第1章引言

x = [· · · , x−1 , x0 , x1 , · · · ] 或者 x =
. . . x(−1) x(0) x(1) . . .
.
2
第 1章
引言
图 1.1(a) 给出了连续信号 cos t, t ∈ [−2π, 2π] 的图形，图 1.1(b) 中的离散信号为 en , n = 0, 1, · · · , 10.
1.3
小波与滤波器
傅里叶分析只是一种纯频域的分析方法, 它不能提供局部时间域上的函数特征. 另外, 从函数空间上讲, 傅里叶分析只在 L2 (R) 中有效, 对 p = 2 的 Lp (R) 空间, 傅里叶系数只是 形式上的展开, 而不能刻画函数的大小和形态. 所以, 长期以来, 数学家和工程师们一直在 努力寻找一种更好的基函数, 使函数不但能得到一种新的正交展开, 而且又能同时显示出 时间域、 频率域上的局部特征. 这样的基就是小波基, 其定义如下. 定义 1.3.1 假设 a > 1, b > 0, 如果 ψl;j,k (x) : ψl;j,k (x) = a 2 ψl (aj x − kb), j, k ∈ Z, l = 1, 2, · · · , L
j
(1.19)
构成 L2 (R) 的一个标准正交基, 那么称有限函数集 ΨL = {ψ1 , ψ2 , · · · , ψL } 为 L2 (R) 中的标 准正交小波，其中 Z 为所有整数组成的集合，在实际应用中，经常取 a = 2, b = 1. 对小波基的存在性、 构造和性质的研究就是小波分析， 对它的研究， 可以追溯到 20 世 纪初. • 1910 年, 数学家 Haar 提出了“小波”规范正交基, 即 Haar 基; • 1938 年, Littlewood 和 Paley 建立了 Littlewood-Paley 理论, 这可以认为是多尺度分 析思想的最早来源; • 1981 年, Str¨ omberg 对 Haar 系进行改进, 证明了小波函数的存在; • 1986 年, 法国数学家 Meyer 创造性地构造出了一个具有一定衰减性的光滑函数, 它的 二进制伸缩和平移系 {ψj,k (t) = 2−j/2 ψ (2−j t − k ) : j, k ∈ Z} 构成 L2 (R) 的规范正交 基, 实现了信号在时频空间同时局部化的正交分解; • 1987 年, Meyer 和 Mallat 合作将计算机视觉领域内的多尺度分析引入到小波分析中, 从而成功地统一了在此之前的 Str¨ omberg，Meyer，Lemarie 和 Battle 等提出的各种 具体小波函数的构造; • 1988 年, 小波的另一位奠基人：Daubechies, 构造出了具有紧支撑的正交小波基，它 为数字信号的小波分解提供了有限的从而更实际、 更具体的数字滤波器;
∞
x ∗ y (n) =
k=−∞
x(k )y (n − k ).
对于离散信号 {x(n)}∞ 其 Z 变换定义如下： n=−∞ ，
∞
x(z ) =
n=−∞
x(n)z −n ,
(1.18)
这里 z 为复数，一般定义为 z = reiω , 并且上述定义的级数并不是对所有 z 都收敛，对于 使得
∞
|x(n)z −n | < ∞
n∈Z
通过对信号平移 n0 ，我们可以得到 δ (n − n0 )，该信号在 n = n0 处为 1，其他处为 0， 进一步容易得到: x(n)δ (n − n0 ) = x(n0 ).
n∈Z
(1.2)
另外， 也可以借助单位脉冲信号得到其他特殊信号， 如图 1.2(b) 所示的阶跃信号 u(n), 其定义为 u(n) = 它可以表示为
+∞
1, n
0;
0, n < 0,
u(n) =
j =0
δ (n − j ).
对于连续和离散信号， 还可分为周期和非周期的信号.
1.1 信号与采样
3
图 1.2
单位脉冲信号 (a) 和阶跃信号 (b)
定义 1.1.1 (周期信号)
对于连续信号 x(t)，如果存在 T > 0，使得 x(t + kT ) = x(t), k ∈ Z,
那么 x(t) 称为周期连续信号. 同样地，如果离散信号 x(n) 满足 x(n + kN ) = x(n), N, k ∈ Z, 且 N > 0,
则称 x(n) 为周期离散信号. 满足上述等式的 T 和 N 称为信号的周期. 对于周期信号，我们只需要知道其在一个周期的变化过程，就可由周期性确定信号在 整个定义域内的取值. 例如正弦信号 sin t 或余弦信号 cos(2t)，周期分别为 2π 和 π，我们 只需描述一个周期 [0, T ] 内信号变化即可，其他区域内的变化和取值可由周期性定义得 到. 并不是所有的信号都满足上述周期性定义，对于不满足周期定义的信号称为非周期 信号. 在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号 X (t) 变为离散时间信号 x(n)，这就要 对信号进行采样: x(n) = X (nT ), −∞ < n < ∞, 即：x(n) 是通过 X (t) 每隔 T 时间间隔取值得到的，这里 T 称为采样周期或采样间隔，其 1 倒数 f = 称为采样频率. 采样周期越短，采样频率越大，也就是单位时间内采样得到的 T 离散点越多， 也就越能更好地描述原来的连续信号. 图 1.3 给出了在不同采样频率下， 余弦 信号 cos t 采样后得到离散信号的情况，图中实心点代表采样得到的离散的值. 从图 1.3 可 见，随着采样频率越来越大，采样得到离散信号值也越来越多，离散信号也越来越逼近原 来的连续信号. 甚至可以设想， 如果采样频率无限增大， 那么最后得到的离散信号会和原来 的连续信号一样.
n=−∞
1.3 小波与滤波器
7
成立的 z 的取值范围称为该 Z 变换的收敛域. 如果取 z 在单位圆周上，即 z = eiω ，这时形 式上与前面离散时间傅里叶变换一致. 离散时间信号的 Z 变换可将时域信号变换为在复频 域的表达式，它是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算 机控制系统等领域有着广泛的应用 [2, 4, 7] .
1.2 傅里叶变换与 Z 变换
5
1.2
傅里叶变换与 Z 变换
传统的傅里叶分析是通过傅里叶变换引进频率的概念，将一个函数展开成不同频率谐 波的线性叠加，并将对函数形态的研究可以转化为对其傅里叶系数的研究. 这使得很多在 时间域上看不清的问题，在频率域上却一目了然. 因此，傅里叶分析无论在数学领域还是 在各个工程学科中都扮演着重要的角色. 在信号处理和滤波器设计中，傅里叶变换和 Z 变 换也是常用的方法， 本节简单介绍一些相关的基本知识. 对于函数 f (x) ∈ L2 (R), 定义傅里叶变换为 f (ω ) =
R
f (x)e−iωx dx. 1 2π
(1.4)
其傅里叶逆变换为 f (x) =
f (ω )eixω dω.
R
(1.5)
其傅里叶变换满足： 对于 L2 (R) 空间中的函数 f (x), g (x)， (1) (2) (3) (4) f + g (ω ) = f (ω ) + g (ω ), 1 1 f, g = f 2 f 2 f, g , 2 = 2, 2π 2π 1 ω Tb f (ω ) = e−ibω f (ω ), Da f (ω ) = f , a a Mc f (ω ) = f (ω − c), f ∗ g (ω ) = f (ω )g (ω ), (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)
∞
(1.14) (1.15)
|x(n)|2 =
1 2π
2π
|x(ω )|2 dω ;
0 2π
(3)
n=−∞
x(n)y (n) =
1 2π
x(ω )y (ω )dω ;
0
(1.16) (1.17)
(4)
x ∗ y (ω ) = x(ω )y (ω ),
这里 x ∗ y 表示信号 x 与信号 y 的卷积， 其定义为
∞
2F 采样得到离散信号 x(n), 那么 X (t) =
n=−∞
x(n)φ t −
n , f
(1.3)
这里插值函数 φ(t) =
sin 2πF t . 2πF t
采样频率 f = 2F 称为尼奎斯特 (Nyquist) 采样率， 由香农采样定理知， 采样频率高于 尼奎斯特采样率，连续信号才能由离散化的信号完全恢复. 对于由小于尼奎斯特采样率采 样的离散信号恢复原来的信号是会发生混淆失真的. 例如从图 1.3(a) 所示离散信号恢复原 来的信号的时候， 容易得到连续信号 X (t) = 1， 这和原来的信号是不同的.
第1章
引
言
小波分析 (wavelet analysis) 是 20 世纪 80 年代发展起来的一门新兴数学分支, 是当今 数学领域中一个迅猛发展的新方向, 是 20 世纪数学研究成果中杰出代表之一. 它汲取了诸 如泛函分析、 数值分析、 样条分析、 调和分析等众多数学分支的精华, 并又包罗了它们的许 多特色；它是继傅里叶 (Fourier) 分析之后又一重要的数学分析方法, 是调和分析发展史上 里程碑式的进展；它为 20 世纪的现代分析学作了完美的总结. 与传统分析方法相比, 小波 分析具有广阔的应用前景, 它给许多相关学科的研究带来了新思想, 并且为工程学提供了 一种新的更有效的分析工具；它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势, 是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的光辉典范 [1–4] .
例 1.2.2 计算单位脉冲响应信号的离散时间傅里叶变换. 由单位脉冲信号定义直接有
∞
x(ω ) =
n=−∞
x(n)e−inω = x(0) = 1.