第四讲 指数函数

§2.2.1 分数指数幂（1）

【教学目标】

1．理解n 次方根及根式的概念；

2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；

3．提高观察、抽象的能力．

【课前导学】

1．如果2x a =，则x 称为a 的 ；

如果3x a =，则x 称为a 的 ．

2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ．

3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为

数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根．

4. 式子n a ()1,n n N *>∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ；n = ．

5. 若n = ；若n = ．

【例题讲解】

例1．求下列各式的值：

（1）2 （2）3 （3 （4

*变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --=

例2．设－3

例3．计算：625625++-

【课堂检测】

1. 27的平方根与立方根分别是

（

）

（A ） （B ）±

（C ）3± （D ）3±± 2. 求值：549

25

-+．

3. 化简()()()0,0778888<<-+++b a b a b a b

§2.2.1 分数指数幂（2）

【教学目标】

1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；

2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简．

3．会对根式、分数指数幂进行互化；

4．培养学生用联系观点看问题．

【课前导学】

1．正数的分数指数幂的意义：

（1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>；

（2）正数的负分数指数幂的意义m n a

-= ()0,,,1a m n N n *>∈>．

2．分数指数幂的运算性质：

即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈，

()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈．

3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用.

4. 0的正分数指数幂等于 .

【例题讲解】

例1．求值（1） 12100， （2）238， （3）()329-， （4） 34

181-⎛⎫ ⎪⎝⎭．

例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >：

（1）a ；（2

；（3．

例3．已知a +a －1=3，求下列各式的值：（1）21a -21-a

；（2）23a -23-a

*变式：利用指数的运算法则，解下列方程：

(1)43x +2=256×81－x

(2)2x +2－6×2x －1－8=0

【课堂检测】

1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

(1)(xy 2·21x ·21-y )31·21)(xy (2)2369)(a ·2639)(a

2. 已知11223x x

-+=，求3322

2232x x x x --+-+-的值.

3. 已知21x a

=，求33x x x x a a a a

--++的值.

§2.1.3 指数函数（1）

【教学目标】

1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；

2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。

3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．

【课前导学】

1．形如 ________________ 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ．

2. 下列函数是为指数函数有______________________ ．

①2y x = ②8x y = ③(21)x y a =-（12a >

且1a ≠）④(4)x y =- ⑤x y π= ⑥1225+=x y ⑦x y x = ⑧10x y =-．

3.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点 ．

4.当1a >时，函数x y a =单调性为 ；

当01a <<时，函数x y a =单调性为 ．

【例题讲解】

例1．比较大小：

（1） 2.5 3.21.5,1.5； （2） 1.2 1.50.5,0.5--； （3）0.3 1.21.5,0.8．

例2．（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；

（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围.

例3．设a 是实数，2()()21

x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数

（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；

*变式：求函数26171()2

x x y -+=的定义域、值域、单调区间．

【课堂检测】

1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）

（A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞ （D ）(1,1)-

2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；