第四讲 指数函数

§2.2.1 分数指数幂（1）
【教学目标】
1．理解n 次方根及根式的概念；
2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；
3．提高观察、抽象的能力．
【课前导学】
1．如果2x a =，则x 称为a 的 ；
如果3x a =，则x 称为a 的 ．
2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ．
3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为
数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根．
4. 式子n a ()1,n n N *>∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ；n = ．
5. 若n = ；若n = ．
【例题讲解】
例1．求下列各式的值：
（1）2 （2）3 （3 （4
*变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --=
例2．设－3<x <3，化简961222++-+-x x x x
例3．计算：625625++-
【课堂检测】
1. 27的平方根与立方根分别是
（
）
（A ） （B ）±
（C ）3± （D ）3±± 2. 求值：549
25
-+．
3. 化简()()()0,0778888<<-+++b a b a b a b
§2.2.1 分数指数幂（2）
【教学目标】
1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简．
3．会对根式、分数指数幂进行互化；
4．培养学生用联系观点看问题．
【课前导学】
1．正数的分数指数幂的意义：
（1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>；
（2）正数的负分数指数幂的意义m n a
-= ()0,,,1a m n N n *>∈>．
2．分数指数幂的运算性质：
即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈，
()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈．
3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用.
4. 0的正分数指数幂等于 .
【例题讲解】
例1．求值（1） 12100， （2）238， （3）()329-， （4） 34
181-⎛⎫ ⎪⎝⎭．
例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >：
（1）a ；（2
；（3．
例3．已知a +a －1=3，求下列各式的值：（1）21a -21-a
；（2）23a -23-a
*变式：利用指数的运算法则，解下列方程：
(1)43x +2=256×81－x
(2)2x +2－6×2x －1－8=0
【课堂检测】
1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
(1)(xy 2·21x ·21-y )31·21)(xy (2)2369)(a ·2639)(a
2. 已知11223x x
-+=，求3322
2232x x x x --+-+-的值.
3. 已知21x a
=，求33x x x x a a a a
--++的值.
§2.1.3 指数函数（1）
【教学目标】
1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；
2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。

3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．
【课前导学】
1．形如 ________________ 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ．
2. 下列函数是为指数函数有______________________ ．
①2y x = ②8x y = ③(21)x y a =-（12a >
且1a ≠）④(4)x y =- ⑤x y π= ⑥1225+=x y ⑦x y x = ⑧10x y =-．
3.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点 ．
4.当1a >时，函数x y a =单调性为 ；
当01a <<时，函数x y a =单调性为 ．
【例题讲解】
例1．比较大小：
（1） 2.5 3.21.5,1.5； （2） 1.2 1.50.5,0.5--； （3）0.3 1.21.5,0.8．
例2．（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；
（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围.
例3．设a 是实数，2()()21
x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数
（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；
*变式：求函数26171()2
x x y -+=的定义域、值域、单调区间．
【课堂检测】
1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）
（A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞ （D ）(1,1)-
2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；
3. 解不等式：(1)293x x -> (2)34260x x ⨯-⨯>
§2.1.3 指数函数（2）
【教学目标】
1．进一步掌握指数函数的图象、性质；
2．初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。

【课前导学】
1．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关于 对称；
x y a -=与x y a =的图象关于 对称.
2. 已知0,1,0a a h >≠>，由 x y a =的图象 得到x h y a +=的图象；
得到x h y a -=的图象；
得到x y a h =+的图象；
得到x y a h =-的图象.
【例题讲解】
例1．说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）12x y +=； （2）22x y -=．
例2．说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）21x y =+； （2）22x y =-．
例3．画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：
（1）|22|x y =-； （2）||2x y -=
*变式：（1）求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）；（2）求不等式24x x +≥的解集.
【课堂检测】
1. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为___ ______.
2. 怎样由4x y =的图象，得到函数421()22
x y -=-的图象？
3. 说出函数3x y -=与3x a y -+=(0)a ≠图象之间的关系：
§2.1.3 指数函数（3）
【教学目标】
1．熟练掌握指数函数的图象和性质；
2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型；
3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力．
【课前导学】
1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率
为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y = 表示.
【例题讲解】
例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
例2．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元．
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
例3．20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．
【课堂检测】
1.（1）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a个,计划从今年开始的m年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长%
p,则此种规格电子元件的年产量y随年数x变化的函数关系式为 _______________.
（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个, 计划从今年开始的m年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降%
p,则此种规格电子元件的单件成本y随
佛山顺德华盛教育 必修1 第二章 基本初等函数 华盛教育教研组出
11 2. 2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到350000m ”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积3()V m 与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格,并回答下列问题:
(1)设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问24年后该市垃圾的体积是多少?
(2)根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少?
(3)如果2n =-,这时的,n V 表示什么信息?
(4)写出n 与V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n 轴);
(5)曲线可能与横轴相交吗?为什么?。