第1章引言

1.1
信号与采样
在日常生活中， 人们经常接收到来自电视、 手机、 互联网等多种媒体发布的信息， 为了传 播和方便使用，往往需要将这些信息转换成便于传输和处理的信号，例如语音、视频信号等. 一般来说， 信号是信息的载体， 是信息的一种物理体现， 表现为随时间变化的某种物理量. 信号的产生、 传输和处理是由系统完成的. 系统是指由若干相互关联的事物组合而成、 具有特定功能的整体， 例如手机、 电视等. 系统的基本作用是对输入的信息、 信号进行加工 和处理， 转化为所需要的输出信号. 可以用确定的时间函数表示信号. 在连续时间范围内有定义的信号称为连续时间信号， 简称连续信号； 相对应的， 仅在离散的时刻才有定义的信号， 称为离散时间信号， 简称离散 信号. 连续信号和离散信号通常分别表示为 x(t) 和 x(n), 这里 t 表示连续时间， n 表示离散 的值. 对于 n ∈ Z. 离散信号 x 通常记为
+∞
1, n
0;
0, n < 0,
u(n) =
j =0
δ (n − j ).
对于连续和离散信号， 还可分为周期和非周期的信号.
1.1 信号与采样
3
图 1.2
单位脉冲信号 (a) 和阶跃信号 (b)
定义 1.1.1 (周期信号)
对于连续信号 x(t)，如果存在 T > 0，使得 x(t + kT ) = x(t), k ∈ Z,
4
第 1章
引言
连 续 信 号 cos t 在 不 同 采 样 频 率 下 采 样 得 到 的 离 散 信 号. (a) T = π; π π (b) T = ; (c) T = 2 4 图 1.3
连续信号经过采样得到离散信号，方便进一步做信号的分析和处理. 反过来，离散信 号是否可以得到对应的连续信号呢？下面的香农 (Shannon) 采样定理告诉我们在一定条件 下， 通过合适的插值， 可以实现离散到连续的目标. 定理 1.1.1 (香农采样定理 [5, 6] ) 样频率 f 假设连续信号 X (t) 的最高频率为 F , 如果信号以采
1.3
小波与滤波器
傅里叶分析只是一种纯频域的分析方法, 它不能提供局部时间域上的函数特征. 另外, 从函数空间上讲, 傅里叶分析只在 L2 (R) 中有效, 对 p = 2 的 Lp (R) 空间, 傅里叶系数只是 形式上的展开, 而不能刻画函数的大小和形态. 所以, 长期以来, 数学家和工程师们一直在 努力寻找一种更好的基函数, 使函数不但能得到一种新的正交展开, 而且又能同时显示出 时间域、 频率域上的局部特征. 这样的基就是小波基, 其定义如下. 定义 1.3.1 假设 a > 1, b > 0, 如果 ψl;j,k (x) : ψl;j,k (x) = a 2 ψl (aj x − kb), j, k ∈ Z, l = 1, 2, · · · , L
例 1.2.2 计算单位脉冲响应信号的离散时间傅里叶变换. 由单位脉冲信号定义直接有
∞
x(ω ) =
n=−∞
x(n)e−inω = x(0) = 1.
类似于连续傅里叶变换， 离散信号 x(n), y (n) ∈ l2 的傅里叶变换满足： (1) (2)
n=−∞ ∞
x + y (ω ) = x(ω ) + y (ω );
图 1.1
连续信号 (a) 和离散信号 (b)
单位脉冲信号 δ (n) 是一类比较特殊的信号， 其定义为 δ (n) = 1, n = 0; 0, n = 0, (1.1)
也就是说，该信号在 n = 0 处值为 1，其他处的值都为 0 (如图 1.2(a) 所示). 由定义可知， 对于任意的信号 {x(n)}n∈Z , 都有 x(n)δ (n) = x(0).
∞
x ∗ y (n) =
k=−∞
x(k )y (n − k ).
对于离散信号 {x(n)}∞ 其 Z 变换定义如下： n=−∞ ，
∞
x(z ) =
n=−∞
x(n)z −n ,
(1.18)
这里 z 为复数，一般定义为 z = reiω , 并且上述定义的级数并不是对所有 z 都收敛，对于 使得
∞
|x(n)z −n | < ∞
R
f (x)e−iωx dx. 1 2π
(1.4)
其傅里叶逆变换为 f (x) =
f (ω )eixω dω.
R
(1.5)
其傅里叶变换满足： 对于 L2 (R) 空间中的函数 f (x), g (x)， (1) (2) (3) (4) f + g (ω ) = f (ω ) + g (ω ), 1 1 f, g = f 2 f 2 f, g , 2 = 2, 2π 2π 1 ω Tb f (ω ) = e−ibω f (ω ), Da f (ω ) = f , a a Mc f (ω ) = f (ω − c), f ∗ g (ω ) = f (ω )g (ω ), (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)
这里 Tb , Da , Mc 分别表示平移、 伸缩和调制算子， 其定义分别为 (Tb f )(x) = f (x − b), f ∗ g 为函数 f, g 的卷积, 定义为 f ∗ g (x) =
R 2 对于离散信号 {x(n)}∞ n=−∞ ∈ l , 定义离散时间傅里叶变换为 ∞
(Da f )(x) = f (ax),
那么 x(t) 称为周期连续信号. 同样地，如果离散信号 x(n) 满足 x(n + kN ) = x(n), N, k ∈ Z, 且 N > 0,
则称 x(n) 为周期离散信号. 满足上述等式的 T 和 N 称为信号的周期. 对于周期信号，我们只需要知道其在一个周期的变化过程，就可由周期性确定信号在 整个定义域内的取值. 例如正弦信号 sin t 或余弦信号 cos(2t)，周期分别为 2π 和 π，我们 只需描述一个周期 [0, T ] 内信号变化即可，其他区域内的变化和取值可由周期性定义得 到. 并不是所有的信号都满足上述周期性定义，对于不满足周期定义的信号称为非周期 信号. 在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号 X (t) 变为离散时间信号 x(n)，这就要 对信号进行采样: x(n) = X (nT ), −∞ < n < ∞, 即：x(n) 是通过 X (t) 每隔 T 时间间隔取值得到的，这里 T 称为采样周期或采样间隔，其 1 倒数 f = 称为采样频率. 采样周期越短，采样频率越大，也就是单位时间内采样得到的 T 离散点越多， 也就越能更好地描述原来的连续信号. 图 1.3 给出了在不同采样频率下， 余弦 信号 cos t 采样后得到离散信号的情况，图中实心点代表采样得到的离散的值. 从图 1.3 可 见，随着采样频率越来越大，采样得到离散信号值也越来越多，离散信号也越来越逼近原 来的连续信号. 甚至可以设想， 如果采样频率无限增大， 那么最后得到的离散信号会和原来 的连续信号一样.
∞
2F 采样得到离散信号 x(n), 那么 X (t) =
n=−∞
x(n)φ t −
n , f
(1.3)
这里插值函数 φ(t) =
sin 2πF t . 2πF t
采样频率 f = 2F 称为尼奎斯特 (Nyquist) 采样率， 由香农采样定理知， 采样频率高于 尼奎斯特采样率，连续信号才能由离散化的信号完全恢复. 对于由小于尼奎斯特采样率采 样的离散信号恢复原来的信号是会发生混淆失真的. 例如从图 1.3(a) 所示离散信号恢复原 来的信号的时候， 容易得到连续信号 X (t) = 1， 这和原来的信号是不同的.
n=−∞
1.3 小波与滤波器
7
成立的 z 的取值范围称为该 Z 变换的收敛域. 如果取 z 在单位圆周上，即 z = eiω ，这时形 式上与前面离散时间傅里叶变换一致. 离散时间信号的 Z 变换可将时域信号变换为在复频 域的表达式，它是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算 机控制系统等领域有着广泛的应用 [2, 4, 7] .
6
第 1章
引言
例 1.2.1 设离散信号 x(n) 为 x(n) = 计算该信号的离散时间傅里叶变换. 直接由定义计算为
N −1
1,ห้องสมุดไป่ตู้0
n
N − 1,
0, 其他,
x(ω ) =
n=0
x(n)e−inω
Nω (N −1)ω sin 1 − e−iN ω 2 = = e− 2 ω . 1 − e−iω sin 2
第1章
引
言
小波分析 (wavelet analysis) 是 20 世纪 80 年代发展起来的一门新兴数学分支, 是当今 数学领域中一个迅猛发展的新方向, 是 20 世纪数学研究成果中杰出代表之一. 它汲取了诸 如泛函分析、 数值分析、 样条分析、 调和分析等众多数学分支的精华, 并又包罗了它们的许 多特色；它是继傅里叶 (Fourier) 分析之后又一重要的数学分析方法, 是调和分析发展史上 里程碑式的进展；它为 20 世纪的现代分析学作了完美的总结. 与传统分析方法相比, 小波 分析具有广阔的应用前景, 它给许多相关学科的研究带来了新思想, 并且为工程学提供了 一种新的更有效的分析工具；它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势, 是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的光辉典范 [1–4] .
j
(1.19)
构成 L2 (R) 的一个标准正交基, 那么称有限函数集 ΨL = {ψ1 , ψ2 , · · · , ψL } 为 L2 (R) 中的标 准正交小波，其中 Z 为所有整数组成的集合，在实际应用中，经常取 a = 2, b = 1. 对小波基的存在性、 构造和性质的研究就是小波分析， 对它的研究， 可以追溯到 20 世 纪初. • 1910 年, 数学家 Haar 提出了“小波”规范正交基, 即 Haar 基; • 1938 年, Littlewood 和 Paley 建立了 Littlewood-Paley 理论, 这可以认为是多尺度分 析思想的最早来源; • 1981 年, Str¨ omberg 对 Haar 系进行改进, 证明了小波函数的存在; • 1986 年, 法国数学家 Meyer 创造性地构造出了一个具有一定衰减性的光滑函数, 它的 二进制伸缩和平移系 {ψj,k (t) = 2−j/2 ψ (2−j t − k ) : j, k ∈ Z} 构成 L2 (R) 的规范正交 基, 实现了信号在时频空间同时局部化的正交分解; • 1987 年, Meyer 和 Mallat 合作将计算机视觉领域内的多尺度分析引入到小波分析中, 从而成功地统一了在此之前的 Str¨ omberg，Meyer，Lemarie 和 Battle 等提出的各种 具体小波函数的构造; • 1988 年, 小波的另一位奠基人：Daubechies, 构造出了具有紧支撑的正交小波基，它 为数字信号的小波分解提供了有限的从而更实际、 更具体的数字滤波器;
(Mc f )(x) = eicx f (x).
(1.10)
f (y )g (x − y )dy.
(1.11)
x(ω ) =
n=−∞
x(n)e−inω ,
(1.12)
其对应的逆变换为 x(n) = 1 2π
2π
x(ω )einω dω.
0
(1.13)
对于离散信号来说，其时间域上是离散的，但其傅里叶变换后在频率上是连续的，并且是 以 2π 为周期的. x(ω ) 也称为离散信号 x(n) 的频率响应.
n∈Z
通过对信号平移 n0 ，我们可以得到 δ (n − n0 )，该信号在 n = n0 处为 1，其他处为 0， 进一步容易得到: x(n)δ (n − n0 ) = x(n0 ).
n∈Z
(1.2)
另外， 也可以借助单位脉冲信号得到其他特殊信号， 如图 1.2(b) 所示的阶跃信号 u(n), 其定义为 u(n) = 它可以表示为
∞
(1.14) (1.15)
|x(n)|2 =
1 2π
2π
|x(ω )|2 dω ;
0 2π
(3)
n=−∞
x(n)y (n) =
1 2π
x(ω )y (ω )dω ;
0
(1.16) (1.17)
(4)
x ∗ y (ω ) = x(ω )y (ω ),
这里 x ∗ y 表示信号 x 与信号 y 的卷积， 其定义为
x = [· · · , x−1 , x0 , x1 , · · · ] 或者 x =
. . . x(−1) x(0) x(1) . . .
.
2
第 1章
引言
图 1.1(a) 给出了连续信号 cos t, t ∈ [−2π, 2π] 的图形，图 1.1(b) 中的离散信号为 en , n = 0, 1, · · · , 10.
1.2 傅里叶变换与 Z 变换
5
1.2
傅里叶变换与 Z 变换
传统的傅里叶分析是通过傅里叶变换引进频率的概念，将一个函数展开成不同频率谐 波的线性叠加，并将对函数形态的研究可以转化为对其傅里叶系数的研究. 这使得很多在 时间域上看不清的问题，在频率域上却一目了然. 因此，傅里叶分析无论在数学领域还是 在各个工程学科中都扮演着重要的角色. 在信号处理和滤波器设计中，傅里叶变换和 Z 变 换也是常用的方法， 本节简单介绍一些相关的基本知识. 对于函数 f (x) ∈ L2 (R), 定义傅里叶变换为 f (ω ) =