初中数学-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

5 1 x 1 x 2 ；x1 x 2 3 3
(4) 3x 2x 0
2
例1：设x、x2 是方程x2 4x 6 0的两根，求下列各式 的值。 1 x 2 x1 (1)x x 1 x 2 x ；(2) ；(3)x1 x 2。 x1 x 2
4(a 2a 1) 9
2
4(a 1)2 9
因 (a 1)2 0, 所 以 (a 1)2 9 0
充分利用配 方得到非负 数（式）。
则原方程有两个不相等 实数根。 的
1 2 例3：若关于 x 的方程： x (m 2)x m 2 0 4
有实数根，求 m 的最大整数值。
解：设另一个根是x 1， 1 x1 k 则有 ( 1) x1 2 解得：x 2，k 2 1。 1
若用法2 就得先解 一元一次 方程，再 解一元二 次方程。
2 例3：k取何值时，关 于x的方程x (2k 3)x (2k 4) 0
(1)有两个正根？
2 1 2 2
解：由根 系关 系得x x 2 4，x1x 2 6 1
2 (1)x1 x 1x 2 x 2 (x1 x 2 )2 x 1x 2 22； 2
数式的 (3)(x1 x 2 )2 (x1 x 2 )2 4x1x 2 40恒等变 形。 故 x1 x 2 40 2 10。
初中数学
第二讲
一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系
知识回顾：
1、一元二次方程： ax2 bx c 0 0) 的方程 (a 化简后形如 叫一元二次方程。 2、解一元二次方程的方法：
①直接开平方法
②配方法
③求根公式法
④分解因式法（包括十字相乘法）。
3、回顾关于求根公式的推导过程：
若只需要判断一元二次方程根的情况，由此就可 以不解方程，直接计算根的判别式来判断，通常用 “△”表示判别式。
学以致用，当堂巩固
例1：判断下列一元二次方程根的情况。 △=81，有两个不相等的 实数根。 △=28，有两个不相等的 实数根。 △=0，有两个相等的实 数根。 △=-4，没有实数根。
(1)2x 7x 4 0
祝大家学习愉快！
b 4ac 的值有
2
b 2 4ac 0 时，有实数根；
b 4ac 0
2
时，没有实数根。
一、一元二次方程的根与系数的关系：
b 2 4ac叫做一元二次方 程的根的判别式， 由它可以直接判断一元 二次方程的根的情况：
1当b2 4ac 0时，方程有两个不相 等的实数根； 2 2 当b 4ac 0时，方程有两个相等 的实数根； 3 当b2 4ac 0时，方程没有实数根 。
2 x 2 x1 x1 x 2 (x1 x 2 )2 2x1x 2 14 2 (2) ； 抓住代 x1 x 2 x1x 2 x1x 2 3
2 例2：若方程x kx 2 0的一个根是 1，
求k的值及另一个根。
开拓思路：法1依据根与系数的关系求解；法2由根 的定义先解出 k，在解方程求得另一个根。
ax bx c 0 中a 0
2
b c 两边除以a，得：x x 0 a a b c 2 移项得：x x a a
2
b b c b 配方得：x 2x 2a 2a a 2a
2
2
2
b b 2 4ac 变形得： x 2a 4a 2
开拓思路：紧抓根的判别式及根与系数的关系。
解：由 题 意 b2 4ac 0 因 b 4ac [ (2k 3)] 4(2k 4) (2k 5) 0
2 2 2
故 k取 任 何 数 原 方 程 都 两 个 实 数 根 。 有
(1)若 方 程 两 根 为 正 ， 则 有 数 x 1 x 2 2k 3 0 x 1 x 2 2k 4 0 解 不 等 式 组 得 ： k 2。
3 解上不等式组得： k 2。 2
2 例3：k取何值时，关 于x的方程x (2k 3)x (2k 4) 0
(3)一根大于3， 一根小于3？
解 (3)因 一 根 大 于 、 一 根 小 于 3， 则 有 3 (x 3)(x2 3) 0. 1 即 得 ： (x 3)(x2 3) x 1x 2 3(x1 x 2 ) 9 1 (2k 4) 3(2k 3) 9 4k 14 0 7 解 得 ： k 。 2
2
因a 0, 故4a 0
2
则要开平方，必须满足b 2 4ac 0 ：
b b 4ac 开方得：x 2a 2a
2
b b 4ac 故：x 2a 2a
2
b b 4ac 整理即得：x 。 2a
2
推导发现： 1、一元二次方程的根与三个系数a、b、c、有 紧密关系，可以直接把方程中a、b、c的值 b b 2 4ac 代入求根公式 中，以求 x 2a 得方程的根。 2、一元二次方程根的个数与 关系： ⑴当 ⑵当
解 ： 因 方 程 有 实 数 根 ， b2 4ac 0 则 1 即 [ (m 2)] 4 m 2 0 4 化 简 得 ： 4m 4 0
2
解 得 ： m 1 所 以 原 方 程 有 实 数 根 时 m的 最 大 整 数 值 为 １ ， 。
友情提示：一元二次方程有实数根时，△≥0。
2
x1 x 2 p ；x1 x 2 q。
二、根与系数的关系（韦达定理）
b c 则：x1 x 2 ；x1 x 2 。 a a
提示：同学们也可通过求根公式来探究根系关系。
2 若x1、x2是一元二次方程ax bx c 0的两根，
应用： 以 x1、 x2 为 两 个 根 的 一 元 二 次 方 可 以 是 ： 程 x 2 (x1 x 2 )x x 1 x 2 0。
2 2
(2)3x 4x 1 (3)y 2 2 2y
2
(4)5x 4x 1
2
友情提示：计算判别式之前，要将方程化简为一般式。
活学活用，提高能力
例2：关于x的方程 x (2a 1)x (a 3) 0 试说明无论a为何实数，方程总有两个不相等的实 数根。
2
解 ： Δ ＝ [ (2a 1)]2 4 1(a 3) ＝ 4a2 8a 13
新知探究：一元二次方程根与系数的关系？
解下列一元二次方程，并填写下表：
方程
x1
0 -4 2
x 2 x1 x 2 x 1 x 2
2 1 3 2 -3 5 0 -4 6
x 2x 0
2
x 3x 4 0
2
x 5x 6 0
2
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发现规律：关于x的方程 x px q 0 其两根 x1、x2 与其系数 p、q之间的关系为：
练习：不解方程， 口答两根之 和与两根之 积。 (1)3x 5x 1
2
(2)2x2 x 1 0 (3)x mx m 3
2
1 1 x 1 x 2 ；x1 x 2 2 2 x 1 x 2 m；x1 x 2 m
x1 x 2 6 ； x1 x 2 0 3
将根的特 点与根系 关系联系 起来。
2 例3：k取何值时，关 于x的方程x (2k 3)x (2k 4) 0
(2)两根异号，且正 根绝对值较大？
(2)两 根 异 号 且 正 根 对 值 大 ， 则 有 绝 x 1 x 2＝ 2k 3 0 x 1 x 2 2k 4 0