矢量期末复习题.docx

矢量分析与场论复习题

注意题目中出现的e x i,e y T j,e z

1.求下列温度场的等温线

1)T = xy, 2) T= J ,

x + y

解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C

(1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = C

x '

1.求下列标量场的等值面

1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2)

ax + by + cz

解据题意可得

(1)ax + by -\-cz=k

(2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2

(3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~

2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0,

3.0)的矢量线方程。

解根据矢量线的定义，可得—-

x y 2z

解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2

将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢

量线方程。

3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。

解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z

解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。

4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求：

1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数,

2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。

2 2 解/ 的方向余弦

为COS6Z = ;= ~^=,

722 +32 +22V17

3 3 2 2

COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=；

A/22+32+22V17 722 +32 +22V17

5. 求标量场《 =小十)2 + "在点M o (l.O, 2.0, 3.0)处沿其矢径方向的方向 导数。

1 1

cos a = , =—= A /12 + 22 +32 V14

6. 设有标量场u = 2xy-z 2，求u 在点(2.0, -1.0, 1.0)处沿该点至 (3.0, 1.0, ・1.0)

方向的方向导数。在点(2.0, -1.0, 1.0)沿什么方向的方向 导数达到最大值？其值是多少？

解 点(2.0, -1.0, 1.0)至点(3.0, 1.0, -1.0)的方向余弦为

当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G=-2“+4s -2®方向

又 仃

du

dx

6兀 + 2虬。=12 ,

du

= 2z- -2y + 2x|% =4

据 方 向

导 数

的 定

du ~dl Mo

du dx

du

cosa + — % 內 a du cos p

+ —

12x2-6x3 + 4x2 14

cosy =------------ = ----------- =—=

V17 V17

I 的方向

余弦为 cos/?=

又有

du

dx

=y + z

=5 ,

du

二 x + z Mo

=4,

du 8z

=y + x Mo ' =3

方

向 导

数

的

定

义

可

得

du ~d l

Mo du

5

COSQ + —

cos 0 +

22 V14

du dl

乂有

du

dx

Mo

的

ou

du

cos a + —

cos/ 2x| = 4, ¥ = 一 2彳=-2 ° j %

定 义 ，可

_-2xl + 4x2 + 2x2 _ 10 - 3 "T

du

义 ， 可 得 VP+22+32 2 712 +22 +32

2

V14 据 du

OU

cos/

5xl+4x2+3x3

cos a =

3-2 J (3_2)2 +(1 + 1)2 +(_]_1)2

3

-1-1 2

cos/

J (3-2)2 +(1 + 1)2 +(_1_1)2 8u

导数达最大值，G =7(-2)2+42+(-2)2 =724 = 2^6

7.求下列标量场的

1) u = 2xy； 2) u = x2 + y2； 3) u = e A sin y : 4)

u = x2y3z4；5) u = 3x2 - 2y2 + 3z2

解据「

du du du

dx dy y dz. z

1) Vw =2ye x + 2xe y

2) Vw =2xe x + 2ye y

3) V H v •. x

=e sin ye x + e cos ye v

4) Vw =2xy3z4e A. +3x2y2^4e v +4x2y3z3e

5) Vw =6xe x - 4 ye + 6ze:

8・求标量场u = xy^ -2x + x2y在点(—1.0, 3.0,・2.0)处的梯度。解Vu = (yz2 - 24- 2xy)e x +(xz2 +F»V + 2xyze_,则所求梯度为

=(12-2-6>t + (- 4 + 1>V +12 乞=4e x- 3e y +12 乞

9.求标量场l心』） = 3/+y2具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足

x2+/ = lo （提示：最大的方向导数就是在点（兀,y）处的梯度，模最大,

口满足x2+/ = l,即求条件极值。）

解Vw = —e x + —e x = 6xe x + 2ye x, Vw = d36x2 +4y2 ,将y = ±J1

& 労））v

代入，可得|W| =』36〒+4（1_讨=丁32宀4,即[Vn]2 =32X2+4,当x = ±l> y = 0时，有|Vw|max =±6,即点（-1,0）和（1,0）为满足条件的点,乂%U））=—6j, ▽血o）=6j，即最大方向导数的方向分别为±5

10.设r = xe x + ye y + ze. , r - |r|, “为正整数,

1)求"WW),

2)证明▽ (a «r) = a,(a是常矢量)

解1) V(r2)= V(x2 + y2+ z2)= 2X^A.+2ye y +2理=2r

2)2“(2叫+2竺+2"J

2 9

+ y_ + z_

2 —2 ,2)2

▽(严)=▽ (/+),2 +z