多元函数微分学,高数
高数多元函数微分学-偏导数
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
13
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
14
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对 轴的
当( x , y ) (0,0)时,
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
7
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 yห้องสมุดไป่ตู้
x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
16
例6
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
高数课件21多元函数微分学
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
学高数的顺序
学高数的顺序
学习高等数学（高数）的顺序通常遵循数学学科的自然发展逻辑和学生的学习能力。
以下是一个常见的高数学习顺序：
1. 微积分基础：首先学习函数的极限、连续性、导数和微分等基本概念和方法。
这是高数的基础，为后续内容打下基础。
2. 积分学：接下来学习不定积分、定积分以及积分的应用，如求解面积、体积等。
3. 多元函数微积分：在掌握了一元函数微积分的基础上，进一步学习多元函数的极限、偏导数、全微分、二重积分、三重积分等内容。
4. 微分方程：学习一阶、二阶以及高阶微分方程的解法，了解微分方程在实际问题中的应用。
5. 向量代数与空间解析几何：学习向量的概念、运算以及空间解析几何的基本知识，为后续的高级课程做准备。
6. 级数理论：学习无穷级数的概念和性质，掌握级数的收敛性判别方法以及级数求和的方法。
7. 线性代数：学习矩阵的基本概念和运算，了解线性方程组、线性变换、特征值与特征向量等内容。
8. 概率论与数理统计：学习随机事件、概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等统计学的基本概念和方法。
在实际学习过程中，学生可以根据自己的兴趣、专业需求以及教学安排等因素，适当调整学习顺序。
同时，建议在每个阶段都进行充分的练习和复习，以加深对知识点的理解和记忆。
高数上知识点总结
高数上知识点总结(zǒngjié)高数上知识点总结(zǒngjié)高等数学(shùxué)是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比拟(bǐnǐ)多。
主要包括8方面(fāngmiàn)内容。
1、函数、极限与连续。
主要考查分段函数极限或极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比拟;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法那么求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4、向量代数和空间解析几何。
主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。
主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6、多元函数的积分学。
这局部是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。
7、无穷级数。
2024考研高数各章难度排行
2024考研高数各章难度排行
根据考研高数的历年趋势及考生反馈，以下是2024考研高数各章难度排行：
第一章：数列和数学归纳法。
该章相对简单，后续章节的理解建立在此章基础之上。
第二章：极限与连续。
该章难度逐渐加大，需要考生理解概念、基本定理和求解方法。
第三章：一元函数微分学。
该章是高数重点，难度较大，需要掌握极值、中值定理等知识点，并能熟练运用求导法则。
第四章：一元函数积分学。
该章同样是高数重点，难度较大，需要掌握换元积分法、分部积分法等知识点，并能熟练运用定积分求解实际问题。
第五章：微分方程。
该章为难点章节之一，要求考生掌握一阶与二阶微分方程的基本解法及应用。
第六章：多元函数微分学。
该章相对较难，重点在于掌握多元函数的偏导数、梯度、极值、条件极值等知识点。
第七章：多元函数积分学。
该章相对较难，需要掌握重积分、曲线积分、曲面积分等内容，并能熟练应用于实际问题。
综上所述，考生在备考中应重点关注第三章、第四章、第五章、第六章和第七章的学习和练习。
同时，在学习中要注重理解基本概念和定理，熟练掌握求解方法，多做练习和历年真题，提升解题能力。
考研高数二全部知识点总结
考研高数二全部知识点总结一、多元函数微分学1. 多元函数的概念多元函数是指自变量有两个以上的函数。
在多元函数微分学中，需要掌握多元函数的定义、取值范围、图像等知识。
2. 偏导数偏导数是多元函数微分学的基础，偏导数的概念、性质、计算方法是高数二中的重点内容。
在复习过程中，需要重点掌握偏导数的计算方法，包括利用定义求偏导数、隐函数求导、高阶偏导数等内容。
3. 方向导数和梯度方向导数是用来表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，梯度是方向导数的一种特殊情况，是多元函数在某一点的变化率最大的方向。
复习时需要掌握方向导数和梯度的定义、性质、计算方法等知识点。
4. 隐函数与参数方程在高数二中，隐函数与参数方程是重要的内容，需要掌握隐函数的存在性与偏导数求法、参数方程的导数、相关方程的结论等知识点。
5. 全微分全微分是多元函数微分学中的重要概念，包括全微分的定义、性质、计算方法等内容，需要在复习过程中重点掌握。
6. 泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要内容，需要掌握泰勒公式的一阶、二阶、多元泰勒公式等内容。
二、多元函数积分学1. 重积分重积分是多元函数积分学的重要内容，包括重积分的定义、性质、计算方法等内容。
复习时需要重点掌握二重积分、三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分等内容。
2. 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高数二中的难点内容，需要复习时掌握曲线积分和曲面积分的定义、性质、计算方法等知识。
3. 格林公式格林公式是多元函数积分学中的重要内容，复习时需要掌握格林公式的定义、性质、应用等知识点。
4. 散度和旋度在多元函数积分学中，散度和旋度是重要的内容，需要掌握散度和旋度的定义、性质、计算方法等知识。
5. 曲线积分公式和斯托克斯定理曲线积分公式和斯托克斯定理是多元函数积分学中的重要内容，需要复习时掌握曲线积分公式和斯托克斯定理的定义、性质、应用等知识点。
总结：多元函数微分学和多元函数积分学是高数二的重要内容，在复习高数二的过程中，需要掌握多元函数微分学和多元函数积分学的全部知识点，包括偏导数、方向导数、梯度、全微分、泰勒公式、重积分、曲线、曲面积分、格林公式、散度和旋度、曲线积分公式和斯托克斯定理等内容。
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
高数多元函数微分学-多元函数的极值
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
15
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
Gx0
x02 a2
0,
y02 b2
Gy0
y02 c2
0, 1
Gz0 0
0
,
22
1
x0
2x0
a2
0
即
1 y0
2y0
b2
0
可得
13
例3
求z
x2
x y y2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)
大二高数要学什么知识点
大二高数要学什么知识点大二高数是大学数学的重要基础课程，对于理工科专业的学生来说尤为重要。
在大二高数中，学生需要掌握一系列的知识点，这些知识点既包括基础的数学概念和公式，也包括一些高等数学的进阶内容。
下面将从不同的角度介绍大二高数要学习的知识点。
第一部分：微分学在大二高数中，微分学是一个重要的内容。
学生需要掌握函数的极限、连续性、导数和微分等基本概念。
同时，还需要掌握常见函数的导数求法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
此外，对于隐函数求导、高阶导数和微分中值定理等高级的微分学知识也需要掌握。
第二部分：积分学积分学是微分学的重要补充，也是大二高数中的重要内容。
在积分学中，学生需要学习不定积分和定积分的概念和性质，以及基本的积分公式和求法。
特别是需要掌握常见函数的不定积分和定积分求法，如多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
此外，对于换元积分法、分部积分法和定积分的应用也需要了解和掌握。
第三部分：级数与数列级数与数列是大二高数中的另一个重要内容。
学生需要了解数列的概念和性质，学习数列的极限、收敛性和敛散准则等基本理论。
同时，还需要掌握级数的概念、级数的收敛和敛散判定方法以及常见级数的求和公式和技巧。
此外，对于幂级数和傅里叶级数的基本性质和求法也需要有所了解。
第四部分：多元函数微分学多元函数微分学是大二高数中的一项重要内容，包括多元函数的极限、连续性、偏导数和全微分等基本概念。
学生需要了解多元函数的链式法则、隐函数定理和极值判定条件等高级内容。
同时，还需要掌握二重积分和三重积分的概念、性质和应用，以及多元函数积分中的坐标变换和曲线坐标系的应用等内容。
第五部分：常微分方程常微分方程是大二高数中的一项重要内容，是数学与应用科学相结合的核心内容。
学生需要掌握常微分方程的基本概念、解法和应用。
特别是对于一阶常微分方程和二阶常微分方程的常见解法和初值问题的求解需要有清晰的掌握。
此外，对于一些具体应用问题的建模和求解能力也需要培养。
高数第九章 多元函数微分学的应用
第九章 多元函数微分学的应用第一节 空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为()x x t =, ()y y t =, ()z z t =其中[],t αβ∈,()x t ,()y t ,()z t 在区间[],αβ上均可导.考虑曲线Γ上对应于0t t =的一点0000(,,)P x y z 及对应于0Δt t t =+的一点000,Δ,ΔP x x y y z z +∆++（），则曲线在0P 处的割线0P P 的直线方程为. 000x x y y z z xyz---==∆∆∆图9-1当P 沿着Γ趋于0P 时，割线0P P 的极限位置0P T 就是曲线Γ在0P 处的切线（图9-1）. 用Δt 除上式的各分母，得000,x x y y z z x y z tt t---==∆∆∆∆∆∆令0P P →（即Δ0t →），有d d x x tt∆→∆,d d y y tt∆→∆,d d z z tt∆→∆，则曲线在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. （9-1-1）切线的方向向量()()()()000x t y t z t '''，，称为曲线的切向量，通过点0P而与切线垂直的平面称为曲线在0P 处的法平面，其方程为()()()()()()0000000x t x x y t y y z t z z '''=－＋－＋－. （9-1-2）如果曲线的方程为(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩（9-1-3）000,,P x y z （）为曲线上一点.设F G ，在0P 的某邻域内是1C 类函数，且雅可比行列式(,)0,(,)P F G y z ∂≠∂ (9-1-4)则方程组在此邻域内确定了一组函数()(),y y x z z x ==，即以x 为参数的形式，满足()()0000,y y x z z x ==，并且有 (,)d (,)(,)d (,)F G y z x F G xy z ∂∂=∂∂， (,)d (,)(,)d (,)F G z x y F G x y z ∂∂=∂∂, 则曲线在0P 处的切线方程为 00000,1()()x x y y z z y x z x ---=='' （9-1-5）即为000;(,)(,)(,)(,)(,)(,)p p p x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂曲线在0P 处的法平面方程为00000()()()()()0x x y x y y z x z z ''-+-+-= （9-1-6）例1 求螺旋线cos ,x a t = s i n ,y a t = z a m t= 在π4t =处的切线方程与法平面方程.解 s i n ,x a t '=- c o s ,y a t '= z a m '=，则曲线在π4t=处的切线方程为π2211amx y z---==-法平面方程为π()()()0224amx a y a z--+-+-=，即2π4x y z am-++=.例2 求曲线2229,.x y zz xy⎧++=⎨=⎩在点(1,2,2)M处的切线方程与法平面方程.解令222,,F x y z x y z++（）=-9，(,,)G x y z xy z-=，于是2244(,)80111(,)MMy zF Gxy z∂===-≠--∂.还可求得(,)10,(,)MF Gz x∂=∂(,)6.(,)MF Gx y∂=-∂则切线方程为1228106x y z---==--;法平面方程为1)+10(2)6(2)0x y z---8(--＝，即4530x y z-+=第二节 曲面的切平面与法线设曲面Σ的方程为(,,)0F x y z =，如图9-2所示，点0000(,,)M x y z 在曲面Σ上.过0M 在Σ上任作一条曲线Γ，设Γ的参数方程为(),(),()x x t y y t z t ===图9-2且0M 对应于参数0t ，假定在0t t =处，(),(),()x x t y y t z t ===均可导，且导数不全为0，则()()()(),,0F x t y t z t ≡.在0t 处对上式关于t 求导，得000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t '''++=引入向量()000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z =n ，()000(),(),()x t y t z t '''=s .注意到s 是曲线Γ在0M 处的切向量，而·0=n s ，即说明不管Γ的选取方式如何，其中0M 的切向量总垂直于定向量n .所以曲面Σ上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线均在同一个平面内，这个平面称为曲面Σ在0M 的切平面，方程为()()()()00000000,,,,x y F x y z x x F x y z y y '-+'-()()0000,,0z F x y z z z +'=－ （9-2-1）通过0M 而垂直于切平面的直线称为曲面Σ在该点的法线，方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---'''==, （9-2-2）而把n 称为曲面的法向量.若曲面Σ以显函数(),z fx y =的形式给出，则可记()(),,,F x y z fx y z =-，则曲面在0M 处的法向量为()()()0000 ,,1xy f xy f x y =''n ，，－由此得出曲面在0M 处的切平面和法线方程分别为()()()()()0000000,,0x y f x y x x f x y y y z z '-'---=＋，0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---''-==.例1 求球面222=14x y z ++在点()123，，处的切平面及法线方程. 解 ()222,,14Fx y z x y z =++-， ()()1,2,3(),,|2,4,6x y z F F F '=''n =，所以，在点()123，，处的切平面方程为()()()21+42+630x y z =－－－，即 23140x y z ++-=； 法线方程为123.123x y z ---==空间曲面方程的形式是多种多样的.下面我们讨论一种较为复杂的形式.若曲面Σ以参数方程形式(,),x x u v = (,),y y u v = (,)z z u v = （9-2-3） 给出，()0000,,M x y z 为曲面上一点，现在我们要求曲面∑过点0M 处的切平面方程和法线方程.显然，解决这一问题最直接的方法就是在3个形式方程（9-2-3）中选择两个相对简单的方程组成方程组，例如(,),(,).x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ （9-2-4）解此方程组得(),,(,)u u x y vv x y ==，再将此方程组代入第3个方程，如()()()(),,,,z z u v z u x y v x y ==，再用前面的方法求得曲面∑上过0M 的切平面方程和法线方程.然而，当式(9-2-3)中方程都比较复杂时，上述做法是很难实现的，下面我们将介绍一种一般的方法.基于上面直接方法的思路，我们现在来推导这一问题的一般公式.设0000(,,)M x y z 为曲面上一点，且对应的参数为00(,)u v ，首先构造方程组(,),(,).x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 这里需特别指出的是，这个方程组中方程的选择要求其雅可比行列式不为零，即000000(,)0000(,)(,)(,)0(,)(,)(,)u u x y v v x u v y u v x y J x u v y u v u v ∂==≠∂否则，通过调换方程使得上述条件成立. 在（9-2-4）中，记(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u vG x y u v y y u v =-==-=我们假设第八章第六节定理3的条件成立.由此定理有001(,)x v u y u v J=； 001(,)x u v y u v J =-；001(,)y v u x u v J=-； 001(,)y u v x u v J=其中J 为式（9-2-4）在点00(,)x y 处的雅可比行列式. 记()(),,,F x y z z u v z =-,则有1(,)(,)x u x v x y z F z u z v J u v ∂=+=-∂；1(,)(,)y u y v y z x F z u z v J u v ∂=+=-∂；1z F =-.将对应参数点00(,)u v 代入,x y F F 即得曲面Σ在0M 处的切平面方程000000(,)0(,)0(,)0(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)u v u v u v y z z x x y x x y y z z u v u v u v ∂∂∂-+-+-=∂∂∂其行列式形式可表示为000000000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)u u u v v v x x u v y y u v z z u v x u v y u v z u v x u v y u v z u v ---'''=''' （9-2-5）法线方程为000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v u v x x u v y y u v z z u v y z z x x y u v u v u v ---==∂∂∂∂∂∂ （9-2-6）注意00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂,00(,)(,)(,)u v z x u v ∂∂,00(,)(,)(,)u v x y u v ∂∂不能全为零.例2 曲面的参数方程为e ,,e ,u v u v x u y u v z +-⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩求曲面在1,1u v ==-处的切平面及法线方程.解 20002,0,e .x y z ===2(1,1)(1,1)11(,)2e ee(,)u vu vy z u v ----∂==--∂，2(1,1)(1,1)ee (,)3e (,)1eeu v u vu vu vz x u v ---++--∂==∂+，(1,1)(1,1)1e e(,)1(,)11u vu vx y u v ++--+∂==∂.则在点()202,0,e M 处曲面的切平面方程为()()()2222e23e 0e 0x y z ----=++，即 2222e 3e 3e 0x y z -+++=； 法线方程为2222e 2e3e1x y z --==-.注：其实在本例中我们只要选择好方程，构成方程组，用直接方法简单得多.因为将u v y +=代入第1个方程得e yu x =-，将这一结果回代入第2个方程得e yv y x =-+，将,u v 代入第3个方程得ln 22e ,y z x y =--再令(),,22e ln 0y F x y z x y z =---=，即可直接得到上述结果.但我们这种方法只能解决一些相对简单的问题.第三节 方向导数我们称R n 空间中任一单位向量为方向.当2n =时，任何方向可表示()cos ,sin θθ=e ，其中θ为该方向与x 轴正向的夹角；当3n =时，任何方向可表示为()cos ,cos ,cos αβγ=e ，其中αβγ，，分别为该方向的方向角.函数(),,u f x y z =在(),,M x y z 处的偏导数,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂表示函数沿各坐标轴方向的变化率，在许多实际问题中，常常需要知道函数在此点沿任何方向或某个方向的变化率，即沿该方向的方向导数.设函数(),,u f x y z =在开集3D R ∈内有定义，给定点0000(,,)P x y z D ∈及方向e (c o s ,c o s,c o s l αβγ=，则过点0000(,,)P x y z ，方向为e l 的直线L 的参数方程为 cos ,0x x t α=+ 0cos ,y y t β=+ 0cos ,z z t γ=+其中t 为参数，在直线L 上任取一点P D ∈，其坐标为000 (Δcos ,Δcos ,Δcos )x l y l z l αβγ+++即当0t =与Δt l =时，分别对应于L 上的点0P 与P （如图 9 - 3）.图9 -3定义 如果极限 0000000(cos ,cos ,cos )(,,)liml f x l y l z l f x y z lαβγ∆→+∆+∆+∆-∆存在，则称这个极限为函数(),,u f x y z =在点0000(,,)P x y z 沿方向e l 的方向导数，并记作P f l ∂∂或P u l∂∂或0()l f P '，即00000000(cos ,cos ,cos )(,,)limP l f x l y l z l f x y z u llαβγ∆→+∆+∆+∆-∂=∂∆若用(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)x y z ===e e e 分别表示x 轴,y 轴,z 轴的正向，如果 ,f x∂∂,ffy z∂∂∂∂存在，则函数(),,u f x y z =沿x 轴,y 轴,z 轴的方向导数为,f x∂∂,ffy z∂∂∂∂一般地，我们可以推得以下方向导数的计算公式. 定理 若函数(),,u f x y z =在点()0000,,P x y z 处可微，则函数f 在0P 处沿任意方向的方向导数存在，且有以下的求导公式：cos cos cos f u u ul x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂， （9-3-1）其中(cos ,cos ,cos )αβγ为l e 方向.证 当(),,u f x y z =在0P 处可微时，u 的全增量可表示成ΔΔΔΔ(u x y z o ρ=+++=ΔΔΔΔ()u x y z o ρ=+++，其中ρ=()uu x u y u z o x y z ρρρρρρ∆∂∆∂∆∂∆=+++∂∂∂.如果限制点000+Δ,+Δ,+ΔP x x y y z z （）取在射线l 上，则cos ,xαρ∆=c o s ,yβρ∆=c o s ,zγρ∆= 于是 0l i m c o s c o s co s u u u u x yzραβγρ→∆∂∂∂=++∂∂∂. 例 22u x y z =+-,23l =++e i j k , 试求(1,1,1)u l∂∂解 先求出l 的方向余弦cos α==，cos β==，cos γ==.再求出偏导数2,u x x∂=∂2,u y y∂=∂1.u z∂=-∂于是(1,1,1)22u l∂=+=∂.第四节 无约束极值与有约束极值在第八章第二节中，我们说明了多元连续函数在有界闭区域上存在最大值和最小值.但在实际应用问题中却要求我们给出求多元函数最大值与最小值的方法.跟一元函数一样，多元函数的最大值与最小值是与多元函数的极值密切相关的.为此，我们先介绍二元函数的极值的定义以及判断极值的必要条件与充分条件，至于自变量多于两个的情形可以类似地加以解决.一、 无约束极值定义 设二元函数()=,u f x y 定义在开集2ΩR ∈上，如果存在000,P x y （）的某邻域0()ΩU P ⊂，使得对任意()0,()P x y U P ∈有()00,(,)f x y f x y ≥，则称点0P 为f 的极小值点,00(,)f x y 称为f 的极小值；若存在()000,P x y 的某个邻域0()ΩU P ⊂，使得对任意()0,()P x y U P ∈有()00,(,)f x y f x y ≤则称点0P 为f 的极大值点,00(,)f x y 称为f 的极大值.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定理1 (极值点的必要条件) 如果二元函数(),u f x y =在区域D 内可微，那么函数(),z fx y =在D 内一点000(,)P x y 取得极值的必要条件是00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =证 因为(),f x y 在点000(,)P x y 取得极值，于是一元函数0(,)f x y 在0x x =处也取得极值，由一元函数取得极值的必要条件，有00(,)0,x x x f x y ==即00(,)0x f x y =.同理可得00(,)0y f x y =.与一元函数类似，我们把12n =(,,,)u f x x x 的一阶偏导数全为0的点称为f 的驻点(稳定点).定理1告诉我们，偏导数存在的函数其极值点必是驻点，但其逆不成立.有些函数偏导数不存在的点,也可能是极值点.一般地，可根据下面定理来判断驻点是否为函数的极值点.定理2（充分条件） 设二元函数(),z f x y =是开区域2R G ⊂内有二阶连续偏导数，()00,x y G ∈是f 的驻点，令()()()000000,,,,xx xy yy f x y A f x y B f x y C """==，=，则(),f x y 在00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：（1）当20AC B >－时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.（2）当20AC B <－时没有极值（3）当20AC B -=时，可能有极值，也可能没有极值. 例1 求()3322,+3+39f x y x y x y x =--的极值点.解 先求f 的驻点，解方程组223690,360.f x x xf y y y∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 得四个驻点()()()()1234103,01232P P P P --，，，，，，.又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=+==-+对()211,0,0,P AC B ->且0A >，则1P 是f 的极小值点； 对()223,0,0P AC B --<，则2P 不是极值点； 对()231,2,0P AC B -<，则3P 不是极值点；对()243,2,0P AC B -->，且0A <，则4P 是f 的极大值点.与一元函数类似，我们可以利用极值来求函数的最值.如果函数f 在有界闭集D 上连续，则最值必存在，其一般求法是：将f 在D 内的一切驻点处及偏导数不存在的点处的函数值与D 的边界上的函数值进行比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 在实际问题中，往往根据问题的实际意义来简化判断过程.例2 试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形闭区域上求函数()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值.解 解方程组cos cos()0,cos cos()0.ux x y xu y x y y ∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩得2π,2π.x x y k y x y k ±=++⎧⎨±=++⎩ ()N k ∈,在区域内部的解只有2π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭,此点处2u =,而在边界0,0,2πx y x y ==+=上均有0u =，则u 在2π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值2.许多工程问题，常常需要根据两个变量的一些实际数值，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式，这样的近似表达式称为经验公式. 根据二元函数极值的一个实际应用，下面介绍数据处理技术中的一种常见方法——最小二乘法.设变量,x y 之间存在某种关系，通过实验找到n 组相关的数据()()11,,,n x y x y n ，，这些数据在xOy 面上呈现一种直线分布状态.于是，我们设想应能找到一条直线y ax b =+来刻画变量,x y 之间的函数关系.当然y a x b =+并不能满足所有的点(),i i x y .最理想的就是使得y a x b=+在()1,2,,i x i n = 处的函数值与实际数据的偏差都很小.记()i i i y ax b δ=-+.显然，用1ni i δ=∑来表示误差的总体效果不妥，因为i δ有正有负，于是想到用21nii δ=∑来表示总体误差.我们的任务即为寻求y ax b =+，使21ni i δ=∑最小.在这种意义下的直线y ax b =+称为最小二乘意义下的最佳拟合直线.其过程实际上就是求21nii u δ==∑的最小值.为此，先求驻点.112()()0,2()(1)0.ni i i i ni i i uy ax b x a u y ax b b==∂⎧=---=⎪∂⎪⎨∂⎪=---=⎪∂⎩∑∑ 即211111,.n n ni i i i i i i n ni i i i a x b x x y ax nb y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 此方程组的惟一一组解即为u 的最小值点.*例3 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间（每隔1h ），测量1次刀具的厚度，得到实验数据如下：解 首先，要确定()y f t =的类型. 为此，在直角坐标系下描点，从图9-3可以看出，这些点大致接近一条直线.因此，设()f t at b =+.求[]72()ii i u yat b ==-+∑的最小值，即求方程组图9-377720007700,8.i i i i i i i i i i i a t b t y t at b y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(),i i t y 代入方程组，得14028717,288208.5.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得0.3036,27.125a b =-=即 0.303627.125.y t =-+ 二、条件极值以上讨论的多元函数极值问题，各自变量是相互独立变化的.然而，更为普遍的是，极值问题常常附加一些约束条件.附加某些条件的极值称为条件极值.相应地，前面讨论的极值问题叫做无条件极值或普通极值.有的条件极值可以化成无条件极值，但更多的条件极值无法化成无条件极值. 条件极值常记作()m i n m a x ,,u u x y z =（或）， （9-4-1）s.t () ,,0x y z ϕ=， （9-4-2）其中（9- 4 -1）式中函数(),,u x y z 称为目标函数，条件（9-4-2）式中的(),,0x y z ϕ=称为约束条件.通常求解条件极值问题，都采用下述的拉格朗日乘数法.定理 3 设n 元函数()()1212,,,,,,n n f x x x x x x ϕ ，在开区间ΩR n⊂内有一阶连续偏导数，且ix ϕ∂∂()1,2,i n = ，不全为零，则函数()12,,,n u f x x x = 在条件()12,,0n x x x ϕ⋯=，下的极值点必为拉格朗日函数1212,,,,,,n n L f x x x x x x λϕ= （）+（） （9-4-3）的驻点，其中λ叫做拉格朗日乘数.证 不妨设0nx ϕ∂≠∂，根据隐函数存在定理，方程()12,,0n x x x ϕ= ，确定了一个函数121,,n x g x x x =n －（，）.于是()12,,n u f x x x = ，在条件()12,,0n x x x ϕ= ，下的条件极值问题，就转化成为()()121121,,,,,n n u f x x x g x x x = －－，，的无条件极值问题。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
高数八大基础知识点
高数八大基础知识点高数八大基础知识点数学也是一个重基础的学科，而高数在数学中的占比最大，考生一定要多方些精力研究。
下面小编给大家介绍高数八大基础知识点，赶紧来看看吧!高数八大基础知识点1.函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学重点考查导数与微分的`定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8.常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
考研数学高数8多元函数微分学
第八讲：多元函数的微分学多元函数概念定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.多元函数的极限 定义2 若A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)), 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限,上述定义的极限也称为二重极限.例：设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.例：求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2.偏导数偏导数的定义及其计算对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂,0y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x.偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求x f ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求yf ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0,例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.zx x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数. 解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y.当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有20 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数. 22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(,x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题:yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理： 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yz x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中222z y x r ++=.证:32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂,52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂.同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r . 提示: 233323)()(rx r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.全微分根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时, ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？ 设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有 dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1 =e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1 =e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和yu ∂∂. 解xzz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xe z y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y xcos 222222222⋅+=++++y x y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注:1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222yu x u ∂∂+∂∂.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ, xyarctan=θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=,y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u uρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y uρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dyyz dx x z dz ∂∂+∂∂=dyyv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .隐函数的求偏导一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy-=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有 z x F F x z -=∂∂, zy F F y z -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.多元函数微分学的几何应用（数一数二） 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Γ的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000, 当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000, 当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为 312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6.讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )). 2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz.切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T . 例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x , 解方程组得z y x z dx dy --=, zy y x dx dz --=. 在点(1, -2, 1)处,0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x . 方程组在点(1, -2, 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dy dx dz dx dy ,解方程组得0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线 设曲面∑的方程为 F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)). 考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1) 例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为 142142--=-=-z y x .方向导数与梯度（数一数二） 一、方向导数定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.例1 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz, 22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22 ,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以 )235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf∂∂的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==cz y x f z ),(. 这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为 )),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是 n nfy x f ∂∂=),(00grad .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系. 这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .例3 求221y x +grad . 解 这里221),(y x y x f +=.因为222)(2y x x x f +-=∂∂, 222)(2y x y y f +-=∂∂, 所以 221y x +grad j i 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2). 解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).多元函数的极值及其求法 无条件极值定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 且在点(x 0, y 0)处有极值, 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C .第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值.例： 求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x , 求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31. 应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy8m . 此水箱所用材料的面积为 )0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A . 令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2. 根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x , y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以 此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值,即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有0),(),(000000=+===x x y x x x dx dyy x f y x f dx dz,即 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ. 从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立. 设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点.这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值.构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x λλλ, 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
考研数学高数真题分类—多元函数微分学
考研数学⾼数真题分类—多元函数微分学⼀份好的考研复习资料，会让你的复习⼒上加⼒。
中公考研辅导⽼师为考⽣准备了【⾼等数学-多元函数微分学知识点讲解和习题】，同时中公考研⽹⾸发2017考研信息，2017考研时间及各科⽬复习备考指导、复习经验，为2017考研学⼦提供⼀站式考研辅导服务。
第六章多元函数微分学综述：本章是对⼀元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推⼴，主要考点是围绕偏导数的⼀系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要⼤于⼀元函数，考试在微分学中的⼤题⼀般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有：⼆重极限的定义及其简单的性质，⼆元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，⽅向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平⾯，曲⾯的切平⾯与法线.其中学习的难点是⼆重极限、⼆元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这⼀部分考查的频率不⾼，且以⼩题为主，考⽣在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与⼀元函数的相关概念进⾏⽐较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应⽤上：⾸先，偏导数的计算与⼀元函数的求导并⽆本质区别，考⽣只需将⼀元函数求导的相关知识进⾏推⼴，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全⾯掌握了偏导数的计算⽅法之后，考⽣还需要掌握偏导数的各种应⽤，包括多元函数的极值（⽆条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平⾯、曲⾯的切平⾯与法线，对于它们，考⽣只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.⽅向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平⾯，6.空间曲⾯的切平⾯与法线.常考题型⼀：连续、偏导数与全微分1．【1994-1 3分】⼆元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）()A 充分条件⽽⾮必要条件()B 必要条件⽽⾮充分条件 ()C 充分必要条件()D 既⾮充分条件⼜⾮必要条件2．【1997-1 3分】⼆元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ?≠ += =?，，，在点(0,0)处（）()A 连续，偏导数存在 ()B 连续，偏导数不存在()C 不连续，偏导数存在()D 不连续，偏导数不存在3．【2002-1 3分】考虑⼆元函数(,)f x y 的下⾯4条性质，正确的是（）①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②?③?①()B ③?②?①()C ③?④?①()D ③?①?④4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极⼩值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数⼤于零. ()C ),(0y x f 在0y y =处的导数⼩于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2007-1 4分】⼆元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的⼀个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ((,)0,0lim0x y →=.()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→''''-=-=且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =()A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?则使得1122(,)(,)f x y f x y <成⽴的⼀个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满⾜010x y →→=，则(0,1)dz=________。
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是小编精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。
篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6. 多元复合函数微分运算法则
定理 5 设u x,v x在 x处可导，z f (u,v) 在对应点u,v 处可微,则复合函数 z f x, x 在 x处可导,且
dz z du z dv (全导数法则) dx u dx v dx
多元函数微分法
一.多元函数的极限与连续性
1. 多元函数的极限:
定 义1： 设z f ( x, y) f (M )在 点集E上 有定 义 ，
M0( x0 , y0 )为E的 一 个 聚 点 ， 若 对 0, 存 在 0, 使 得 对 满 足0 | MM0 | 的M ( x, y),有 | f ( x, y) A | ,则 称A为f ( x, y)当
Ax By o( )
其 中 A, B 与 x, y 无 关,而 与x, y 有 关,
(x)2 (y)2 . 则称 z f ( x, y) 在点( x, y) 处可微, Ax By 为 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分,记为dz,即
例1
证 明lim x0
xy sin（x x2 y2
y)
0.
y0
例2
求 lim sin(xy)
x0
y
y0
例3
lim
x0
xy2 x2 y4
是 否 存 在?
y0
例4
研 究 函 数f
( x,
y)
xy ln(x2
y2)
0
x2 y2 0, x2 y2 0
例7 设z f ( x, y) x y ,
求
2z xy
,
2z yx
,
2z x 2
,
2z y 2
.
4. 全微分
定义4 如 果z f ( x, y)在 点( x, y)的 全 增 量 可 表 示 为
z f ( x x, y y) f ( x, y)
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f ( x, y)在( x, y)处连续;
(2) f ( x, y)在( x, y)处存在偏导数 z , z , 且
x y
dz z x z y
x
y
注 : 偏导数存在是可微的必要条件,而非充分条件. 当偏导数存在时可得到表达式 z x z y，但它
例16 设 z f (e x y, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导数，
求 2z . xy
e2 x yf11 2e x ( x y2 ) f12 4 xyf22 e x f1
x
z
1
y
2
x
y
例17 设f 有二阶导数, g 有二阶连续偏导数,
向
量l 的
方
向
余
弦
为cos
, cos
，
若
极
限
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0, y0 )
t0
t
存 在,则 称 此 极 限 为z
f
(
x,
y)
在
点M
沿
0
方
向l
的 方 向 导 数.记 为z l
. M 0
特别，若l
i
(2) z arctan y ;
(3)u z yx
x
例6
设f
( x,
y)
xy2 x2 y4
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
(1) 讨论 f ( x, y)在 (0,0) 的连续性.
(2) 求 f x (0,0), f y (0,0).
二元函数 f ( x, y)在一点的偏导数存在不能保证 f ( x, y)在该点连续。而在一元函数中，可导必连续。
x y 并不一定是全微分dz, 必须再验证
"z [ z x z y]是比 高阶无穷小"
x y 的 条 件, 才 能 保 证 全 微 分 的 存 在， 并 且
dz z x z y gradz dx, dy
x y
定理3（充分条件）
若z f x, y 的偏导数z , z 在点M x, y处连续,
定理6 设u x, y,v x, y在( x, y)处 存 在 偏 导 数 ，z f u, v在 对 应 点(u, v)处 存 在 偏
导 数则，复合函数 f ( ( x, y), ( x, y))在( x, y)处
存在偏导数，且
z x z
在(0,0)处 的 连 续 性 。
二.多元函数微分法
1.偏导数
定义3设 z f ( x, y)在 区 域D上 有 定 义, M0 ( x0, y0 ) D,
若 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
x0
x
存 在, 则 称 此 极 限 为z f ( x, y) 在M0 ( x0, y0 )处 对x
为 了 书 写 简 单 起 见,把x y, xy2分 别 简 记
为1, 2, 则 有 :
z x
f1
f2 y2,
2z x 2
f11 2 f12 y2
f22 y4
2z xy
f11
2 xy3
f22
(2x
y) y
f12
2y
f2
在求二阶偏导数时,一定要注意 f1, f2仍是原变量的 复合函数.
若M(x,y)按两种不同的方式趋于 M0( x0, y0 ) 时,
f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.
2. 多元函数的连续性:
定义2:
若
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
则称 f ( x, y) 在 M0( x0 , y0 )处连续。
f ( x, y) 为D内的连续函数：
fuv y2
y2( fvu
fvv y2 )
y
2z z xy y x
fuu (1) fuv 2xy 2 yfv y2 fvu 1 fvv 2xy
fuu 2xy3 fvv 2xy y2 fuv 2 yfv
1,
0，则
若l
j
0, 1，则
z
z
l M 0 x M 0
z
z
l M 0 y M 0
定理4 若 z f ( x, y)在 点M0( x0, y0 )可 微 ， 则f ( x, y)
在
点M
沿
0
任
一
方
向l
的
方
向
导
数
都
存
在
，
且
z l
M0
z x
M0
x x0 , y y0(M M0 )时 的 极 限 ，
记为 lim f ( x, y) A ,或 lim f (M ) A
x x0
MM0
y y0
注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立.
2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 M0 ( x0, y0 ) 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.
y r sin , 求 z , z . r
例14 设 u f ( x, y, z), y x, t , t x, z均可微,
求 u , u . x z
u x
f x
f y
x
f y
t
x
u
u f u
y)在 点 M0 ( x0,
y0 ,
f
( x0,
y0 ))
处 的 切线 对x轴 的 斜 率.
f y ( x0 ,
y0 ) : 表 示 曲 线z
f (x, x x0
y)在 点
M0 ( x0, y0 ,
f
( x0, y0 ))
处 的 切线 对 y 轴 的 斜 率.
3.高 阶 偏 导 数 二阶偏导数
f 的偏导数连续
f 可微
/
f 的偏导数存在
f 连续
例11 求z
x2
xy
y2在 点(1, 1)沿
l
2, 1的方向导数，
并 指 出z在 该 点 沿 哪 个 方 向 的 方向 导 数 最 大 ？ 该 最
大 的 方 向 导 数 是 多 少 ？z沿 哪 个 方 向 减 小 得 最 快？
3， 3，3， 3 2
z u z v u x v x z u z v
y u y v y
x
u
z
y
按线相乘,分线相加
x
v
y
例12 设z eu sin2v, u xy,v x y,求 z , z
x y
例13 设 z f ( x, y)可微, x r cos ,
的 偏 导 数.记
同样地，z
为 z x
f (x,
或
M0
f
y )在M 0
x
(
( x0, y0 ).
x0, y0 )处对y的偏
导
数为
:
z y