矢量期末复习题.docx
10竖直上抛运动矢量性的理解-【新教材】人教版(2019)高一上学期期末复习易错点精讲精练
10竖直上抛运动矢量性的理解---高一期末复习易错点精讲精练一、竖直上抛运动竖直向上抛出的物体，只在重力作用下的运动称为竖直上抛运动．由牛顿第二定律知，物体上升与下降的加速度均为g.该运动形式是逆向的匀变速直线运动的典型实例．初速度方向为正，即向上为正方向，公式计算时要注意加速度、位移与末速度符号的取值1．竖直上抛运动的处理方法整体法：从全程来看，加速度方向始终与初速度v0的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速直线运动，要特别注意v0、v、g、h等矢量的正负号．一般选取竖直向上为正方向，v0总是正值，上升过程中v为正值，下降过程v为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负值．2．竖直上抛运动的特点(1)上升的最大高度h max＝v20/(2g)．(2)上升到最大高度处所需时间t上和从最高点处落回原抛出点所需时间t下相等，即t上＝t下＝v0/g.(3)竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性．①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向．②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等．(4)速度图象(如图所示)例1、某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2.求：(1)石子上升的最大高度及回到抛出点所用的时间；(2)石子抛出后到达距抛出点下方20 m处所需的时间．答案(1)20 m 4 s(2)(2＋2 2) s解析(1)全过程分析，取竖直向上为正方向，v0＝20 m/s，a＝－g，到达最大高度时v ＝0，回到原抛出点时x1＝0，落到抛出点下方20 m处时x＝－20 m，由匀变速直线运动公式得最大高度：H＝v202g＝2022×10m＝20 m回到原抛出点时：x 1＝v 0t 1－12gt 21，t 1＝2v 0g ＝2×2010 s ＝4 s(2)到达距抛出点下方20 m 处时：x ＝v 0t 2－12gt 22，代入数据得－20＝20t 2－12×10t 22解得⎩⎨⎧t 2＝(2＋2 2) s t 2′＝(2－2 2) s (不符合题意，舍去)[错因分析]加速度、位移与末速度符号的取值出现错误，当默认初速度方向为正方向时，加速度、位移没有注意符号的判定。
矢量图形设计基础期末考试复习题及参考答案
矢量图形设计基础 --复习资料一、名词解释(本大题1、曲线插值:参考答案：已知曲线上的一个点列,求曲线上的其他点的方法称为曲线插值。
2、区域填充:参考答案：根据像素的属性值、边或顶点的简单描述,生成区域的过程称为区域填充。
3、投影:参考答案：投影是从高维(物体)空间到低维(投影)空间的一种映射。
4、曲线拟合:参考答案：给定一个点列,用该点列来构造曲线的方法称为曲线拟合。
5、扫描线:参考答案：在光栅扫描显示器中,电子枪扫过的一行称为一条扫描线。
6、扫描转换:参考答案：在矢量图形中,多边形用顶点序列来表示,为了在光栅显示器或打印机等设备上显示多边形, 必须把它转换为点阵表示。
这种转换称为扫描转换。
7、像素图:参考答案：点阵法列举图形中的所有点。
用点阵法描述的图形称为像素图。
二、填空题1、图形软件的建立方法包括提供图形程序包、 (____) 和采用专用高级语言。
参考答案：修改高级语言2、直线的属性包括线型、 (____) 和颜色。
参考答案：线宽3、区域填充属性包括填充式样、 (____) 和填充图案。
参考答案：填充颜色4、实体的表面具有(____)、有界性、非自交性和闭合性。
参考答案：连通性5、颜色通常用红、绿和蓝三原色的含量来表示。
对于不具有彩色功能的显示系统,颜色显示为 (____)(或亮度级)。
参考答案：灰度级6、区域的表示有 (____) 和边界表示两种形式。
参考答案：内点表示7、区域填充有 (____) 和扫描转换填充。
参考答案：种子填充8、从平面上点的齐次坐标,经齐次坐标变换,最后转换为平面上点的坐标,这一变换过程称为 (____) 。
参考答案：规范化过程。
矢量的练习题
矢量的练习题矢量是物理学中非常重要的概念，也是解决各种力学问题的基础。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用矢量概念。
本文将从基础的概念出发，逐渐深入矢量的练习题。
1. 直角坐标系中的向量运算(1) 向量 a = 3i + 4j，向量 b = -2i + 5j，请计算向量 a 和向量 b 的和并绘制图示。
解析：向量的和是将对应分量相加得到的结果。
根据题目给出的向量，我们有：a +b = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j绘制图示时，可绘制直角坐标系，并在起点处标记向量a 和向量b，然后用箭头表示向量的长度和方向，连接起点和终点。
(2) 向量 c = -2i + j，向量 d = 3i - 5j，请计算向量 c 和向量 d 的差并绘制图示。
解析：向量的差是将对应分量相减得到的结果。
根据题目给出的向量，我们有：c -d = (-2i + j) - (3i - 5j) = (-2 - 3)i + (1 + 5)j = -5i + 6j绘制图示时，同样绘制直角坐标系，并在起点处标记向量 c 和向量d，然后用箭头表示向量的长度和方向，连接起点和终点。
2. 矢量的数量积(1) 向量 e = 2i + 3j，向量 f = 4i - j，请计算向量 e 和向量 f 的数量积。
解析：向量的数量积是将对应分量相乘后相加得到的结果。
根据题目给出的向量，我们有：e ·f = (2i + 3j) · (4i - j) = 8i^2 + 12ij - 2ij - 3j^2 = 8 - 15 = -7其中 i^2 = j^2 = 1，ij = ji = -1。
(2) 向量 g = i + 3j，向量 h = -2i + 5j，请计算向量 g 和向量 h 的数量积。
解析：同样地，根据题目给出的向量我们有：g · h = (i + 3j) · (-2i + 5j) = -2i^2 + 5ij + 6ij + 15j^2 = -2 - 11 = -13练习题的目的是巩固矢量的基本概念和运算规则。
CorelDRAWX6图形图像设计章节复习试题(大学期末复习资料).docx
第一章习题1. 填空题(1) CorelDRAW X6提供了 CMYK 、RGB 、HSB 、HLS 、LAB 等多种图像显示模式。
其中 最常用的是RGB 模式与CMYK 模式。
(2) 在计算机屮，图形分为矢量图形和位图图形两种基本形式,CorelDRAW 是一个矢呈绘 图软件。
2. 选择题(1) ( D )格式是CorelDRAW X6默认的文件格式。
A. PSD C ・ PDF B ・ JPEGD. CDR (2) CorelDRAW X6 可以完成 (ABCD )任务。
A.广告设计B. 漫画设计C.插画设计D. 标志设计3. 问答题(1) CorelDRAW 是哪个公司的产品？答：它由全球知名的专业化图形设计与桌面出版软件开发商加拿大Corel 公司于1989年 推出的一款著名的矢量绘图软件。
(2) CorelDRAW X6的应用领域有哪些？答：CorelDRAWX6的应用范圉非常广泛，从简单的几何图形绘制到标志、卡通、漫 画、图案、各类效果图及专业平面作品的设计，都可以利用该软件快速高效地绘制出来。
使 用该软件可绘制矢量图形并对各种图像进行互补性处理，实现了多领域的运用。
如广告设计、 字体设计、插画设计、标志设计、包装设计、书籍装帧设计、漫画设计以及服饰设计等，在 更大程度上满足了人们对视觉艺术的追求。
本章习题1. 填空题(1) 在菜单栏中的“视图”菜单下有6种视图显示模式：简单线框、线框、草稿、正常、 增强和像素模式。
(2) CorelDRAW 'P 的辅助绘图工具包括标尺、辅助线、网格。
2. 选择题(1) 按(B )键可保存图形文件。
C. .GIGD. .JPEG3. 问答题(1)CorelDRAW 可以运行其他格式的文件吗？应该怎么操作？答：能，使用常规【打开】命令，不能直接打开除CorelDRAW 能打开的少量文件格式 以外的文件。
而使用【导入】命令可以导入其他格式的文件.A. Ctrl+OB. Ctrl+S C- Shift+S D ・ Ctrl+R (2)在保存文件时, 系统默认的保存格式为(A)格式。
高中矢量试题及答案大全
高中矢量试题及答案大全一、选择题1. 矢量A与矢量B的和，记作A+B，表示：A. 两个矢量首尾相接B. 两个矢量的模相加C. 两个矢量的模相乘D. 两个矢量的模与方向的合成答案：A2. 矢量A与矢量B的差，记作A-B，表示：A. 两个矢量的模相减B. 两个矢量的模相除C. 两个矢量的模与方向的合成D. 两个矢量首尾相接答案：C3. 矢量A与矢量B的标量积（点积）结果为：A. 矢量B. 标量C. 模D. 方向答案：B4. 矢量A与矢量B的向量积（叉积）结果为：A. 矢量B. 标量C. 模D. 方向答案：A5. 以下哪个操作不能改变矢量的大小？A. 平移B. 旋转C. 缩放D. 反射答案：C二、填空题6. 矢量A的模为3，矢量B的模为4，A和B的夹角为60°，则A与B 的标量积为________。
答案：67. 若矢量A的模为5，矢量B的模为6，且A与B的向量积的模为30，则A和B的夹角为________。
答案：30°8. 一个矢量在x轴上的投影是其在x轴方向上的________。
答案：分量9. 若两个矢量垂直，则它们向量积的模等于它们标量积的________。
答案：模的乘积10. 矢量A与矢量B的夹角为θ，A的模为a，B的模为b，则A与B的向量积的模为________。
答案：ab*sinθ三、简答题11. 请简述矢量的基本性质。
答案：矢量具有大小和方向两个属性，可以进行加法、减法、标量乘法、向量积和标量积等运算。
矢量加法遵循平行四边形法则，向量积遵循右手定则。
12. 请解释什么是矢量的平行四边形法则。
答案：平行四边形法则是指两个矢量的和可以通过将这两个矢量首尾相接，形成一个平行四边形，然后从起点到终点的对角线作为两个矢量和的表示。
四、计算题13. 已知矢量A=3i+4j，矢量B=2i-j，求A+B和A-B。
答案：A+B=(3+2)i+(4-1)j=5i+3j，A-B=(3-2)i+(4+1)j=i+5j。
高中矢量试题及答案解析
高中矢量试题及答案解析试题一：矢量加法1. 若有两个矢量A和B，A的模长为3，方向角为30°，B的模长为4，方向角为60°，求A+B的模长和方向角。
试题二：矢量减法2. 已知矢量C=(3, 4)，矢量D=(1, 2)，求C-D的矢量。
试题三：矢量的点乘3. 已知矢量E=(2, 3)和矢量F=(-1, 2)，求E和F的点乘结果。
试题四：矢量的叉乘4. 若矢量G=(1, 0, 1)和矢量H=(0, 1, 1)，求G和H的叉乘结果。
试题五：矢量的大小和方向5. 给定一个矢量I=(4, -2)，求其大小和方向角。
试题六：矢量的标量乘法6. 已知矢量J=(2, -1)，求2J的矢量。
试题七：矢量分解7. 将矢量K=(5, 3)分解为沿x轴和y轴的两个分量。
试题八：矢量的应用8. 在物理中，已知一个物体受到两个力的作用，力F1=(3, 4)，力F2=(-2, 1)，求合力F。
答案解析：试题一解析：A+B的矢量可以通过矢量加法的几何方法或代数方法求得。
这里我们使用代数方法。
首先，将矢量A和B转换为单位矢量，然后进行加法运算，最后求得结果矢量的模长和方向角。
具体计算过程略。
试题二解析：C-D的矢量可以通过简单的坐标减法得到。
具体计算过程为：C-D =(3-1, 4-2) = (2, 2)。
试题三解析：E和F的点乘可以通过坐标乘积求和得到。
具体计算过程为：E·F =2*(-1) + 3*2 = -2 + 6 = 4。
试题四解析：G和H的叉乘结果是一个垂直于G和H的矢量，其模长等于G和H模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
具体计算过程略。
试题五解析：矢量I的大小可以通过勾股定理求得，方向角可以通过反正切函数求得。
具体计算过程略。
试题六解析：2J的矢量可以通过将J的每个分量乘以2得到。
具体计算过程为：2J = (2*2, 2*(-1)) = (4, -2)。
试题七解析：矢量K的x轴分量是其在x轴上的投影，y轴分量是其在y轴上的投影。
答案 矢量分析与场论(A卷)
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气，06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题：在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题：把正确答案填到每道题的前的括号中。
（每题3分, 共30分)（1）0 （2） k j i 4128++ （3）k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-（4）k a 2 π- （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 （6）3100 （7）)723(621k j i ++ （8）0 （9）0（10）0三、计算题（每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解：△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场，则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中， dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题（每题10分, 共30分)1.证明：k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以，xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''=''；；---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以，矢量场A为调和场。
高中矢量试题及答案详解
高中矢量试题及答案详解试题一：矢量加法1. 若有向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和 \( \vec{B}= -2\hat{i} + 3\hat{j} \)，求这两个向量的和。
2. 已知向量\( \vec{C} = 5\hat{i} - 2\hat{j} \)，若向量\( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的和等于向量\( \vec{C} \)，求向量\( \vec{A} \)。
答案详解：1. 根据矢量加法的规则，我们可以直接将对应的分量相加：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 - 2)\hat{i} + (4 + 3)\hat{j} =\hat{i} + 7\hat{j} \]2. 根据题目条件，向量\( \vec{A} + \vec{B} = \vec{C} \)，我们可以将向量\( \vec{A} \) 表示为：\[ \vec{A} = \vec{C} - \vec{B} = (5 - (-2))\hat{i} + (-2 -3)\hat{j} = 7\hat{i} - 5\hat{j} \]试题二：矢量减法1. 若有向量\( \vec{D} = 6\hat{i} - 3\hat{j} \) 和 \( \vec{E}= 2\hat{i} + 4\hat{j} \)，求这两个向量的差。
2. 若向量\( \vec{F} = -3\hat{i} + 2\hat{j} \) 是向量\( \vec{D} \) 减去向量\( \vec{E} \) 的结果，求向量\( \vec{E} \)。
答案详解：1. 矢量减法可以通过加法的逆运算来实现，即：\[ \vec{D} - \vec{E} = (6 - 2)\hat{i} + (-3 - 4)\hat{j} =4\hat{i} - 7\hat{j} \]2. 根据题目条件，向量\( \vec{F} = \vec{D} - \vec{E} \)，我们可以将向量\( \vec{E} \) 表示为：\[ \vec{E} = \vec{D} - \vec{F} = (6 - (-3))\hat{i} + (-3 -2)\hat{j} = 9\hat{i} - 5\hat{j} \]试题三：矢量点乘1. 若有向量\( \vec{G} = 4\hat{i} + 2\hat{j} \) 和 \( \vec{H}= 3\hat{i} - 5\hat{j} \)，求这两个向量的点乘。
高中矢量试题及答案
高中矢量试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是矢量？A. 速度B. 距离C. 加速度D. 力答案：B2. 矢量加法遵循什么法则？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有以上答案：D3. 矢量的大小是指：A. 矢量的模B. 矢量的方向C. 矢量的单位D. 矢量的长度答案：A二、填空题1. 矢量具有_______和_______两个要素。
答案：大小，方向2. 两个矢量相等的条件是它们的_______相等且_______相同。
答案：大小，方向三、简答题1. 简述矢量加法的平行四边形法则。
答案：矢量加法的平行四边形法则是指两个矢量相加时，可以将其中一个矢量首尾相接地平移到另一个矢量的起点，然后从第一个矢量的起点到第二个矢量的终点画一条有向线段，这条线段即为两个矢量的和。
2. 矢量减法与矢量加法有何不同？答案：矢量减法与矢量加法不同在于，减法是将第二个矢量取反（即方向相反，大小相同），然后与第一个矢量进行加法操作。
即A - B 等于 A + (-B)。
四、计算题1. 已知两个矢量A和B，A = 3i + 4j，B = 2i - 3j。
求A + B。
答案：A + B = (3 + 2)i + (4 - 3)j = 5i + j2. 若A和B的模分别为5和3，A与B的夹角为60°，求A与B的点积。
答案：A·B = |A||B|cosθ = 5 × 3 × cos60° = 15 × 0.5 = 7.5五、证明题1. 证明矢量的模的平方等于点积除以矢量自身的模。
答案：设矢量A = a1i + a2j + a3k，其模为|A| = √(a1² +a2² + a3²)。
A的点积为A·A = a1² + a2² + a3²。
根据定义，|A|² = (a1² + a2² + a3²) = A·A。
物理矢量练习题
物理矢量练习题一、简答题1. 什么是物理矢量？物理矢量是在物理学中用来描述物理量的有大小和方向的量。
矢量可以表示位移、速度、加速度、力等物理量。
2. 什么是标量？标量是只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。
3. 如何表示矢量？矢量可以使用箭头符号在物理图中表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
4. 矢量之间有什么运算？矢量之间有加法和减法运算。
矢量相加时，将各个矢量的起点和终点相连，最终的结果是由起点到终点的矢量。
5. 矢量如何分解？矢量可以通过分解成两个或多个分量，表示为它们的合成或分解。
分解成两个分量时，可以使用垂直分解和平行分解的方法。
二、计算题1. 一个行人以速度5 m/s向东行走100 m，然后以速度3 m/s向北行走80 m。
求该行人的位移和总路程。
解：首先，我们将行人的位移分解成东西方向和南北方向的分量。
东方向分量的位移：100 m南方向分量的位移：80 m位移的大小：sqrt(100^2 + 80^2) ≈ 128.062 m位移的方向：arctan(80/100) ≈ 38.66°所以行人的位移是128.062 m，方向为东北方。
总路程：100 m + 80 m = 180 m2. 一个力F1 = 10 N向东，另一个力F2 = 8 N向北，求合力的大小和方向。
解：首先，我们将这两个力分解成东西方向和南北方向的分量。
F1的东方向分量：10 NF1的南方向分量：0 NF2的东方向分量：0 NF2的南方向分量：8 N合力的东方向分量：10 N + 0 N = 10 N合力的南方向分量：0 N + 8 N = 8 N合力的大小：sqrt(10^2 + 8^2) ≈ 12.806 N合力的方向：arctan(8/10) ≈ 38.66°所以合力的大小约为12.806 N，方向为东北方。
三、应用题1. 一个小汽车以速度20 m/s向东行驶10 s，然后以速度15 m/s向北行驶5 s，最后以速度10 m/s向西行驶8 s。
矢量分析与场论A卷答案
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）《矢量分析与场论》期末考查A 卷试题答案一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1．通量定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ⎰⎰⋅=ψSd S A ----------------------3分物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。
--------5分 2．矢量的旋度定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为∆S ，A 的旋度是矢量，其大小为∆S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 0maxlimn lA A A A Sd Curl rot lS ∆⋅=⨯∇==⎰→∆--------3分物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
-------5分 3．标量的梯度定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率。
---------3分 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。
00grad grad u u u u n∂=∇==∂n n ---------5分 4、保守场∇u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。
即)()(1221p u pu d u p p -=⋅∇⎰l ------------3分则∇u 称为保守场，u 称为保守位场。
高中矢量试题及答案
高中矢量试题及答案试题一：矢量加法1. 已知矢量A = 3i + 4j，矢量B = 2i - 5j，求矢量A + B。
2. 若矢量C = 2i - 3j，矢量D = -i + 4j，求矢量C - D。
试题二：矢量的数量积3. 已知矢量E = 5i + 6j，矢量F = 3i - 2j，求矢量E与F的数量积。
4. 若矢量G = -i + 2j，矢量H = 4i + j，求矢量G与H的数量积。
试题三：矢量的向量积5. 已知矢量I = i + 2j + 3k，矢量J = 2i - j + k，求矢量I与J 的向量积。
6. 若矢量K = 3i - 2j + k，矢量L = i + j - 2k，求矢量K与L的向量积。
试题四：矢量的标量三重积7. 已知矢量M = 2i + 3j + k，矢量N = i - 2j + 3k，矢量O = 4i - j + 2k，求矢量M、N、O的标量三重积。
试题五：矢量的模和方向8. 已知矢量P = 4i + 3j，求矢量P的模和方向。
9. 若矢量Q = -i + 3j，求矢量Q的模和方向。
试题六：矢量的单位矢量10. 已知矢量R = 5i + 12j，求矢量R的单位矢量。
试题七：矢量的投影11. 已知矢量S = 2i + 6j，矢量T = 3i - j，求矢量S在矢量T上的投影。
试题八：矢量场中的线积分和面积分12. 已知矢量场F = yzi + xzj + xyk，求在平面x + y + z = 1（z≥0）上的线积分，路径为从点(0,0,0)到(1,0,1)。
13. 已知矢量场G = x^2i + y^2j + z^2k，求在球面x^2 + y^2 +z^2 = 1上的面积分。
答案：试题一：1. A + B = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j2. C - D = (2 - (-1))i + (-3 - 4)j = 3i - 7j试题二：3. E·F = (5 * 3) + (6 * -2) = 15 - 12 = 34. G·H = (-1 * 4) + (2 * 1) = -4 + 2 = -2试题三：5. I×J = (2 * 1 - 3 * -1)i - (1 * k - 3 * 1)j + (1 * -1 - 2 * 2)k = i + 2j - 5k6. K×L = (-2 * -2 - 1 * 1)i - (3 * 1 - k * 1)j + (3 * 1 - (-2) * 1)k = -3i - 2j + 5k试题四：7. M·(N×O) = (2 * (-1) * 2 - 3 * 4) + (3 * 4 - 1 * (-1)) + (1 * 1 - 3 * (-2)) = -4 + 13 + 7 = 16试题五：8. 模：|P| = √(4^2 + 3^2) = 5，方向：与x轴的夹角为arctan(3/4)。
矢量分析试卷
场论复习题1、写出曲线t y t x sin 4,cos 3==的矢量方程，并说明是何种曲线。
2、将矢量方程→→→+=j t i t r 232化为参数方程，并指出是何种曲线。
3、求数量场zy x u 22+=过点M （2，4，5）的等值面方程。
4、求数量场zx yz xy u ++=在点P （1，2，3）处沿其矢径方向的方向导数。
5、求矢量场→→→→++=k z j y i x A 23从内穿出球面2222a z y x =++的通量。
6、求矢量场→→→→+-++-++-=k y x z j x z y i z y x A )()()(从内穿出椭球面1222222=++c z b y a x 的通量。
7、求矢量场→→→+-=j x i y A 沿圆周222R y x =+的环量。
8、求矢量场→→→→++=k xy j zx i yz A 222的散度和旋度，并判定是哪种矢量场。
9、求矢量场→→→→++=k z j xy x i xy y A sin )cos ()cos (的散度和旋度，并判定是哪种矢量场。
10、求矢量场→→→→-+++++=k z y j z y x i y x A )62()24()2(的散度和旋度，并判定是哪种矢量场。
11、证明矢量场→→→→-+-++=k y xz j z x i z xy A )3()3()6(223为保守场，并计算曲线积分→→⎰⋅l d A l ，L 的起点A （4，0，1），终点B （2，1，-1）。
12、证明矢量场→→→→++=k yz x j z x i xyz A 2232332为保守场，并计算曲线积分→→⎰⋅l d A l ，L 的起点A （1，4，1），终点B （2，3，1）。
矢量期末复习题.docx
矢量分析与场论复习题注意题目中出现的e x i,e y T j,e z1.求下列温度场的等温线1)T = xy, 2) T= J ,x + y解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得C(1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = Cx '1.求下列标量场的等值面1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2)ax + by + cz解据题意可得(1)ax + by -\-cz=k(2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2(3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0,3.0)的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得—-x y 2z解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢量线方程。
3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。
4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求：1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数,2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。
2 2 解/ 的方向余弦为COS6Z = ;= ~^=,722 +32 +22V173 3 2 2COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=；A/22+32+22V17 722 +32 +22V175. 求标量场《 =小十)2 + "在点M o (l.O, 2.0, 3.0)处沿其矢径方向的方向 导数。
矢量分析与数理方程总复习题
矢量分析与数理方程总复习题矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题矢量和矢性函数1、求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）k j i A 32++= k j i B654++=2、求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t2++=3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C-+=3，求()C B A4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t2++=求 ()dt t A d 和 ()dtt B d 5、如果 ()j i esin cos +=① 求 ()()?d e d e=1 ，② 证明()?e ⊥()?1e .6、如果 ()j i e cos sin 1+-= 证明 ()()??e d e d-=17、求不定积分 ()?d e， ()?d e 1。
8、计算不定积分 ()+d e 122. 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。
方向导数和梯度1、求 k j i l22++= 的方向余弦2、写出矢径 k z j y i x r++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 ()k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦4、求函数222z y x u ++=在()1,0,1M 处沿k j i l22++=的方向导数5、求数量场 z y z x u 2322+= 在点 ()1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数6、求下列数量场的梯度① 222z y x r ++=，②++=22211z y x r ，③ 223z xy z x u +-= ③ 32z y x u =，④ xz yz xy u ++=，⑥ z y x xy z y x u 62332222--++++=.7、设c 是常矢量，k z j y i x r++=，证明 ()c c r =?? 。
矢量期末复习题
矢量期末复习题矢量期末复习题矢量是物理学中一个重要的概念，它在描述物体运动、力学以及力的合成等方面起着关键作用。
本文将通过一些典型的矢量复习题，帮助读者回顾和巩固相关知识。
1. 矢量的定义和表示方法矢量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
矢量的大小用模表示，方向用箭头所指的方向表示。
矢量可以用坐标表示，也可以用极坐标表示。
2. 矢量的加法和减法矢量的加法满足交换律和结合律。
两个矢量相加，可以使用平行四边形法则或三角形法则。
矢量的减法可以转化为加法，即将减去的矢量取反后与被减矢量相加。
3. 矢量的分解与合成矢量的分解是将一个矢量拆分为两个或多个分量矢量的过程。
分解可以沿着坐标轴进行，也可以沿着任意方向进行。
矢量的合成是将两个或多个矢量合并为一个矢量的过程。
合成可以使用三角形法则或平行四边形法则。
4. 矢量的数量积和向量积矢量的数量积（点积）是两个矢量相乘后再求和的结果，表示两个矢量之间的夹角余弦和两个矢量的模的乘积。
矢量的向量积（叉积）是两个矢量相乘后得到一个新的矢量，表示两个矢量的模的乘积与它们夹角的正弦方向垂直于原来的两个矢量所在的平面。
5. 矢量的投影矢量的投影是指一个矢量在另一个矢量上的投影长度。
矢量的投影可以用来求解物体在某一方向上的分量。
6. 矢量的运动矢量在物理学中常用来描述物体的运动。
在平面运动中，位移、速度和加速度都是矢量量。
在直线运动中，矢量的方向与物体运动的方向一致或相反。
在曲线运动中，矢量的方向随着物体运动的变化而变化。
7. 矢量的力学应用矢量在力学中有广泛的应用。
力是矢量，它有大小和方向。
多个力的合成可以使用平行四边形法则或三角形法则。
力的合成可以用来求解物体所受合力和合力的方向。
力的分解可以将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地研究力的作用效果。
通过对这些典型的矢量复习题的回顾，我们可以更好地理解和掌握矢量的基本概念、运算规则以及力学应用。
矢量作为物理学中的重要工具，对于解决实际问题和深入理解物理世界起着不可忽视的作用。
向量期末复习题
向量期末复习题向量期末复习题一、向量的基本概念和运算在物理学和数学中，向量是一种具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量的大小称为模，用绝对值表示，向量的方向可以用角度或者与坐标轴的夹角表示。
向量可以相加、相减和与标量相乘。
1. 请解释向量的模和方向的概念。
向量的模是指向量的大小，可以用绝对值表示。
向量的方向是指向量与某个参考方向之间的夹角。
2. 请说明向量的相加和相减运算规则。
向量的相加是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的相减是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
3. 请解释向量与标量的乘法运算。
向量与标量的乘法运算是指将向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
二、向量的表示和坐标向量可以用坐标表示，常用的坐标表示方法有分量表示和单位向量表示。
1. 请解释分量表示法。
分量表示法是指用向量在坐标轴上的投影表示向量，通常用一个有序数对表示，例如(a, b)。
2. 请解释单位向量表示法。
单位向量表示法是指用一个长度为1的向量表示向量的方向，通常用一个带有方向的箭头表示。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算。
1. 请解释向量的数量积。
向量的数量积（也称点积或内积）是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个标量。
2. 请解释向量的向量积。
向量的向量积（也称叉积或外积）是指将两个向量的模与它们夹角的正弦乘积得到一个新的向量。
四、向量的应用向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛的应用。
1. 请举例说明向量在物理学中的应用。
在物理学中，向量常用于描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 请举例说明向量在工程学中的应用。
在工程学中，向量常用于描述力、力矩和电场等物理量。
3. 请举例说明向量在计算机科学中的应用。
在计算机科学中，向量常用于图像处理、机器学习和计算机图形学等领域。
总结：向量是一种具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的模是指向量的大小，向量的方向是指向量与某个参考方向之间的夹角。
矢量方程复习题
矢量方程复习题矢量方程复习题矢量方程是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面或空间中的运动、力学等各种现象。
在解决实际问题中，矢量方程的应用非常广泛。
本文将以复习题的形式，带领读者回顾矢量方程的相关知识。
1. 假设有两个矢量a和b，它们的模分别为2和3，且夹角为60度。
求它们的数量积和向量积。
解析：数量积（点积）的定义为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为两个矢量的夹角。
根据题意，|a|=2，|b|=3，θ=60度。
代入公式，得到a·b=2*3*cos60°=3。
向量积（叉积）的定义为a×b=|a||b|sinθn，其中θ为两个矢量的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位矢量。
根据题意，|a|=2，|b|=3，θ=60度。
代入公式，得到a×b=2*3*sin60°n=3√3n。
2. 已知平面上有三个点A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)，求向量AB和向量AC的矢量方程。
解析：向量AB的定义为B-A=(3-1, 4-2)=(2, 2)。
向量AC的定义为C-A=(5-1, 6-2)=(4, 4)。
所以，向量AB和向量AC的矢量方程分别为：AB：r=(1, 2)+t(2, 2)，其中t为参数。
AC：r=(1, 2)+t(4, 4)，其中t为参数。
3. 已知平面上有一条直线L，过点A(-1, 2)且与向量v(3, -1)平行。
求直线L的矢量方程。
解析：直线L平行于向量v，所以直线L的方向向量与v相同。
所以，直线L的矢量方程为：r=(-1, 2)+t(3, -1)，其中t为参数。
4. 已知三角形ABC的顶点分别为A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)，求三角形ABC的面积。
解析：三角形ABC的面积可以通过向量积的模来求解。
向量AB的定义为B-A=(3-1, 4-2)=(2, 2)。
向量AC的定义为C-A=(5-1, 6-2)=(4, 4)。
专题2.1 矢量的运算问题(解析版)
第二部分 核心主干专题突破专题2.1 矢量的运算问题目录【突破高考题型】 (1)题型一 受力分析及力与物体的静态平衡 (1)题型二 动态平衡问题 (4)题型三 电场强度的叠加与计算 (10)题型四 磁场的叠加 (12)【专题突破练】 (14)【突破高考题型】题型一 受力分析及力与物体的静态平衡1．平衡条件F 合＝0或者⎩⎪⎨⎪⎧F x ＝0F y＝0。
2．整体法与隔离法在分析两个或两个以上的物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法交替使用。
3．共点力平衡的常用处理方法(1)合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
(2)效果分解法：将某个力按力的效果分解，其分力与其他力满足平衡条件。
(3)正交分解法：物体受到三个或三个以上共点力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组力，满足平衡条件F x ＝0，F y ＝0。
【例1】(2022·杭州二中综训)如图所示，物块A 放在直角三角形斜面体B 上面，B 放在弹簧上面并紧挨着竖直粗糙墙壁，处于静止状态，现用力F 沿斜面向上推A ，AB 仍处于静止状态，下列说法正确的是( )A ．未施加力F 时，B 受6个力，A 受3个力B ．未施加力F 时，B 可能受墙的摩擦力C ．施加力F 后，B 受到的弹簧弹力变小D ．施加力F 后，B 与墙之间一定存在摩擦力【答案】D【解析】开始时A静止，则A受到重力以及B对A的支持力、摩擦力共3个力的作用；根据共点力平衡可知，B对A的支持力与摩擦力的合力的方向竖直向上；开始时B也静止，则B受到重力、弹簧的弹力、A对B的压力与摩擦力，由于B对A的支持力与摩擦力的合力的方向竖直向上，则A对B的压力与摩擦力的合力方向竖直向下，所以B与墙壁之间没有力的作用。
所以B受到4个力的作用，A、B错误；对整体分析，由于AB不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，但F有竖直向上的分量，则根据平衡条件知，则B与墙之间一定有摩擦力，D正确。
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矢量分析与场论复习题注意题目中出现的e x i,e y T j,e z1.求下列温度场的等温线1)T = xy, 2) T= J ,x + y解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得C(1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = Cx '1.求下列标量场的等值面1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2)ax + by + cz解据题意可得(1)ax + by -\-cz=k(2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2(3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0,3.0)的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得—-x y 2z解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢量线方程。
3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。
4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求：1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数,2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。
2 2 解/ 的方向余弦为COS6Z = ;= ~^=,722 +32 +22V173 3 2 2COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=；A/22+32+22V17 722 +32 +22V175. 求标量场《 =小十)2 + "在点M o (l.O, 2.0, 3.0)处沿其矢径方向的方向 导数。
1 1cos a = , =—= A /12 + 22 +32 V146. 设有标量场u = 2xy-z 2，求u 在点(2.0, -1.0, 1.0)处沿该点至 (3.0, 1.0, ・1.0)方向的方向导数。
在点(2.0, -1.0, 1.0)沿什么方向的方向 导数达到最大值？其值是多少？解 点(2.0, -1.0, 1.0)至点(3.0, 1.0, -1.0)的方向余弦为当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G=-2“+4s -2®方向又 仃dudx6兀 + 2虬。
=12 ,du= 2z- -2y + 2x|% =4据 方 向导 数的 定du ~dl Modu dxducosa + — % 內 a du cos p+ —12x2-6x3 + 4x2 14cosy =------------ = ----------- =—=V17 V17I 的方向余弦为 cos/?=又有dudx=y + z=5 ,du二 x + z Mo=4,du 8z=y + x Mo ' =3方向 导数的定义可得du ~d lMo du5COSQ + —cos 0 +22 V14du dl乂有dudxMo的ouducos a + —cos/ 2x| = 4, ¥ = 一 2彳=-2 ° j %定 义 ，可_-2xl + 4x2 + 2x2 _ 10 - 3 "Tdu义 ， 可 得 VP+22+32 2 712 +22 +322V14 据 duOUcos/5xl+4x2+3x3cos a =3-2 J (3_2)2 +(1 + 1)2 +(_]_1)23-1-1 2cos/J (3-2)2 +(1 + 1)2 +(_1_1)2 8u导数达最大值，G =7(-2)2+42+(-2)2 =724 = 2^67.求下列标量场的1) u = 2xy； 2) u = x2 + y2； 3) u = e A sin y : 4)u = x2y3z4；5) u = 3x2 - 2y2 + 3z2解据「du du dudx dy y dz. z1) Vw =2ye x + 2xe y2) Vw =2xe x + 2ye y3) V H v •. x=e sin ye x + e cos ye v4) Vw =2xy3z4e A. +3x2y2^4e v +4x2y3z3e5) Vw =6xe x - 4 ye + 6ze:8・求标量场u = xy^ -2x + x2y在点(—1.0, 3.0,・2.0)处的梯度。
解Vu = (yz2 - 24- 2xy)e x +(xz2 +F»V + 2xyze_,则所求梯度为=(12-2-6>t + (- 4 + 1>V +12 乞=4e x- 3e y +12 乞9.求标量场l心』） = 3/+y2具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x2+/ = lo （提示：最大的方向导数就是在点（兀,y）处的梯度，模最大,口满足x2+/ = l,即求条件极值。
）解Vw = —e x + —e x = 6xe x + 2ye x, Vw = d36x2 +4y2 ,将y = ±J1& 労））v代入，可得|W| =』36〒+4（1_讨=丁32宀4,即[Vn]2 =32X2+4,当x = ±l> y = 0时，有|Vw|max =±6,即点（-1,0）和（1,0）为满足条件的点,乂%U））=—6j, ▽血o）=6j，即最大方向导数的方向分别为±510.设r = xe x + ye y + ze. , r - |r|, “为正整数,1)求"WW),2)证明▽ (a «r) = a,(a是常矢量)解1) V(r2)= V(x2 + y2+ z2)= 2X^A.+2ye y +2理=2r2)2“(2叫+2竺+2"J2 9+ y_ + z_2 —2 ,2)2▽(严)=▽ (/+),2 +z巧（厂）=广（厂）％ =广（厂）厂》=广（厂）二2) 证明设a = a x e x +a y e y +a.e.,贝tl ar- a x x^a y y^a_z , 因此，可得V(a-r) =V(a x x + a y y + a.z) = a x e x +a x e y + a.e:，证毕。
11.设S为上半球面x2+y2+z2=^2(z>0),其法向单位矢量-与z轴的夹角为锐角，求矢量场厂二.叫+)s+z—沿乞所指的方向穿过S的通量。
(提示：注意r与乞同向)解将r = ®+)s+“：用球坐标表示，则在S面上有r = ae n,因此，可得jr -d5 = ax Zm2 =2加'12.求均匀矢量场A通过半径为/?的半球面的通量。
(如图M所示)解设半球面的方程为x2+y2 +/ =/(zno),则矢量A通过S面的通量等于矢量A通过S面在z = 0的平面上的投影的通量，因此，= A加?彳13.计算曲而积分①=jj(x2 - 2xy)dydz + (y2一2yz)dzdx + (z - 2x + l)dxdy，其s 中S是球心在原点，半径为。
的球而外侧。
解设 A = (x2- 2xy)e x + (y2 - 2yz)e y + (z - 2x + l)e:，根据散度定理，可得①=Jj(%2 - 2xy)dydz + (j 卩2 - 2yz)dzdx + (z - 2兀 + l)dxdy =月4 • ds+ 2y -2z + 2z-2x + l)dv 二彳加14.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：1) A = x'e x + y3e v +z3e:, S 为球面/+于+/=/2 ) A =(兀一y + z)j+(y-z + x)0v+(z-兀+ y)冬，S 为椭球面解1)根据散度定理，可得月A -ds = j|J(V • A)dv = Jjj(3x2 + 3y2 + 3^2)dv = £3r2 x4m 2dr = —7ia5SV V 52)护出(1 + 1 + l)dv = 3x 牛加be = 4/iabc15.求下列空间矢量场的散度：1) A = (2z- 3y)e x + (3x - z)e y + (y - 2x)e.2) A = (3x2 -2yz)e x +(y3+yz2)e y + (xyz-3xz2)e z何八 V? 4 % °久 dA, 解 1) V-A = —- + —- + —- = 0dx dy dz八 l ▲ 3A r oA v 6A_A 9 /2) V -A = — +^— + —- = 6兀+ 3)厂 ++ xy - Gxz dx dy dz'16. 求div4在给定点处的值： 1) A = x 3e x +y 3e v 在 M (1.0, 0.0, ・1.0)处； 2) A = 4xe t -2xye v +z 2e :.,在 M (1.0, 1.0, 3.0)处；3) A = xyzr (r = xe K + ye y +ze_)在 M (1.0, 3.0, 2.0)处。
r}AnA riA解 1)竺= 3〒+3y2+3z2,贝|J\7・A 3 + 3 = 6dxdy dz2)V-A =-^ + —+ -^ = 4-2x + 2^ , PliJV-A =4-2 + 6 = 8dx dy dz M厂.8A x cA v dA_ ( \i3)二頁+可+1 = ¥・呵4^+)$ + %/,=2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyzKijv-A =6x1x3x2 = 36M17. 求标量场W = x 3/z 2的梯度场的散度。
解 Vw =学匕 + 学€、. + 学s = 3x 2y 4z 2e v +4x 3y 3z 2e r +2x 3y 4ze. dx d )^y 8z ) 、V • V M = 6xy 4z 2 +12x 3y 2z 2 +2x 3y 4 = 2xy 2(3y 2z 2 +6x 2z 2 +x 2y 2)18. 已知液体的流速场V =3x 2e x +5xye y +xyz 3e z ，问点 M (1.0, 2.0, 3.0)是否为源点? 解 V-v=6x + 5x + 3^z 2,由^Vvl^ =65^0,所以M 是源点。