多元函数微分学,高数

例10
设
f
(x,
y)

( x 2
ห้องสมุดไป่ตู้

y2 ) sin
x2
1
y 2

0
x2 y2 0 x2 y2 0
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 导数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数
定义5 设 z f ( x, y)在 点M0( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义,
f 的偏导数连续
f 可微
/
f 的偏导数存在
f 连续
例11 求z

x2

xy

y2在 点(1, 1)沿
l
2, 1的方向导数，
并 指 出z在 该 点 沿 哪 个 方 向 的 方向 导 数 最 大 ？ 该 最
大 的 方 向 导 数 是 多 少 ？z沿 哪 个 方 向 减 小 得 最 快？
3， 3，3， 3 2
x y 并不一定是全微分dz, 必须再验证
"z [ z x z y]是比 高阶无穷小"
x y 的 条 件, 才 能 保 证 全 微 分 的 存 在， 并 且
dz z x z y gradz dx, dy
x y
定理3（充分条件）
若z f x, y 的偏导数z , z 在点M x, y处连续,
向
量l 的
方
向
余
弦
为cos
, cos

，
若
极
限
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0, y0 )
t0
t

存 在,则 称 此 极 限 为z
f
(
x,
y)
在
点M
沿
0
方
向l
的 方 向 导 数.记 为z l
. M 0

特别，若l

i
在(0,0)处 的 连 续 性 。
二.多元函数微分法
1.偏导数
定义3设 z f ( x, y)在 区 域D上 有 定 义, M0 ( x0, y0 ) D,
若 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
x0
x
存 在, 则 称 此 极 限 为z f ( x, y) 在M0 ( x0, y0 )处 对x
简称为偏导数, 记为
z , z 或 x y
fx,
fy.
z f ( x, y)点M0处 的 梯 度
gradz(M0 )
z z ,
x y
M0
类似可定义三元函数，n元函数的偏导数与梯度
2.偏导数的几何意义:
f x ( x0,
y0 )
:
表 示 曲 线z
y
f (x, y0
x x0 , y y0(M M0 )时 的 极 限 ，
记为 lim f ( x, y) A ,或 lim f (M ) A
x x0
MM0
y y0
注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立.
2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 M0 ( x0, y0 ) 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.
fuv y2
y2( fvu
fvv y2 )
y
2z z xy y x
fuu (1) fuv 2xy 2 yfv y2 fvu 1 fvv 2xy
fuu 2xy3 fvv 2xy y2 fuv 2 yfv
类似地定义三阶,四阶,..., 以及 n 阶偏导数.
定理1 : 若f xy ( x, y), f yx ( x, y)在点( x, y)的某邻域内 连续, 则有 f yx ( x, y) f xy ( x, y), 即与求 偏导数的次序无关.
例5 求偏导数:
(1) z sin xy 2 ln( x y) ex y;
定理6 设u x, y,v x, y在( x, y)处 存 在 偏 导 数 ，z f u, v在 对 应 点(u, v)处 存 在 偏
导 数则，复合函数 f ( ( x, y), ( x, y))在( x, y)处
存在偏导数，且

z x z
2z
z
x 2

f xx ( x,
y)

x
() x
2z
z
y 2

f yy( x,
y)

y
() y
2z xy

f xy ( x, y)
z ()
y x
2z
z
yx

f yx( x, y)
() x y
二 阶 混 合 偏 导 数
f ( x, y) 在 D内的每一点处连续。
注:1. 一元函数中关于连续函数的有关结论可 推广到多元函数中, 如四则运算: 多元连续函 数的和, 差,积均为连续函数,连续函数的商在 分母不为零处仍连续.
2. 多元初等函数在其定义域内连续.有界闭区 域上的多元连续函数具有与闭区间上的一元连 续函数类似的性质,如最大、小值定理,介值定 理等.
例7 设z f ( x, y) x y ,
求
2z xy
,
2z yx
,
2z x 2
,
2z y 2
.
4. 全微分
定义4 如 果z f ( x, y)在 点( x, y)的 全 增 量 可 表 示 为
z f ( x x, y y) f ( x, y)
z u z v u x v x z u z v
y u y v y
x
u
z
y
按线相乘,分线相加
x
v
y
例12 设z eu sin2v, u xy,v x y,求 z , z
x y
例13 设 z f ( x, y)可微, x r cos ,
例1
证 明lim x0
xy sin（x x2 y2
y)

0.
y0
例2
求 lim sin(xy)
x0
y
y0
例3
lim
x0
xy2 x2 y4
是 否 存 在?
y0
例4
研 究 函 数f
( x,
y)

xy ln(x2

y2)
0
x2 y2 0, x2 y2 0
若M(x,y)按两种不同的方式趋于 M0( x0, y0 ) 时,
f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.
2. 多元函数的连续性:
定义2:
若
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
则称 f ( x, y) 在 M0( x0 , y0 )处连续。
f ( x, y) 为D内的连续函数：
z z y t z
xx
y tx
z
z
例15 设 z f ( x y, xy2 ), f 有 二 阶连 续 偏 导 数,
求

z x
,
2z x y
,
2z x2
.
x u
z
y
fu, fv
x v
2z x 2
z x x

fuu

1,
0，则
若l
j
0, 1，则
z
z
l M 0 x M 0
z
z
l M 0 y M 0
定理4 若 z f ( x, y)在 点M0( x0, y0 )可 微 ， 则f ( x, y)
在
点M
沿
0
任
一
方
向l
的
方
向
导
数
都
存
在
，
且
z l
M0

z x
M0
x y 则函数f 在该点可微.
例8 求全微分:
(1) z e x y (2) z x4 y3 2x 在1, 2处
例9
设f
(
x,
y)


x
2
xy
y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
(34dx 12dy)
求f x (0,0), f y (0,0),并 讨 论 f ( x, y) 在 (0,0) 处的可微 性.
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f ( x, y)在( x, y)处连续;
(2) f ( x, y)在( x, y)处存在偏导数 z , z , 且
x y
dz z x z y
x
y
注 : 偏导数存在是可微的必要条件,而非充分条件. 当偏导数存在时可得到表达式 z x z y，但它
5
6. 多元复合函数微分运算法则
定理 5 设u x,v x在 x处可导，z f (u,v) 在对应点u,v 处可微,则复合函数 z f x, x 在 x处可导,且
dz z du z dv (全导数法则) dx u dx v dx
Ax By o( )
其 中 A, B 与 x, y 无 关,而 与x, y 有 关,
(x)2 (y)2 . 则称 z f ( x, y) 在点( x, y) 处可微, Ax By 为 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分,记为dz,即
多元函数微分法
一.多元函数的极限与连续性
1. 多元函数的极限:
定 义1： 设z f ( x, y) f (M )在 点集E上 有定 义 ，
M0( x0 , y0 )为E的 一 个 聚 点 ， 若 对 0, 存 在 0, 使 得 对 满 足0 | MM0 | 的M ( x, y),有 | f ( x, y) A | ,则 称A为f ( x, y)当
例16 设 z f (e x y, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导数，
求 2z . xy
e2 x yf11 2e x ( x y2 ) f12 4 xyf22 e x f1
x
z
1
y
2
x
y
例17 设f 有二阶导数, g 有二阶连续偏导数,
y r sin , 求 z , z . r
例14 设 u f ( x, y, z), y x, t , t x, z均可微,
求 u , u . x z
u x

f x

f y

x

f y

t

x
u
u f u
为 了 书 写 简 单 起 见,把x y, xy2分 别 简 记
为1, 2, 则 有 :
z x

f1
f2 y2,
2z x 2

f11 2 f12 y2
f22 y4
2z xy


f11

2 xy3
f22

(2x

y) y
f12

2y
f2
在求二阶偏导数时,一定要注意 f1, f2仍是原变量的 复合函数.
cos

z y
M0 cos

l
gradf ( M0 )
l

当
l
与grad
f
(
M
0
)同
方
向
时
，z在M
的
0
方
向
导数取最大值，且最大值

gradf (M0 )，
当
l
与grad
f
(
M
0
)反
方
向时
，z在M
的
0
方
向
导数取最小值，且最小值 gradf (M0 )
几个概念之间的关系见下图： f 的所有方向导数存在
y)在 点 M0 ( x0,
y0 ,
f
( x0,
y0 ))
处 的 切线 对x轴 的 斜 率.
f y ( x0 ,
y0 ) : 表 示 曲 线z
f (x, x x0
y)在 点
M0 ( x0, y0 ,
f
( x0, y0 ))
处 的 切线 对 y 轴 的 斜 率.
3.高 阶 偏 导 数 二阶偏导数
(2) z arctan y ;
(3)u z yx
x
例6
设f
( x,
y)


xy2 x2 y4
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
(1) 讨论 f ( x, y)在 (0,0) 的连续性.
(2) 求 f x (0,0), f y (0,0).
二元函数 f ( x, y)在一点的偏导数存在不能保证 f ( x, y)在该点连续。而在一元函数中，可导必连续。
的 偏 导 数.记
同样地，z
为 z x
f (x,
或
M0
f
y )在M 0
x
(
( x0, y0 ).
x0, y0 )处对y的偏
导
数为
:
z y
M0

f y ( x0,
y0 )

lim
y0
f ( x0 , y0 y) y
f ( x0, y0 )
若z f ( x, y)在区域D上的每一点都有偏导数f x ( x, y), f y ( x, y), 它们均为 ( x, y) 的函数, 称为 z 的偏导函数,