v j )的关联次数为 1；若 vi v j ，则说 e 与 vi (或 v j )
离散数学
第6章 图 论
6.1 图的基本概念
6.2 图的连通性
6.3 图的矩阵表示 6.4 有向图
6.5 欧拉图与哈密顿图
6.6 带权图
6.7 树
图的基本概念
问题的提出:哥尼斯堡七桥问题
A
l
1
l
2
l
l
6
C l
3
D
5
如果在每座桥上只通过一次（不 走回头路）要走遍这七座桥，回 到原来的出发点，是否可能？
练习
是否存在无向图，其度数序列为： 5，4，4，3，3，2，2 4，4，3，3，2，2
所以度之和为偶数，即不能存在奇数个度为奇数的定点
设无向图G有9条边，2个度为5的顶点，其余顶点度 6 。 为2，则G的顶点总数为______
通路、回路与连通性
问题的提出:右图是中 北京 沈阳 国铁路交通图的一部 天津 分，如果一个旅客要 兰州 西安 郑州 从成都乘火车到北京， 那么他一定会经过其 成都 上海 武汉 它车站；而旅客不可 长沙 重庆 能从成都乘火车到达 厦门 台北 昆明 台北。这就引出了图 广州 的通路与连通的概念。
定义 6.28 在有向图中，若有相同始点和终点的边多于 1 条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为边的重数。 定义 6.29 在有向图中，若一条边的始点与终点重合，即 e (vi , vi ) ，则称该边为环。
【有向图中的握手定理】定理 6.3 设 D V , E 是一个有 n 个 顶点、 V {v1 , v2 , m 条边的有向图， 则
{e1, e2 , e3 , e4 , e5} .
边 e1 与顶点 v1 关联， e1 也与顶点 v2 关联； 边 e5 只与 v3 关联。 而顶点 v1 与 e1 ， e2 ， e3 ， e4 等 4 条边关联。
v4 是一个孤立点
e1 ， e2 ， e3 . 这 3 条边是平行边
边 e5 是一个环。
图的基本概念
完全图:一个(n,m)图G，如果其n个结点(n≥2)中的 每一个均与其余n-1 个结点邻接，则这样的 图称为完全图。 容易证明：n阶完全图有 m=n(n-1)/2条边. 【n阶完全图】含有个顶点的完全图称为阶完全图,记为Kn
v1
v1
v3
v2
v4
v5 v4
v2 v3
图的基本概念
设 G V , E 是一个无向图，v V ， 则将 v 与图 G 中所 有边的关联次数之和称为 v 的度数，记为 d (v) .
A* 的所有元素都不为 0， 其中 A* A A2 A3
An
6.4 有向图
定 义 6.27 一 个 有 向 图 D 由 其 顶 点 集 V 和 边 集 E 组 成 ， 记 为 D V , E ，其中 (1) 顶点集 V 是一个非空集合，V 中的元素称为图 D 的顶点或结点； (2) 边集 E 是由一些有序对 u , v 组成的多重集合， u, v V ，E 中 的元素称为有向边，简称边. v 称为 e 的 若 e u , v 是有向图 D 的一条边， 则 u 称为 e 的始点， 终点
例题6.5
例题6.5
1
1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 3 4 5
2
3
4
5
6
3
4 5
• 计算两点间有多少条长为k的通路
1 1 A(G1 ) 21 0 2 3 1 2 1
1 0 1 2 3
v2 和 v3 之间长为 1 的通路有 2 条，分别为 e3 和 e5 v3 与 v1 之间有 3 条长为 2 的通路， 分别为 e2 e1 ， e3 e4 ， e5 e4
1
2
3
1 5 8 9 1 2 2 3 1 1 3 A(G1 ) 21 0 2 A2 2 2 5 3 A 2 8 8 15 3 9 15 15 3 3 3 6 3 1 2 1
v2到v3长为2的通路数为： 3 v2到v3长为3的通路数为：15
A l1 C l3 l2 l4 B l5 l6 l7 D
l
4
l
7
B
哥尼斯堡桥问题之图示
问题的解决:欧拉图
欧拉图
图的基本概念
• 图：由图的顶点和边组成。 图的顶点：是平面上的点 图的边：是连结两个顶点之间的连线。 • 一个图至少要有一个顶点，但一个图可以没有边。 • 在一个图中，允许有多条边连接相同的两个顶点。
A l1 C l2 l4 B
l5
l6 l7 D
l3
图的基本概念
定义 6.2 一个无向图 G 由其顶点集 V 和边集 E 组成， 记为 G V , E ，其中: (1) 顶点集 V 是一个非空集合， V 中的元素称为图 的顶点或结点； (2) 边集 E 是由一些无序对 (u , v ) {u , v} 组成的多 重集合， u, v V . 无向图常简称为图。
高雄
6.2 图的连通性
定义 6.16 设 G V , E 是一个无向图，v0e1v1e2 el vl 是图中顶点与边的一个交替序列，边 e1 , e2 , 点， vl 称为通路的终点，l 称为通路的长度。
, el 首尾相
接，则称该序列为 v0 到 vl 的一条通路。 v0 称为通路的起
p1 p3
p2
p4 (p1,p2)与(p2,p1)有不 同的含义，即结点对 (p1,p2)与次序有关
图的基本概念
图的分类:按边有无方向分类 有向图：图中的所有边均为有向边 无向图：图中的所有边均为无向边
v1 v'1
v2
有向图
v3
v'2 无向图
v'3
图的基本概念
点、边之间的关系 邻接点：若存在边lk=(vi,vj)，称lk与结点vi及vj相关联， 而vi与vj称为相邻接的。 邻接边：若干条边关联于同一个结点，则这些边称为相邻 环：一条边若与两个相同的结点相关联，则称为环。 孤立点：不与任何结点相邻的结点称为孤立点。
的关联次数为 2；若 vi 不是 e 的端点，则说 e 与 vi 的关联次数 为 0.
设 G V , E 是一个无向图，若存在边 e (vi , v j ) ， 则说顶点 vi 与 v j 相邻。
设 ek 和 el 是 G 的两条边，若存在顶点 v 使得，
v 是 ek 与 el 的公共端点，则说边 ek 与 el 相邻。
图中一个顶点 v 的度数就是与 v 连接的边 数(一个环计数两次)。在图 6.6 中， d (v1 ) 3 ，
d (v2 ) 2 ， d (v3 ) d (v4 ) d (v5 ) 1 .
设 G V , E 是一个有 n 个顶点、 m 条边的无 握手定理： 向图， V {v1 , v2 , , vn } ， E {e1 , e2 , , em } ， 则
例 6.1 设 G V , E 是 一 个 无 向 图 ， 其 中 顶 点 集 边集 E {(v1 , v2 ), (v1 , v3 )} ， 则图 G V {v1 , v2 , v3 , v4 } ， 如图 6.1 所示。
图的基本概念
例1:有四个城市：v1,v2,v3,v4，其中v1与v2间，v1与v4间, v2与v3间有直达长话线路相连，试将此事实用图的 方法表示。 解：可用图G=<V，E>表示 图中的结点集为 V={v1,v2,v3,v4} 图中的边集为 E={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)} v1 v2 (v1,v2)与(v2,v1)有相 同的含义，即结点对 v3 v4 (v1,v2)与次序无关
若回路经过的边各不相同，则称为简单回路
若回路经过的顶点(除 v0 vl 外)各不相同， 则称该回路 为一条初级回路，有时也称为圈。
通路和回路有如下关系： 初级通路 简单通路 通路，反之不然； 初级回路 简单回路 回路，反之不然；
初级通路 非初级的 简单回路
非初级的简单通路
初级回路
顶点之间的连通性
v1
vj
边l k
vi
l2 l1 v1 l 3 l4 l b
c
l1
l2
l3
a
v2
v4
v3
v3
v4
例 6.2 设 G V , E 是一个无向图， 其中顶点集 V {v1 , v2 , v3 } ， 边集 E {(v1 , v2 ), (v1 , v2 ), (v1 , v2 ), (v1 , v3 ), (v3 , v3 )} ，则 图 G 如图 6.2 所示。或写成 E
图的基本概念
例2:有四个程序：p1,p2,p3,p4，它们之间有一些调用关 系：p1能调用p2；p2能调用p3；p2能调用p4；试将此事 实用图的方法表示。 解：可用图G=<V，E>表示 图中的结点集为 V={p1,p2,p3,p4} 图中的边集为 E={(p1,p2),(p2,p3),(p2,p4)}
距离，记为 d (u , v) . 当 u 与 v 不连通时，规定 d (u , v ) .
例如 a与e之间的短程线:ace,afe. a b d f g
d(a,e)=2
d(a,h)= ∞
c
e h
i
6.3 图的矩阵表示
若已知一个无向图的顶点集和边集，则可按表 6.1 的 方法写出该图的邻接矩阵：