计算方法三次样条插值课程设计
(精品)数值分析课程设计-三次样条插值
《数值分析课程设计-三次样条插值》报告掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被逼近函数的近似。
三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。
以第1 边界条件为例，用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。
通过Matlab 编制三次样条函数的通用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。
引言分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。
三次样条函数的定义及特征定义：设[a,b] 上有插值节点，a＝x1＜x2<…xn＝b，对应函数值为y1,y2,⋯yn。
若函数S(x) 满足S(xj) ＝ yj （ j ＝ 1,2, ⋯,n ）， S(x) 在[xj,xj+1] （ j ＝1,2,⋯,n-1）上都是不高于三的多项式（为了与其对应j 从1 开始，在Matlab 中元素脚标从1 开始）。
当S(x) 在 [a,b] 具有二阶连续导数。
则称S(x) 为三次样条插值函数。
要求S(x) 只需在每个子区间[xj,xj+1] 上确定 1 个三次多项式，设为：Sj(x)＝ajx3＋bjx2＋cjx＋dj, (j＝1,2,⋯,n-1) (1)其中aj,bj,cj,dj 待定，并要使它满足：S(xj)＝yj, S(xj-0)=S(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (2)S'(xj-0)=S'(xj＋0), S"(xj-0)=S"(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (3)式(2)、(3)共给出n＋3(n-2)＝4n-6 个条件，需要待定4(n-1) 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件。
数值分析课程设计报告书三次样条插值的三弯矩法
数值分析课程设计报告书院系名称：学生姓名：专业名称：班级：时间：实验一 三次样条插值的三弯矩法一、实验目的已知数据i x ,()i i y f x =,0,,i n =及边界条件()n j x y j j 1,0),(2=,求)(x f 的三次样条插值函数)(x S .要求输出用追赶法解出的弯矩向量0[,,]n M M M =及()(),0,,,0,1,2k i S t i m k ==的值.画出)(x S y =的图形,图形中描出插值点(,)i i x y 及(,())i i t S t 分别用‘o ’和‘*’标记.二、实验原理1.用追赶法求解第二类边界条件的三弯矩方程:0010012111121111[,,]21[,,]26[,,]212[,,]n n n n n n n n n n f x x x M f x x x M M f x x x M f x x x μλμλ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中1111,,j jj j j j j j j j j h h h x x h h h h μλ-+--===-++.2.得出样条函数表达式:332211111()()()()()6666j j j j j j j j j j j j j j j jx x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h +++++----=++-+-. 3.计算(k)(),0,,,0,1,2i S t i m k ==.三、实验结果所用数据:x=[-2.223,-1.987,-1.8465,-1.292,-1.2266,-1.1056,-0.8662,-0.6594,-0.2671,-0.0452,0.5385,1.2564,1.4398,1.5415,1.7646,1.9678,2.236];y=[0.83995,1.1696,1.3141,1.6992,1.7312,1.7847,1.8708,1.9262,1.9881,1.9997,1.9511,1.7169,1.618,1.5543,1.3871,1.191,0.81662];d2s1= -4.5000;d2sn= -4.8967; %第二种边界条件t=[-2.223,-1.9443,-1.6656,-1.3869,-1.1083,-0.82956,-0.55088,-0.27219,0.0065,0.28519,0.56387,0.84256,1.1212,1.3999,1.6786,2.236]; ;(指定计算点)计算结果:-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.50.811.21.41.61.82四、实验分析通过实验结果我们，知道三弯矩法求出满足初始条件的三次样条函数，与其他插值函数的构造相比，三次样条插值法的计算量要小得多。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值的求解
三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。
如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。
因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。
关键字:三转角方程 三弯矩阵方程0. 引言1，三次样条函数定义1：若函数2()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。
若节点j x 上 给定函数值()j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。
从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。
通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。
三次样条插值计算算法
/* 三次样条插值计算算法*/#include "math.h "#include "stdio.h "#include "stdlib.h "/*N：已知节点数N+1R：欲求插值点数R+1x，y为给定函数f(x)的节点值{x(i)} (x(i) <x(i+1)) ,以及相应的函数值{f(i)} 0 <=i <=NP0=f(x0)的二阶导数；Pn=f(xn)的二阶导数u:存插值点{u(i)} 0 <=i <=R求得的结果s(ui)放入s[R+1] 0 <=i <=R返回0表示成功，1表示失败*/int SPL(int N,int R,double x[],double y[],double P0,double Pn,double u[],double s[]){/*声明局部变量*/double *h; /*存放步长:{hi} 0 <=i <=N-1 */double *a; /*存放系数矩阵{ai} 1 <=i <=N ；分量0没有利用*/ double *c; /*先存放系数矩阵{ci} 后存放{Bi} 0 <=i <=N-1 */double *g; /*先存放方程组右端项{gi} 后存放求解中间结果{yi} 0 <=i <=N */double *af; /*存放系数矩阵{a(f)i} 1 <=i <=N ；*/double *ba; /*存放中间结果0 <=i <=N-1*/double *m; /*存放方程组的解{m(i)} 0 <=i <=N ；*/int i,k;double p1,p2,p3,p4;/*分配空间*/if(!(h=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);if(!(a=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(c=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);if(!(g=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(af=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(ba=(double*)malloc((N)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(m=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);/*第一步：计算方程组的系数*/for(k=0;k <N;k++)h[k]=x[k+1]-x[k];for(k=1;k <N;k++)a[k]=h[k]/(h[k]+h[k-1]);for(k=1;k <N;k++)c[k]=1-a[k];for(k=1;k <N;k++)g[k]=3*(c[k]*(y[k+1]-y[k])/h[k]+a[k]*(y[k]-y[k-1])/h[k-1]); c[0]=a[N]=1;g[0]=3*(y[1]-y[0])/h[0]-P0*h[0]/2;g[N]=3*(y[N]-y[N-1])/h[N-1]+Pn*h[N-1]/2;/*第二步：用追赶法解方程组求{m(i)} */ba[0]=c[0]/2;g[0]=g[0]/2;for(i=1;i <N;i++){af[i]=2-a[i]*ba[i-1];g[i]=(g[i]-a[i]*g[i-1])/af[i];ba[i]=c[i]/af[i];}af[N]=2-a[N]*ba[N-1];g[N]=(g[N]-a[N]*g[N-1])/af[N];m[N]=g[N]; /*P110 公式：6.32*/ for(i=N-1;i> =0;i--)m[i]=g[i]-ba[i]*m[i+1];/*第三步：求值*/for(i=0;i <=R;i++){/*判断u(i)属于哪一个子区间，即确定k */if(u[i] <x[0] || u[i]> x[N]){/*释放空间*/free(h);free(a);free(c);free(g);free(af);free(ba);free(m);return 1;}k=0;while(u[i]> x[k+1])k++;//p1=(h[k]+2*(u[i]-x[k])*pow((u[i]-x[k+1]),2)*y[k])/pow(h[k],3); //p2=(h[k]-2*(u[i]-x[k+1])*pow((u[i]-x[k]),2)*y[k+1])/pow(h[k],3);p1=(h[k]+2*(u[i]-x[k]))*pow((u[i]-x[k+1]),2)*y[k]/pow(h[k],3);p2=(h[k]-2*(u[i]-x[k+1]))*pow((u[i]-x[k]),2)*y[k+1]/pow(h[k],3); p3=(u[i]-x[k])*pow((u[i]-x[k+1]),2)*m[k]/pow(h[k],2);p4=(u[i]-x[k+1])*pow((u[i]-x[k]),2)*m[k+1]/pow(h[k],2);s[i]=p1+p2+p3+p4;}/*释放空间*/free(h);free(a);free(c);free(g);free(af);free(ba);free(m);return 0;}void main(){int N,R;double *x,*y,*u,*s;double P0,Pn;int i;/*验证算法：*/N=7;R=6;/*分配空间*/if(!(x=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(y=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(u=(double*)malloc((R+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(s=(double*)malloc((R+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}x[0]=0.5;x[1]=0.7;x[2]=0.9;x[3]=1.1;x[4]=1.3;x[5]=1.5;x[6]=1.7;x[7]=1.9;y[0]=0.4794;y[1]=0.6442;y[2]=0.7833;y[3]=0.8912;y[4]=0.9636;y[5]=0.9975;y[6]=0.9917;y[7]=0.9 463;u[0]=0.6;u[1]=0.8;u[2]=1.0;u[3]=1.2;u[4]=1.4;u[5]=1.6;u[6]=1.8;P0=-0.4794;Pn=-0.9463;if(!SPL( N, R, x, y, P0, Pn, u, s)){/*打印结果*/printf( "\nx= ");for(i=0;i <=N;i++)printf( "%8.1f ",x[i]);printf( "\ny= ");for(i=0;i <=N;i++)printf( "%8.4f ",y[i]);printf( "\n\nu= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.2f ",u[i]);printf( "\ns= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.5f ",s[i]);printf( "\nsin= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.5f ",sin(u[i]));}/*释放空间*/free(x);free(y);free(u);free(s);}/* 测试数据来自课本55页例5 《数值分析》清华大学出版社第四版*/ //输入327.7 4.128 4.329 4.130 3.013.0 -4.0//输出输出三次样条插值函数：1: [27.7 , 28]13.07*(x - 28)^3 + 0.22*(x - 27.7)^3+ 14.84*(28 - x) + 14.31*(x - 27.7)2: [28 , 29]0.066*(29 - x)^3 + 0.1383*(x - 28)^3+ 4.234*(29 - x) + 3.962*(x - 28)3: [29 , 30]0.1383*(30 - x)^3 - 1.519*(x - 29)^3+ 3.962*(30 - x) + 4.519*(x - 29)//三次样条插值函数#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;const int MAX = 50;float x[MAX], y[MAX], h[MAX];float c[MAX], a[MAX], fxym[MAX];float f(int x1, int x2, int x3){float a = (y[x3] - y[x2]) / (x[x3] - x[x2]);float b = (y[x2] - y[x1]) / (x[x2] - x[x1]);return (a - b)/(x[x3] - x[x1]);} //求差分void cal_m(int n){ //用追赶法求解出弯矩向量M……float B[MAX];B[0] = c[0] / 2;for(int i = 1; i < n; i++)B[i] = c[i] / (2 - a[i]*B[i-1]);fxym[0] = fxym[0] / 2;for(i = 1; i <= n; i++)fxym[i] = (fxym[i] - a[i]*fxym[i-1]) / (2 - a[i]*B[i-1]);for(i = n-1; i >= 0; i--)fxym[i] = fxym[i] - B[i]*fxym[i+1];}void printout(int n);int main(){int n,i; char ch;do{cout<<"Please put in the number of the dots:";cin>>n;for(i = 0; i <= n; i++){cout<<"Please put in X"<<i<<':';cin>>x[i]; //cout<<endl;cout<<"Please put in Y"<<i<<':';cin>>y[i]; //cout<<endl;}for(i = 0; i < n; i++) //求步长h[i] = x[i+1] - x[i];cout<<"Please 输入边界条件\n 1: 已知两端的一阶导数\n 2:两端的二阶导数已知\n 默认:自然边界条件\n";int t;float f0, f1;cin>>t;switch(t){case 1:cout<<"Please put in Y0\' Y"<<n<<"\'\n";cin>>f0>>f1;c[0] = 1; a[n] = 1;fxym[0] = 6*((y[1] - y[0]) / (x[1] - x[0]) - f0) / h[0];fxym[n] = 6*(f1 - (y[n] - y[n-1]) / (x[n] - x[n-1])) / h[n-1];break;case 2:cout<<"Please put in Y0\" Y"<<n<<"\"\n";cin>>f0>>f1;c[0] = a[n] = 0;fxym[0] = 2*f0; fxym[n] = 2*f1;break;default:cout<<"不可用\n";//待定};//switchfor(i = 1; i < n; i++)fxym[i] = 6 * f(i-1, i, i+1);for(i = 1; i < n; i++){a[i] = h[i-1] / (h[i] + h[i-1]);c[i] = 1 - a[i];}a[n] = h[n-1] / (h[n-1] + h[n]);cal_m(n);cout<<"\n输出三次样条插值函数：\n";printout(n);cout<<"Do you to have anther try ? y/n :";cin>>ch;}while(ch == 'y' || ch == 'Y');return 0;}void printout(int n){cout<<setprecision(6);for(int i = 0; i < n; i++){cout<<i+1<<": ["<<x[i]<<" , "<<x[i+1]<<"]\n"<<"\t";/*cout<<fxym[i]/(6*h[i])<<" * ("<<x[i+1]<<" - x)^3 + "<<<<" * (x - "<<x[i]<<")^3 + "<<(y[i] - fxym[i]*h[i]*h[i]/6)/h[i]<<" * ("<<x[i+1]<<" - x) + "<<(y[i+1] - fxym[i+1]*h[i]*h[i]/6)/h[i]<<"(x - "<<x[i]<<")\n";cout<<endl;*/float t = fxym[i]/(6*h[i]);if(t > 0)cout<<t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)^3";else cout<<-t<<"*(x - "<<x[i+1]<<")^3";t = fxym[i+1]/(6*h[i]);if(t > 0)cout<<" + "<<t<<"*(x - "<<x[i]<<")^3";else cout<<" - "<<-t<<"*(x - "<<x[i]<<")^3";cout<<"\n\t";t = (y[i] - fxym[i]*h[i]*h[i]/6)/h[i];if(t > 0)cout<<"+ "<<t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)";else cout<<"- "<<-t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)";t = (y[i+1] - fxym[i+1]*h[i]*h[i]/6)/h[i];if(t > 0)cout<<" + "<<t<<"*(x - "<<x[i]<<")";else cout<<" - "<<-t<<"*(x - "<<x[i]<<")";cout<<endl<<endl;}cout<<endl;}。
三次样条插值PPT学习教案
x1,x2,…,xn 称为
Sm(x1, x2, …, xn)
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m=1时，样条函数是分段线性函数； m=2时，是1阶连续可微的分段二次多 项式； 显然, m次样条函数比一般的m次分段插值多 项式的 光滑性 好。 问题: 如何判断一个分段的多项式函数是样条 函数? 设
s(x)
p0 (x), x x1
从而，
a b c 3 3a 2b c 5 6a 2b 8
a 2, b 2, c 3。
第10页/共31页
5.3.2 三 次样条 插值及 其收敛 性(简 介，学 生自学)
有些实际问题中提出的插值问题，要求 插值曲 线具 有较高的光滑性和几何光顺性。 模线员用压铁压住弹性均匀的窄木条 （样条 ）的两 端， 强迫样条通过一组已知离散的型值点 。 的形状后，再沿着样条画出所需的曲 线。 形下，该曲线可以由三次样条函数表 示。 插值不仅具有较好的收敛性和稳定性 ，而且 其光滑 性也 较高，因此，样条函数成为了重要的 插值工 具。
进一步可得，
光滑因子
pj (x) pj1(x) qj (x)
第4页/共31页
j 1, 2, , n
对于满足上述性质的如下形式的分段 m次多 项式s(x) ，
p0 (x), x x1
s(x)
p1(x), x1 x x2
pj (x), xj x xj1
pn (x), xn x
pj (x) Pm( j 0,1,...,n)
a 11 a 2 ,
b 1 3 b 2 , c 3。
2）由连续性，应有
ax3 bx2 cx 1 x3 x2
即，
x 1
x 1
a b c 1 13 12 2 a b c 3
三次样条插值
2012-2013（1）专业课程实践论文三次样条插值樊旭，0818180212，R数学08-2班当插值节点很多时，插值多项式的次数就会很高，这不仅增大了计算量，还会影响结果的精确度。
虽然可以采用原始的插值法，但是主要缺点就是分段接头处不光滑，导数不连续。
因此构想了这样的函数，既能分段的低次插值，又能保证接头处光滑，就产生了三次样条插值。
三次样条插值应该满足的条件：1：满足定义2：S(f x -0)=S(f x +0), S '(f x -0)= S '(f x +0),S ''( f x -0)= S ''(f x +0) 3：边界条件：(1) S '(n x )=0f 'S '(n x )=n f '(2) S ''(0x )=0f 'S ''(n x )=n f '(3) S ''(0x )=S ''(n x )=04：周期函数时：S(0x +0)=S(n x -0),S '(0x +0)=S '(n x -0),S ''(0x +0)=S ''(n x -0),计算方程：1：三转角方程：S(x)=[][][][]11221112212233)()()(2)()(2)(++++++--+--+-+-+-+-j j j j j j j j j j j j j j j j j j m h x x x x m h x x x x y h x x h x x y h x x h x x2：三弯矩方程：S(x)=()j j j j i j j j j i j j J j j j h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+++++666)(6221113131 以1为例用VC++程序编程就求解NN输入n,xi,yi,和待估点xx ，边界条件。
数值分析课程设计--三次样条插值
《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。
二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。
(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。
(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。
三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月三次样条插值摘 要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
关于三次样条插值的教学研究
关于三次样条插值的教学研究摘要：三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，可以在数据点之间建立平滑的曲线。
本研究旨在探讨三次样条插值的教学方法和效果。
通过案例分析和实验研究，我们发现三次样条插值的教学可以通过让学生理解插值原理、掌握插值算法和应用样条插值进行实际问题的求解等多方面的方法来实现。
此外，我们还分析了教学评价问题，并提出了提高三次样条插值教学质量的建议。
关键词：三次样条插值、教学、案例分析、实验研究、教学评价。
正文：引言三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，它可以在数据点之间建立平滑的曲线。
这种方法广泛应用于数学、物理、工程等领域中的数据处理和分析。
因此，三次样条插值的教学需要让学生掌握它的原理和算法，并能够应用它解决实际问题。
本研究旨在探讨三次样条插值的教学方法和效果。
一、案例分析我们收集了一些案例，旨在通过实际应用的方式帮助学生理解三次样条插值的原理和算法。
例如，我们可以让学生通过拟合已知数据点，建立一个目标函数来预测未知数据点的取值。
通过这样的案例，学生可以掌握插值算法以及插值方法的优缺点等。
二、实验研究在教学过程中，我们进行了实验研究，旨在评估学生对三次样条插值的学习效果和应用情况。
我们利用实验数据、模拟数据和真实数据等，让学生自己编写程序来应用三次样条插值算法进行拟合和预测。
通过实验研究，我们发现学生的应用水平和创新能力都得到了提高，同时我们也发现了一些教学方法上的问题和改进点。
三、教学评价问题在教学评价方面，我们注意到学生的评价可能受到误导或者缺乏意义。
例如，学生可能会过于关注算法的细节而忽略了方法的实际应用，或者过于依赖某一种插值方法而缺乏对多种插值方法的比较和评价。
因此，我们需要引导学生关注实际应用和方法评价等方面。
结论与建议通过案例分析和实验研究，我们认为三次样条插值的教学可以通过多种方法来实现，包括让学生理解插值原理、掌握插值算法和应用样条插值进行实际问题的求解等。
同时，我们也发现了一些教学评价问题，并提出了一些建议，希望能够提高三次样条插值教学的质量。
三次样条插值课程设计含代码和图
一、背景L-插值（牛顿插值）Hermite 插值 高次插值出现龙格现象 分段插值 分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite 插值 但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite 插值解决问题）定义：满足条件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数)(...][],[)(110x s bx x x x a b a b a x f n n =<<<<=∆- 次的多项式；是一个不超过上在每个小区间m x s n k x x k k )(),...,2,1](,[)1(1=+阶的连续倒数。
处具有（在节点1m ),...,2,1)3(-=n k x k );,...2,1,0()()(1n j x f x s j j ==）（一、上机实验的问题和要求（需求分析）：掌握三次样条插值法的上机编程运算。
掌握分析插值结果优劣的方法实验内容已知 x = [1 2 4 5 6 7];y = [1 3 4 2 3 4];试计算f （3）近似值，计算与精确值之间的误差，验证实际结果和理论 结论的一致性。
二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：三、主要程序代码或命令：clear; clc; close all;x = [1 2 4 5 6 7];y = [1 3 4 2 3 4];n = length(x);A = zeros(n,n);d = zeros(n,1);m=zeros(n,1);mu = zeros(n-2,1);lambda = zeros(n-2,1);h = zeros(n-1,1);lambda = zeros(n-2,1);h = zeros(n-1,1);h(1) = x(2) - x(1);for j = 2:n-1h(j) = x(j+1) - x(j);lambda(j-1) = h(j)/(h(j) + h(j-1));mu(j-1) = 1 - lambda(j-1);d(j) = 3*(mu(j-1)*(y(j+1)-y(j))/h(j)+lambda(j-1)*(y(j)-y(j-1))/h(j-1)); endfor j = 2:n-1A(j,j) = 2;A(j,j+1) = mu(j-1);A(j+1,j) = lambda(j-1);endA(n,n) = 2;A(1,1)=2;A(1,2)=1;A(n-1,n)=1;A(n,n)=2;d(1)=3*(y(2)-y(1)/h(1));d(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1);m = A\d;C = zeros(n-1,3);for j = 1:n-1C(j,1) = m(j);C(j,2) = (3*(y(j+1)-y(j))/h(j)-2*m(j)-m(j+1))/h(j);C(j,3) = (m(j+1)+m(j)-2*(y(j+1)-y(j))/h(j))/(h(j)*h(j));endh_test = 0.01;m = length(x_test);y_test = zeros(m,1);j = 1;for i = 1:mif x_test(i) <= x(j+1)y_test(i) = y(j) + C(j,1)*(x_test(i) - x(j)) + C(j,2)*(x_test(i) - x(j))^2 + C(j,3)*(x_test(i) - x(j))^3;elsej = j + 1;y_test(i) = y(j) + C(j,1)*(x_test(i) - x(j)) + C(j,2)*(x_test(i) - x(j))^2 + C(j,3)*(x_test(i) - x(j))^3;endplot(x,y,'*',x_test,y_test,'r')legend('²åÖµ½Úµã','Èý´ÎÑùÌõ',2)axis autox_nu = 3;for j = 1:n-1if x_nu > x(j) && x_nu <= x(j+1)break;elsecontinue;endendy_nu = y(j) + C(j,1)*(x_nu - x(j)) + C(j,2)*(x_nu - x(j))^2 + C(j,3)*(x_nu - x(j))^3;y_nu四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施：下标不统一，matlab从1开始五、运行输出结果及分析：。
三次样条插值
3．6三次样条插值一、教学目标及基本要求通过对本节的学习，使学生掌握三次样条插值方法。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍线性方程求根的迭代法的加速方法。
要求1．了解数值分析的三次样条函数及有关概念。
2．正确理解三次样条差值的基本思想、数学原理、算法设计。
3．了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解三次样条插值的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。
4．掌握三次样条差值原理和程序设计方法。
三、教学重点难点1．教学重点：三次样条函数、三次样条插值。
2. 教学难点：三次样条插值。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解，迭代加速的算法实现。
五、教案正文一 样条函数的概念分段线性插值在节点处没有连续的一阶导函数，其光滑性较差。
对于飞机的机翼的型线及船舶型往往要求有二阶光滑度（即在节点处要求二阶导函数连续）。
样条函数的概念来源于工程设计的实践。
所谓“样条”（spline）是早期工程设计中的一种绘图工具，它是富有弹性的细长条。
绘图时，用压铁迫使样条通过指定的型值点，并保证样条的光滑外形。
在绕度不大的情况下，样条的曲线即为三次样条函数。
二 几何意义三 构造三次样条函数的理论分析如上图所示，通过已知的六个点，构造5个三次多项式函数分别是：红色、蓝色、黑色、紫色和绿色5根曲线。
为确定一根曲线，就需要确定4个待定系数，所以总共需要4*5=20个待定系数。
另外，分析需要的约束条件。
每一根函数都要过已知的左右两个点，则有5*2=10个约束条件。
此外，每两个相邻曲线在相邻点处要求充分光滑，即在连接点处左右两个函数在该点具有1次和2次的导函数连续，图中有4个“中间点”，故又有4*2=8个约束条件。
若在整个图形的两端在加2个约束条件，整个3次样条函数就确定了。
如：①左右两端点上的1阶导函数已知；②左右两端点上的2阶导函数已知，如()()00n S x S x ′′′′==（称为自然边界条件）； ③若原来的函数f(x)是以xn-x0为周期的周期函数，则y0=yn，且()()000n S x S x ′′′′+=−。
三次样条插值
其中c1=b1-(1-a1)m0, cn-1=bn-1-an-1)mn
2011-1-1
光电学院 肖慧敏----数值计算
例1. 给定数据 x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 求 f (x)的自然(边界条件)3次样条插值函数， 并求f (3)和f(4.5)的近似值。 解： 记 x0 = x 1 -2，x2 = 4， 3 =5，则 x
一、三次样条插值简介
样条插值是一个基于工程方法的用语，三次样条插 值就是对一般的多项式插值问题，在每个小区间上 采用标准的三次样条函数而形成的方法。 在实际操作过程中，我们是利用三次Hermit分段插 值的原理形成三次样条插值，所以我们是借用样条 这个名词。 大家要记住，以计算函数值为目标的插值方法的重 要性已经大为降低，而“捡便宜”式的插值方法的 应用以突显其重要意义。 所以目前大体了解一下三次样条插值方法，真正在 工程总要用到它时，在花些时间研究一下，编出计 算程序也不太难。
2011-1-1 光电学院 肖慧敏----数值计算
二、三次样条插值（问题与思路）
对于一般的n个基点的插值问题（同样假定 a=x0<x1<…<xn=b），假设基点处的导数值分别为 m0,m1,…,mn,利用分段三次Hermit插值方法，记第 Si(t)为第i个区间[xi-1,xi]上的三次Hermit插值函数 Si(t)=y0 ϕ0(t)+y1ϕ1(t)+himiψ0(t)+himi+1ψ1(t) 其中hi=xi+1-xi,t=(x-xi)/hi 假如m0和mn是已知的，对于0<i<n,我们可以利用 Si-1(t)和Si(t)在x=xi处的二阶导数值相等来组织n-1个 方程，由此确定m1,m2,…,mn-1,从而形成一个完整的 方法。
三次样条插值算法详解
如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数,则其必满足
插值条件： 连续性条件：
一阶导数连续条件：
二阶导数连续条件：
S(x j ) y j , j 0,1,, n
lim
xx j
S(x)
S(xj )
yj,
j
1,, n
1
lim
xx j
S ( x)
S(x j
)
mj
,
j
1,, n
1
lim
xx j
S
(
x)
S(
S(x)
(3x
3
16 x 2
27 x
14)
15
(x3 8x2 21x 18) 15
0 x 1 1 x 2
2 x3
10
三次样条插值函数的求法
通常有三转角法、三弯矩法、B样条基函数法。
这三种方法的基本思想是类似的，都是通过待定 某些参数来确定插值函数，但肯定不是待定4n个参
数。而是利用已知条件将待定参数减小到最少。
第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即
s3 (x0 ) m0 f (x0 ), s3 (xn ) mn f (xn ),
6
第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即
s3(x0 ) M 0 f (x0 ),
s3(
xn
)
Mn
f (xn ),
特殊情况为自然边界条件：
由区间端点处的二阶导数恒为0给出即
化为矩阵形式
17
2 1
2
2
2
m1 g1 1m0
m2
g2
3 2 3 4 2
m3
g3
n2 2 n2 mn2
学会运用三次样条函数插值
实验目的：学会运用三次样条函数进行函数插值实验内容：给定插值条件如下：i 0 1 2 3 4 5 6 7X i8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.166 10.2 Y i0.0774 0.099 0.280 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177 作三次样条函数插值，取第一类边界条件Y0’=0.01087 Y7’=1001.画出插值曲线的图像。
程序如下：%将插值点的坐标值输入matlabx=[8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.166 10.2];y=[0.0774 0.099 0.280 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177];%调用三次样条函数，并给出第一类边界条件即 Y0’=0.01087 Y7’=100 cs = spline(x,[0.01087 y 100]);%给定x（0）到x(7)之间的作图点数，即1000xx=linspace(8.125,10.2,1000);%绘制图像plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-')grid on插值曲线：2．逆时针旋转座标轴45o保持（1．）中结点和边界条件的几何关系不变，再次作三次样条函数插值，画出插值曲线的图像。
程序如下：x=[8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.166 10.2];y=[0.0774 0.099 0.280 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177];%用坐标转换求出坐标轴旋转45度后插值点新的坐标值x1=x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4);y1=-x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4);%求出坐标轴转换后新的边界值Y0=(0.01087-1)/(0.01087+1);Y7=(100-1)/(100+1);cs = spline(x1,[Y0 y1 Y7]);xx=linspace(x1(1),x1(8),1000);plot(x1,y1,'o',xx,ppval(cs,xx),'-')grid on其中在求解边界条件用转换关系tan(45)θ-，θ为在原图像中边界点的切线与原x坐标轴的夹角差值曲线：。
三次样条插值函数
沈阳航空航天大学数学软件课程设计（设计程序）题目三次样条插值函数班级 / 学号学生姓名指导教师沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称数学软件课程设计院（系）理学院专业信息与计算科学班级学号姓名课程设计题目三次样条插值函数课程设计时间: 2010 年12月20日至2010 年12月31日课程设计的内容及要求：1.三次样条插值函数给出函数在互异点处的值分别为。
(1)掌握求三次样条插值函数的基本原理；(2)编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数；(3)在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数的图形，并在该图形界面中同时画出的图形。
[要求]1.学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；2.严格遵守上机时间安排；3.按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；4.根据任务书来完成课程设计论文；5.报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”；6.报告上交时间：课程设计结束时上交报告；7.严谨抄袭行为。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日沈阳航空航天大学课程设计成绩评定单课程名称数学软件课程设计院（系）理学院专业信息与计算科学课程设计题目三次样条插值函数学号姓名指导教师评语：课程设计成绩指导教师签字年月日目录一正文 (1)1问题分析 (1)1.1 题目 (1)1.2 分析 (1)2 研究方法原理 (1)2.1 求三次样条插值多项式，算法组织 (1)3 算例结果 (3)二总结 (7)参考文献 (8)附录 (9)源程序: (9)程序1 (9)程序2 (10)程序3 (12)程序 4 (12)一 正文1问题分析 1.1 题目三次样条插值函数给出函数在互异点处的值分别为。
（1）掌握求三次样条插值函数的基本原理；（2）编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数； （3）在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数图形，并在该图形界面中同时画出的图形。
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摘要本文细致的讲解了三次样条插值函数的产生及在实际中解决的问题，通过MATLAB的程序编写，可以将复杂的计算省去，直接的给出了三次样条插值的结果与实际结果间的误差，验证实际结果和理论值的一致性。
避免了求解方程中的不必要计算，使求解效率得到显著的提高。
关键词插值函数三次样条插值 MATLAB1 三次样条插值函数概论当插值节点很多时,插值多项式的次数就会很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数.1.1定义设函数()f x 市区间[a,b]上的二次连续可微函数，在区间[a,b]上给处一个划分。
设函数()f x 是区间[a,b]上的一个划分011...n n a x x x x b -∆=<<<<=如果函数()S x 满足条件（1）在每个小区间1[,]k k x x +（k=1,2,….,n ）上()S x 是一个部超过m 次的多项式。
（2）在节点k x （k=1,2,….,n ）处具有m-1阶的连续导数。
（3）()()(0,1,2,...)j j s x f x j n ==1.2三次样条差值函数的构造由于三次样条插值我、函数s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为'()(0,1,...,)k s x m k n == （1.01）根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间)1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上市不超过三次的多项式。
在每一个小区间)1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上，其二阶导数为线性函数，即''1111()k kk k k k k kx x x x s x m m x x x x ++++--=+-- （1.02）对式（1.02）积分两次，则得到k k k kk k k k k b x x a h x x m h x x m x s +-+-++=++)(6)(6)()(3131 （1.03）其中k k k k k b a x x h ,,1-=+为任意常数。
又根据样条插值函数定义中的条件（3），即k k k y x f x s ==)()(111)()(+++==k k k y x f x s可以确定k a 与k b 为k a =)(611k k k k k k m m hh y y ---++62k kk k h m y b -= （1.04）将式（1.04）中k a 与k b 的值代入表达式（1.03后，就可以得到样条插值函数)(x s 在区间],[1+k k x x 上的表达式为6))((66)(6)()(2113131k kk k k k k k k k k k k k k k h m y x x m m h h y y h x x m h x x m x s -+----+-+-=++++ （1.05）其中k m 与1+k m 分别为区间],[1+k k x x 两端点处的二阶导数值。
由此可以看处，只要能确定各点处的二阶导数值k m )1....,1,0(-=n k ，则子渠道间上的三次样条插值函数)(x s 也确定了。
)(x s 在区间[a,b]上的一阶导数连续，在各节点的左右两子区间上的s(x)虽然不同，但在连接点处的导数存在，即在连接点处的左右导数相等，有)0()0(''+=-k k x s x s（1.06）为了利用条件（2.18），在x 属于],[]1+k k x x 时，县求)('x s 为)(62)(2)()(112121'k k kk k k k k k k k k m m h h y y h x x m h x x m x s ---+-+--=++++（1.07）当x 属于],[1+k k x x 时，11'63)0(++---=+k k k k k k k k m hm h h y y x s（1.08）整理得：)1,.....,2,1(2)1(11-==++-+-n k m m m k k k k k λμμ（1.09）其中1-+=k k kk h h h μ)(61111--+----+=k k k k k k k k k h y y h y y h h λ2 实际问题举例分析例：2.1计算思想设'(0)s m =先求分段Hermite 插值.在[-1,1]上,易知二次函数()22p x x x=+满足(1)1,(0)0,p p -=-= '(1)0p -=为使得三次函数S(x)满足(1)(1)1s p -=-=-,(0)(0)0S p ==,''(1)(1)0,S p -=-=令2()()(1)S x p x c x x =++有'2()22[2(1)(1)]S x x c x x x =+++++.由'(0)2S c m =+=得2c m =-,从而22()2(2)(1)S x x x m x x =++-+在[0,1]上,易得2()(1)p x cx x +-有'2()43[(1)2(1)]S x x c x x x =-++-+-显然(0)(0)0S p ==及(1)(1)1S p ==及''(1)(1)1S p ==-又由'(0)3S c m =+=有3c m =- 从而22()23(3)(1)S x x x m x x =-++-- 求导得2'22(2)[2(1)(1)],10()4(3)[4(1)2],0 1.x m x x x x S x m x x x ⎧++-+++-≤≤=⎨-+--+≤≤⎩最后有''''7(00)(00)24(2)44(3)4S S M m m -=+⇒+-=---⇒=得3232117,10424()517,01424x x x x S x x x x x ⎧-++-≤≤⎪⎪=⎨⎪-++≤≤⎪⎩2.2主要程序代码及命令Function m=naspline(x,y,dy0,dyn,xx)%用途:三样条插值(一阶导数边界条件)%格式:m=naspline(x,y,dy0,xx) x为节点向量,y为数据,dy0,dyn为左右%两短点的一介倒数值,如果xx 缺省,则输出各节点的一阶导数值,m 为xx %的三样条插值n=length(x)-1;h=diff(x);lemda=h(2:n)./(h(1:n-1)+h(2:n));mu=1-lemda;g=3*(lemda.*diff(y(1:n))./h(1:n-1)+mu.*diff(y(2:n+1))./h(2:n));g(1)=g(1)-lemda(1)*dy0;g(n-1)= g(n-1)-mu(n-1)*dyn;%求解三对角方程dy=nachase(lemda,2*ones(1:n-1),mu,g);m=[dy0;dy;dyn];if nargin>=5s=zeros(size(xx));for i=1:nif i==1,kk=find(xx<=x(2));elseif i==nkk=find(xx>x(n));elsekk=find(xx>x(i)&xx<=x(i+1));endxbar=(xx(kk)-x(i))/h(i);s(kk=alpha0(xbar)*y(i)+alpha1(xbar)*y(i+1)+…h(i)*beta0(xbar)*m(i)+h(i)*beta1(xbar)*m(i+1);endm=s;endfunction x=nachase(a,b,c,d)n=length(a);for k=2:nb(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);d(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);endx(n)=d(n)/b(n);for k=n-1:-1:1x(k)=(d(k)-c(k)*x(k+1))/b(k);endx=x( : );function y=alpha0(x)y=2*x.^3-3*x.^2+1;function y=alpha1(x)y=-2*x.^3+3*x.^2;function y=beta0(x)y=x.^3-2*x.^+x;function y=beta1(x)y=x.^3-x.^2;2.3结果演示naspline([-1 0 1],[-1 0 1],0,-1) %输入m的值ans=1.7500-1.0000naspline([-1 0 1],[-1 0 1],0,-1,-1:0.25:1)ans=-1.0000 -0.9258 -0.7188 -0.4023 0 -2.2444 -1.631 -1.10981 -0.7500总结随着计算机技术及硬件设施的不断发展，计算机语言的演化从最开始的机器语言到汇编语言，最后到支持面向对象技术的面向对象语言。
这就要求提供的计算方法也不断发展。
同时在实践也给旧的插值逼近方法不断提出问题，这就要求新的插值逼近方法要更复杂，误差精度更高，同时解决更多方面的问题。
插值逼近方法的发展也需要新的理论指导。
自然辩证法的科学理论中提到科学“范式”概括了插值逼近法得法的发展过程．辩证唯物主义自然观、自然科学发展过程及其规律，分析与综合、归纳法与演绎法、想象和类比等科学逻辑思维方法的应用都在插值逼近理论的发展过程中起到了重要作用。
用科学的逻辑思维方法认识事物才会清楚的了解其过去、现在和未来．计算数学中的插值逼近方法发展同样遵循着科学技术、科学理论发展的一般规律．以自然辩证法的观点来分析．有助于我们更加深入地认识插值逼近以及整个数值计算方法发展的历史、现状和趋势。
插值逼近方法及数学理论的进一步发展也必将为自然辩证法的发展提供基础。
本次的课程设计的整个过程让我认识到了基础知识的欠缺，我通过查阅大量的资料，重新阅读关于计算方法、数学分析、高等代数、MATLAB方面的书籍，从根源上了解，三样条插值的由来和应用范围等，是我受益良多。
切切实实的认识的努力学习的重要性。
参考资料[1]陈辉，李文宇，张传芳数值计算方法哈尔滨哈尔滨工业大学出版社，2009[2]李庆扬，易大义，王能超. 现代数值分析. 北京高等教育出版社，1995[3]刘春风，何亚丽，应用数值分析北京冶金工业出版社 2005[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005。