知识点17 导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法

x 0
lim
x 0
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) a( x) 8x lim 8， x 0 sin x sin x sin x
f (1 sin x ) 3 f (1 sin x ) f (1 sin x ) f (1) 3[ f (1 sin x ) f (1)] lim lim x 0 x 0 sin x sin x sin x
设 f ( x ) 在 x 0 连续，且 lim
x 0
f ( x) 1 ，则曲线 y f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 x
.
解析：求切线的关键是确定切线的斜率，此题斜率需要通过极限式求得，利用导数
的定义求即可.
f ( x) 1 可推出 lim f ( x) 0 ，而据函数连续，得 f (0) 0, 再据导数的定义得 x 0 x 0 x f ( x) f (0) f ( x) f (0) lim lim 1 .因此切点为(0,0),切线的斜率为 f (0) 1 ，故曲线 x 0 x 0 x0 x y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x .
( x0 , y 0 ) .
解析：两曲线在 ( x0 , y0 ) 处有相同的切线，则 a x '
( x0 , y 0 )

x x0
= ln x '


x x0
，又因为
同时满足方程 y a x ( a 0) 和 y ln x ，联立即可求出 a 及 ( x0 , y0 ) .
（17.2）
据式（17.1）、（17.2）求得 k .
ab ( a b) 2 ab ( a b) 2 ，c .所以公切线方程为 y x 2 16 2 16
例17.9(难度系数0.8，跨知识点11，13) 已知 f ( x ) 是周期为5的连续函数，它在
x0
的某个邻域内满足关系式
y (ln x )
y x 1.
1 1 ，得 x =1, 切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 x
解： y x 1 . 例17.3(难度系数0.2)
设曲线 y a x ( a 0) 与曲线 y ln x 在点 ( x0 , y0 ) 处有公共的切线，求常数 a 及切点
据 lim
解： y x . 例17.6(难度系数0.4) 证明： y e ax sin bx 与 y e ax 在 x0
为常数）点相切.
2kp p + （ k ， a, b b 2b
解析：若两曲线在交点处的切线斜率相等，则两曲线相切.为此先验证曲线的交点，
再验证导数.
k ， a , b 为常数）点相切.
例17.7(难度系数0.6，跨知识点16)
lim
x 0
f ( x ) 在 ( , ) 内可导，周期为4，
f (1) f (1 x ) 1 ，则曲线 y f ( x ) 在点 (5, f (5)) 处切线的斜率为 2x ，法线的斜率为 . f (1) f (1 x ) f (1 x ) f (1) 1 lim 2 ，即 f (1) 2 ，所以曲线 x 0 2x x y f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 2 .
解得 x 2n (n ) ,即两条曲线在 x 2n (n ) 相切. 不妨仍设两曲线在点 ( x, y ) 直交,则
sin x tan x . 2 cos x sec x 1
解得 x (2n 1) (n ) ,即两条曲线在 x (2n 1) (n ) 直交. 例17.5(难度系数0.4，跨知识点16)
为 f ( x ) 是周期为5的连续函数，故只须求出 f (1), f (1) .
解：由
lim[ f (1 sin x ) 3 f (1 sin x )] lim[8 x a ( x )] ，
x 0 x 0
据函数连续，得 f (1) 3 f (1) 0 ，则 f (1) 0 . 又 另外 lim
ax 2k y e sin bx 得 sin bx 1 ，故交点的横坐标为 x0 （ k ）. ax b 2 b y e
证明：联立
因为
d ax ( e sin bx ) dx
x x0
ae
a (2 k ) b 2
1 e ，根据点斜式写出 f ( e)
解： y 1 x e ， y 1 e x e .
例17.2(难度系数0.2) 曲线 y ln x 上与直线 x y 1 垂直的切线方程为________
.
解析：基础题型. 直线 x y 1 的斜率为 1 ，因此所求切线的斜率为1，即
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解析： lim
x 0
据 f ( x ) 在 ( , ) 内可导，周期为4，因此 f ( x 4) f ( x ) 且 f ( x 4) f ( x ) ，故
f (5) f (1) 2 ，所以曲线 y f ( x ) 在点 (5, f (5)) 处切线斜率为 2 ，法线的斜率为
交点个数为1，因此得
y kx c ，得 x 2 ( a k ) x c 0 .因为切线与曲线 2 y x ax
( a k ) 2 4c 0 .
y kx c 联立 ，同理可得 2 y x bx
（17.1）
(b k ) 2 4c 0 .
哪些点垂直.
解析：设 y1 sin x 与 y2 tan x 在点 ( x, y ) 相切，则切线的斜率相等；若垂直，则切线
斜率相乘等于 1 .
解：因为 y1 ' cos x ， y2 ' sec 2 x .设两曲线在点 ( x, y ) 相切,则联立
sin x tan x , 2 cos x sec x
1 . 2
解： 2 ， .
1 2
例17.8(难度系数0.6) 求 y x 2 ax 与 y x 2 bx (b a 0) 的公切线方程. 解析：设出公切线方程，分别将此公切线方程与两函数联立，由切线与曲线交点
个数为1，求出 k 和 c .
解：令切线为 y kx c ，联立
解：若 y a x ，则 y
y0 ln x0 ，同时有
a 2 x
；若 y ln x ，则 y
1 .由题设知， y0 a x0 且 2x
1 a 1 ，解得 a ，切点为 ( e 2 ,1) . e 2 x0 2 x0
例17.4(难度系数0.4) 问: 曲线 y1 sin x 与曲线 y2 tan x 在哪些点相切,
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点17 导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法 精选习题 作者：邹群
例17.1(难度系数0.2) 曲线 y ln x 在点 P e,1 处的切线方程为
. ，法线方程为
解析：基础题型.切线斜率为 f ( e) ，法线斜率为
方程.
1 e
1 e
，
d ax (e ) dx
x x0
ae
a (2 k ) b 2
，
2k （ b 2b
所以
d ax ( e sin bx ) dx
x x0

d ax (e ) dx
x x0
，故 y e ax sin bx 与 y e ax 在 x0
f (1) 3 f (1) 4 f (1) ，
所以 f (1) 2 .而据函数周期为5，得 f (6) f (1) 0 ， f (6) f (1) 2 ，所求的切线方程 为 y 2( x 6) .
f (1 sin x ) 3 f (1 sin x ) 8 x ( x ) ，
其中 ( x ) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小量，且 f ( x ) 在 x 1 处可导，求曲线 y f ( x ) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程.
解析：为了求曲线 y f ( x ) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程，只需要求出 f (6), f (6) .因